I Sistemi di riferimento Un Sistema di iferimento (S) è un insieme di regole e misure che ci permettono di rispondere ai quesiti dove si trova un punto? quando è avvenuto un evento? Un sistema di riferimento deve permettere di vincolare tutti i gradi di libertà del quesito. Esigenze storiche e strumentali, nonché differenti applicazioni hanno portato alla definizione di differenti S per georeferenziare punti e per temporeferenziare eventi.
I S tridimensionali Per definire un S nello spazio tridimensionale ricorriamo a tre versori e, e, e con origine comune, ortogonali e tali da formare una terna destrogira, ovvero tali che e e = e e = 1, e e = 0, e e = e,
Le coordinate di un punto e il vettore fra due punti Dato un punto P si tracciano le sue proiezioni ortogonali sugli assi,, identificati dai versori e e e,, ; data un opportuna unità di misura lineare u, definite P P P, le lunghezze delle tre proiezioni,, P è identificato dalla terna = P P P P = = P Q P Q P Q P Q, PQ Il vettore (base) congiungente due punti P e Q è dato da
La trasformazione fra S Analogamente a un corpo rigido i gradi di libertà di un S 3D sono 6: tre componenti di traslazione e tre angoli Per definire compiutamente un S tipicamente si impone la posizione dell origine, due angoli di direzione per l asse, un angolo di direzione per l asse.
La trasformazione fra S Si considerino due S [ e e e ] I e [ e e e ] II con uguale origine ma diverso orientamento degli assi. Per portare gli assi di uno dei due a coincidere con gli assi dell altro si deve operare una rotazione. Questa viene in genere (non è l unico modo possibile!) realizzata mediante la composizione di tre rotazioni piane rispetto ai tre assi. otazione piana imane fisso uno dei tre assi (asse di rotazione); gli altri due ruotano in senso antiorario rispetto all asse di rotazione; ad esempio per una rotazione pari a un angolo θ di e intorno a si ha
E immediato verificare che la relazione fra coordinate nel primo e nel secondo S è data dalla I I P II P II P P ) ( ) (,, θ = θ = = ove, matrice di rotazione intorno all asse, è I θ θ θ θ = θ 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ) ( Nota La trasformazione fra i versori che definiscono i S è data invece dalla [ ] [ ] ) (θ = T II e e e e e e
In generale indichiamo con,, le tre matrici di rotazione piana rispetto agli assi, e rispettivamente; siano,, i relativi angoli di rotazione. Si ha = x x x x cos sin 0 sin cos 0 0 0 1 ) ( = cos 0 sin 0 1 0 sin 0 cos ) ( = 1 0 0 0 cos sin 0 sin cos ) ( z z z z La composizione di tre rotazioni piane consecutive è formalizzata mediante il prodotto delle tre matrici di rotazione in ordine inverso rispetto all ordine delle rotazioni stesse.
La rotazione completa mediante composizione di,, Si ricorda che l ordine della composizione di tre rotazioni piane consecutive non è indifferente: nella rotazione da I ] [ e e e a II ] [ e e e tipicamente si adotta la sequenza,, che porta al risultato ) ( ) ( ) ( ),, ( ),, ( I II = =
1. otazione intorno all asse = ( ) I L angolo di rotazione viene scelto in modo tale che il nuovo piano [ e, e ] contenga il futuro versore e II ; il versore e giace sul futuro piano [ e, e ] II.
. otazione intorno all asse, = ( ) Si ottiene il versore e definitivo; il nuovo versore giace sul futuro piano II [ e e, ] II e,
3. otazione intorno all asse, II, ) ( = otazione completata! La matrice di rotazione complessiva per le coordinate è data dal prodotto delle 3 matrici precedenti =
Nota 1 La trasformazione fra i versori che definiscono i S in questo caso è data dalla [ ] [ ] [ ] T T T I T I II e e e e e e e e e = = Nota Si nota da ultimo che, I I I I I = = T T indipendentemente dall asse (I) e dall angolo di rotazione; ne segue che T T T T T T I I J K K J I I J K I J K = = = = ) ( indipendentemente dall ordine e dagli angoli delle rotazioni piane: l inversa di una rotazione qualunque può essere realizzata applicando alle coordinate ruotate la trasposta della matrice di rotazione originaria.
