IL TUBO DI PITOT Henri Pitot (695-77) realizzò uno strumento per la misura della velocità in un canale, formato da due tubi: uno era semplicemente un tubo rettilineo aperto ad una estremità ed immerso nell acqua in movimento (in senso trasversale al moto, per la misura della pressione statica), mentre il secondo era un tubo piegato ad angolo retto con l estremità aperta allineata al flusso, ma in senso contrario ad esso, al fine di misurare la pressione totale del liquido. Pitot associò per la prima volta la differenza di pressione misurata nei due tubi (sotto forma di dislivello di liquido in un tubo ad U che li univa) alla velocità del fluido in moto.
IL TUBO DI PITOT Facendo riferimento alla figura, una particella di fluido localizzata in posizione incontra l estremità aperta del tubo ed entra all interno del condotto fino a giungere al contenitore B. Seguitando a far fluire il fluido, ad un certo punto, tutto il canale ed il contenitore sarà pieno di fluido e quindi ogni particella presente all imbocco verrà bloccata; in questo modo tutte le particelle che transitano sulla linea di flusso che collega a verranno rallentate fino ad avere velocità nulla in. L ipotesi importante che viene fatta a questo punto è che il processo di rallentamento sia isotermo ed isoentropico e che il fluido sia incomprimibile. Il punto caratterizzato da velocità nulla viene chiamato PUNTO DI RISTAGNO. Per le ipotesi sulla trasformazione subita da a è possibile applicare l equazione di Bernoulli sulla linea di flusso percorsa.
IL TUBO DI PITOT cos. p + ρv = t p + ρv = p : pressione di ristagno Per conoscere la velocità è necessario quindi conoscere la pressione statica nel punto : è per questo motivo che si utilizza il secondo condotto nell apparato di Pitot, che essendo posto ortogonalmente alla direzione del flusso non risente del contributo cinematico della velocità ma solo del contributo statico della pressione.
IL TUBO DI PITOT Nel campo delle misure fluidodinamiche si fa una distinzione fra: il tubo di Pitot, che è solo il ramo ad angolo retto atto a misurare la pressione di ristagno del fluido Il tubo di Pitot STATICO, (Pitot Static Tube) che invece è fornito di ambedue le prese di pressione (statica e di ristagno) e che permette una misura diretta della differenza fra le due pressioni Mediante il tubo di Pitot Statico è possibile misurare la velocità di un fluido incomprimibile (Mach<0.3) mediante l applicazione della equazione di Bernoulli, ma per valori del numero di Mach compresi fra 0.3 e.0 (flusso subsonico) non è possibile trascurare la comprimibiltà del fluido: questo effetto modifica il modo con cui da un Pitot Static Tube viene dedotta la velocità. V = ( p p ) rist ρ
Effetto della comprimibilità Considerando un fluido non viscoso, in assenza di forze di massa, l equazione di Eulero assume la forma finale seguente: dp = ρ V dv Ipotizzando ancora una volta la trasformazione da a come adiabatica reversibile è possibile ottenere, dal primo principio della termodinamica: q= dh vdp= Sostituendovi la relazione di Eulero e ricordando che v =/ρ si ha: ( ) dh + VdV = dh + d V = h + V = 0 0 Cost. L equazione vale su una linea di flusso; equivale a scrivere: V ct+ P 0
Effetto della comprimibilità Applicando la formula appena vista alla trasformazione da a si può scrivere: ct V ct P Ora, poiché + = P da cui: = + T cpt γ R c P = c = γ RT γ T γ V γ = + = + M T c T e (vel. del suono) si ottiene: Con M : numero di Mach nel punto. Come accennato in precedenza il processo da a è stato ipotizzato isoentropico. Per questo è possibile esprimere il rapporto tra le temperature in funzione del rapporto tra le pressioni: γ / γ p p T = T ( ) V
