Capitolo 3 Cineatica in una diensione. Distanza, spostaento e elocità edia La elocità edia, coe tutte le frazioni, dee essere interpretata coe il quantitatio del nueratore che iene associato ad una unità del denoinatore, quindi quanti etri di spostaento sono associati ad ogni secondo di tepo trascorso. Esepi: 3 Kg pere per 5 euro; circonferenza etallica attorno all equatore increentata di un etro. nalogaente areo che il reciproco della elocità edia, cioè il rapporto t x costituisce il nuero di secondi che occorrono per percorrere un etro. Coe si calcola la elocità scalare edia su più tragitti di pari lunghezza? Se percorriao un tragitto lungo d andando a elocità scalare edia per la pria età del percorso e a elocità scalare edia per la seconda età del percorso, sappiao che la elocità scalare edia per l intero percorso non è la edia aritetica di e a sarà tanto più icina a quello dei due alori che iene assunto per un tepo più lungo, e cioè il inore. Effettuiao il calcolo: d d d, t t t t Calcolando i tepi nelle due età: t d t d
osseriao che il tepo di peranenza in ciascuna età è tanto aggiore quanto più piccola è la elocità. Sostituendo: d d d La relazione ottenuta si dice edia aronica dei alori e. Prendendo i reciproci di abo i ebri si ha una fora più facile da ricordare: Il problea si generalizza: se diidiao un tragitto in n tratti uguali, e percorriao ciascuno di essi ad una differente elocità, si ottiene che la elocità scalare edia totale è la loro edia aronica: t t 3 4 5 6 t 3 t 4 t 5 t 6 n tn... n n Coe si calcola la elocità scalare edia su interalli della stessa durata? Se percorriao un tragitto lungo d andando a elocità scalare edia per la pria età del tepo totale t e a elocità scalare edia per la seconda età del tepo, la elocità scalare edia per l intero percorso è la edia aritetica di e in quanto i due alori engono assunti per la stessa durata di tepo. Effettuiao il calcolo: d d d, d d d t la distanza è ora differente nei due tratti: d t d t sostituendo si ottiene proprio la edia aritetica delle elocità:
t t t relazione anch essa generalizzabile in caso di n tratti percorsi tutti nello stesso tepo t n : 3 4 5 6 n t t t t t t t... n n. Velocità istantanea Cos è la elocità istantanea? In terini non rigorosi possiao intendere la elocità istantanea coe il alore che assue la elocità edia quando la durata t t t dell interallo teporale si f i riduce ad un singolo istante. Si tratta della isura che leggiao sul tachietro della nostra autoobile. Possiao quindi associare una elocità istantanea ad ogni lettura di orologio. Nella pratica per singolo istante intendiao un interallo t estreaente piccolo in rapporto alla durata coplessia del oto. Questo si ottiene facendo aicinare t f a t i sepre più finché l interallo no si chiude sulla pria lettura di orologio t. Possiao notare che nel rapporto che definisce la i elocità edia: x t quando l interallo teporale t diiene olto piccolo, anche lo spostaento ad esso relatio x, diiene a sua olta piccolo. Se estreizziao questa procedura entrabe le grandezze t e x perdono il loro significato fisico originale, dienendo entrabe zero, tuttaia antiene significato il loro rapporto, il quale non diiene necessariaente nullo, a può assuere alori arbitrari. La elocità istantanea è quindi il liite a cui tende la elocità edia quando la durata dell interallo teporale tende a zero: li t x t 3
3. Il oto rettilineo unifore Quando un oto rettilineo si dice unifore? Si dice che un punto ateriale si uoe di oto rettilineo unifore quando esso si sposta su di una retta percorrendo spazi uguali in tepi uguali. In un oto rettilineo unifore pertanto, qualunque sia la lettura di orologio t i alla quale si decide di far iniziare l interallo t, lo spostaento corrispondente x ha sepre lo stesso alore, una olta che si è fissato t. E se si raddoppia l interallo teporale raddoppia pure lo spostaento, se lo si triplica o lo si diezza, si triplica o diezza anch esso. In un oto rettilineo unifore la elocità edia sarà quindi la stessa ad ogni lettura d orologio t e per ogni interallo t e coinciderà con la elocità istantanea. Dalla definizione di elocità edia abbiao allora: x x f x t t t f i i Spesso ci si riferisce alla elocità istantanea con i seplice terine di elocità. Coe possiao seplificare questa notazione? Supponiao ora che quando la particella parte, la lettura d orologio iniziale sia t s, e per seplificare la notazione indichiao sepliceente con x, i anziché con x f, la posizione ad un generico istante successio, ed indichiao con t anziché t f le successie letture d orologio. Sia inoltre x la posizione iniziale. bbiao allora: x x t Da tale espressione possiao ricaare una relazione che esprie la posizione x in funzione del tepo t trascorso a partire dall istante iniziale x x t Una relazione che esprie una grandezza fisica in funzione del tepo si dice legge oraria. Quella sopra è pertanto la legge oraria dello spostaento per il oto rettilineo unifore: essa fornisce la posizione del punto ateriale ad ogni lettura d orologio t. Esepio Un ciclista si troa su di una strada rettilinea a erso il centro del paese, che dista 5 da casa sua e procede 8 dalla sua posizione, pedalando ad 4