La trasformazione completa con fattore di scala Siano [ e e e ] I e [ e e e ] II due S con diverso orientamento, diversa origine e diversa unità di misura delle lunghezze ( u I e u II ). Si ha: T ] : coordinate dell origine di [ e e e ] I nel S [ e e e ] II 0 = [ 0 0 0 : matrice di rotazione per
portare [ e e e ] I paralleli a [ e e e ] II λ = u u 1 : fattore di scala, ovvero il rapporto fra le unità di misura di lunghezza nei due S. Sia P un punto di coordinate [ ] T P, I nel sistema di riferimento [ e e e ] I e sia la matrice di rotazione da [ e e e ] I a [ e e e ] II. Le coordinate di P nel secondo sistema di riferimento possono essere ottenute applicando nell ordine la rotazione, il cambio di scala e la traslazione di origine alle coordinate originali, ovvero P, II = 0 0 0 + λ P, I Poiché dipende dai tre angoli,, la trasformazione dipende in totale da 7 parametri.
Alcuni cenni di dinamica terrestre Per la successiva discussione dei S adottati in geodesia è necessario introdurre alcuni cenni di dinamica e fisica terrestre. Il nostro pianeta compie ciclicamente un orbita ellittica intorno al Sole (moto di rivoluzione): il periodo di rivoluzione è di 365.5 giorni solari; il piano contenente l orbita terrestre è detto piano dell eclittica; Il pianeta inoltre ruota intorno al proprio asse (moto di rotazione): il periodo di rotazione è di 1 giorno solare; asse di rotazione terrestre e asse ortogonale al piano dell eclittica formano un angolo di circa 3 7.
I moti dell asse di rotazione terrestre L asse di rotazione terrestre compie due moti conici nello spazio: Moto di precessione: un moto con angolo al centro di 3 7 e con periodo di 5800 anni; Moto di nutazione: un moto oscillatorio intorno al moto di precessione: con ampiezza angolare di 9. e con periodo di 18.6 anni.
Inoltre il pianeta oscilla rispetto al proprio asse di rotazione; ovvero, per un osservatore solidale al pianeta, la posizione del polo rispetto alla superficie terrestre cambia nel tempo: il moto è solo approssimatamente conico, ha periodo di circa 435 giorni e ampiezza di circa 0.1-0.. Tale fenomeno prende nome di fenomeno di polar motion o Chandler Wobble: ( 1997 Dr. Sten Odenwald)
Alcune definizioni Sfera celeste: sfera di raggio unitario centrata sulla Terra (considerata puntiforme) sulla quale vengono proiettati gli astri; per un osservatore solidale alla Terra la sfera appare ruotare da est a ovest intorno all asse di rotazione terrestre. Equatore celeste: proiezione del piano equatoriale sulla sfera celeste. Eclittica: proiezione dell orbita apparente del Sole sulla sfera celeste. Punti equinoziali: intersezione dell eclittica con l equatore celeste; γ: equinozio di primavera, γ equinozio d autunno.
Per i moti di precessione e nutazione equatore celeste e punti equinoziali variano nel tempo; data un epoca, sottraendo all equatore celeste e ai punti equinoziali effettivi gli effetti della nutazione si ottengono Equatore Celeste Medio e Punti Equinoziali Medi per quell epoca. In particolare si definiscono: Equatore Celeste e Punto Equinoziale γ di riferimento. Equatore e punto equinoziale di primavera medi per le ore 1 del 01.01.000 (epoca J000). Posizione convenzionale del polo per un certo intervallo La media delle posizioni del polo rispetto alla superficie del pianeta (ovvero la media rispetto al Chandler Wobble) in un determinato intervallo di tempo. In particolare: Origine Convenzionale Internazionale (CIO): media sugli anni 1900-1905; Polo Convenzionale Terrestre (CTP): ridefinizione del 1984 del Bureau International dell Heure (BIH).
Altri moti della massa costituente il pianeta Fenomeni periodici maree oceaniche; oscillazioni della distribuzione delle acque dovute all attrazione gravitazionale di Sole e Luna: da pochi decimetri a diversi metri maree terrestri; oscillazioni della distribuzione delle masse solide dovute all attrazione gravitazionale di Sole e Luna: alcuni decimetri! carico oceanico e atmosferico; deformazioni della crosta terrestre, dovute alle oscillazioni di massa oceanica e atmosferica: alcuni centimetri! Periodi fondamentali dei precedenti fenomeni: sottomultipli dei periodi di orbita relativa di sole e luna rispetto a un osservatore solidale alla terra Fenomeni non periodici La crosta del pianeta è interessata da fenomeni di: moto orizzontale (tettonica delle placche, -3 cm/anno), moto verticale (teoria dell isostasia, fino a 40 cm/anno).