Effetto della comprimibilità Sostituendo il rapporto delle temperature ed esplicitando la variabile velocità si ha: V γ γ c p p = + γ p Poiché un tubo di Pitot statico è in grado di misurare solo (p -p ) non può essere utilizzato da solo per la determinazione della velocità nel punto ; infatti dalla formula sopra si nota che è necessario conoscere anche la pressione statica in. Per misure di velocità in flussi comprimibili è perciò necessario dotarsi di due tubi di Pitot: uno di tipo statico ed uno standard. Un confronto utile da fare è verificare quali differenze sussistano nell equazione di Bernoulli qualora venisse estesa a flussi comprimibili. Nel Caso di fluido incomprimibile si ha: p + ρv = p
Effetto della comprimibilità Nel Caso di fluido Comprimibile si ottiene dalle precedenti: p ( γ ) γ / γ ρv + = p γ p Questa, riscritta riprendendo la definizione di velocità del suono e numero di Mach conduce alla seguente: ( γ ) γ / γ + = p M p Espandendo la relazione in serie binomiale si ottiene: 4 M M p = p+ ρv + + +... 4 40
Effetto della comprimibilità Mediante la relazione appena ricavata è più facile identificare la differenza fra l espressione della pressione di ristagno per un fluido incomprimibile e comprimibile; per un numero di Mach pari a circa 0., che corrisponde ad una velocità dell aria di circa 60 m/s ad una velocità del suono di circa 340 m/s, il secondo termine dell espansione in serie diventa uguale a 0.0 volte la pressione cinematica nel punto e gli altri termini sono trascurabili. In altre parole per velocità inferiori a 60 m/s il valore di p dato dall espansione in serie differisce da quello di un flusso incomprimibile di una quantità minore dell % della pressione cinematica. Da un punto di vista dell errore introdotto sul calcolo della velocità abbiamo che il rapporto dei valori di velocità, quello considerando il flusso incomprimibile con quello comprimibile, può essere ottenuto dall espressione seguente: ( ) V, incomp p p ρ 4 = = + M 4 4 + M 40 +... V, comp ( p p) ( ρ )( + M 4+ M 40 +...)
Effetto della comprimibilità Considerando come in precedenza un numero di Mach pari a 0. si ottiene: V, incomp 4 V, comp = + 0. 4 + 0. 40 +....005 Questo significa un errore pari a circa lo 0.5% sul valore della velocità. Per velocità dell aria maggiori di 60 m/s è necessario usare l equazione per flussi comprimibili eccetto nei casi in cui il tubo di Pitot può causare la formazione di onde d urto (ossia a velocità Transoniche e Supersoniche)
Misure tramite Tubo di Pitot Statico Stelo Raccordo Prese Statiche Naso Presa di Ristagno In realtà si assume che un tubo di Pitot Statico misuri la pressione dinamica secondo la formula a lato: Costruttivamente un tubo di Pitot è realizzato da due tubi concentrici, uno interno che termina nel punto di ristagno ed uno esterno su cui vengono ricavate le prese di pressione statica. In questo modo viene misurata la differenza fra la Pressione di Ristagno (o Totale) e la pressione statica all interno del tubo esterno. Per questo motivo, poiché il tubo ha dimensioni finite e le prese di pressione sono poste in posizioni diverse si avrà che la pressione cinematica misurata non risulta esattamente pari a quella reale. p K ρv =
Effetto del Naso e dello Stelo Il fattore K dipende da molti fattori, quali la posizione delle prese statiche, la forma del naso e del raccordo, etc. La posizione delle prese statiche lungo il tubo è importante in quanto esse devono essere poste in una regione in cui la pressione statica è pari a quella del flusso a monte del Pitot; però sia la presenza del naso che quella dello stelo alterano il profilo di velocità e di pressione in prossimità del tubo e solo mediante una indagine sperimentale è possibile individuare la posizione ottimale delle prese statiche. La presenza del Naso porta ad una accelerazione del fluido e di conseguenza (caso incomprimibile) riduce la sua pressione statica, che in prossimità delle prese statiche sarà quindi minore di quella a monte del tubo.