una elocità istantanea costante di 4. /s. Quanto dista da casa quando è trascorso un inuto? Quanto tepo dopo giunge a destinazione? Se conteporaneaente parte anche la oglie del ciclista dalla loro casa sepre erso il centro del paese, pedalando ad una elocità costante di 8. /s, dopo quanti secondi lo arà raggiunto? quale distanza da casa si incontrano? 8. /s 4. /s. x 5 3 x Contrassegniao il ciclista con e la oglie con. Scriiao la legge oraria per la posizione del ciclista: x ( t) x t 5 4.t Troiao la sua posizione dopo alore del tepo: x(6.) 5 4. 6. 74 Iponiao che la sua posizione sia 6. s sepliceente sostituendo questo x 3 e ricaiao il tepo che gli occorre per arriare: 3 5 4.t 3 5 t s 4. Scriiao la legge oraria per la posizione della oglie, per la quale risulta x. x ( t) x t 8.t Nell istante in cui la oglie raggiunge il ciclista le loro posizioni sono uguali, cioè x( t) x( t). Iponiao tale condizione per troare il tepo d incontro e risoliao rispetto a t : 5 x( t) x( t) 5 4.t 8.t t 5 s 8. 4. Per aere la loro distanza da casa scegliao una delle due leggi orarie ed inseriao il alore troato, che errà uguale nei due casi, coe abbiao iposto: x(5) 5 4. 5 x(5) 8.5 Esepio Giulia e Stefano decidono di fare una gara con i otorini. Stefano si uoe con una elocità costante /s entre Giulia con una elocità costante di S 7. /s. Dato che il otorino di Stefano è più eloce, decide di dare a G Giulia un antaggio partendo Giulia pria di aer percorso raggiungerla? 5. s dopo di lei. Ce la farà Stefano a superare? Quanti secondi gli occorrono per 5
S /s G 7. /s Per poter confrontare le due posizioni debbo utilizzare lo stesso istante iniziale, che sarà quello in cui parte Stefano. Doreo allora scriere due olte la legge oraria per Giulia, la pria olta solo per calcolare lo spazio percorso durante il tepo di antaggio, facendola partire da x. : x ( t) x t 7.t t 5. s x (5.) 7. 5. 35 G La seconda olta iniziao a contare i secondi dall istante in cui parte Stefano, ed ora la posizione iniziale di Giulia è 3.5 : x ( t) x t 35 7.t G. x? Scriiao quindi la legge oraria di Stefano: xs ( t ) x t t I due aici s incontrano quando x ( t) x ( t) : S 35 xs ( t) xg ( t) t 35 7.t t s 7. quindi Stefano raggiunge Giulia dopo 5. 7 s. Nella durata di s Stefano ha percorso: xs () quindi raggiunge Giulia dopo i. G G x Esepio 3 Un autoobile parte da Roa erso lessandria con una elocità costante e conteporaneaente un altra parte da lessandria erso Roa con elocità costante. Si sa che dopo in dopo 5 la pria dista da Roa 9. K e che 67 in la seconda dista da lessandria K. ssuendo che la distanza Roa-lessandria sia le due auto è di cifre significatie.. K 6 K dire dopo quanto tepo la distanza fra 5 K. Risolere utilizzando ore e chiloetri ed usando tre 5 K 6 K x Calcoliao dappria il alore delle elocità scalari edie delle due auto in 5 K/h, considerando che 5 in h.833 h e che 6 67 67 in h. h : 6 6
9. K 9. K 8 K/h 5 in.833 h K K 98. K/h 67 in. h Scriiao la legge oraria della due auto, tenendo conto che la elocità istantanea della ettura è negatia poiché si uoe contro il erso scelto coe positio: x ( t ) x t 8 t x ( t) x t 6 98.t Iponiao che la distanza fra di loro sia x ( t) x ( t) 6 98.t 8t 6 6t 6 5 6 6t 5 t.8 h 6 x ( t) x ( t) 5 K : Esepio 4 Un cacciatore prende di ira erticalente un uccello che si uoe con elocità costante 3. /s olando all altezza di 3.5. Supponendo che U i pallini salgano con una elocità costante 3 /s, calcolare di quanti etri l uccello dee distare dalla erticale al oento dello sparo. P y U 3.5 /s Scriiao la legge oraria del proiettile, adoperando la y coe si fa per i oti erticali ed assuendo che parta da terra, doe y( t) y t 3t Iponendo che la quota sia y. : 3.5 si troa il tepo che occorre al proiettile per raggiungere l altezza dell uccello: 3.5 y( t) 3t 3.5 t.5 s 3 Scriiao ora la legge oraria dell uccello assuendo che sia nell istante in cui parte lo sparo: x( t) x t 3.t Sostituendo al posto del tepo il alore che l uccello percorre dal oento in cui parte lo sparo: x(.5) 3..5.37 x..5 s troato sopra si troa lo spazio e questa è proprio la distanza dalla erticale alla quale dee stare l aniale nel oento in cui parte il colpo se si uole fare centro. P x? 3 /s x Esepio 5 Due corridori partono in direzioni perpendicolari con elocità costanti 5. /s e 7. /s. Dire quanti secondi occorrono affinché la loro distanza sia. 7
x d x Scriiao le leggi orarie prendendo le rette di riferiento in odo che partono entrabi da posizioni iniziali nulle: x ( t ) x t 5. t x ( t ) x t 7. t la loro distanza d si calcola attraerso il teorea di Pitagora: d x x 5.t 7.t 84t Iponendo che sia d e scartando la soluzione che produce un tepo negatio, prio di significato fisico, si ha: 84t t t.9 s 84 Esepio 6 Un treno lungo d ipiega 6. s per sfilare daanti ad un seaforo e 6 s per attraersare una stazione lunga 4. Si dica quanto lungo è il treno e qual è la sua elocità. x. x. x d x Scriiao la legge oraria della punta del treno, assuendo di iniziare a contare i secondi nell istante in cui inizia a passare daanti al seaforo, doe ettiao la posizione. x( t) x t t x x.. x 4 d x Quando tutto il treno ha attraersato il seaforo la sua punta si troa nella posizione x(6. s) d, da cui sostituendo si troa: x(6.) 6. d d 6. 8
Ripetiao il ragionaento ponendo ora la posizione. all istante. s proprio doe inizia la stazione. Quando l arà oltrepassata tutta la sua punta sarà nella posizione x(6 s) 4 d. Iponiao questa condizione nella legge oraria: x( t) x t t x(6) 6 4 d a abbiao già troato che d 6.. Sostituendo otteniao: d 6 4 6 6 4 d d 4 d 6. 6. 6 6. entre per la elocità: /s 6. Esepio 7 Due treni lunghi attraersarsi. Sapendo che prio, calcolarle entrabe. 5, che arciano in senso opposto, ipiegano 5 s per la elocità del secondo è doppia di quella del x. x 3 x. x (5 s) x (5 s) x Indichiao con e i alori assoluti delle elocità dei due treni. Scriiao la legge oraria della punta del treno e della coda del treno : x ( t ) x t t x ( t) x t 3 t 3 t 3 t Coe si ede dalla figura, trascorso i 5 s che occorrono ai treni per attraersarsi, si ha x (5 s) x (5 s) : 3 x (5) x (5) 5 3 3 /s 5 Esepio 8 Due treni entrabi lunghi d, che arciano nello stesso senso, ipiegano 3 s per attraersarsi. Sapendo che il prio ha una elocità di 5 /s e che il secondo iaggia con una elocità pari ad 3 sono lunghi i treni. di questo alore, si dica quanto 9