Quindi: i S per il posizionamento terrestre devono descrivere una realtà fisica variabile nel tempo, realizzare un S implica la stima o la conoscenza esatta a priori di tutti questi fenomeni.
Sistemi di iferimento in Geodesia Viene data una definizione formale, cui segue la realizzazione del S, mediante osservazioni fisiche e geometriche (campo di gravità, distanze, angoli), al suolo e dallo spazio (livellazioni, osservazioni a stelle fisse). Per realizzare un S si deve fornire un catalogo di punti fondamentali di coordinate stimate coerenti con la definizione del S, rispetto ai quali determinare la posizione di nuovi punti. Poiché ogni realizzazione di un S dipende dalle osservazioni utilizzate, realizzazioni diverse della stessa definizione di S possono differire fra loro.
Sistemi di riferimento astronomici (inerziali o quasi inerziali) Origine nel centro di massa dei corpi celesti, direzioni degli assi definite da direzioni astronomiche fisse; vengono utilizzati per lo studio del moto degli astri e dei satelliti. Sistema di iferimento Convenzionale Celeste (SCC) E definito da: origine nel baricentro terrestre; asse ortogonale all Equatore Celeste di iferimento; asse definito dal Punto Equinoziale γ di riferimento, asse tale da completare una terna destrorsa. Il SCC viene utilizzato per il calcolo e la descrizione delle orbite dei satelliti terrestri, come quelli GPS. Il SCC non è solidale alla rotazione della Terra, quindi non è adatto per rappresentare la posizione di punti materializzati sulla sua superficie.
I Sistemi di iferimento Terrestri Servono per la georeferenziazione di punti solidali con i moti della Terra. Si distinguono in S globali Definiti e coerenti su scala planetaria, realizzati mediante reti globali di stazioni permanenti che utilizzano metodi della geodesia satellitare (VLBI, SL e, di recente, GPS) per stimare la propria posizione e il proprio spostamento nel tempo. S locali Orientati e definiti su scala locale mediante reti locali, regionali, nazionali (per l Italia oma40), continentali (per l Europa: ED50) di punti fondamentali planimetrici e altimetrici, la cui posizione relativa viene stimata mediante misure di angoli, distanze e dislivelli. Nota I S globali costituiscono, per le metodologie di misura e la precisione delle stime, lo stato dell arte. I S locali hanno valenza storica poiché vennero realizzati prima dell avvento della geodesia da satellite, ricorrendo a metodologie di misura e di stima meno precise di quelle oggi disponibili. Hanno però importanza fondamentale poiché spesso costituiscono il riferimento ufficiale cartografico per il territorio cui si riferiscono.
Il S di iferimento Convenzionale Terrestre (International Terrestrial eference System) L ITS è definito da: origine nel centro di massa convenzionale della Terra; asse passante per il Polo Convenzionale Terrestre (BIH 1984); asse definito dall intersezione fra piano meridiano di riferimento (piano meridiano passante per il punto fondamentale di Greenwich, BIH 1984) e piano equatoriale terrestre (BIH 1984); asse tale da completare la terna destrorsa.
Le reti di stazioni permanenti per la realizzazione dell ITS Sostanzialmente 3 metodi affini (ma non uguali) di osservazione: VLBI: Very Long Baseline Interferometry SL: Satellite Laser anging GPS: Global Positioning System realizzati da stazioni di osservazione monumentate in modo stabile, che operano continuativamente nel tempo.
La rete globale VLBI (International VLBI Service) http://ivscc.gsfc.nasa.gov/ivs.html
Circa 30 stazioni, realizzate mediante appositi radiotelescopi Le stazioni effettuano contemporaneamente misure a quasar: sostanzialmente le osservazioni derivate sono: angoli di osservazione dalle singole stazioni, differenze di distanza dai quasar alle stazioni.