Effetto del Naso e dello Stelo Viceversa la presenza dello Stelo porta ad un riaumento delle pressione a monte di esso, a causa del fatto che si comporta come un ostacolo al flusso e di conseguenza ne diminuisce la velocità riaumentando la pressione Poiché i due effetti sono contrapposti è prevedibile che esista una posizione delle prese che annulla l errore risultante dai due contributi. In tale posizione vengono effettuati i fori per le prese statiche. N.P.L. : National Physical Laboratories Standard emisferical nose pitot static tube Per questo motivo esiste una standardizzazione sulla costruzione dei tubi di Pitot statici, che impone la posizione delle prese statiche in funzione della forma del naso, del raccordo e del diametro del tubo.
Pitot a naso rastremato Nel 9 la N.P.L. propose un tubo a naso rastremato; tale sonda si dimostrò migliore di quella a naso emisferico ma di contro presentava una maggiore sensibilità ai danneggiamenti. Il confronto fra i due Pitot statici è basato sul valore di K al variare del numero di Reynolds calcolato con il diametro del tubo. N.P.L. standard tapered nose Pitot static tube Rastremato Re tubo 330 655 985 30 640 970 95 65 90 380 d=3.8 mm K.00 0.989 0.995 0.99 0.99 0.99 0.995 0.998 0.999.000 Emisferico Re tubo 335 670 000 335 670 005 340 675 3005 3340 d=3.9 mm K.055.006.00 0.996 0.99 0.99 0.99 0.996 0.999.00
Pitot a naso ellissoidale Legando K al Reynolds ci si è svincolati dal diametro del tubo e dal tipo di fluido utilizzato: due Pitot statici dello stesso tipo ma con di diametri diversi avranno lo stesso K se il Reynolds è uguale (in misure in aria, ipotizzando che non vi siano grosse variazioni di temperatura e pressione, K dipenderà solo dal prodotto v D ) Successivamente la N.P.L. adottò un tipo di tubo a naso ellissoidale, notando che in misure in aria la sonda non presentava dipendenze dai fattori di scala (ossia K rimaneva invariato) per un range di velocità compreso fra 3 e 60 m/s. Per una sonda avente un diametro esterno di 8 mm ciò corrisponde ad un numero di Reynolds di tubo compreso fra 6500 e 39000.
Effetto del raccordo Si osservò inoltre sperimentalmente che qualora lo stelo presenti un raccordo circolare anziché ad angolo retto, il valore di K varia in modo diverso. Dall analisi dei valori di K delle tabelle, si può dedurre che qualora sia accettabile un errore sulla stima della velocità dello 0.5%, e nell ipotesi che si utilizzi un Pitot statico come quelli visti finora, si può assumere K= per velocità comprese fra, e 60 m/s. Al di sotto di. l errore raggiunge l %. Num diametri (A) K raccordo ad angolo K raccordo circolare 39.00.000 8 0 7 4 0 9 8.00.000 0.999 0.998 0.997 0.996 0.995 0.994.000.000.000 0.998 0.9975 0.9975
Misure in flussi turbolenti Finora si è ipotizzato un flusso a basso livello di turbolenza. In realtà questo incide sulla misura effettuata tramite il tubo di Pitot in quanto le componenti di velocità turbolente incidono sulla pressione cinematica del fluido. p = p+ ρ V + V Per questo motivo la pressione di ( p ) rist = p+ ρv + ρ Vx + Vy + Vz ristagno subirà la seguente correzione: La presa statica invece leggerà una pressione pari a: ( ) statica y z Qualora la turbolenza sia distribuita in modo isotropo si può assumere che: - x - : direzione del flusso medio V = V = V x y z Combinando le relazioni precedenti è possibile determinare la lettura di un Pitot Statico in questo modo: V = + p ρv V x Questa relazione vale per tutte le rilevazioni in cui la turbolenza è su piccola scala, ovvero il diametro dei vortici risulta piccolo se comparato al diametro del tubo. Per turbolenze su grossa scala viene utilizzata una formula più generale in cui il fattore viene sostituito con un parametro α che varia da a 5.
