Elettrotecnica Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale, Ingegneria Civile Università degli Studi dell Aquila. Il trasformatore

Elettrotecnica Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale, Ingegneria Civile Università degli Studi dell Aquila Il trasformatore 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 1 di 61

Il trasformatore Il trasformatore è un macchina statica, cioè non ha organi in movimento il cui funzionamento è fondato sulla legge di Faraday-Neumann dell induzione elettromagnetica. Riferendosi al trasformatore monofase si può dire che esso è un dispositivo a due porte in grado di assorbire potenza ad una porta (primario) e di renderla pressochè integralmente all altra (secondario), modificando i livelli di tensione e di corrente. Utilizzi: per trasportare l energia in modo economico è necessario ricorrere a linee di trasmissione funzionanti a tensioni molto maggiori sia di quelle utilizzate per i generatori sia di quelle idonee alla distribuzione alla utenze. I trasformatori rendono possibile di elevare o ridurre le ampiezze delle tensioni senza introdurre significative perdite di potenza. Per queste applicazioni si utilizzano trasformatori trifasi di grande potenza. Il livello di tensione al quale gli enti erogatori forniscono l energia elettrica agli utenti è spesso diverso da quello richiesto dai dispositivi contenuti nelle apparecchiature. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 2 di 61

Il trasformatore In certi circuiti elettronici è necessario ottenere il massimo trasferimento di potenza ad un determinato carico; i trasformatori possono essere utilizzati per realizzare l adattamento di impedenza. Per trasferire potenza tra due parti di una rete elettrica mantenendole elettricamente isolate, si può interporre un trasformatore. Valori nominali dei trasformatori Figura 1: Valori nominali dei trasformatori. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 3 di 61

Il trasformatore Tra valori nominali di tensione e corrente sussistono, per definizione, le seguenti relazioni: U 1n U 2n = n I 1n I 2n = 1 n La potenza nominale ha significato di potenza apparente ed è misurata in VA; essa è legata alle tensioni e correnti nominali dalle relazioni: (1) P n = U 1n I 1n = U 2n I 2n (2) P n = 3U 1n I 1n = 3U 2n I 2n (3) valide rispettivamente per trasformatori monofasi e trifasi. Nel caso dei trasformatori trifasi la tensione nominale si riferisce alla tensione concatenata e la corrente nominale alla corrente di linea. I trasformatori con frequenza nominale 50 Hz (60 Hz) sono spesso detti trasformatori di potenza; essi presentano potenze cha variano da pochi VA a varie centinaia di MVA. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 4 di 61

Un trasformatore monofase consiste essenzialmente di due induttori, detti avvolgimento primario e secondario, caratterizzati da elevato accoppiamento mutuo, generalmente assicurato da un circuito magnetico ad elevata permeabilità, detto nucleo ferromagnetico. Nucleo ferromagnetico Figura 2: Esempi di nucleo ferromagnetico. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 5 di 61

I nuclei ferromagnetici sono lamellati: si usano lamierini con basse perdite, di spessore generalmente compreso tra 0.3 mm e 0.5 mm che vengono tagliati e impaccati per ottenere le sezioni utili desiderate nei diversi tratti. Le forme più usate sono: nucleo a colonne nucleo a mantello o corazzato I tratti di nucleo ferromagnetico lungo i quali sono alloggiati gli avvolgimenti sono detti colonne; i tratti di raccordo gioghi. Figura 3: Lamierini affacciati (a) e intercalati (b,c). I lamierini affacciati sono più semplici da realizzare, ma determinano traferri maggiori e, quindi, riluttanze maggiori. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 6 di 61

Gli avvolgimenti Figura 4: Disposizioni degli avvolgimenti: disposizione concentrica e alternata. Figura 5: Esempi di avvolgimenti. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 7 di 61

Gli avvolgimenti Disposizione concentrica: gli avvolgimenti primario e secondario hanno diversi diametri: l avvolgimento di alta tensione è disposto esternamente a quello di bassa tensione, interponendo tra i due e verso il nucleo materiale isolante ad elevata rigidità dielettrica; disposizione alternata: gli avvolgimenti primario e secondario hanno uguale diametro e sono montati intercalati l uno all altro. Questa disposizione, preferita per tensioni non molto elevate, consente una costruzione modulare delle bobine che costituiscono gli avvolgimenti. Le bobine sono isolate tra loro e rispetto ad ogni altra parte del trasformatore, in ragione delle tensioni che vi si possono presentare in condizioni di normale funzionamento ed anche in condizioni di guasto. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 8 di 61