La rete globale SL (International SL Service) http://ilrs.gsfc.nasa.gov/ Circa 90 stazioni attive nel pianeta, realizzate mediante cannoni laser orientabili
Le singole stazioni effettuano misure sui tempi di andata e ritorno del fascio laser dal cannone a satelliti artificiali in orbita geocentrica Nuovamente un osservazione derivata di distanza
La rete globale GPS (International GPS Service) http://igscb.jpl.nasa.gov/ 365 stazioni realizzate mediante ricevitori GPS operanti 4 ore su 4 che effettuano osservazioni di pseudo-distanza ai satelliti della costellazione GPS.
Gli scopi geodetici delle reti globali Dal 1988 i risultati forniti dalle singole metodologie vengono analizzati congiuntamente presso lo IES (International Earth otation Service), http://hpiers.obspm.fr/ sottocommissione di IAG e IAU, i cui scopi sono di determinare i parametri di orientamento e di rotazione terrestre (EOP) il Sistema di iferimento Internazionale Celeste il Sistema di iferimento Internazionale Terrestre le deformazioni in atto sulla crosta terrestre
La realizzazione dell ITS: l ITF (IT Frame) http://lareg.ensg.ign.fr/ Il numero di SP (VLBI, SL, GPS) aumenta; gli algoritmi di stima si raffinano. Quindi le stime di ITF (ovvero i cataloghi) si evolvono; si sono avuti: ITF89,, ITF97, ITF000. Una realizzazione di ITS (ITF) consiste nel catalogo delle coordinate delle Stazioni Permanenti che hanno contribuito alla soluzione Nell immagine, le SP utilizzate nella soluzione ITF000
Per ogni stazione del catalogo vengono stimate e fornite: posizione cartesiana geocentrica 0 (e σ0), velocità annuale & 0 (e σ& 0 ) all epoca di riferimento per la soluzione t 0. Posizione e velocità ITF000 di alcune stazioni permanenti GPS italiane (non si riportano i σ di stima) ITF000 STATION POSITIONS AT EPOCH 1997.0 AND VELOCITIES NOME (m) (m) (m) Vx (m/y) Vy (m/y) Vz (m/y) LAMPEDUSA LAMP 5073164.888 113451.45 3683181.03 -.014.0185.0137 BOLOGNA MEDI 4461400.895 919593.43 4449504.68 -.0187.000.0086 GENOVA GENO 450789.447 70761.39 4441603.46 -.0165.0194.009 TOINO I TOI 447544.459 601634.19 449545.11 -.0113.0193.0094 CAGLIAI CAGL 4893378.933 77649.65 400418.063 -.01.0195.0116 MATEA MATE 4641949.707 1393045.71 413387.343 -.0188.0191.0131 PADOVA UPAD 4389531.83 9353.64 451956.346 -.0174.0188.0104 BOLANO BG 431657.614 864634.517 4603844.341 -.014.0189.0139 PEUGIA UNPG 4555145.78 9978.63 433743.551.0163.048.0399
La stima della posizione della stazione a una generica epoca t t 0, è data dalla ( t) = 0 + & 0 ( t t0 ), σ i i0 i0 ( t) = σ + σ& ( t t 0 ) in ITF97 i σ erano dell ordine di alcuni mm, in ITF000 migliorano, imangono però significativi problemi di coerenza nelle stime, che implicano la necessità di approfondimenti e miglioramenti dei metodi di stima. In tabella alcuni confronti fra ITF97 e ITF000 su SP catalogate in ITF dal 1989. ITF1997 (t=003.5)- ITF000(t=003.5) GASSE MEDICINA IMMEWALD [m] 0.01 0.0194 0.094 [m] 0.0035 0.0044 0.000 [m] -0.0179-0.0131-0.0046
ealizzazioni europea e italiana dell ITF: ETF89 e IGM95 ETF89 rappresenta la realizzazione europea dell ITF89. La nuova rete geodetica fondamentale italiana, monumentata e rilevata dall Istituto Geografico Militare Italiano (IGMI) e denominata IGM95, si compone di circa 100 caposaldi sul territorio nazionale le cui coordinate sono calcolate e monografate in ETF89: quindi ETF89 è un raffittimento europeo di ITF89, IGM95 è un raffittimento nazionale di ETF89. Nell immagine, il quadro d unione per igm95, dal sito http://www.nettuno.it/fiera/igmi/igmit.htm
Un altro S globale: il WGS84 Il S globale WGS (World Geodetic System) viene sviluppato dal Defence Mapping Agency (DMA), ora NIMA (National Imagery and Mapping Agency), a partire dagli anni 60; E formalmente definito come ITS, ma è realizzato mediante una rete di stazioni di controllo del NIMA. Negli ultimi 40 anni anche le realizzazioni del WGS84 si sono evolute in funzione dei dati e delle informazioni disponibili; attualmente siamo alla realizzazione WGS84(G1150). Il WGS84 è realizzato con minore precisione dell ITF: la coerenza fra i S è di alcuni centimetri. E comunque un S fondamentale, perché è il S in cui vengono calcolate e fornite all utenza le orbite dei satelliti GPS.