x. x d x x (3 s) x (3 s) x Indichiao con e i alori assoluti delle elocità dei due treni. Scriiao la legge oraria della punta del treno e della punta del treno : x ( t) x t t 5t 5 3 x ( t) x t d t d t Coe si ede dalla figura, trascorso i attraersarsi, si ha x (3 s) x (3 s) : 3 s che occorrono ai treni per x 5 5 (3) (3) 5 3 3 5 x d d 3
4. Interpretazione grafica della elocità Qual è il significato grafico della elocità edia? In un piano cartesiano che riporti in ascissa il tepo ed in ordinata la posizione, il significato della elocità edia, che coe tutte le frazioni, costituisce il quantitatio del nueratore che iene associato ad una unità del denoinatore, è quello di espriere di quanti etri x aria la coordinata x della posizione per ogni secondo di cui cresce la coordinata teporale t. E una isura della salita che nell interallo t ha ediaente auto la cura che descrie il oto: aggiore è il rapporto aggiore la pendenza. posizione x D x E x t F x t x t C x t tepo t Coe si ede in figura, ad un increento teporale di t s corrisponde una salita x sulle ordinate olto aggiore fra C e D che non fra e. Nell interallo fra E ed F inece si ha x x da cui f i x e quindi la elocità edia risulta x t negatia: essendo il suo denoinatore t sepre. In questo senso la elocità edia nel piano posizione-tepo rappresenta anche la pendenza della retta che unisce le posizioni sulla cura. La pendenza risulta positia quando la posizione sulla retta cresce al crescere del tepo, ad esepio nel tratto CD, o anche nel tratto, doe però risulta inore che in CD. Se poi capita che al crescere del tepo la posizione sulla retta diinuisca, coe nel tratto EF, areo x t, cioè elocità edia negatia in quell interallo. Nel tratto EF il punto si sarà dunque ediaente osso procedendo contro il erso scelto coe positio nel riferiento. ttenzione che la posizione sulla cura può in ogni caso sia crescere che diinuire indipendenteente dal segno della elocità edia., coe ad esepio accade nel tratto EF. x( t) Qual è il significato grafico della elocità istantanea? Quando l interallo teporale t si chiude attorno al singolo istante t la retta che unisce gli estrei dell interallo sulla cura dienta la tangente al grafico. La elocità istantanea rappresenta la pendenza della retta tangente t t t t
Qual è il significato grafico della elocità edia nel oto rettilineo unifore? Coe sappiao la elocità edia in questo caso coincide con la elocità istantanea. La legge oraria dello spostaento per il oto rettilineo unifore: x x posizione t x tepo t x x x t in un diagraa cartesiano posizione-tepo, con la coordinata di posizione x sulle ordinate ed il tepo t sulle ascisse, è rappresentata da una retta. Infatti la retta è il x solo luogo di punti doe sia costante il rapporto. La costanza di questi rapporti t iplica infatti che tutti i triangoli rettangoli di base t ed altezza x debbano essere siile, e quindi che l angolo fra l ipotenusa ed il cateto orizzontale sia sepre lo stesso, cosa che aiene solo se tutte le ipotenuse sono segenti staccati sulla edesia retta. x Quando il punto si allontana erso le ascisse positie si ha e la retta ha t una pendenza positia, cioè al crescere della ariabile t cresce la ariabile x, x iceersa se il punto si allontana erso le ascisse negatie e la retta si t dice che ha pendenza negatia. Esepio 9 Si dica se la elocità edia è aggiore fra t e t oppure fra t e t 3 o fra t e t 3. t t t 3 x C t Coe si ede, la pendenza della retta è positia e senz altro superiore a quella della retta C, quindi si ha che la elocità edia - è aggiore della elocità edia -3. La pendenza della retta C è inece negatia (al crescere del tepo diinuisce la posizione) quindi sarà negatia la corrispondente elocità edia -3. t t t 3 t
5. L accelerazione nel oto rettilineo Cosa si intende per accelerazione edia? E fondaentale costruire una grandezza fisica che espria quantitatiaente il cabiaento della elocità. Con questo intendiao non solo poter dire di quanto la elocità aria, a soprattutto legare tale ariazione all interallo teporale t durante il quale essa aiene. Un cabiaento di elocità da /s a /s produce effetti olto differenti (ad esepio se si dee salire una rapa con l auto) qualora questo aenga in t s oppure in t 5. s. Ciò che ci interessa isurare è il tasso di ariazione della elocità, cioè il nuero di etri al secondo che ogni secondo iene aggiunto o sottratto alla elocità iniziale. E in questo senso che si introduce l accelerazione edia, che nel oto rettilineo è definita coe: a f i /s t t t s f i doe e i dell interallo sono i alori della elocità istantanea all inizio ed alla fine f t. L unità di isura dell accelerazione edia ne esprie con chiarezza il significato. a è il nuero di etri al secondo che bisogna aggiungere, per ogni secondo dell interallo t, alla elocità istantanea iniziale, per ottenere quella finale. Si è soliti abbreiare questa unità di isura nella fora di /s, eno trasparente dal punto di ista concettuale. Qual è il significato del segno nell accelerazione edia? Nel linguaggio quotidiano diciao che un oggetto sta accelerando quando auenta il alore assoluto delle sua elocità istantanea, altrienti diciao che sta rallentando. Va subito