Effetto di un gradiente di velocità Quando si utilizza un Pitot Statico per rilevare la distribuzione di velocità in zone in cui la stessa presenta forti gradienti, ad esempio la velocità all interno di un condotto o di uno strato limite, è necessario apportare alcune correzioni al valore letto. L errore risiede non tanto nel valore letto quanto nella posizione geometrica vera di tale valore, infatti il baricentro della distribuzione di velocità risulta spostato rispetto all asse del tubo; poiché quest ultimo viene preso come riferimento geometrico per la ricostruzione del profilo di velocità, ne consegue un erroneo posizionamento della velocità locale. Una formula generale per la valutazione dello scostamento Z è difficile da fornire in quanto dipende fortemente dal tipo di sonda usata. Un valore indicativo può essere stimato tramite la: Z D = 0.3 + 0. 08 d D
Effetto di un gradiente di velocità Per tubi di Pitot aventi naso a spigolo vivo, come quello precedente, esiste una formula empirica, dovuta a Sami: Z =.05 β 4.05 β D Z = 0.95 D per per β < 0.3 β > 0.3 D β = V V y -y -: distanza dalla parete solida Nella rilevazione della distribuzione di velocità in uno strato limite si utilizzano molte volte dei Pitot con imbocco Ovale; in questo l effetto del gradiente di velocità risulta più contenuto e, per tubi aventi h/h pari a 0.6 e W/H pari a.6, può essere espresso dalla relazione seguente: Z H = 0.9 ± 0.0
Effetto di parete in flussi viscosi Un altro tipo di errore che si commette nell uso del tubo di Pitot è quando lo stesso viene utilizzato per misurare la pressione dinamica in prossimità di una parete solida; in questo caso la presenza della sonda disturba lo strato limite aderente alla parete inducendo un errore che risulta funzione del rapporto fra la distanza dell asse del Pitot dalla parete ed il diametro stesso della sonda. In particolare la velocità misurata dalla sonda risulterà inferiore a quella reale e quindi il valore misurato dovrà essere aumentato di una quantità ricavabile dal grafico a fianco. Dalla curva emerge inoltre che l influenza del Pitot è rilevante solo per distanze adimensionali minori di.9. Questo vuol dire che nel caso di una sonda da mm di diametro la distanza dalla parete alla quale l effetto del disturbo diventa trascurabile è di 3.8 mm. Ciò indica che solo in condotti di piccolo diametro l errore indotto dalla presenza del Pitot è rilevante.
Effetto di disallineamento Quando un Pitot statico è immerso nel flusso è difficile sapere a priori sa il suo asse è ben allineato alla direzione del moto del fluido; infatti non bisogna dimenticare che il Pitot statico misura una differenza di pressione: non è possibile affermare che quando quest ultima è massima il tubo si trova allineato con il flusso. In genere per sonde N.P.L. standard esistono delle curve di influenza dell angolo di disallineamento, riportate nel grafico sotto. Si può notare che se l incertezza sull angolo di disallineamento arriva a 0-5, la sonda a naso emisferico sembra preferibile, in quanto il massimo errore commesso è all interno del ±5% sul calcolo della pressione cinematica (che corrisponde a circa ±% sulla velocità). Se invece la direzione del flusso è nota con uno scarto di 5 è preferibile la sonda ellissoidale. Per la sonda a naso rastremato il corretto allineamento corrisponde al minimo valore di p: per essere sicuri che la sonda sia allineata si può pensare di ruotarla fino ad ottenere la minima lettura.