Figura 6: Il trasformatore monofase. Si consideri un trasformatore reale avente al primario N 1 spire e al secondario N 2 spire. Alimentandoilprimarioconlatensionesinusoidaleu 1 (t)elasciandoilsecondarioaperto o chiuso sul carico, si ottengono rispettivamente le condizioni di funzionamento a vuoto e di funzionamento a carico. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 9 di 61

Il trasformatore ideale Alla porta 1 (primario) è stata assunta la convenzione degli utilizzatori, alla porta 2 (secondario) quella dei generatori. Il trasformatore ideale è governato dalle equazioni: U 1 = nu 2 I 1 = 1 I (4) n 2 dove n è il rapporto di trasformazione. Figura 7: Trasformatore ideale. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 10 di 61

Un trasformatore ideale approssima tanto meglio quello ideale quanto meglio verifica le seguenti condizioni di idealità: la riluttanza del nucleo è nulla (R = 0) ovvero la permeabilità del materiale di cui esso è costituito è infinita µ = ; le perdite nel nucleo, per isteresi e correnti parassite sono nulle; l accoppiamento tra gli avvolgimenti è perfetto (k 2 = 1, assenza di flussi dispersi); le resistenze degli avvolgimenti sono nulle R 1 = R 2 = 0. Un trasformatore reale non soddisfa nessuna delle quattro condizioni di idealità; pertanto il suo comportamento può essere dedotto da quello del trasformatore ideale rimuovendo una ad una le quattro condizioni di idealità. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 11 di 61

Riluttanza del nucleo non nulla Per l ipotesi di accoppiamento perfetto si può ammettere che tutte le N 1 spire primarie e tutte le N 2 spire secondarie concatenino il medesimo flusso di induzione magnetica φ t (t), sinusoidale nel tempo; dunque risulta: Φ c1 = N 1 Φ t (5) Φ c2 = N 2 Φ t I segni derivano dal fatto che il flusso Φ t ha un riferimento concorde con la normale n 1 riferimento di Φ c1 e discorde da n 2 riferimento di Φ c2. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 12 di 61

Le tensioni ai morsetti di primario (convenzionato da utilizzatore) e secondario (convenzionato da generatore) coincidono con le f.e.m. indotte e valgono: U 1 = E 1 = jωφ c1 = jωn 1 Φ t C.d.U. U 2 = E 2 = jωφ c2 = jωn 2 Φ t C.d.G. Queste relazioni valgono qualsiasi valore assumano le correnti primaria I 1 e secondaria I 2 ; per la prima di esse, se la tensione primaria è imposta, pure imposto è il flusso Φ t, indipendentemente da I 1,I 2 e dalla riluttanza R del circuito magnetico. Funzionamento a vuoto Quando la corrente secondaria è nulla, I 2 = 0, la corrente primaria verifica la legge di Hopkinson che impone: (6) N 1 I 1µ = RΦ t con I 2 = 0 (7) LacorrenteprimariaI 1µ èchiamatacorrentedimagnetizzazione; sesiconsiderar 0, essa è non nulla ed in fase con Φ t. Ricavando Φ t e sostituendo nella prima delle (6) si ha: U 1 = jωn 1 Φ t = jω N2 1 R I 1µ = jωl 1 I 1µ = jx 10 I 1µ (8) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 13 di 61

Quindi il trasformatore con secondario a vuoto si comporta al primario come un bipolo di impedenza jωl 1 = jx 10, corrispondente all induttanza dell avvolgimento primario. Funzionamento a carico Quando la corrente secondaria non è nulla I 2 0, le correnti I 1 e I 2 generano due forze magnetomotrici agenti nel circuito magnetico di riluttanza R e nel quale si sviluppa il flusso Φ t. La seconda legge di Hopkinson per i circuiti magnetici impone che: N 1 I 1 N 2 I 2 = RΦ t con I 2 0 (9) In essa il flusso Φ t può essere espresso per mezzo della (7) perchè, essendo imposta la tensione U 1, il suo valore rimane uguale a quello nel funzionamento a vuoto. Dunque, per la corrente I 1 si ottiene: I 1 = I 1µ + N 2 N 1 I 2 (10) Si può definire il rapporto di trasformazione, detto anche rapporto spire, come: n N 1 N 2 (11) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 14 di 61

Esso consente di esprimere i legami tra tensioni e correnti alle porte come: U 1 = nu 2 (12a) I 1 = I 1µ + 1 n I 2 = I 1µ +I 12 (12b) La corrente I 12 = 1 I n 2 è detta corrente secondaria riportata al primario. Alle equazioni (12) corrisponde lo schema elettrico di Fig. 8 costituito da un trasformatore ideale con rapporto di trasformazione uguale a n e dall impedenza jx 10, connessa in parallelo al primario in modo da assorbire la corrente di magnetizzazione I 1µ. Figura 8: Trasformatore con riluttanza del nucleo non nulla. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 15 di 61