sottolineato che questo non è espresso dal segno dell accelerazione edia, il quale rappresenta solo il erso in cui bisogna soare alla elocità la sua ariazione. L accelerazione edia ha il segno del suo nueratore, (essendo f i sepre t t ). Il segno ne indica la relazione con il erso scelto coe positio f i nel riferiento, proprio coe accade per la elocità edia ed istantanea. Un accelerazione edia positia ad esepio di /s.5 indica che per ogni secondo dell interallo bisogna aggiungere alla elocità iniziale.5 /s nel erso scelto coe positio. Questo non significa che l intensità della elocità finale sarà aggiore: tutto dipende da coe sono diretti i alori iniziale e finale. Se sono entrabi negatii, aggiungere.5 /s nel erso positio, per ogni secondo, uol dire rallentare il oto, se sono positii uol dire accelerarlo. Un accelerazione edia negatia, ad esepio di. /s significa che bisogna aggiungere alla elocità iniziale. /s nel erso scelto coe negatio. Quindi se le elocità iniziale e finale sono entrabe negatie, l oggetto sta accelerando, se sono positie sta decelerando. Più articolato è il caso in cui le elocità iniziale e finale sono discordi. 3
Esepio 9 Un autoobile in oto rettilineo passa da una elocità istantanea di ad una di interallo /s 3 /s durante un interallo t s 5., e poi nel successio t. s, scende fino a 5 /s. Calcolare la sua accelerazione 3 edia: pria in un riferiento aente per erso positio quello della elocità iniziale dell auto, e poi in un riferiento con erso opposto. Nel riferiento aente il erso della elocità iniziale si ha: /s 3 /s 5 /s a a 3. /s t 5. 3 5 3 4. /s t. Nel riferiento con erso opposto risulta: /s 3 /s 5 /s a a 3 ( ). /s t 5. 3 5 ( 3) 4. /s t. Coe si ede, il erso che si sceglie per il riferiento non cabia il fatto che, trascorso l interallo t il alore assoluto della elocità istantanea è auentato, entre, trascorso l interallo t, è diinuito. Questo però non ha nulla a che edere con il segno dell accelerazione. Infatti nel riferiento orientato erso destra si ha a ed a, in quello orientato erso sinistra a ed a. Esepio Un autoobile passa da fera K/h in t 8. s. Si dica quanti secondi le occorrono per raggiungere i 5 K/h antenendo la stessa a. Trasforiao le elocità proposte in etri al secondo: K/h /s 7.8 /s 36 5 K/h 5 /s 4.7 /s 36 calcoliao l accelerazione edia nell interallo dato dal testo: 4
7.8 a 3.48 /s 8. Inertendo la forula per l accelerazione edia si troa l interallo richiesto: a f i 4.7 t. s t a a 3.48 Cosa si intende per accelerazione istantanea? In odo del tutto analogo a quello con cui si è definita la elocità istantanea, si introduce, sepre nel oto rettilineo, l accelerazione istantanea coe il alore che si ottiene nell accelerazione edia quando l interallo t si chiude su se stesso dienendo così piccolo da potersi considerare un singolo istante: a li t t Qual è il significato del segno nell accelerazione istantanea? nche nel caso dell accelerazione istantanea il segno indica solo il erso nel quale bisogna aggiungere in ogni istante l increento alla elocità. Quindi tanto un accelerazione istantanea positia quanto un accelerazione istantanea negatia possono corrispondere ad un auento nel odulo della elocità. In particolare, coe si deduce dalla figura, si ha che se: a e hanno lo stesso segno auenta a e hanno segno opposto diinuisce Coe si rappresenta graficaente l accelerazione? Si utilizza un piano con sulle ordinate la elocità e sulle ascisse il tepo. Il significato grafico delle accelerazioni edia ed istantanea è lo stesso di quello delle elocità edia ed istantanea. L accelerazione edia è la pendenza della retta che congiunge i due punti iniziale e finale, l accelerazione istantanea è la pendenza della retta tangente. a auenta a diinuisce a diinuisce a auenta t t t 3 t 5
posizione 6. Moto uniforeente accelerato x elocità tepo tepo Coe sappiao, un punto ateriale che si allontana dall origine sarò rappresentato nel diagraa spazio tepo da una retta con pendenza positia, entre un punto ateriale che si aicina all origine, cioè che torna indietro, da una retta con pendenza negatia. La pria figura rappresenta la legge oraria della posizione nel caso di un oto rettilineo unifore per una particella che si allontana dall origine. ttenzione, perché tale grafico non ha nulla a che edere con la traiettoria, cioè l insiee delle posizioni effettiaente occupate dalla particella nello spazio. La figura subito sotto rappresenta inece esattaente lo stesso oto però in un altro piano, nel quale lungo l asse delle ascisse c è sepre il tepo a sulle ordinate abbiao ora la elocità. Secondo la terinologia sopra introdotta, questo secondo andaento si dice legge oraria della elocità. La sua equazione è rappresentata da una retta parallela all asse delle ascisse perché nel oto rettilineo unifore la elocità si antiene costante. Se con indico il alore di tale elocità costante, che coincide anche con la elocità iniziale (essendo costante sarà sepre uguale al alore che aea all inizio) allora la legge oraria della elocità per il oto rettilineo unifore sarà: elocità area t tepo t Il grafico della figura a destra ha una proprietà noteole: l area che sta sotto alla retta fra l istante iniziale ed un istante qualunque t rappresenta lo spazio percorso. Nel caso in cui il punto ateriale parta dall origine, cioè x lo si può erificare iediataente: in questo caso la legge oraria dello spostaento dienta: x t che coe si ede dalla figura sotto è proprio l area della parte di piano che sta sotto la retta e copresa fra l asse delle ordinate e la retta erticale che passa per t. Questa relazione fra lo spazio percorso e l area sottesa ale in ogni caso? La relazione si antiene anche nel caso in cui la elocità non sia costante. Lo ostrereo solo nel caso del più seplice fra i oti rettilinei con elocità non costante, quello in cui la elocità aria di quantità uguali in interalli di tepo uguali, ale a dire tale che la sua accelerazione istantanea sia costante, e pertanto coincide con l accelerazione edia. Un tale oto si dice uniforeente accelerato. Dalla definizione di accelerazione edia (ed istantanea, che in questo caso coincidono) si ha: f i a t t t f i Inertendo possiao facilente ricaare la legge oraria per la elocità nel oto uniforeente accelerato: at 6
