Controllo del moto e robotica industriale

Corollo del moo e roboc dusrle Pczoe d reore Pro. Polo Rocco (polo.rocco@polm.) Pczoe dell reor Co l pczoe dell reor s ede sblre l modlà co cu s uole che eol l momeo del mpolore, d u posur zle d u posur le. S r d dere s l percorso geomerco s l legge d moo d relzzre (oss l dpedez emporle d poszo, elocà ed ccelerzo). L corre pczoe dell reor h esrem mporz, perché compor che l reor poss essere esegu d pre del ssem d corollo del moo ello chuso, sez correre e lm d surzoe degl uor o proocre dose solleczo meccche ll sruur. I geerle c s poe l obeo d pcre reore curur uo pù possble regolre. N.B. È mpore o coodere coce d percorso (luogo geomerco de pu che l mpolore dee descrere) e reor (percorso su cu s s specc u legge orr). Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco []

Igress e usce dell lgormo Per l lgormo d pczoe dell reor poremmo dere segue: Igress Dezoe del percorso Vcol l percorso Vcol dou ll dmc del mpolore Usce reore ( gu o ll orgo ermle) espresse come seuez de lor ssu d poszoe, elocà, ccelerzoe I geerle l uee specc u umero rsreo d prmer: Per l percorso: pu esrem, eeul pu ermed, prme geomerche Per l legge d moo: empo complesso, elocà e/o ccelerzo mssme, elocà e/o ccelerzo deerm pu Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [] Spzo opero e spzo de gu reore ello spzo opero: s desce l percorso dell orgo ermle del mpolore el comue spzo creso. L descrzoe del compo è urle Soo clmee descrbl col sul percorso Pu d sgolrà o grd d moblà rdod geero problem Occorre og cso uo sdo d ersoe cemc per pssre llo spzo d uzoe reore ello spzo d guo: s specc dremee l dmeo desdero per l poszoe, l elocà e l ccelerzoe de sgol gu. Cosee d rsolere dremee problem rel sgolrà cemche È u modlà d eresse udo gu o do luogo d u moo coordo oppure udo eress solo che gl ss s poro d u poszoe zle d u le (e o h eresse l momeo rsule ello spzo opero) Per pu esrem può essere ecessr u ersoe cemc delle posure ssege dll uee Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [4]

Pczoe d reore Pre I Moo puo-puo ello spzo de gu Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [5] reore ello spzo de gu Co l pczoe dell reor ello spzo de gu s desder geerre u uzoe () che erpol lor sseg per le rbl d guo, rspedo col mpos. Alcu crer per l scel dell reor possoo essere: Bss complessà compuzole Couà d poszo e elocà (ed eeulmee d ccelerzo) Mmzzzoe d ee desder (curur o regolre) Opermo u dszoe: Moo puo-puo: s specco solo pu esrem ed l empo d rszoe Moo su percorso ssego: s specco che de pu ermed N.B. Nel seguo remo rermeo ll pczoe dell reor per u sgol rble d guo. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [6]

reore poloml Il cso pù semplce d pczoe dell reor per moo puo-puo s h udo soo specce lcue codzo zl e l sull poszoe, elocà ed eeulmee che su ccelerzoe e jer (der dell ccelerzoe) ed l empo d percorrez. S possoo predere cosderzoe uzo poloml del po: () Pù lo è l grdo del polomo, pù codzo l cooro s possoo soddsre e pù smooh (dolce) srà l reor. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [7] reore cubche S suppog che so specce le segue codzo l cooro: u se zle ed u se le e poszoe e elocà zle e poszoe e elocà le e S ho ud uro codzo l cooro, per poer rspere le ul occorre ulzzre u polomo d grdo lmeo pr re (cubc): Impomo le codzo l cooro: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s oee: ( ) ( ) ( ) ( ) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [8]

reore cubche: esempo, s,,, / s 4 Poszoe 4 Velocà grd grd/s -...4.6.8 - -...4.6.8 (s) 5 Accelerzoe 5 grd/s -5 - -5 -.5.5.5 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [9] Polom d grdo cue Per mporre codzo che sulle ccelerzo, occorre pssre polom d grdo 5: 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 5 Impoedo le codzo l cooro: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s oee: 4 5 ( ) ( 8 ) ( ) ( ) ( 4 6 ) ( ) ( ) 6( ) ( ) 5 4 Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco []

Polomo d grdo cue: esempo, s,,, / s, / s 4 Poszoe 4 Velocà grd grd/s -...4.6.8 - -...4.6.8 (s) 5 Accelerzoe 5 grd/s -5 - -5 -.5.5.5 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [] reor rmoc L reor rmoc geerlzz l euzoe d u moo rmoco, el ule l ccelerzoe è proporzole llo sposmeo, m d sego opposo. U reor rmoc prese dere coue u pu er ll erllo emporle dell reor, per ulss orde d derzoe. Le euzo soo le segue: () ( ) π cos () () () j π π ( ) ( ) π s ( ) ( ) π ( ) ( ) π cos ( ) π s ( ) ( ) (jer) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco []

reor rmoc (esempo), 8s,, Poszoe Velocà 8.5 grd 6 4-4 6 8 grd/s.5-4 6 8 grd/s.5 -.5 Accelerzoe - - 4 6 8 (s) grd/s Jer.5 -.5 -. -.5 -. -.5 -. - 4 6 8 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [] reor cclodle L reor rmoc prese dscouà ell ccelerzoe egl s zle e le, e ud lor o de (o ) d jer. U ler è l reor cclodle, che prese couà che ell ccelerzoe. Le ormule soo: () ( ) π( ) s () () () j 4 π( ) ( ) π ( ) ( ) π ( ) π cos ( ) π s ( ) π cos Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [4]

reor cclodle (esempo), 8s,, Poszoe Velocà grd 8 6 4-4 6 8 grd/s.5.5.5-4 6 8 (s) Accelerzoe Jer.5.5 grd/s grd/s -.5 -.5 - - 4 6 8 (s) - - 4 6 8 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [5] Prolo d elocà rpezodle (P...) U procedmeo d lrgo ulzzo ell prc dusrle per geerre l reor cosse el pcre u prolo d poszoe lere rccordo ll zo e ll e dell reor co r prbolc. Il prolo d elocà che e rsul h l pco dmeo rpezodle... L reor è ud ds re pr:. Accelerzoe cose, elocà rmp, poszoe prbol;. Accelerzoe ull, elocà cose, poszoe lere;. Decelerzoe cose, elocà rmp, poszoe prbol. Spesso l dur dell se d ccelerzoe (se ) è pos ugule ll dur dell se d decelerzoe (se ): s oee ueso modo u reor smmerc rspeo ll se medo r uell zle e le. Nurlmee dee essere ( )/. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [6]

P...: euzo reor Fse d ccelerzoe, [ ] () () ( ) () ( ) Fse d decelerzoe, [ ] () () ( ) () ( ) Fse d elocà cose [, ] () () () Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [7] P...: esempo, 4s, s,,, / s grd Poszoe 5 5 5-4 5 grd/s 8 6 4 Velocà - - 4 5 (s) Accelerzoe 5 grd/s -5 - - 4 5 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [8]

Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [9] P...: col P...: col Nell scel de prmer dell reor deoo essere sodds de col, che sscuro l poszomeo correo el empo presblo. S osser che l elocà ll se s può oeere come: ( ) ( ) ( ) doe m m m m Iolre rsul: Elmdo dlle precede euzo le rbl m,, m, s rc l colo: ( ) ( ) U colo sull elocà s oee dll ormul: Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [] P...: possbl specche P...: possbl specche D: l dsz d percorrere h l empo d percorrez h Se mpomo l ccelerzoe: h 4 Se mpomo /: (dee essere: ) 4 h Se mpomo l elocà: h

d cu: P...: ccelerzoe e elocà mx Se s ogloo mporre lor mssm d elocà ed ccelerzoe cose dll uore, s poe: mx empo d ccelerzoe mx h mx ( ) dsz percors L dur del moo (che o è mpos) le ud: h mx () mx ( ) mx mx ( ) < Aezoe: l ro lere esse se e solo se: < mx Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [] h mx mx mx Se: P...: elocà mx o rggu h < mx mx s mpoe: h mx d cu: () mx mx ( ) ( ) < L elocà mssm rggu ueso cso è ud: h h mx Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco []

P...: empo d poszomeo Impoedo l mssm ccelerzoe e/o l mssm elocà, ell pczoe dell reor o s mpoe l dur del poszomeo. Esso rsul dlle segue ormule. ) Se o s rgguge l elocà mssm: h mx ) Se s rgguge l elocà mssm: h mx mx mx Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [] P...: moo coordo d pù gu Se s deoo coordre pù gu co gl sess col sulle ccelerzo e elocà mssme, per uello che dee eeure l momeo mggore s mpos.. l mssmo lore d ccelerzoe mx e s clcolo lor e corrspode. Per gl lr gu s pc l momeo sull bse dell dur e del empo d ccelerzoe, secodo le ormule se precedeemee. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [4]

Lmzoe del jer Nell reor prolo d elocà rpezodle l ccelerzoe h u dmeo dscouo. Ne cosegue che l jer (der dell ccelerzoe) ssume lor. Queso prooc or solleczo sul ssem meccco, che possoo durre brzo. Per ore ueso problem, s può modcre l pczoe dell reor, ddo couà l prolo d ccelerzoe, che ssume dmeo rpezodle elle due s d ccelerzoe zle e decelerzoe le. L reor è ud ds re pr prcpl:. Fse d ccelerzoe (l ccelerzoe ee por lermee l lore mssmo, meu l lore mssmo e rpor lermee zero);. Fse d crocer (elocà cose);. Fse d decelerzoe (s deceler modo speculre rspeo ll se ). A mx.. j j A mx Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [5] Mess scl d reore U ol pc u reor è spesso ecessro sclrl per soddsre col del ssem d uzoe, che s meso erm d surzo. S prl prcolre d:. Mess scl cemc: s dee re modo che l reor rspe col sull mssm elocà e sull mssm ccelerzoe;. Mess scl dmc: s dee re modo che gl uor del ssem meccco o ego rchese coppe superor lle coppe mssme erogbl. Il problem dell mess scl cemc h rlez per ue prol d reor (cubc, rmoc, ecc.) per ul l lor o soo mpos ell pczoe. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [6]

Normlzzzoe dell reor Al e d sclre l reor, è opporuo esprmerl orm prmerc uzoe d u prmero σσ(), opporumee ormlzzo. D l reor (), de r pu e e d dur, l su espressoe orm ormlzz èl seguee: () hσ( τ) co h e: σ d() h () Ne cosegue: σ τ d d () h σ () τ d d () h σ ( ) () τ d () τ, τ, τ I lor mssm d elocà, ccelerzoe, ecc., s oegoo corrspodez de lor mssm delle uzo σ () (τ): modcdo l dur dell reor è possble soddsre col sulle surzo cemche. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [7] reor polomle d grdo L reor può essere prmerzz co l polomo: σ () τ τ τ τ Impoedo le codzo l cooro σ'(), σ'() (olre σ (), σ ()):,,, d cu: σ τ τ τ σ τ 6τ 6τ () σ () τ 6 () σ () τ τ I lor mssm d elocà ed ccelerzoe soo ud: σ σ mx mx σ σ (.5) mx h 6h ( ) 6 mx Operdo sull dur dell reor possmo rspere col su elocà ed ccelerzoe. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [8]

reor polomle d grdo 5 L reor può essere prmerzz co l polomo: σ 4 5 () τ τ τ τ τ d cu: 4 5τ Impoedo le codzo l cooro σ (), σ (), σ'(), σ'(), σ''(), σ'' () :,,,, 5, 6 4 5 4 5 () τ τ 5τ 6τ σ ( τ) 6τ 8τ 4 () τ τ 6τ τ σ () τ 6 6τ 6τ σ τ σ I lor mssm d elocà, ccelerzoe e jer soo ud: 5 5h σ mx σ (.5) mx 8 8 h σ mx σ (.) mx h σ mx σ ( ) 6 jmx 6 Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [9] reor rmoc L reor può essere prmerzz co l uzoe: σ() τ ( cos πτ) d cu: π σ () τ s πτ σ () τ π cos πτ π σ () τ s πτ I lor mssm d elocà, ccelerzoe e jer soo ud: π πh σ mx σ (.5) mx π π h σ mx σ ( ) mx π π h σ mx σ (.5) jmx Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco []

reor cclodle L reor può essere prmerzz co l uzoe: σ() τ τ s πτ π d cu: σ () τ cos πτ σ () τ πs πτ σ () τ 4π cos πτ I lor mssm d elocà, ccelerzoe e jer soo ud: h σ mx σ (.5) mx h σ mx σ (.5) π mx π h σ mx σ ( ) 4π jmx 4π Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [] Mess scl cemc: esempo S uole relzzre u reor co, 5, per u uore crerzzo d:, 8 mx mx S ho segue rsul (h4 ): reor Pol. grdo Pol. grdo 5 Armoc Cclodle Formule h mx 6h mx 5h mx 8 h mx πh mx π h mx h mx h mx π Vcol m h 6 6h.7 8 5h.5 4 h.699 4.5 πh.94 6 π h.57 6.94 h.667 πh.77 8.667 Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco []

Mess scl dmc Dscueremo l ecc dell sclur dmc dell reor cedo dremee rermeo l modello dmco del mpolore roboco, l cu euzoe ( ssez d ro e d orze d erzoe co l mbee) è l seguee: B C, g ( ) ( ) ( ) τ Per og guo le ud u euzoe del po: B ( ) C ( ) g ( ) τ,, co C () opporu mrce. Cosdermo u prmerzzzoe dell reor:, d cu: ( σ) σ σ( ) d d d σ, σ σ dσ dσ dσ Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [] Mess scl dmc Sosuedo el modello dmco relo l sgolo guo s h: B d dσ σ d dσ ( ( σ) ) B ( ( σ) ) C ( ( σ) ) σ g ( ( σ) ) τ oero u euzoe ell orm: α ( σ) σ β ( σ) σ γ ( σ) τ d dσ d dσ S osser che γ dpede solo dll poszoe (o dll elocà). Le coppe ecessre per esegure l moo rcheso soo ud: τ () α ( σ( ) ) σ ( ) β ( σ( ) ) σ ( ) γ ( σ( ) ),,,, [ ], Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [4]

Mess scl dmc Per oeere u ders prmerzzzoe dell reor cosdermo or u sclur dell sse de emp, per esempo lere: θ θ, S oee: σ [ ] () σˆ ( θ), σ () σ ˆ ( θ), σ ( ) σ ˆ ( θ) doe l pce dc l der rspeo θ. Se > l reor è pù le. Se < l reor è pù eloce. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [5] τ Mess scl dmc () α ( σ( ) ) σ ( ) β ( σ( ) ) σ ( ) γ ( σ( ) ),,,, [ ], Co l uo prmerzzzoe le coppe deo: τ ( θ) α ( σˆ ( θ) ) σ ˆ ( θ) β ( σˆ ( θ) ) σ ˆ ( θ) γ ( σˆ ( θ) ) σ ( ()) () σ ( ()) () α σ β σ γ ( σ() ) Pero: τ [ α ( σ() ) σ ( ) β ( σ( ) ) σ ( ) ] γ ( σ() ) [ τ () g ( σ() )] g ( σ() ) ( θ) g ( θ) [ τ () g () ] Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [6]

τ Mess scl dmc ( θ) g ( θ) [ τ () g () ] Rprmerzzdo l reor o è ecessro rclcolre l dmc del ssem; Le uoe coppe s oegoo, sez cosderre l erme grzole (che o dpede dll prmerzzzoe), molplcdo per l ore / le coppe oeue co l reor orgle; L uo reor h dur. (σ) θ σ σ mx Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [7] Mess scl dmc S bb u mpolore due grd d lberà sooposo d u reor che geer le segue coppe: τ τ Per meere scl l reor s clcolerà l lore: U U U U τ mx, U τ, U Le uoe coppe sro relzzbl (τ(θ) τ()/ ) ed lmeo u surerà u puo. Meere scl u reor per ere che l copp ecced l lore mssmo u do ro può rllere eccessmee l esecuzoe: s rcorre llor d u mess scl rble (coè pplc solo e r cu s h surzoe d copp). Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [8]

Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [9] Pczoe d reore Pczoe d reore Pre II Moo su percorso ssego ello spzo de gu Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [4] Ierpolzoe mede polom Ierpolzoe mede polom Il problem d deermre u reor che pss per pu può essere rsolo modo uoco dodo u uzoe polomle d grdo, del po: () D lor,,,, s cosruscoo eor, e l mrce (d Vdermode) come: Ne cosegue: (l mrce è sempre erble se >,,,)