Perdite nel nucleo non nulle Per considerare le perdite per isteresi e correnti parassite che si producono nel nucleo ferromagnetico, alla corrente di magnetizzazione I 1µ, in quadratura con la tensione primaria U 1, va aggiunta la componente I 1a in fase con essa: I 10 = I 1µ +I 1a (13) La corrente I 10 viene chiamata corrente a vuoto. Le (12) diventano: U 1 = nu 2 (14a) I 1 = I 10 + 1 n I 2 = I 10 +I 12 (14b) Il circuito equivalente, illustrato in Fig. 9, si ottiene aggiungendo in parallelo alla reattanza X 10 una resistenza R 10 che tiene conto delle perdite nel ferro. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 16 di 61

Il trasformatore con riluttanza del nucleo finita e con perdite nel nucleo non nulle si comporta in modo ideale per quanto riguarda le tensioni alle porte che sono proporzionali attraverso il rapporto di trasformazione n, ma non per le correnti alle porte, che non lo sono a causa della corrente a vuoto I 10. Figura 9: Trasformatore con riluttanza del nucleo non nulla e perdite nel nucleo. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 17 di 61

Noti i parametri dello schema equivalente di Fig. 9, n,r 10 e X 10, il diagramma fasoriale può essere costruito come di seguito sintetizzato, tracciando in sequenza le seguenti grandezze: la tensione U 2 e la corrente I 2 del secondario che si assumono note; la tensione primaria U 1 in fase con la tensione secondaria U 2 la corrente secondaria riportata al primario I 12 = I 2 /n in fase con la corrente I 2 ; le correnti I 1µ e I 1a, rispettivamente in quadratura in ritardo ed in fase con U 1 ; la corrente a vuoto I 10 = I 1µ +I 1a ; la corrente primaria I 1. Si noti che le correnti I 1µ e I 1a possono essere calcolate dalla conoscenza di U 1 e dei parametri R 10 e X 10 come: I 1µ = U 1 jx 10 (15a) I 1a = U 1 R 10 (15b) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 18 di 61

Accoppiamento non perfetto tra gli avvolgimenti Figura 10: Trasformatore con accoppiamento non perfetto. L accoppiamento non perfetto fra gli avvolgimenti è dovuto a linee di flusso cha abbandonano il nucleo per richiudersi attraverso percorsi in aria, concatenandosi con un solo avvolgimento. Dunque, in questo caso, oltre al flusso Φ t di mutua induzione concatenato con entrambi gli avvolgimenti, si devono ora considerare anche: il flusso di dispersione del primario Φ 1d prodotto dal primario e non concatenato con il secondario; il flusso di dispersione del secondario Φ 2d prodotto dal secondario e non concatenato con il primario; 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 19 di 61

Se si fa l ipotesi che ciascuno di questi flussi dispersi sia concatenato con tutte le spire del relativo avvolgimento, a tali flussi si possono associare le induttanze di dispersione: L 1d L 2d = N 1Φ 1d I 1 = N 2Φ 2d I 2 (16a) (16b) Si definiscono anche la reattanza di dispersione al primario X 1 = ωl 1d e la reattanza di dispersione al secondario X 2 = ωl 2d che, inserite in serie alla porta primaria e secondaria dello schema equivalente, tengono conto delle cadute di tensione induttive dovute a Φ 1d e Φ 2d. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 20 di 61

Resistenze degli avvolgimenti non nulle Rimuovendo l ultima ipotesi semplificativa si devono considerare le resistenze non nulle R 1 e R 2 degli avvolgimenti che provocano dissipazione di potenza in presenza di corrente. Esse, poste in serie alla porta primaria e secondaria dello schema equivalente, permettono di tenere conto delle cadute di tensione resistive associate a tali dissipazioni. Figura 11: Schema equivalente complessivo del trasformatore monofase. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 21 di 61

Schema equivalente completo Eliminate tutte le ipotesi di idealità si perviene allo schema equivalente completo di trasformatore reale, illustrato in Fig. 11. Figura 12: Schema equivalente complessivo del trasformatore monofase. Le f.e.m. indotte dal solo flusso di mutua induzione Φ t valgono: E 1 = jωn 1 Φ t (17a) E 2 = jωn 2 Φ t (17b) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 22 di 61

