LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı + u y j + u z k, v = vx ı + v y j +v z k e w = wx ı +w y j +w z k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo u, v w = u x v y w y v z w z u y v x w x v z w z + u z v x w x v y w y = u x u y u z v x v y v z w x w y w z. Siano ora u, v, w V 3 (O). Chiaramente se v w allora u, v w = 0: in tal caso u, v, w sono ovviamente complanari. Supponiamo ora che v w, sicché v w 0. Ricordando la Proposizione 8.2.4 e la Definizione 8.1.7 deduciamo che u, v w = 0 se e solo se u è perpendicolare a v w, cioè se e solo se u, v e w sono complanari. Osservazione 9.1.1. Il prodotto misto, o meglio il suo modulo, è legato alla nozione di volume. Infatti si considerino quattro punti non complanari A, B, C, D S 3 e si consideri il tetraedro avente tali punti come vertici (si veda la Figura 9.1.1.1). z D A C D-A B O B-A C-A y x Figura 9.1.1.1 1 Typeset by AMS-TEX
2 9.1. PRODOTTO MISTO Allora è noto dalla geometria elementare che il suo volume è Volume(ABCD) = 1 3 Area(ABC)h ove h è l altezza relativa al vertice D. D altra parte che Area(ABC) = 1 (B A) (C A) 2 (si veda l Esempio 8.2.6) e h non è altro che la lunghezza della proiezione del vettore D A lungo la direzione perpendicolare al triangolo ABC, che è la direzione del vettore (B A) (C A): quindi h = D A cos ϕ ove ϕ è l angolo formato dai due vettori D A e (B A) (C A). In particolare Volume(ABCD) = 1 3 1 D A (B A) (C A) cos ϕ = 2 = 1 D A, (B A) (C A). 6 Per illustrare quanto visto sopra con un esempio numerico si considerino i punti A = (1, 1, 1), B = (2, 1, 3), C = ( 1, 0, 1), D = (3, 3, 3). Allora B A = ı 2 j + 2 k, C A = 2 ı j, D A = 2 ı + 2 j + 2 k : poiché 1 2 2 2 1 0 R 3 R 3 R 1 2 2 2 1 2 2 2 1 0 1 4 0 R 3 R 3 +4R 2 1 2 2 2 1 0, 7 0 0 segue che i quattro punti non sono complanari, dunque definiscono un tetraedro e si ha Volume(ABCD) = 1 D A, (B A) (C A) = 6 = 1 2 2 2 6 1 2 2 2 1 0 = 1 1 2 2 6 2 1 0 7 0 0 = 1 6 14 = 7 3. 9.2. Equazioni parametriche di rette. In questo paragrafo iniziamo ad applicare quanto spiegato sui vettori geometrici per dare una descrizione delle rette nel piano e nello spazio. Sia r S 3 una retta. Tale retta è sempre parallela ad un unica retta passante per l origine r e rimane completamente individuata da essa e da un punto qualsiasi R r. Si noti che dare r equivale a dare un qualsiasi vettore v 0 avente r come direzione (si veda Figura 9.2.1).
LEZIONE 9 3 y r R vr r' O x Figura 9.2.1 Sia P r. Allora, per definizione, P R = OP OR (si veda la lezione 6 per la definizione di P R): sommando ad ambo i membri OR segue che OP = OR + (P R). Poiché P R è parallelo al segmento P R, dunque a r, ha direzione r, quindi è parallelo al vettore v 0 menzionato sopra come mostrato in Figura 9.2.2. y P r R vr P-R r' O x Figura 9.2.2 Segue allora dalla Proposizione 7.3.9, l esistenza di un numero reale, che chiameremo t tale che P R = t v. Mettendo assieme quanto visto segue che P S r giace su r se e solo se (9.2.3) OP = OR + t v, per un qualche t R.