Ierpolzoe mede polom: esempo 5 Poszoe Velocà 4 grd grd/s - - - 4 6 8 - - 4 6 8 (s) Accelerzoe 4 8 4 4 5 4 5 grd/s - - - -4-4 6 8 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [4] Ierpolzoe mede polom U ggo edee dell erpolzoe polomle è che l uzoe () h dere coue d orde ulss ll ero dell erllo [ ]. u l meodo o è ecee dl puo d s umerco: ll umere del umero d pu ume l umero codzoe (rpporo r l mssmo ed l mmo lor sgolre) dell mrce d Vdermode, rededo l problem dell su ersoe ml codzoo umercmee. Se, per esempo, /,,,: 5. 4 98.87 5 686.4 6 494.7.59 7 5 4..9 6 Essoo che lr meod, pù ece, per clcolre coece del polomo, m le dcolà umerche permgoo per lor ele d. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [4]

Ierpolzoe mede polom Ache prescdedo dlle dcolà umerche, l erpolzoe d pu mede u uco polomo d grdo prese degl sgg:. l grdo del polomo dpede d e, per ele lor d, l uà d clcol d esegure può essere oeole;. l rzoe d u solo puo (, ) mplc l rclcolo dell ero polomo;. l ggu d u puo le (, ) mplc l ulzzo d u polomo d grdo mggore ed l rclcolo d u coece 4. l soluzoe che s oee prese geerle oscllzo desdere U ler è, zché cosderre u uco polomo d grdo, ulzzre polom d grdo p (pcmee erore), oguo de ul deo u ro dell reor. Il grdo p de polom è ormlmee preso ugule (r d reor cubc). U prmo, oo, modo d procedere cosse ell ssegre poszo e elocà u pu e clcolre coece delle cubche r due pu cosecu. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [4] Ierpolzoe mede cubche 5 Poszoe Velocà 4 grd grd/s - - - 4 6 8 - - 4 6 8 (s) grd/s 4 Accelerzoe / s / s 4 / s 4 8 4 4 / s 5 5 4 5 / s - -4-5 5 5 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [44]

Ierpolzoe mede cubche Se egoo solo specc pu d pssggo sez speccre le elocà ermede, uese s possoo clcolre pprossmmee co regole del po: essedo: sg sg ( ) sg( ) ( ) sg( ) l pedez (rpporo cremele) el ro [, ]. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [45] Ierpolzoe mede cubche 5 Poszoe Velocà 4 grd grd/s - - - 4 6 8 - - 4 6 8 (s) Accelerzoe grd/s - 4 8 4 4 5 4 5 - - - 4 6 8 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [46]

Sple L erpolzoe mede cubche esegu come so precedeemee geer u reor che prese ccelerzoe dscou e pu d pssggo. Per ore ueso problem, sempre meedo erpol cubche, s dee rucre d mporre specc lor d elocà e pu ermed, lmdos d mporre l couà due r cogu d poszoe, elocà ed ccelerzoe. L reor che s oee co ueso procedmeo prede l ome d sple (smoohphle). S può dmosrre che l sple è l uzoe erpole curur mm, prà d codzo d couà sulle dere. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [47] S ho ud: Sple: : codzo d mporre Poché co pu s ho polom del po: () cscuo de ul h 4 coece, l umero ole d coece d clcolre è 4(). Le codzo d mporre soo: () codzo d pssggo per pu (og cubc dee erpolre pu lle sue esremà); codzo sull couà delle elocà e pu ermed codzo sull couà delle ccelerzo e pu ermed grd d lberà resdu. ( ) ( ) ( ) 4 U modlà (o uc) d ulzzre ues grd d lberà cosse ell ssegre opporue codzo zl e l sull elocà. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [48]

Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [49] Sple Sple: poszoe lc del problem : poszoe lc del problem S desder deermre u uzoe: () ( ) [ ] { } () [ ] ( ) τ τ τ τ τ τ,,,,,,,, co le codzo: doe le uà,,, o soo specce. Il problem cosse el rcre coece. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),,,,,,,, Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [5] Sple Sple: lgormo : lgormo S ssumo zlmee oe le elocà,,, e pu ermed. I ueso modo, per og polomo cubco s ho uro codzo l cooro su poszoe e elocà, che do orge l ssem: ( ) ( ) ( ) ( ) che rsolo dà: ( ) ( )

Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [5] Sple Sple: lgormo : lgormo Nurlmee le elocà,,, o clcole. Impomo l couà dell ccelerzoe e pu ermed: ( ) ( ),,, 6, I orm mrcle: Sosuedo le espresso per erm,,, e molplcdo per ( )/ s oee: ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) c c c c doe le cos c dpedoo solo dlle poszo ermede e dlle dure de segme, grdezze oe. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [5] Sple Sple: lgormo : lgormo Poché le elocà e soo oe (specce come d zl), elmdo le rele coloe s h: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] 4 oero u euzoe del po Ac