Coordinate WGS84(G873) e differenze rispetto alle WGS84(G736) di alcune stazioni di controllo del NIMA (NIMA, 003)
Le coordinate geodetiche in un S 3D: l ellissoide di riferimento Nelle applicazioni di posizionamento terrestre occorre una superficie geometrica di riferimento descritta da pochi parametri che ben approssimi la forma della Terra, rispetto alla quale sia definibile e utilizzabile in pratica un sistema di coordinate: l ellissoide di rotazione L ellissoide di rotazione è una figura geometrica che coniuga semplicità d uso e consistenza con la forma del pianeta. L ellissoide si presta dunque per descrivere le coordinate planimetriche di punti rispetto alla superficie terrestre. Definiamo ellissoide di rotazione con centro nell origine del S il luogo dei punti,, tali che a + + b = 1
ove a b semiasse maggiore o equatoriale; semiasse minore o polare. In funzione dei parametri a e b si possono definire: b l eccentricità e = 1 a ( a b) e lo schiacciamento f = a Forma e dimensioni di un ellissoide sono determinate dalla scelta dei suoi parametri: in applicazioni di posizionamento terrestre l ellissoide viene scelto in modo da approssimare al meglio il geoide terrestre (vedi oltre); nella storia, con il miglioramento delle stime della forma del geoide, si sono progressivamente adottati differenti ellissoidi; fra questi
Ellissoide Internazionale (Hayford, 194) WGS84 GS80 a (m) f 6378388 1/97 6378137 1/98.573563 6378137 1/98.57101 A titolo di esempio si ricorda che, rispetto all ellissoide GS80, il geoide presenta scostamenti a media nulla e con valori massimi di 100 m. Geoide e ellissoide: gli scostamenti sono magnificati di un fattore 1000 per permetterne la percezione visiva.
Le coordinate geodetiche di un punto P Dato un S e il relativo ellissoide associato le coordinate geodetiche di P sono definite da ϕ: (latitudine geodetica): angolo fra la normale all ellissoide passante per P e il piano equatoriale [,]; λ: (longitudine geodetica): angolo antiorario fra il piano meridiano per P e il piano meridiano origine [,]; h: (quota ellissoidica) distanza lungo la normale all ellissoide fra l ellissoide stesso e P.
La relazione fra coordinate cartesiane e geodetiche di P è data da P P P = ( N + h = ( N + h P P = [ N(1 e )cosϕ )cosϕ ) + h P P P cosλ sin λ P ]sin ϕ P P a ove N =, ( 1 esin ϕ P ) N è definito grannormale (da non confondere con l ondulazione del geoide). Il passaggio [ϕ, λ, h] P [,, ] P è immediato; il passaggio inverso richiede qualche conto, ma è comunque ben definito. In genere viene svolto in modo iterativo: λ = arctan
per ϕ e h si considera la seguente uguaglianza: ϕ + + = + ϕ ϕ tan ) (1 h N h e N alla prima iterazione si trascura la quota, ottenendo + = ϕ 1 1 1 arctan e, ) sin 1 ( 1 1 ϕ e a N =, 1 1 1 cos N h ϕ + = quindi si itera, utilizzando per ogni iterazione + + + = ϕ 1 1 1 1 ) (1 arctan i i i i i h e N h N, ) sin (1 i i e a N ϕ =, i i i N h ϕ + = cos il procedimento si arresta allorché stime successive di ϕ e h non differiscono in modo significativo.