Le f.e.m. totali indotte al primario e secondario sono invece legate ai flussi totali concatenati: Φ c1 = N 1 (Φ t +Φ 1d ) (18a) Φ c2 = N 2 ( Φ t +Φ 2d ) (18b) e valgono rispettivamente E 1t = jωφ c1 = jωn 1 (Φ t +Φ 1d ) (19a) E 2t = jωφ c2 = jωn 2 ( Φ t +Φ 2d ) (19b) Gli addendi E 1d = jωn 1 Φ 1d e E 2d = jωn 2 Φ 2d vengono trattati come cadute di tensione induttive dovute alle reattanze di dispersione X 1 e X 2, nel seguito introdotte. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 23 di 61

Lef.e.m. E 1 ede 2 rappresentanoletensionialleportedeltrasformatoreideale; acausa delle cadute di tensione induttive e resistive degli avvolgimenti esse non coincidono con le tensioni alle porte del trasformatore reale, che valgono: U 1 = E 1 +(R 1 +jx 1 )I 1 U 2 = E 2 (R 2 +jx 2 )I 2 (20a) (20b) In base alla (17) e alla (11) il rapporto di trasformazione del trasformatore ideale dello schema equivalente vale: n E 1 E 2 = N 1 N 2 (21) Si può dunque esprimere la tensione U 1 in funzione della tensione U 2 U 1 = (R 1 +jx 1 )I 1 +n(r 2 +jx 2 )I 2 +nu 2 (22a) I 1 = I 10 + 1 n I 2 = I 10 +I 12 (22b) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 24 di 61

Queste equazioni descrivono il comportamento del trasformatore reale che, pertanto, risulta diverso da quello del trasformatore ideale sia per quanto riguarda le tensioni di porta che non sono uguali a causa delle cadute di tensione induttive e resistive, sia per quanto riguarda le correnti di porta che non lo sono a causa della corrente a vuoto I 10. Noti i parametri dello schema equivalente completo, n, X 10,R 10,X 1,R 1,X 2,R 2, il diagramma fasoriale può essere costruito tracciando le grandezze nel seguente ordine: la tensione U 2 e la corrente I 2 del secondario che si assumono note; la f.e.m. secondaria E 2 = U 2 +R 2 I 2 +jx 2 I 2 ; la f.e.m. primaria E 1 in fase con E 2 ; la corrente secondaria riportata al primario I 12 = I 2 /n in fase con I 2 ; la corrente a vuoto I 10 pari alla somma di I 1µ e I 1a rispettivamente in quadratura in ritardo ed in fase con E 1 ; la corrente primaria I 1 = I 10 + 1 I n 2 = I 10 +I 12 ; la tensione primaria U 1 = E 1 +R 1 I 1 +jx 1 I 1. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 25 di 61

Si osservi che le correnti I 1µ e I 1a possono essere calcolate dopo aver valutato E 1 e conoscendo i parametri X 10 e R 10. Figura 13: Diagramma dei fasori del trasformatore monofase. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 26 di 61

Nel funzionamento a vuoto si ha: I 2 = 0 e, dunque, I 1 = I 10. In questa condizione la tensione secondaria è U 2 = U 20. Impedenza a vuoto del primario L impedenza associata ai fenomeni che si manifestano nel nucleo è Z 10 = R 10jX 10 R 10 +jx 10 (23) Nel funzionamento a vuoto, essa è posta in serie con l impedenza che modellizza le perdite nei conduttori ed il flusso disperso dell avvolgimento primario Z 1 = R 1 +jx 1. Nei trasformatori di potenza si ha Z 10 Z 1. Inoltre, nell avvolgimento secondario non circola corrente e non ci sono perdite. Nel funzionamento a vuoto il comportamento del trasformatore dipende, in pratica, solo dal nucleo ferromagnetico. In particolare la potenza assorbita nel funzionamento a vuoto corrisponde alle perdite nel ferro. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 27 di 61

Lo schema equivalente a vuoto è mostrato in Fig. 14 Figura 14: Schema equivalente del trasformatore monofase funzionante a vuoto. Le tensioni alle porte verificano le seguenti relazioni: U 1 = E1 = ne 2 = nu 20 n = U 1 U 20 (24) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 28 di 61

Quindi il trasformatore a vuoto si comporta con buona approssimazione come un trasformatore ideale per quanto riguarda le tensioni, ma non per le correnti, essendo I 10 0 con I 2 = 0. Il diagramma fasoriale dello schema equivalente a vuoto è rappresentato in Fig. 15. Figura 15: Diagramma fasoriale del trasformatore monofase funzionante a vuoto. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 29 di 61