Sple: : lgormo L mrce A è sruur dome dgole e rsul sempre erble per >. Iolre l mrce A è sruur rdgole, per cu essoo ecche umerche ece (meodo d Guss-Jord) per l su ersoe. U ol o l ers d A s possoo clcolre le elocà,, come: A l che rsole complemee l problem. È possble che deermre le sple co u lgormo lero (m del uo eulee) che rc ece delle elocà le ccelerzo e pu ermed. c Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [5] Sple: : empo d percorrez Il empo ole d percorrez dell sple è do d: È possble mposre u problem d omo che mmzz l empo ole d percorrez. Il problem s poe e erm d deermre lor modo d mmzzre, co col sulle mssme elocà ed ccelerzo d guo. Formlmee: m le che ( τ, ) < mx τ [, ] ( τ, ) < τ [, ] mx S r ud d u problem d omo o lere co uzoe obeo lere, rsolble co le ecche dell rcerc oper. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [54]

Sple: : esempo 5 Poszoe Velocà grd 4 grd/s - grd/s - 5 Accelerzoe - 5 (s) 4 8 4 4 5 4 5 - - 5 (s) Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [55] Ierpolzoe co r rele U modo lero, molo semplce, per gesre l problem dell erpolzoe d pu cosse el collegre pu d percorso co uzo ler. Per ere dscouà d elocà, r ler possoo essere rccord d r prbolc ell oro de pu d percorso. L reor rsule () o occ essuo de pu d percorso, che se pss co. I ueso cso pu d percorso predoo l ome d pu d ( pos). Il dsego è ro dl eso: L.Sccco, B.Sclo Roboc dusrle Modellsc e corollo d robo mpolor ( ed.) Mc Grw-Hll, Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [56]

P... ed erpolzoe d pu Se ece s olessero ulzzre seuez r d reor co prolo d elocà rpezodle per erpolre pu ermed s oerrebbe u momeo che pss per pu ermed elocà ull (coè ermdos). U modo per ore l problem cosse ell zre l pczoe d u ro d reor cpo rspeo ll coclusoe del ro precedee: Il dsego è ro dl eso: L.Sccco, B.Sclo Roboc dusrle Modellsc e corollo d robo mpolor ( ed.) Mc Grw-Hll, Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [57] Pczoe d reore Pre III reore ello spzo opero Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [58]

reore ello spzo opero L pczoe dell reor ello spzo de gu compor mome mpreedbl dell orgo ermle. Qudo s desder che l moo s slupp lugo u percorso deo ello spzo opero, è ecessro pcre dremee l reor ueso spzo. I geerle l percorso può essere crerzzo ddo N pu (d ) x( ),,,N. Le compoe x ( ) possoo essere sgolrmee rccorde co u delle ecche se precedeemee. Se però l moo dell orgo ermle dee rspere u reor co precsoe, l reor sess dee poer essere espress lcmee. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [59] Prme d percorso Cosdermo u rppresezoe prmerc d u cur ello spzo. L prmerzzzoe può essere eeu rspeo ll scss curle (lughezz dell rco d reor): p p(s) z y p dp( s) p p ds b x d p Possmo dere ersor gee, ormle e bormle d b p () s () s ds ds Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [6]

Segmeo ello spzo Come esempo d prm d percorso possmo cosderre u segmeo ello spzo: p s () s p ( p p ) dp ds p d p ds p p p ( p p ) I ueso cso o è possble dere l er (,, b) modo uoco. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [6] Arco d crcoerez U rppresezoe prmerc d u crcoerez d rggo ρ gcee u po x y ed ee cero ell orge d le po è l seguee: p () s ρcos ρs ( s ρ) ( s ρ) De: c l eore che dec l cero dell crcoerez ell er bse R l mrce d rozoe dll er bse ll er x y z l rppresezoe prmerc d u geerco rco d crcoerez ello spzo è: p () s c Rp () s s( s ρ) p R cos( s ρ) d ds cos d p R s ds ( s ρ) ( s ρ) ρ ρ Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [6]