La trasformazione di Molodensky. Si è visto come trasformare le coordinate cartesiane di un punto da un S ad un altro mediante una rototraslazione con fattore di scala (.T.c.f.s.). Esiste anche un metodo per il calcolo diretto della trasformazione delle coordinate geodetiche fra S (trasformazione di Molodensky), sempre a 7 parametri, ovvero, anziché la [,, ] SI Tcfs [,, ] SI si può usare la [ ϕ, λ, h ] Molodensky [ ϕ, λ, h] SI Svantaggi Formulazione più complessa e meno intuitiva (non affrontata in questa sede). Vantaggi Viene disgiunta la componente planimetrica [ϕ, λ] da quella altimetrica (h). Questa necessità è legata alla trasformazione fra S con quote ellissoidiche e S con quote ortometriche (vedi oltre). SI
Una nota su Sistemi di riferimento e Sistemi di coordinate Definiti due S la trasformazione delle coordinate di un punto da uno all altro è realizzata mediante una trasformazione fra S. Tale trasformazione è geometricamente ben definita qualora si conoscano i parametri di trasformazione, il che, in ambito geodetico, non è sempre vero: spesso i parametri di trasformazione fra S sono noti solo con approssimazione e quindi qualunque trasformazione di S implica una perdita di precisione delle stime di posizione. Definito un S la posizione di un punto P in quel S può essere espressa mediante diversi Sistemi di Coordinate: abbiamo visto le coordinate cartesiane geocentriche e le coordinate geodetiche. La scelta su quale sistema di coordinate utilizzare è basata su motivi di comodità interpretativa e computazionale: la trasformazione fra diversi sistemi di coordinate all interno di un unico S è sempre calcolabile esattamente.
Introduzione al geoide: cenni alla struttura e forma della Terra In prima approssimazione il pianeta può essere considerato composto da diversi strati concentrici. Nucleo interno solido: raggio ca. 15 Km costituenti: composti di ferro e nikel, ρ 13 gr / cm Nucleo esterno liquido: spessore ca. 70 Km costituenti: composti di ferro e nikel, ρ 11gr / cm 3 3
Mantello inferiore: spessore ca. 00 Km 3 costituenti: eterogenei, ρ 5 gr / cm Mantello superiore: spessore ca. 645 Km costituenti: silicati di magnesio, ρ 3.5 gr / cm Crosta: spessore ca. 30 Km (variabile da 5 a 60 Km) 3 costituenti: stratificato, ρ.8 gr / cm Al di là di questa categorizzazione elementare la struttura interna di ogni strato presenta significative eterogeneità laterali: Il campo di gravità terrestre, e le relative superfici equipotenziali non hanno simmetria semplice nello spazio. 3
Il geoide La forza gravitazionale generata da una massa M puntiforme su un corpo di massa unitaria posto a distanza r è data dalla F = M G 3 r r ove G è la costante di gravitazione universale, 9 3 1 G = 66.7 10 cm g sec. Alla forza gravitazionale è possibile associare un potenziale (potenziale gravitazionale)
F = M V = G r tale per cui V V V gradv =,, Caso Terrestre: corpo esteso e disomogeneo, in rotazione Il potenziale gravitazionale che la Terra esercita in un punto P è dato dall integrale esteso a tutta la distribuzione di massa del pianeta V (P) = G Terra dm(q) r PQ
Si consideri inoltre il moto di rotazione, supponendo che avvenga intorno all asse con velocità angolare costante ω. Alla forza gravitazionale si aggiunge la forza centrifuga che, in un punto P = [,, ] solidale al moto di rotazione, è data da f = ω 0 Anche alla forza centrifuga si può associare un potenziale ω Φ (,, ) = ( + Si consideri ora la somma delle forze agenti su un punto, dovute alla gravitazione del pianeta e alla rotazione del S; si consideri la somma dei potenziali associati a tali forze: )
W (,, ) = V (,, ) + Φ(,, ) W prende il nome di potenziale di gravità terrestre; il suo gradiente g = grad(w ) è definito forza di gravità terrestre; le unità di misura usualmente adottate in geodesia per g = g sono cm 3 il gal, 1gal = 1 e il mgal, 1mgal = 10 gal. s Le superfici equipotenziali per W e il geoide Si considera il potenziale di gravità W(,,). Dato uno spostamento infinitesimale d T ( d = [ d, d, d] ) nello spazio si ha sempre dw ( d) = gradw d = g d Si consideri ora la generica superficie equipotenziale per W, ovvero la superficie di equazione
W (,, ) = W 0 = cost per uno spostamento d sulla superficie W = W0 si ha dw ( d 0 ) = 0; quindi g d W 0 ovvero W g W0 (,, ) ovvero una superficie equipotenziale di gravità è ortogonale in ogni suo punto alla forza di gravità stessa. Evidentemente, considerata la forza di gravità terrestre, esistono infinite superfici equipotenziali, in funzione della scelta del valore W 0. Quella particolare superficie equipotenziale passante per un insieme di punti definenti il livello medio dei mari è definita geoide. La Terra è un corpo disomogeneo e di forma solo approssimatamente simmetrica; quindi la superficie del geoide, pur essendo abbastanza liscia, è irregolare e non descrivibile mediante semplici funzioni analitiche: si ricorre in genere a sviluppi in armoniche sferiche.