Corrente a vuoto al primario Il trasformatore monofase Si definisce corrente a vuoto al primario il valore efficace della corrente primaria che si presenta nel funzionamento a vuoto con valore efficace della tensione primaria pari alla tensione nominale U 1n : I 10 = U 1n Z 10 (25) Generalmente si considera la corrente a vuoto percentuale rispetto alla corrente nominale primaria I 1n : i 10 % I 10 I 1n 100 = U 1n Z 10 I 1n 100 (26) Anche le perdite nel nucleo sono caratterizzate in termini di potenza percentuale P fe % P fe P 1n 100 = U2 1n R 10 P 1n 100 (27) Z 10 U 1n i 10 %I 1n 100 = U2 1n i 10 %P 1n 100 R 10 = U 2 1n P fe %P 1n 100 1 X 10 = ( 1 Z 10 ) 2 (28) ( 1 R 10 ) 2 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 30 di 61

Funzionamento in corto circuito Nel funzionamento in corto circuito si ha U 2 = 0. In questa condizione le correnti al primario e al secondario sono dette di cortocircuito e sono indicate con I 1 = I 1cc e I 2 = I 2cc. Schema equivalente riportato al primario Utilizzando le leggi del trasformatore ideale, U 1 = nu 2,I 1 = I 2 /n, è immediato provare che esso gode della proprietà per cui l impedenza al secondario Z 2 = R 2 + jx 2 può essere sostituita con l impedenza Z 12 = R 12 + jx 12 posta al primario con parametri: R 12 = n 2 R 2 (29a) X 12 = n 2 X 2 (29b) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 31 di 61

Figura 16: Schema equivalente del trasformatore monofase funzionante in corto circuito. Impedenze di cortocircuito Nello schema di Fig. 16 si ha: E 1 = ne 2 = nu 2 = 0 (30) Le impedenze Z 10 e Z 12 sono in parallelo. Poichè nei trasformatori di potenza si ha Z 10 R 2 12 +X2 12, l impedenza Z 10 può essere trascurata e le impedenze Z 1 = R 1 + jx 1 e Z 12 = R 12 + jx 12 sono in serie, dando luogo all impedenza equivalente Z 1c = R 1c +jx 1c (31) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 32 di 61

R 1c = R 1 +R 12 (32a) X 1c = X 1 +X 12 (32b) L impedenza Z 1c è, con buona approssimazione, l impedenza al primario quando il secondario è in corto circuito ed è perciò detta impedenza di cortocircuito al primario. Vale dunque lo schema equivalente in cortocircuito illustrato in Fig. 17 (sinistra). Figura 17: Schemi equivalenti del trasformatore monofase funzionante in corto circuito. Applicandoiltrasferimentodiimpedenza, l impedenzaz 1c postaalprimariodeltrasformatore ideale può essere sostituita com l impedenza Z 2c posta al secondario con parametri: 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 33 di 61

Z 2c = R 2c +jx 2c = 1 n 2Z 1c (33) con R 2c X 2c = R 1c n 2 = X 1c n 2 (34a) (34b) L impedenza Z 2c è detta impedenza di cortocircuito al secondario. Vale quindi lo schema equivalente in cortocircuito di Fig. 17 (destra). Dunque, nel funzionamento in cortocircuito il comportamento dipende esclusivamente dagli avvolgimenti che determinano Z 1c e Z 2c ; in particolare la potenza assorbita in cortocircuito dal trasformatore corrisponde alle perdite nel rame. Inoltre, è immediato verificare che le correnti alle porte soddisfano le relazioni I 1cc = I 12cc = 1 n I 2cc n = I 2cc I 1cc (35) Quindi il trasformatore in cortocircuito si comporta come un trasformatore ideale per quanto riguarda le correnti, ma non per le tensioni, essendo U 1 0 con U 2 = 0. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 34 di 61

Tensioni in cortocircuito Si definisce tensione primaria di cortocircuito U 1c il valore efficace della tensione primaria che, con il secondario in cortocircuito, comporta una corrente primaria di valore efficace pari alla corrente nominale I 1n ; vale dunque la relazione: U 1c = Z 1c I 1n (36) Analogamente, si definisce tensione secondaria di cortocircuito U 2c il valore efficace della tensione secondaria che, con il primario in cortocircuito, comporta una corrente secondaria di valore efficace pari alla corrente nominale I 2n ; vale dunque la relazione: U 2c = Z 2c I 2n (37) Dalle relazioni I 2n = ni 1n e Z 1c = n 2 Z 2c si deduce che U 1c = nu 2c. Si definiscono anche le tensioni di cortocircuito percentuali rapportando le tensioni U 1c e U 2c alle tensioni nominali U 1n e U 2n. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 35 di 61