reore d poszoe Per l pczoe dell poszoe, eedo coo dell prmerzzzoe rspeo ll scss curle p p(s), s può rbure l legge orr ll rble s(). Per l deermzoe d s() le uo deo precedeemee crc l pczoe dell reor per rbl sclr. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [6] s p x p x (s) p y p y (s) p z p z (s) dp. p s s s è ud l modulo, co sego poso o ego, dell ds elocà Per l segmeo: p p p p s p s p ( p p ) s ( p p ) s s reore d oremeo Per l pczoe dell oremeo s porebbe pesre d erpolre (per esempo lermee) le compoe de ersor (), s() e (). S r però d u procedmeo scosglble, perché o s può grre d og se l oroormlà de ersor. U ler cosse ell erpolre u er d gol d Eulero, ulzzdo le relzo: φ s () s φ ( φ φ ) φ φ φ φ s φ s φ φ φ ( φ φ ) ( φ φ ) Per l legge orr s() s uso prol poloml o elocà rpezodle.. L elocà golre ω, leg lermee φ, h u rzoe cou del modulo. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [64]

reore d oremeo L oremeo può che essere pco rcorredo ll rppresezoe sse/golo: ssege due ere co org cocde e oreme dere, è sempre possble deermre u ersore r le che l secod s oeble dll prm rme u rozoe d u golo ϑ oro ll sse d le ersore. So R e R le mrc d rozoe, rspeo ll er bse, dell er zle e dell er le. L mrce d rozoe r le due ere, co l rel rppresezoe erm d sse/golo, è ud: R R R r r r r r r r r r r r r ϑ cos r r r r r s ϑ r r Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [65] reore d oremeo Demo R () l mrce che descre l rszoe r R e R. Rsul: ( ) I, R ( ) R R L mrce R () può essere erpre come R (ϑ(), r), doe: r è cose e può essere clcolo co l ormul s prm dgl eleme d R ϑ() può essere o rre co u opporu legge orr, co ϑ(), ϑ( )ϑ Per crerzzre l oremeo er bse è po sucee clcolre: () R R () R Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [66]

Pczoe d reore Pre IV Progrmmzoe del moo Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [67] Progrmmzoe per segmeo U prm modlà d progrmmzoe del moo per u robo è l progrmmzoe cosdde echg-by-showg. L operore co l ech ped muoe l mpolore lugo l percorso desdero. I rsduor d poszoe memorzzo le poszo che l robo dee rggugere, che sro po rccorde d u sowre d geerzoe dell reor. Il robo srà ud grdo d rpeere uoommee l momeo sego co ppredmeo sul cmpo. COMAU SpA No egoo rchese prcolr cpcà d progrmmzoe ll operore, che pcmee è u ecco d oc. D lr pre l meodo prese lmzo, uo l mess puo del progrmm rchede che l operore bb dsposzoe l robo (che ud o è opero), o è pres l possblà d esegure uzo d codzomeo logco o ccl d es ed geerle o s possoo progrmmre à complesse. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [68]

Ambe d progrmmzoe L progrmmzoe d u ssem roboco rchede ud l presez d u mbee d progrmmzoe, corredo d opporu lgugg, rerso l ule l operore poss mprre comd ll mcch per mezzo d progrmm pposmee scr. L mbee d progrmmzoe è pre dell ercc uomo-mcch (MMI), cu è do che l compo d ercre l corre esecuzoe de comp d pre del robo e comucre co l operore, prcolre presez d omle o error. U lguggo d progrmmzoe è u lguggo d lo lello (smle l PASCAL) co l ule l operore può progrmmre l momeo del robo ed operzo complesse cu l robo, sero u cell d loro, ergsce co lre mcche e dspos. Rspeo d u lguggo d progrmmzoe geerl purpose, l lguggo preede specche uzolà oree l robo. Nel seguo s rà ceo l lguggo d progrmmzoe PDL dell COMAU. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [69] Esempo d progrmm Il seguee progrmm rsersce pezz d u rsporore d u ol d loro o d u coeore d scro, sull bse d segl dgl gresso: PROGRAM pezzo VAR rposo, rsp, ol, scro: POSIION BEGIN CYCLE MOVE O rposo OPEN HAND WAI FOR $DIN[]ON MOVE O rsp CLOSE HAND IF $DIN[] OFF HEN MOVE O ol ELSE MOVE O scrco ENDIF OPEN HAND END pezzo I dseg soo r dl mule: Lguggo d progrmmzoe PDL Versoe. COMAU S.p.A. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [7]