4 9.2. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI RETTE Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Allora R = (x 0, y 0, z 0 ), sicché OP = x 0 ı +y 0 j +z 0 k, e v = l ı +m j +n k : indicando con (x, y, z) le coordinate del punto generico P S 3 si ha OP = x ı + y j + z k, dunque che l Equazione (9.2.3) diviene x ı + y j + z k = x 0 ı + y 0 j + z 0 k + t(l ı + m j + n k ), o, eguagliando le componenti dei due vettori lungo gli assi coordinati, x = x 0 + lt (9.2.4) y = y 0 + mt z = z 0 + nt. t R Le Equazioni 9.2.4 vengono spesso chiamate equazioni parametriche della retta r passante per R = (x 0, y 0, z 0 ) e parallela al vettore v = l ı + m j + n k. Esempio 9.2.5. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O ı j k. Siano A = (1, 2, 3) S 3 e v = 2 ı 3 k V 3 (O). Allora delle equazioni parametriche della retta r di S 3 parallela al vettore v e passante per A sono date da x = 1 + 2t (9.2.5.1) y = 2 z = 3 3t. Ci chiediamo quale fra i punti B = (3, 2, 0) e C = ( 1, 2, 1) di S 3 appartenga alla retta r. Per rispondere a questa domanda bisogna capire se esistono valori di t R per cui le coordinate di B e C possano essere scritte nella forma data dall Equazione (9.2.5.1), ovvero se e quale fra i sistemi 3 = 1 + 2t 2 = 2 0 = 3 3t, 1 = 1 + 2t 2 = 2 1 = 3 3t. abbia soluzione. Consideriamo il primo dei due sistemi. Dalla prima equazione si ricava t = 1, valore che sostituito nelle equazioni seguenti le soddisfa identicamente: possiamo quindi affermare che B R. Consideriamo ora il secondo dei due sistemi. Dalla prima equazione si ricava t = 1, valore che sostituito nella terza equazione dà l dentità numerica 1 = 6 che, ovviamente, non è verificaa: concludiamo che C R. Viceversa supponiamo di avere fissato in S 3 un sistema di riferimento O ı j k. Dati numeri reali fissati x 0, y 0, z 0, l, m, n, si consideri il luogo r dei punti P = (x, y, z) dello spazio le cui coordinate sono della forma x = x 0 + lt y = y 0 + mt z = z 0 + nt
LEZIONE 9 5 al variare di t R. Allora, preso t = 0, segue che R = (x 0, y 0, z 0 ) r. Se poi l, m, n non sono tutti nulli esistono in R infiniti altri punti P tali che x ı + y j + z k = x 0 ı + y 0 j + z 0 k + t(l ı + m j + n k ), ovvero tali che P R = OR + t v ove v = l ı + m j + n k. Tali punti descrivono quindi la retta passante per il punto R sopra definito e parallela al vettore non nullo v. Concludiamo che, fissato in S 3 un sistema di riferimento O ı j k, ogni retta può essere descritta mediante un sistema di equazioni della forma (9.2.4) con l, m, n non simultanea-mente nulli e, viceversa, ogni sistema di equazioni della forma (9.2.4) con l, m, n non simultaneamente nulli rappresenta una retta. Si noti che data una retta r rappresentata tramite un sistema di equazioni della forma (9.2.4) si è subito in grado di determinarne un punto (basta scegliere un valore di t R, per esempio t = 0) e un vettore ad esso parallela (basta considerare il vettore definito dai coefficienti di t nell equazione, cioè l ı + m j + n k ). In particolare, tramite le loro equazioni parametriche, è facile stabilire se due rette sono parallele oppure no. Esempio 9.2.6. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O ı j k e si considerino la retta r dell Esempio 9.2.5 e la retta s di equazioni parametriche x = 2 2t y = 0 z = 3t. Allora r ed r sono parallele: infatti r è parallela al vettore v = 2 ı 3 k ed s a w = 2 ı +3 k, che sono paralleli fra loro. Si noti che di punti su una retta ne esistono infiniti, così come sono infiniti i vettori ad essa paralleli. Questa infinità di possibili scelte ci permette di affermare che una stessa retta può essere rappresentata da sistemi di equazioni parametriche anche molto diversi: per tale motivo non si dovrebbe mai scrivere le equazioni parametriche di r sono..., bensì delle equazioni parametriche di r sono.... Esempio 9.2.7. In S 3 sia fissato un sistema di riferimento O ı j k e si consideri la retta s di equazioni parametriche x = 3 4t y = 2 z = 6t. Tale retta passa per il punto di coordinate B = (3, 2, 0) ed è parallela al vettore w = 4 ı + 6 k. Ricordando l Esempio 9.2.5 segue che s ha in comune con la retta r di Equazioni (9.2.5.1) il punto B ed è ad essa parallela, perché w = 4 ı + 6 k = 2(2 ı 3 k ) = 2 v, quindi essendo rette parallele ed incidenti devono coincidere, cioè s = r: questa uguaglianza