Si definisce ondulazione del geoide N(ϕ,λ) rispetto a un ellissoide di riferimento nel punto di coordinate geodetiche (ϕ, λ) lo scostamento del geoide rispetto all ellissoide. Dato un ellissoide di rotazione, i cui parametri di forma siano scelti opportunamente, lo scostamento massimo fra geoide e tale ellissoide è di 100 m Nota Il geoide non coincide mai con il livello istantaneo degli oceani: su di essi infatti, oltre alla forza di gravità terrestre, agiscono continuamente altre forze perturbative, periodiche (maree) e non (correnti oceaniche); si può però affermare che, il geoide coincide con la superficie ideale che assumerebbero gli oceani se su di essi agisse solo la forza di gravità terrestre e se essi potessero prolungarsi sotto le terre emerse.
Ondulazione del geoide secondo il modello globale EGM96, dal sito: http://cddisa.gsfc.nasa.gov/96/egm96/egm96.html
Le stime di geoide globali e locali La conoscenza di N (e di altri funzionali del potenziale di gravità) può essere fornita tramite stime (modelli) globali e stime (modelli) locali. Stime/modelli globali (per l intero pianeta): vengono determinate facendo uso di dati derivati da misure a terra e da satellite per l intero pianeta. Hanno validità globale e sono riferite ad un ellissoide geocentrico (generalmente il GS80). Sono tipicamente disponibili liberamente e hanno precisioni circa metriche. Stime/modelli locali (per una regione limitata): vengono determinate a partire da dati ricoprenti un certo territorio di interesse, tipicamente a scala continentale o nazionale: hanno ambito limitato, ovvero il territorio cui si riferiscono i dati, ma sono in genere più accurate delle stime globali.
Un esempio di modello globale La maschera di calcolo di N secondo il modello globale EGM96, presso il sito WEB del NIMA.
Modelli locali: il modello ITALGEO per l Italia ITALGEO è il modello locale ufficiale per l Italia. Viene stimato e periodicamente aggiornato dal DIIA del Politecnico di Milano, su convenzione per l IGMI, che ne cura la distribuzione al pubblico. La stima più recente è ITALGEO99. Le ondulazioni N sono stimate e memorizzate per i nodi di una griglia regolare in ϕ e λ (con passo di ' x ') e sono riferite all ellissoide GS80. Per un generico punto del territorio la stima può essere ricavata (mediante interpolazione non banale) a partire dalle stime nei nodi circostanti il punto. La precisione è decimetrica in assoluto, di circa 1 parte per milione (ppm) in relativo. In figura, ondulazione del geoide secondo il modello ITALGEO95 (Barzaghi et al., 1995)
I S locali Tipicamente si vincola il S vincolando l ellissoide di riferimento, senza definire assi e coordinate cartesiane: si impone la forma (a, b) per l ellissoide di riferimento; quindi si impongono 6 condizioni per vincolare l ellissoide: Orientamento locale si considera un punto fondamentale P e si impone che in tale punto lo scostamento fra normale all ellissoide e normale al geoide (deviazione della verticale) sia annullato ( vincoli di traslazione e di rotazione); si impone che la quota ellissoidica sia uguale alla quota ortometrica (1 vincolo di traslazione). l ultimo vincolo di rotazione viene imposto fissando la rotazione attorno alla normale in P; ad esempio imponendo l azimut A da P a un secondo punto Q: A(PQ)geodetico= A(PQ)astronomico
S locale italiano: oma40 Sistema di iferimento Nazionale Italiano fondamentale per la cartografia nazionale Ellissoide: internazionale (Hayford) Orientamento locale, nel punto fondamentale di oma M.Mario con imposizione dell azimut con il punto di M. Soratte. ealizzazione e disseminazione: rete di triangolazione fondamentale I.G.M. (compensazione a blocchi 1908-1919) e reti di raffittimento.