u 1c % = U 1c 100 = Z 1cI 1n 100 = Z 1cP 1n 100 (38a) U 1n U 1n U1n 2 u 2c % = U 2c 100 = Z 2cI 2n 100 = Z 2cP 2n U 2n U 2n U2n 2 100 (38b) Da queste relazioni si deduce facilmente che esse coincidono u 1c % = u 2c % = u cc %. Si definiscono anche la potenza perduta nel rame in cortocircuito: In termini percentuali si ottiene: P Cu,1c = R 1c I 2 1n P Cu,2c = R 2c I 2 2n (39) P Cu,cc % = R 1cI1n 2 100 = R 1cP 1n 100 (40) P 1n U1n 2 E immediato verificare che le perdite nel rame percentuali valutate con riferimento all avvolgimento primario o secondario sono uguali. R 1c = P Cu,cc%U 2 1n P 1n 1 100 Z 1c = u 1c%U 2 1n P 1n 1 100 X 1c = Z 2 1c R2 1c (41) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 36 di 61

Triangolo di cortocircuito Quando le correnti hanno valori efficaci uguali a quelli nominali, la tensione sull impedenza Z 2c vale: U 2c = Z 2c I 2n = (R 2c +jx 2c )I 2n (42) Il corrispondente diagramma fasoriale è illustrato in Fig. 18. Figura 18: Triangolo di corto circuito. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 37 di 61

Si definiscono l angolo di cortocircuito ed il fattore di potenza in cortocircuito come: φ cc = arctan X 2c R 2c cosφ cc = R 2c Z 2c (43) Quando sono noti u cc %, cosφ cc ed i valori nominali, si possono ricavare i parametri del triangolo di cortocircuito: U 2n U 2 2n Z 2c = U 2c = u cc% = u cc% I 2n 100 I 2n 100 P 2n (44a) R 2c = Z 2c cosφ cc (44b) X 2c = Z 2c sinφ cc (44c) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 38 di 61

Funzionamento a carico Il funzionamento a carico si ottiene quando alla porta del secondario è connesso un carico, in modo che la tensione e la corrente del secondario siano non nulle. Anche in questo caso è possibile applicare il trasferimento di impedenza, come illustrato in Fig. 16. Inoltre, a carico, la tensione primaria U 1 e la f.e.m. primaria E 1 sono quasi uguali; così pure la corrente primaria I 1 e la corrente secondaria riportata al primario I 12 sono quasi uguali (la corrente I 10 è molto piccola rispetto alla I 12 ). Non si commetteun grosso errore se si sposta l impedenza Z 10 a monte dell impedenza Z 1 = R 1 +jx 1, ponendola in parallelo alla porta primaria. In questo caso si ha che: l impedenza Z 10 risulta sottoposta alla tensione U 1 = E 1 ; l impedenza Z 1 è attraversata dalla corrente I 12 = I 1 ; le impedenze Z 1 e Z 12 risultano in serie e possono essere sostituite dalla loro somma, ovvero dall impedenza di cortocircuito. Lo schema equivalente risulta quello illustrato in Fig. 19 (sinistra). 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 39 di 61

Figura 19: Schema equivalente del trasformatore monofase riportato al primario. Il diagramma fasoriale (Fig. 19) può essere ottenuto tracciando le grandezze nel seguente ordine: la tensione U 2 e la corrente I 2 al secondario, che si assumono note; la f.e.m. del trasformatore ideale secondaria E 2 = U 2 La f.e.m. del trasformatore ideale primaria E 1 = ne 2; la corrente secondaria riportata al primario I 12 = I 2 /n; 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 40 di 61

la tensione primaria U 1 = E 1 +Z 1c I 12 = E 1 +R 1c I 12 +jx 1c I 12 ; la corrente a vuoto I 10 = U 1 /Z 10 ; la corrente primaria I 1 = I 10 +I 12. Se latensioneprimariau 1 èimposta, l impedenzaavuotoz 10 èininfluente su tensione e corrente al secondario e quindi può essere omessa al fine della determinazione di queste ultime, ottenendo uno schema ulteriormente semplificato, nel quale la corrente I 10 è trascurata e rimane presente alla porta primaria solo la corrente I 12. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 41 di 61

Il trasferimento di impedenza permette di sostituire l impedenza Z 1c posta al primario del trasformatore ideale con l impedenza di cortocircuito al secondario Z 2c = Z 1c /n 2 pervenendo allo schema equivalente semplificato di Fig. 20 in cui è illustrato anche il corrispondente diagramma fasoriale. Figura 20: Schema equivalente del trasformatore monofase riportato al secondario. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 42 di 61