Per otii analoghi a quelli isti nel caso della relazione x x t nel piano posizione-tepo, anche il grafico della relazione at nel piano elocitàtepo rappresenta una retta. Infatti anche in questo caso si ha che il rapporto fra la ariazione dell ordinata e la ariazione dell ascissa t è costante, a, e coe abbiao isto questo è possibile solo lungo i punti di una retta. Se iaginiao di effettuare il oto in tanti tratti di durata t percorsi a elocità costante, in odo che la elocità cresca a scalini e non con continuità. Si ede bene che l area sotto alla retta è approssiabile traite quella dei rettangoli, che in base a quanto detto pria, rappresentano lo spazio percorso in ciascuno dei tratti. La retta può essere interpretata coe il caso liite in cui ciascuno degli interalli t dienta piccolissio. t elocità at tepo Coe si ricaa la legge oraria per la posizione in questo oto? Per analogia con il caso, possiao interpretare l area sottesa dalla retta at nel piano elocità-tepo coe lo spazio coplessiaente percorso. Supponendo che il punto parta dalla posizione x lo spazio percorso coincide con la posizione x( t ). Con riferiento alla figura, si tratta di calcolare l area del trapezio eidenziato, ottenibile facendo la età della soa delle basi (di isura e ) e oltiplicandola per l altezza t : elocità at x ( t ) ( ) t Inserendo in questa relazione la legge oraria della elocità at : t tepo x ( t ) [( at ) ] t t at Nel caso più generale doreo aggiungere ad x( t) la posizione iniziale x : x( t) x t at Relazione che costituisce la legge oraria della posizione per il oto rettilineo uniforeente accelerato. Coe si calcola la elocità edia in un oto rettilineo uniforeente accelerato? Ci proponiao ora di calcolare la elocità edia di un tale oto. Ricordiao che la elocità edia è quella per cui se lo stesso spostaento enisse percorso con elocità costante pari ad essa, coplessiaente la particella ipiegherebbe lo stesso tepo. La definizione coporta che se x risulta: x( t) t che, confrontata con la precedente x ( t ) ( ) t fornisce: 7
( ) Risultato detto teorea della elocità edia. Tale teorea ci dice che nel caso del oto uniforeente accelerato la elocità edia fra l istante iniziale ed un istante t qualsiasi è la edia fra la elocità iniziale e quella all istante t. Il risultato si generalizza anche al caso di un qualsiasi prio istante, non necessariaente quello iniziale. Esepio Si studi il oto uniforeente accelerato lungo una retta: x( t) 5. 3.5t 4.t nalizziao la legge oraria. Si deduce: ) Che un punto ateriale è partito dalla posizione x 5. doe aea una elocità diretta nel erso scelto coe positio e con intensità: 3.5 /s. Infatti un confronto con l espressione sibolica fornisce iediataente il alore costante di accelerazione: a 8.4 /s il che significa che la sua elocità aria, auentando l intensità di: 8.4 /s ogni secondo che passa. ) Che la elocità auenti non lo ediao dal fatto che il segno dell accelerazione è positio: questo indica solo che ogni secondo engono aggiunti alla elocità 8.4 /s nel erso scelto da noi coe positio sulla traiettoria. Questo erso non ha legai con il erso in cui il punto percorre la traiettoria: se ad esepio il punto si staa uoendo indietro, un accelerazione positia di 8.4 /s corrisponde ad una diinuzione del odulo della elocità, se inece il punto si staa oendo aanti, corrisponde ad un auento del odulo. Che si tratti di un auento di elocità lo ediao allora dal fatto che la elocità iniziale ha lo stesso segno dell accelerazione. 3) Essa inoltre auenta in odo unifore, cioè ad esepio fra dieci ed undici secondi la elocità crescerà di 8.4 /s proprio coe fra cento e centouno secondi e non di un alore differente di olta in olta. Questo può essere scritto sinteticaente traite la legge oraria della elocità: ( t) 5. 8.4t e quindi se olessio calcolare la elocità e la posizione dopo. secondi basterà sostituire il alore dato al posto del tepo: x(.) 5. 3.5. 4.. 9 (.) 3.5 8.4. /s () 3.5 /s (.) /s. x() 5. x(.) 9 8
Esepio Si studi il oto rettilineo uniforeente accelerato seguente, calcolando in particolare quando la particella si fera ed in quale istante attraersa l origine: x( t) 8.5 9.6t.6t ) In questo caso il punto parte da x 8.5 a con la elocità iniziale 9.6 /s negatia, cioè il punto sta percorrendo la traiettoria nel erso opposto a quello da noi scelto coe positio. L accelerazione che si ricaa dal confronto con la legge sibolica, a. /s è positia, cioè alla elocità engono aggiunti ogni secondo. /s nel erso scelto coe positio per la traiettoria. Quindi il punto, dappria rallenta, perché elocità iniziale ed accelerazione hanno erso opposto, poi si fera, quindi cabia erso di percorrenza della traiettoria e da quel oento in poi auenta la sua elocità di. /s ogni secondo che passa. ) Se olessio calcolare quando si fera basterebbe scriere la legge oraria della elocità: ( t) 9.6.t ed iporre che la elocità si annulli: 9.6 ( t) 9.6.t t 8. s. In quell istante si troa nella posizione: x(8.) 8.5 9.6 8..6 8. 3 3) Se inece olessio sapere con quale elocità scaalcherà l origine del sistea di riferiento, doreo pria calcolare l istante in cui questo aiene, annullando la posizione: 4.8 4.8 8.5.6 x( t) 8.5 9.6t.6t t.6 t.94 s t 5 s le due soluzioni troate indicano che ci sono all origine, il prio con elocità erso sinistra di (.94) 9.6..94 8.5 /s due passaggi successii sopra ed il secondo, dopo che si è ferato e ripartito, con elocità erso destra di : (5) 9.6.5 8.4 /s (5) 8.4 /s x(8.) 3. x(.) 8.5 (8.). /s (.94) 8.5 /s (.) 9.6 /s 9