Clss d d Olre lle bul clss d d d u ulss lguggo d progrmmzoe (eger, rel, boole, srg, rry), el PDL soo dee lcue clss specche per pplczo roboche. r uese: VECOR: rppresezoe d u eore mede le compoe POSIION: re compoe d poszoe cres, re compoe d oremeo (gol d Eulero) ed u srg d cogurzoe (che dc se l cogurzoe è d spll/gomo/polso lo o bsso) JOINPOS: poszo de gu del brcco, msure grd PAH: seuez d od (r d momeo) che deoo essere erpre successoe. È olre possble dere semor, ul per l scrozzzoe el cso cu so progrmm cocorre che coddoo le sesse rsorse. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [7] Ssem d rermeo Nel PDL per og mpolore ee prede u er d rermeo uersle. L operore può rdere l er d rermeo d bse ($BASE) relmee ll er uersle. Queso è ule ulor s debb rposzore l robo ell re d loro, perché e d rclcolre ue le poszo. Iolre l progrmmore può dere u er ($OOL) relmee ll er uesle del mpolore, ule udo ee cmbo l rezzo moo sull lg. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [7]

L sruzoe MOVE Co l sruzoe MOVE egoo mpr comd per l momezoe de brcc. L sss dell sruzoe è l seguee: MOVE <ARM[]> <rjecory> des_cluse <op_cluses> <d_cluse> (s osser che u uco corollore può gesre pù brcc (ARM)). L clusol rjecory può ssumere uo de segue lor: LINEAR CIRCULAR JOIN (momeo lere ello spzo creso) (momeo crcolre ello spzo creso) (momeo ello spzo de gu) D deul ee eseguo u momeo ello spzo de gu. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [7] MOVE: clusole d deszoe Essoo re clusole d deszoe per l sruzoe MOVE. Le prcpl soo: MOVE O Spos l brcco erso l deszoe specc, che può essere u rble d po POSIION o JOINPOS. Per esempo: MOVE LINEAR O POS(x,y,z,e,e,e,cog) MOVE O home L clusol opzole VIA può essere ulzz per speccre u puo cu l brcco dorà eeure u pssggo l olo. Per esempo: MOVE O l MOVE CIRCULAR O deso VIA rc Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [74]

MOVE: clusole d deszoe MOVE NEAR Co ues clusol s può speccre u deszoe pos lugo l eore d pproch dell uesle, ero u cer dsz (espress mm) d u deerm poszoe. Esempo: MOVE NEAR deso BY 5. MOVE AWAY S può speccre u deszoe pos lugo l eore d pproch dell uesle, d u dsz specc dll poszoe ule. Esempo: MOVE AWAY 5. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [75] MOVE: clusole d deszoe MOVE RELAIVE S può speccre u deszoe relzoe ll poszoe ule del brcco. Esempo: MOVE RELAIVE VEC(,,) IN lore_er lore_er può essere OOL o BASE MOVE ABOU Desce l deszoe che dee rggugere l uesle dopo u rozoe oro l eore specco rspeo ll poszoe ule. Esempo: MOVE ABOU VEC(,,) BY 9 IN lore_er Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [76]

Velocà d percorrez Co l clusol opzole WIH è possble ssegre lor delle rbl emporee predee. I prcolre è possble operre sulle segue rbl: $PROG_SPD_OVR È u lore perceule co l ule s può modcre l lore d deul d elocà co cu l brcco esegue mome ello spzo de gu. $PROG_ACC_OVR, $PROG_DEC_OVR Soo lor perceul co ul s possoo modcre lor d deul d ccelerzoe e decelerzoe co cu l brcco esegue mome ello spzo de gu. $LIN_SPD È l lore dell elocà lere per u momeo creso, espresso mer l secodo. Esemp: MOVE O p WIH $PROG_SPD_OVR5 MOVE LINEAR O p WIH $LIN_SPD.6 Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [77] Momeo couo (MOVEFLY) Se s ulzz l sruzoe MOVEFLY ed l momeo è seguo d u lro momeo, l brcco o s rreserà ll prm deszoe, m s sposerà dl puo d prez del prmo momeo o l puo le del secodo, sez ermrs sul puo comue due mome. Esempo: MOVE O MOVEFLY O b ADVANCE MOVE O c (l clusol ADVANCE cosee l erprezoe dell success sruzoe MOVE o ppe h zo l prmo momeo). L sruzoe MOVEALONG cosee ece d esegure u momeo composo d sgol segme d momeo. Corollo del moo e roboc dusrle - Pczoe d reore - P. Rocco [78]