Essendo la tensione primaria U 1 imposta, anche la f.e.m. E 2 = E 1/n = U 1 /n è imposta, come se essa fosse impressa da un generatore ideale di tensione. Pertanto, quando non interessano le grandezze al primario del trasformatore, può essere considerato lo schema equivalente semplificato di Fig. 21. Figura 21: Schema equivalente del trasformatore monofase con tensione e impedenza riportate al secondario. Quando la corrente secondaria è nulla, tale è pure la caduta di tensione su Z 2c e pertanto la tensione secondaria a vuoto U 20 coincide con la f.e.m. E 2; si ha quindi: U 20 = E 2 = U 1 n (45) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 43 di 61

Caduta di tensione a carico Spesso interessa conoscere la caduta di tensione al secondario U 2 definita come differenza tra i valori efficaci che la tensione secondaria presenta a vuoto e a carico U 2 = U 20 U 2. Una valutazione approssimata può essere dedotta dal diagramma fasoriale di Fig. 22. Figura 22: Caduta di tensione nel trasformatore monofase. Procedendo come si è fatto nel calcolo della caduta di tensione su una linea, si ottiene: U 2 U 20 U 2 = R 2c I 2 cosφ+x 2c I 2 sinφ (46) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 44 di 61

Icarichiohmico-induttivieohmico-capacitivideterminanovariazioniditensione U 2 > 0 e U 2 < 0, rispettivamente. La caduta di tensione spesso è espressa in valore percentuale della tensione secondaria, piuttosto che in valore assoluto: u 2 % U 2 U 20 100 = R 2cI 2 cosφ+x 2c I 2 sinφ U 20 100 (47) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 45 di 61

Perdite e rendimento I trasformatori presentano essenzialmente due tipi di perdite: perdite nel rame (P Cu ) che si manifestano negli avvolgimenti per effetto Joule e dipendono dalla condizione di carico; sono esprimibili come P Cu = R 1c I1 2 = R 2c I2 2 (48) perdite nel ferro (P f ) che si manifestano nel nucleo ferromagnetico per isteresi e correnti parassite e dipendono, praticamente, dalla sola tensione di alimentazione; con riferimento allo schema di Fig. 19 sono esprimibili come: P f = U2 1 R 10 (49) Per una data potenza attiva P u erogata al secondario (ed assorbita dal carico), il trasformatore assorbe al primario una potenza P a > P u con rendimento: η P u P a = P u P u +P cu +P f (50) 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 46 di 61

Per un determinato trasformatore il rendimento è funzione della condizione di carico, ossia della corrente secondaria I 2 e dello sfasamento φ tra tensione e corrente secondarie. A parità di I 2, cresce al crescere del fattore di potenza cosφ; a parità di cosφ, cresce al crescere di I 2 fino ad un determinato valore minore della corrente nominale, oltre il quale diminuisce lentamente. Rendimento nominale: è quello che si presenta alla potenza nominale, con fattore di potenza unitario. Esso è tanto più elevato quanto maggiore è la potenza nominale. Figura 23: Rendimento del trasformatore monofase. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 47 di 61

Dati di targa Figura 24: Dati di targa del trasformatore monofase. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 48 di 61

Figura 25: Simboli impiantistici del trasformatore monofase. O.N.A.N: tipo di raffreddamento, Olio Naturale, Aria Naturale 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 49 di 61

Il trasformatore trifase Figura 26: Trasformatori trifase. Il trasformatore trifase dispone di una terna di avvolgimenti primari, una terna di avvolgimenti secondari e di un nucleo ferromagnetico. Avvolgimenti, isolamenti, nucleo e sistemi di raffreddamento hanno caratteristiche analoghe a quelle dei trasformatori monofasi; gli avvolgimenti primari e secondari sono disposti a coppie lungo le colonne del nucleo in modo da garantire mutuo accoppiamento elevato. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 50 di 61

Nuclei dei trasformatori trifasi Nucleo a colonne: soluzione semplice ed economica. Figura 27: Nucleo a colonne dei trasformatori trifasi. Φ A +Φ B +Φ C = 0 (51) Se le tensioni degli avvolgimenti costituiscono terne simmetriche, anche i flussi lo sono necessariamente e la (51) non comporta alcuna limitazione al normale funzionamento del trasformatore. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 51 di 61

Nuclei dei trasformatori trifasi Nucleo a mantello o corazzato. Figura 28: Nucleo a mantello dei trasformatori trifasi. I flussi nelle colonne non sono tra loro vincolati dalla relazione (51) ed il funzionamento magnetico del trasformatore trifase è sostanzialmente quello di tre trasformatori monofasi. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 52 di 61