Esepio 3 Una ragazza fa jogging correndo alla elocità costante di 4. /s. d un certo istante passa daanti ad un tizio seduto su di una panchina e coincia a rallentare costanteente di.4 /s ogni secondo. Questo la adocchia, riflette per 5. s e decide che ale la pena di abbordarla, quindi scatta con elocità iniziale di accelerando il passo in aniera costante con 3. /s a 8. /s. quale distanza dalla panchina il tizio raggiunge la ragazza? Che elocità possiedono entrabi in quell istante? Usciranno insiee quella sera stessa? Scriiao le leggi orarie, posizione e elocità, di entrabe le persone. La pria cosa da fare è scegliere una origine della traiettoria (rettilinea) che sarà la posizione della panchina. Poi occorre uno stesso istante iniziale opportuno per entrabi: qui coniene il oento in cui il tizio si alza per iniziare la sua corsa. La legge oraria della posizione dell uoo si ottiene facilente considerato che xu., U 3. /s ed a 8. /s : U x ( t) 3.t 4.t U Più coplesso è scriere la legge oraria della ragazza, della quale nel riferiento scelto è nota soltanto l accelerazione a.4 /s : R x ( t) x t.t R R R La posizione iniziale della ragazza x R è lo spazio di cui si è allontanata dalla panchina in 5. s e la sua elocità iniziale R quella che ha dopo aer decelerato per gli stessi 5. s. Per calcolare questi dati dobbiao scriere dappria un altra equazione oraria per la sola ragazza, che abbia però coe istante iniziale quello del passaggio alla panchina. In questo riferiento si ha xr. e R 4. /s, entre l accelerazione è sepre a.4 /s : x ( t) 4.t. t x (5.) 4.5.. 5. 5 R R R ( t) 4..4 t (5.) 4..4 5.. /s R R Riscriiao quindi l equazione oraria della ragazza usando coe istante iniziale quello in cui il tizio si alza dalla panchina, in odo da poterla confrontare con quest ultia. In questo secondo caso la posizione iniziale della ragazza sarà allora x 5 e la elocità iniziale. /s, da cui: x ( t) 5.t.t R Nell istante in cui si raggiungono, le due posizioni xu ( t ) e xr( t ) deono essere uguali, pertanto iponiao questa condizione per troare il tepo: 5.t.t 3.t 4.t.. 44.5 4.t.t 5 t 8.4 t.8 s t. s
doe la seconda soluzione ateatica non ha significato fisico perché l incontro aerrebbe pria del nostro istante iniziale. Il calcolo delle elocità d incontro si fa traite le relatie leggi orarie: ( t)..4 t (.8).3 /s R ( t) 3. 8. t (.8) 7 /s U U R I due non usciranno insiee quella stessa sera perché il tizio ha accelerato troppo e così le sfreccia affianco senza poterle dire neanche una parola Esepio 4 L astronae Enterprise, fera nello spazio, lancia un siluro fotonico con 3 8 c ( c 3 /s è la elocità della luce) contro un falco da enterprise guerra roulano che dista 4 ly ly dall Enterprise ( ly cioè un anno luce sono circa noeila iliardi di K). Il falco da guerra, che non è stupido, appena 4 aistato il siluro scappa in aanti con c. Sapendo che in 5s il falco falco entra nell iperspazio (e quindi è salo) ce la faranno i roulani a sfuggire al siluro? Rappresentare i oti del siluro e del falco nel piano spazio tepo. Esepio 5 Un astronae di classe Galaxy iaggia in linea retta da Plutone erso la Terra con una elocità pari a 3 c antenendola costante. Conteporaneente parte dalla Terra erso Plutone un cargo interplanetario di seconda classe con 4 elocità costante pari a. c. Quale dei due intercetta per pria C l orbita di Gioe? quale distanza dalla Terra si incontrano? Si assua D(Terra- Sole)=.5, D(Plutone-Sole)= 5.9, D(Gioe- Sole)=.778. Rappresentare le leggi orarie sul piano.
7. Relazione fra elocità e spazio percorso ( t) Ricaando il tepo dalla legge oraria della elocità, t ed inserendolo a nella legge oraria della posizione si ottiene un altra relazione fra elocità, accelerazione e spazio: x x a a a x x a a a a a x x a a a( x x ) Questa relazione ha una certa utilità pratica, a in realtà contiene le stesse inforazioni fisiche delle leggi orarie, dato che è stata ricaata da esse. Esepio 6 Un autoobile iaggia alla elocità di /s. Se ad un certo istante inizia a decelerare costanteente di. /s si dica quanto spazio dee percorrere perché diezzi la sua elocità e quanti secondi trascorrono. Si dica se questo spazio è aggiore o inore della età dello spazio necessario per ferarsi e si giustifichi la risposta con il calcolo. Si ripetano il ragionaento ed il calcolo per il tepo. Per diezzare la elocità dee percorrere una distanza x x tale che: a x x 3 ( ) ( ) 4 a x x 3 3.( x x) x x 75 4 4. Scriendo la legge oraria ponendo l origine nel prio istante di decelerazione x( t) t.t, ed essendo x. abbiao: 75 t.t 75 t t 5. s t 5 s. Coe edreo il secondo alore è prio di significato fisico perché è un tepo successio a quello di arresto. Poiché la diinuzione di elocità è unifore nel tepo, cioè ogni secondo l auto perde. /s di elocità, il tepo di diezzaento della elocità è esattaente la età del tepo di arresto. Inece il oto non è unifore nello spazio: nella pria età dei secondi necessari per l arresto l auto è ediaente più eloce che non nella seconda età, quindi per