6 9.2. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI RETTE non è immediatamente deducibile dall analisi dei sistemi di equazioni parametriche che definiscono r ed s. Più in generale, dal confronto di sistemi di equazioni parametriche di due rette, si può dedurre la loro posizione relativa. Ricordo che due rette r, s S 3 possono essere coincidenti, incidenti in un unico punto, parallele distinte (in questi tre casi le rette sono contenute in un piano e vengono perciò dette complanari) oppure non essere nè parallele nè incidenti: in quest ultimo caso si parla di rette sghembe. Osservazione 9.2.8. Le Equazioni (9.2.4) della retta r possono essere pensate come leggi orarie del moto di un punto P lungo la retta r con posizione iniziale R = (x 0, y 0, z 0 ) e velocità costante v = l ı + m j + n k. Questo punto di vista può essere molto utile nell affrontare problemi di incidenza fra rette date tramite equazioni parametriche. Per esempio si consideri la retta r dell Esempio 9.2.5 e la retta s di equazioni parametriche x = t 1 (9.2.8.1) y = 2 t z = 6 + t. La retta s è parallela al vettore w = ı j + k : poiché r è parallela a v = 2 ı 3 j, deduciamo che r s. Ci domandiamo se r ed s siano incidenti. Un primo approccio che può venire in mente è il seguente: conosciamo le coordinate del punto generico su r e su s in funzione di un parametro, quindi basta eguagliare tali coordinate e vedere se il sistema così ottenuto ha soluzione o no: se sì allora r s, se no r s =. Bisogna fare però attenzione a come si traduce praticamente tale approccio. Infatti se semplicemente eguagliamo le Equazioni (9.2.5.1) alle Equazioni (9.2.8.1) otteniamo 1 + 2t = t 1 2 = 2 t 3 3t = 6 + t. che, come è facile verificare, non ha soluzione, dunque sembrerebbe che r s =, cioè sembrerebbe di essere di fronte a una coppia di rette sghembe. Invece si noti che ( 1, 2, 6) r s: infatti si ottiene per t = 1 dalle Equazioni (9.2.5.1) e per t = 0 dalle Equazioni (9.2.8.1). Dove sta l errore? L errore sta nel fatto che noi ci siamo domandati non se i punti in moto sulle due rette r ed s potranno mai passare per uno stesso punto, ma se ciò accade esattamente nello stesso istante! Quindi il modo per non sbagliare è quello di misurare i tempi in modo diverso sulle due rette utilizzando, ad esempio, il tempo t su r e t su s: in questo modo il problema si traduce nel sistema 1 + 2t = t 1 2 = 2 t 3 3t = 6 + t.
LEZIONE 9 7 Dalla seconda equazione otteniamo t = 0: sostituendo nelle rimanenti ottenniamo t = 1. Come visto sopra i valori t = 0 su s e t = 1 su r danno lo stesso punto ( 1, 2, 6). Se invece consideriamo la retta u di equazioni parametriche x = t y = 2 t z = 6 + t ancora r u e, inoltre, è facile verificare che r u =, poiché il sistema 1 + 2t = t 2 = 2 t 3 3t = 6 + t non è compatibile: concludiamo che r ed u sono sghembe. È noto dalla geometria euclidea che un altro modo per descrivere una retta r è quello di dare due punti distinti A e B che le appartengono. In tal caso ci si può ricondurre al caso precedente. Infatti un punto, per esempio A, l abbiamo: per costruire un vettore parallelo a r basta considerare B A (si veda la Figura 9.2.9). y B r A B-A O x Figura 9.2.9 Se fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3, A = (x A, y A, z A ), B = (x B, y B, z B ) allora B A = (x B x A ) ı + (y B y A ) j + (z B z A ) k, sicché sostituendo nell Equazione (9.2.4) otteniamo le equazioni parametriche della retta r passante per A = (x A, y A, z A ) e B = (x B, y B, z B ) x = x A + (x B x A )t (9.2.10) y = y A + (y B y A )t z = z A + (z B z A )t
8 9.2. EQUAZIONI PARAMETRICHE DI RETTE o anche x = (1 t)x A + tx B y = (1 t)y A + ty B z = (1 t)z A + tz B (talvolta si scrive sinteticamente P = (1 t)a + tb). Si noti che P = (x, y, z) AB se e solo se x = (1 t)x A + tx B y = (1 t)y A + ty B z = (1 t)z A + tz B, t [0, 1], o, equivalentemente, se x = λx A + µx B y = λy A + µy B z = λz A + µz B, λ, µ 0, λ + µ = 1. Per esempio il punto medio M di AB ha coordinate corrispondenti a t = 1/2, cioè ( xa + x B M = 2, y A + y B, z ) A + z B. 2 2 Esempio 9.2.11. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Siano A = (1, 2, 3), B = (2, 1, 1): chiaramente A B, quindi esiste unica una retta r contenente A e B le cui equazioni parametriche si ottengono utilizzando la Formula (9.2.10) x = 1 + t y = 2 t z = 3 + 4t.