Collegamento degli avvolgimenti Indipendentemente dal tipo di nucleo, nei tre avvolgimenti primari A,B e C e nei tre secondari a,b e c, vengono indotte due terne di f.e.m. che in condizioni di normale funzionamento sono simmetriche Le f.e.m. dei due avvolgimenti primario e secondario posti sulla stessa colonna sono tra loro in fase. Figura 29: Forze elettromotrici indotte sugli avvolgimenti primario e secondario. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 53 di 61

Collegamento degli avvolgimenti I tre avvolgimenti primari (secondari) possono essere collegati tra loro in diversi modi, per realizzare le tre fasi interne primarie (secondarie). Si possono presentare i seguenti collegamenti: a stella, in cui i morsetti con riferimento dei tre avvolgimenti sono connessi in un unico nodo; tale collegamento è indicato con i simboli Y per i primari e y per i secondari; a triangolo, in cui il morsetto con riferimento di ogni avvolgimento è connesso con quello con riferimento + dell avvolgimento consecutivo; tale collegamento è indicato con i simboli D per i primari e d per i secondari; a zig-zag, in cui ogni avvolgimentoèsuddiviso in due parti e ciascunafaseinterna è ottenuta connettendo in serie rovesciata due parti di due avvolgimenti consecutivi; le serie così ottenute sono collegate a stella; tale collegamento è indicato con Z per i primari e z per i secondari. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 54 di 61

Collegamento degli avvolgimenti Figura 30: Collegamenti dei trasformatori trifasi. In ogni tipo di collegamento i due morsetti di ciascun avvolgimento possono essere scambiati, rovesciando così le f.e.m. della corrispondente terna. I tre avvolgimenti primari possono presentare uno qualsiasi dei collegamenti, indipendentemente da quello utilizzato per i tre avvolgimenti secondari. Alimentando i primari con una terna simmetrica di tensioni concatenate si ottiene una terna di tensioni concatenate secondarie, in generale sfasate rispetto alle corrispondenti primarie. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 55 di 61

Collegamento degli avvolgimenti Il trasformatore trifase risulta caratterizzato, oltre che dai parametri già illustrati per i trasformatori monofasi, anche dallo spostamento angolare, che è lo sfasamento in ritardo della tensione concatenata secondaria rispetto alla corrispondente tensione concatenata primaria (l angolo di rotazione antioraria con cui U ab si sovrappone a U AB. Gli spostamenti angolari che si ottengono dalle diverse combinazioni di collegamenti primari e secondari sono sempre multipli di 30 o. Lo spostamento angolare viene identificato dal gruppo di collegamento, che è il numero ottenuto dividendo lo spostamento angolare per 30 o. Di fatto, il gruppo di collegamento corrisponde all ora indicata sul quadrante di un orologio da U ab quando U AB è posta sulle 12. Con i vari collegamenti si possono ottenere tutti i gruppi compresi tra 0 e 11; tra essi vengono tuttavia utilizzati quasi esclusivamente trasformatori appartenenti ai gruppi 0, 5, 6 e 11. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 56 di 61

Collegamento degli avvolgimenti Collegamento stella-stella Figura 31: Collegamento stella-stella dei trasformatori trifasi. Nel collegamento stella-stella di Fig. 31 le tensioni concatenate primarie e secondarie corrispondenti risultano in fase. Il trasformatore appartiene al gruppo 0 (Y y0). Invertendo le connessioni dei secondari, le loro tensioni concatenate risultano in opposizione di fase rispetto alle corrispondenti tensioni concatenate primarie. Il trasformatore appartiene al gruppo 6 (Y y6). 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 57 di 61

Schema equivalente del trasformatore trifase Un trasformatore trifase può essere rappresentato mediante uno schema costituito da tre trasformatori monofase, le tre porte primarie e secondarie dei quali sono connesse a stella indipendentemente dall effettivo collegamento degli avvolgimenti primari e secondari del trasformatore. Figura 32: Schema equivalente del trasformatore trifase. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 58 di 61

Schema equivalente del trasformatore trifase Figura 33: Dati di targa del trasformatore trifase. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 59 di 61

Schema equivalente del trasformatore trifase Figura 34: Simboli impiantistici del trasformatore trifase. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 60 di 61

Il trasformatore Riferimenti bibliografici [1] M. Guarnieri, A. Stella. Principi ed Applicazioni di Elettrotecnica, Volume II. Edizioni Progetto Padova, 1998. [2] S. Cristina. Appunti di Elettrotecnica, Volume II. Edizioni Progetto Leonardo, Bologna, 1998. 9 maggio 2011, Università degli Studi dell Aquila Slide 61 di 61