Prese di pressione statica Non necessariamente le prese statiche e di ristagno devono stare sulla stessa sonda. E possibile, ad esempio, utilizzare un tubo di Pitot per la rilevazione della pressione totale ed una presa statica separata per la componente statica della pressione. Nelle rilevazioni di velocità in strati limite, all esterno di una superficie o all interno di un canale, le prese statiche vengono realizzate effettuando dei fori sulla parete bagnata del fluido. E fondamentale quindi che il foro sia di piccole dimensioni al fine di non disturbare il flusso; purtroppo non sempre è possibile agire con precisione nella foratura ed oltretutto un foro molto piccolo rallenta la risposta dello strumento alla variazione di pressione. E dimostrato che quando il fluido lambisce la parete ed incontra il foro, subisce una deflessione ed una parte di esso penetra all interno dell orifizio; il risultato è che la presa statica rileverà anche una componente cinematica della pressione. L entità dell errore dipende sia dalle dimensioni del foro che dalla sua profondità, nonché dal tipo di collegamento della presa con il misuratore di pressione. Da studi effettuati l errore di pressione statica è legato al rapporto L/d (fig.sopra) aumentando con esso fino a valori di L/d pari a.5.
Prese di pressione statica Per valori di L/d >.5 l errore non sembra dipendere più da tale parametro e l unica variabile di rilievo rimane la condizione fluidodinamica in prossimità del foro. Questa condizione è ben evidenziata dalla distribuzione degli sforzi viscosi alla parete e viene spesso caratterizzata mediante un parametro chiamato shear velocity o fricition velocity, definito come: Shear Velocity = τ 0 ρ τ 0 rappresenta lo sforzo viscoso alla parete, definito come: dv τ 0 = µ = f ρv dy f: fattore di Fanning, è calcolabile tramite correlazioni sperimentali esistenti in letteratura. y= 0 Nel grafico è possibile calcolare l errore di pressione statica dato in funzione del numero di Reynolds del foro, calcolato con la shear velocity e il diametro del foro: * Re d ' τ 0 d' = ν ρ
Prese di pressione statica E evidente che la trattazione fatta finora prevedeva che il foro fosse privo di asperità dovute a lavorazione meccanica e che i suoi bordi fossero a spigolo vivo. In realtà è pressoché impossibile effettuare una foratura a spigolo vivo e perfettamente perpendicolare. Perciò sono stati fatti studi per valutare l effetto della forma degli angoli del foro rispetto alla configurazione ideale (figura a lato). In aggiunta è stata introdotta una differente configurazione di presa, dotata di una camera di calma. In questo modo si permette un grosso recupero di pressione al fluido entrante nel foro. In tal modo viene ridotta la quantità di flusso entrante nella presa migliorando la lettura della pressione statica.
Effetto di bloccaggio della sonda Quando un tubo di Pitot è utilizzato per la misura in un condotto, l inserimento della sonda riduce la sezione effettiva di passaggio del flusso e, quindi, la velocità misurata sarà superiore a quella reale in assenza del tubo. L errore è denominato Probe Blockage Error. Il Probe Blockage Factor è definito come il rapporto fra la variazione di velocità indotta della presenza della sonda sul valore vero di velocità: ε = V V Da studi effettuati si è visto che tale parametro influenza la pressione statica, cinematica, la densità e la temperatura secondo le relazioni seguenti: p ρ p ρ p ( = γ M ε ) v = M ε { p } v = ρv M ε = ( ) p v T = γ T Conoscendo il valore ed il segno del fattore di bloccaggio ed il numero di Mach del flusso fluido, si è in grado di valutare come vengono modificate le varie quantità termodinamiche dall inserimento del tubo di Pitot nel condotto. M ε
Effetto di bloccaggio della sonda E stato dimostrato in passato che in flussi subsonici il Probe Blockage Factor può essere ricavato dalla seguente relazione: ( / ) C D S C ε = ( M ) Dove C D è il fattore di attrito di forma ed è correlato nel caso riportato in figura al numero di Mach, nella forma: C D =.5 + 0.75( M 0.) Mentre S/C non è altro che il rapporto fra l area frontale della porzione di tubo di Pitot inserito nel condotto e l area del flusso del condotto stesso. Nel caso di Pitot cilindrici immersi fino all asse centrale del condotto si ottiene: Sostituendo il tutto nelle formule precedenti è possibile calcolare l errore commesso nella lettura della pressione cinematica: p v S/ C ( D ) d = = π D 4 ( M ) d π D (.5 0.75 0. ) + d = M pv M π D