ferarsi occorrono eno di calcolo dello spazio di arresto: 4 a( x x) x x a 4. e del tepo di arresto: 75 5. Verifichiao il ragionaento con il t.t t t s. Studiare gli esepi solti n p. 4, p.43, 3p. 45. Studiare le caratteristiche del oto uniforeente accelerato: x( t) 4. 5.t.8t, in particolare si dica se il punto si fera ai, quante olte passa per l origine e con quali elocità. Esercizi pag. 6 n. 4, 44, 45, 46 3
a a 8. Il oto in caduta libera erticale Cosa si intende per oto in caduta libera? a Si definisce oto in caduta libera quello di un oggetto sottoposto alla sola attrazione da parte della Terra. a a d esepio un sasso scagliato erso l alto, iediataente dopo il distacco dalla ano che lo lancia, descrie un oto in caduta libera, tanto nella fase di salita quanto in quella di discesa. L attrazione da parte della Terra produce su un oggetto in caduta libera una accelerazione diretta erso il basso. Se il corpo iene lanciato con elocità iniziale in direzione erticale, il oto in caduta libera che si solge tutto lungo una traiettoria erticale rettilinea. Questo è però solo un caso particolare della situazione più generale in cui l oggetto è scagliato con elocità inclinata e segue una traiettoria curilinea t legno piobo t Oggetti diersi lasciati cadere da una stessa altezza sono accelerati in odo dierso? Per rispondere a questa doanda ricordiao l esperiento concettuale che Galileo ha escogitato per ostrare coe il tepo di caduta, a parità di altezza, sia lo stesso per tutti gli oggetti, indipendenteente dalla loro assa. Iaginiao di lasciar cadere da una fissata altezza due sfere di ugual olue, una di piobo di assa Kg ed una di legno di assa 3 Kg. Supponiao per assurdo che la sfera di piobo arrii a terra pria, in un tepo t inferiore al tepo t che occorre a quella di legno. desso leghiao insiee le due sfere con una cordicella e lasciaole cadere di nuoo dal quell altezza e chiediaoci quanto ale il tepo t * che ipiegano ora a cadere. Sono possibili due linee di ragionaento. ) La eloce sfera di etallo iene rallentata dalla sfera di legno. Questo perché la sfera di legno fa più fatica a cadere, è più lenta, e quindi trattiene un poco la rapida caduta di quella di piobo. Così legate le due sfere toccheranno terra un po dopo il tepo t che occorre alla sfera di etallo, a counque pria del tepo t che ipiega la sfera di legno da sola, cioè t t * t. ) La sfera di legno e la sfera di piobo legate sono, nel loro coplesso, un oggetto di assa +3=3 Kg. Se fosse ero che aggiore è la assa pria si giunge a terra, esse dorebbero toccare il suolo pria di quando lo farebbe la più eloce delle due, la sfera di piobo, da sola. Il tepo di caduta dorebbe essere allora inore di t perché, iste coe un tutt uno, esse hanno una assa più grande della aggiore, che era di Kg. Dunque t * t. Siao giunti ad un assurdo perché entrabi i ragionaenti sono alidi a non può certo essere conteporaneaente t t t e t t. L errore non sta nei * * processi logici interedi a nelle preesse. Non può quindi essere ero che, quando sono lasciati cadere dalla edesia altezza, gli oggetti di assa aggiore toccano terra pria degli oggetti con assa inore. Quindi l accelerazione dee essere la stessa per tutti gli oggetti. 4
Il oto in caduta libera in erticale è uniforeente accelerato? Dopo aer scoperto che l accelerazione è la stessa per tutti gli oggetti in caduta libera, le osserazioni ostrano che il suo alore in prossiità della superficie terrestre è costante, cioè non dipende dall altezza alla quale l oggetto si troa. Quindi il oto di caduta libera in erticale è uniforeente accelerato erso il basso, le isure ostrano che l odulo di questa accelerazione ale: g 9.8 /s Pertanto se si lancia una pietra in erticale, durante la salita, ogni secondo sono sottratti 9.8 /s al odulo della elocità iniziale, finché questa non si annulla, e successiaente, durante la discesa, gli stessi 9.8 /s sono addizionati ogni secondo erso il basso e quindi l oggetto riassuerà necessariaente tutti i alori di elocità dell andata. In altri terini la costanza nel tepo dell accelerazione assicura la sietria del oto delle due fasi, precedente e successia all istante di assia altezza. Esepio 8 Un oggetto è lasciato cadere da un altezza di. Dopo quanto tepo giunge a y terra? Quanto ale la sua elocità un istante pria di enire arrestato dall ipatto col terreno? i /s In un riferiento con l asse delle ordinate in erticale le leggi orarie si scriono y( t) y t at ( t) at Se l asse è orientato erso l alto ed iniziao a contare il tepo dal oento in cui l oggetto è lasciato andare, del i dati del problea dientano: y a 9.8 /s /s E sostituendo: y( t) (9.8) t ( t) 9.8t Calcoliao il tepo di caduta iponendo che l altezza sia y( t) : a 9.8 /s f (9.8) t t 4.5 s 9.8 endo scartalo la soluzione negatia, pria di significato fisico in quanto precedente all istante iniziale. Per la elocità un istante pria di essere arrestata dal terreno abbiao: h y f /s (4.5) 9.8 4.5 44.3 /s a 9.8 /s Esepio 9 Un oggetto è scagliato erso l alto in erticale con elocità iniziale 5. /s. Quale altezza assia h raggiunge? In un riferiento con l asse delle ordinate in erticale le leggi orarie si scriono i 5. /s 5
y( t) y t at ( t) at Se l asse è orientato erso l alto ed iniziao a contare il tepo dal oento in cui l oggetto è lasciato andare, del i dati del problea dientano: y a 9.8 /s 5. /s E sostituendo: y( t) 5. t (9.8) t ( t) 5. 9.8t Pria di raggiungere il punto di assia altezza la elocità è positia, dopo negatia, quindi nel culine dee essere nulla: l oggetto è fero in quell istante. Calcoliao il tepo che ipiega a raggiungere la assia altezza iponendo quindi che ( t) /s : 5. ( t) 5. 9.8t t.5 s 9.8 Inserendo questo tepo nella legge oraria della posizione si troa la assia altezza: h y(.5) 5..5 (9.8)(.5).7 3. /s y 4. Esepio Un babino lascia andare un palloncino, che sale con elocità costante di 3. /s. Quando il palloncino ha raggiunto un altezza di 4. il babino lancia erticalente un sasso per colpirlo, ipriendo una elocità iniziale di /s. Qual è l altezza raggiunta dal palloncino nell istante in cui scoppia? Se il babino anca il bersaglio, dopo quanti secondi il sasso ripasserà nuoaente daanti al palloncino? /s Scriiao la legge oraria del sasso assuendo che parta dal liello del terreno: y 5t 4.9t s e quella del palloncino, che non è in caduta libera in quanto la sua elocità è costante per effetto della spinta di rchiede da parte dell aria. y 4. 3.t p Uguagliandole abbiao: t 4.9t 5. 3.t 7 89 4 (4.) (4.9) 4.9t 7t 4. t t.5 s t 3. s 9.8 ed il tepo aggiore corrisponde al secondo passaggio del sasso qualora il babino ancasse il bersaglio. Pertanto se il palloncino iene colpito questo si troa ad una altezza: y (.5) 4. 3..5 4.8 p Se inece iene ancato, fra i due istanti in cui il sasso lo sfiora passa un tepo: t 3..5.95 3.s t 6
Esepio 8 Un sasso iene lasciato cadere da un grattacielo, ed il tonfo iene udito dopo 8.7 s. Sapendo che la elocità del suono nell aria è c 34 /s, si dica quanto è alto s l edificio. Si dica inoltre, senza solgere alcun calcolo, se il tepo necessario perché il sasso si troi ad un altezza pari alla età di quella dell edificio è aggiore o inore del tepo coplessio di caduta. Indichiao con y l altezza del grattacielo, che coincide con la quota iniziale del sasso, entre la elocità iniziale è nulla. Uguagliando a zero la legge oraria della posizione del sasso si troa il suo tepo di caduta: y y( t) y gt t g Per giungere all orecchio percorrendo la distanza y con elocità costante il suono ipiega un tepo: y t 34 e la soa di queste due quantità dee fare: y y t t 8.7 s, g 34 per cui: 34 y y 8.7 34 g 5 y y 958 l eleazione al quadrato di abo i ebri creerebbe difficoltà con le cifre significatie per cui coniene porre z y e risolere l equazione nella ariabile ausiliaria: 5 5 4958 5 87 z 5z 958 z z 7.5 aendo scartato per oi otii la soluzione negatia. Si ottiene quindi y z 36. Per quanto riguarda il tepo necessario perché il sasso si troi a quota y questo è aggiore della età del tepo di caduta perché la elocità edia nella pria età dello spostaento è inferiore a quella durante la seconda età. Esepio Due palle engono lasciate cadere dalla stessa altezza distanza l una dall altra. Quale sarà la differenza fra le loro altezze che la seconda palla è partita? h 5, a. s di.5 s dopo y y Due oggetti lasciati cadere da una stessa altezza in tepi successii non antengono costante la loro distanza, dato che l oggetto che parte per prio sarà in ogni istante più eloce dell altro, e quindi ogni secondo percorrerà un tratto che è sepre aggiore. La distanza pertanto cresce con il tepo. Nel caso proposto, iniziando a contare il tepo da quando parte la seconda palla, per la pria palla areo: 7
y( t) y t gt doe y e sono altezza e posizione nell istante in cui parte la seconda palla. Calcoliaoli scriendo la legge oraria della pria palla facendola partire da h con. /s y( t) 5 4.9 t y(.) 5 4.9. 3 ( t) 9.8 t (.) 9.8. 9.6 /s Inseriao questi alori nella legge oraria con il tepo contato da quando parte la seconda palla e calcoliao la quota dopo.5 s : y ( t) 3 9.6t 4.9 t y (.5) 3 9.6.5 4.9.5 5.3 Scriiao la legge oraria della seconda palla e calcoliao la quota dopo y ( t) 5 4.9 t y (.5) 5 4.9.5 9 e la differenza fra le altezze risulta y (.5) y (.5) 9 5.3 68.7 Esepio.5 s : Un corpo lanciato erso l alto dopo 4 secondi si troa etri sopra alla linea di partenza. Qual è la sua elocità edia? Quel è la sua elocità edia se iene lanciato erso il basso e dopo 4 secondi si troa etri sotto il punto di partenza? y y f t i y y 4.5 /s y y f t i y y 4.5 /s. Esepio 3 Una ragazza decide di erificare di persona la caduta libera lanciandosi dalla finestra dopo aer posizionato un tappeto a olla sul fondo. Vola giù felice e passa daanti alla finestra del piano di sotto, ipiegando.5 s a percorrere la luce erticale che è di.. Quindi ribalza perfettaente sulla olla ripartendo con la edesia elocità con cui aea toccato terra. Risale fino a ripassare daanti alla stessa finestra ed ipiega ancora.5 s ad attraersarla. Se, nel coplesso, il tepo trascorso sotto al daanzale della finestra è. s, da che altezza si è lasciata cadere? Qual è la sua elocità dopo.5 di caduta? y y Trattandosi di un oto in caduta libera, il problea è sietrico in relazione alla caduta ed alla risalita, se quindi il tepo di peranenza sotto al daanzale è. s, dobbiao concludere che. s è di caduta ed. s di risalita. Coniene scriere la legge oraria della fase di risalita: y( t) t gt nella quale è ignoto il alore della elocità iniziale. Indichiao con y l altezza del daanzale, raggiunta nell istante t, e con y l altezza del bordo in alto della finestra, raggiunta nell istante t, quindi : 8
y t gt y t gt Sappiao dal testo che: t. s ; t..5.3 s ; y y. sottraendo le due relazioni precedenti si ottiene un equazione nella sola incognita : y y ( t t) g( t t ). sostituendo i alori noti: (.3.) g(.3. ).. 4.9(.3.). /s.3 Dalla forula a x si ricaano subito sia l altezza da cui è aenuta la caduta, che coincide con l altezza di assia risalita, sia la elocità dopo.5 di caduta:. g( h ) h.4 g 9.8 g(.5) 49. 7. /s 9