Scienza dei Materiali 1 Esercitazioni 2. Cristallografia dei materiali ver. 1.1
Reticoli cristallini Reticolo è una griglia tridimensionale di punti possiamo individuare un insieme minimo di punti (cella) che si ripete nel reticolo non tutti gli arrangiamenti sono possibili le celle sono impacchettate per formare il reticolo: : non vi sono spazi vuoti tra le celle! in ogni punto del reticolo posso porre una base costituita da uno o o più atomi
Reticoli di Bravais Questo è un possibile reticolo bidimensionale. Sul reticolo è individuata l unità che si ripete! Questo invece NON è un reticolo. Abbiamo i punti, ma essi non sono ordinati e non possiamo individuare un unità che si ripete!
Reticoli di Bravais Tutte le strutture qui mostrate hanno il medesimo reticolo di Bravais! cella unitaria
Reticoli di Bravais 14 RETICOLI possibili Non vi sono altre possibilità di individuare una cella che si ripeta all infinito nel reticolo senza lasciare dei vuoti. I punti rappresentati in figura sono quelli del reticolo: NON sono atomi! E possibile raggruppare i reticoli basandosi su regole di simmetria: si hanno 7 possibili sistemi cristallini.
Sistemi cristallini 7 SISTEMI CRISTALLINI origine convenzionale 0,0,0 c β a γ α b
Direzioni e piani atomici E spesso necessario specificare o individuare talune direzioni e piani all interno di una cella cristallina. direzione piano Molte proprietà dei materiali sono direzionali (ad esempio l espansione termica, le proprietà meccaniche) e molti processi sono legati a determinati piani e direzioni cristallografiche all interno del materiale. DIREZIONI e PIANI vengono individuati utilizzando una terna di numeri, gli INDICI DI MILLER
Direzioni: indici di Miller Ricordiamo alcune convenzioni per quanto riguarda gli indici di Miller relativi alle direzioni: Non ci sono virgole tra i numeri Valori negativi sono indicati con una barra posta sopra al numero (-2 è indicato come 2) I tre numeri vengono racchiusi tra parentesi quadre [] Esempi di direzioni cristallografiche valide: [123] [100]
Direzioni: indici di Miller Semplice ricetta per trovare gli indici di Miller relativi ad UNA DIREZIONE cristallografica (la direzione è nota, ma non i suoi indici di Miller): 1. Prendere la differenza tra le coordinate della punta e quelle della coda del vettore direzione (DATO). Le coordinate sono tutte relative ai parametri di cella a,b,c e quindi variano tra 0 ed 1. 2. Rimuovere le frazioni moltiplicando per il mcm (che è intero) ed eventualmente ridurre ai minimiinteri 3. Racchiudere i tre numeri tra parentesi quadre
Direzioni: indici di Miller Gli indici di Miller della direzione [???] di figura si trovano quindi così: coda (origine) x = 0, y = 0, z = 0 z punta x = 1/2, y = 0, z = 1 differenza 1/2-0 0-0 1-0 indici di Miller [1/2 0 1] [1 0 2] [100] x [???] [111] [110] y
Famiglie di direzioni Causa la simmetria del reticoli, esistono direzioni equivalenti (indistinguibili) dal punto di vista cristallografico. Ad esempio le diagonali delle facce sono tutte uguali in un cubo ma non in un parallelepipedo: [101] = [110] [101] [110] cubico tetragonale Per indicare una FAMIGLIA DI DIREZIONI utilizziamo una notazione particolare: [123] direzione (una sola) <123> famiglia di direzioni (ovvero [123], [213], [312], [132], [231]...) In un reticolo CUBICO, direzioni aventi i medesimi indici (indipendentemente da segno ed ordine), sono equivalenti (es. [123] e [312])
Piani ed indici di Miller Come per le direzioni cristallografiche, anche per i piani vengono impiegate parentesi di tipo diverso per indicare piani singoli ed intere famiglie (hkl) piano cristallografico (UNO SOLO) {hkl} famiglia di piani cristallografici esempio (hkl), (lhk), (hlk) etc. per i reticoli CUBICI, piani cristallografici aventi i medesimi indici (indipendentemente da ordine e segno), sono equivalenti (es. (020), (002), (200) appartengono tutti alla famiglia {002}) Talvolta per i cristalli esagonali viene utilizzata una notazione a 4 indici (u v t w). Esistono regole per convertire tale notazione in quella a 3 indici.
Piani ed indici di Miller Semplice ricetta per trovare gli indici di Miller relativi ad UN PIANO cristallografico: 1. Se il piano passa per l origine, sceglierne uno equivalente oppure spostare l origine 2. Determinare l intersezione del piano con gli assi (in termini dei parametri di cella a, b, c) 3. Prendere il reciproco dei valori trovati (ricordare di porre 1/8 = 0) z (111) 4. Trovare mcm e ridurre i tre numeri agli interi più piccoli possibile (opzionale) y 5. Racchiudere tra parentesi () x Le regole per piani e direzioni sono quindi DIVERSE tra loro!!!!! Notare che in una cella CUBICA (e SOLO in quella) la direzione [hkl] è perpendicolare al piano (hkl)
Piani ed indici di Miller Piani tra i più comuni per una cella cubica e relativa indicizzazione. z z (001) (111) (011) z y y y x z x x z z (201) (212) (100) y y y x x x
Cella cubica semplice Ho un atomo in ogni punto del reticolo La cella contiene complessivamente 1 atomo a = 2r 0
Cella cubica bcc Ho un atomo in ogni punto del reticolo: la cella contiene complessivamente 2 atomi 3a = 4r 0 a v3a a v2a a v2a
Cella cubica fcc Ho un atomo in ogni punto del reticolo: la cella contiene complessivamente 4 atomi 2a = 4r 0 a v2a a
Packing factor: fcc All interno di una cella cubica a facce centrate abbiamo 4 atomi. In genere, gli atomi vengono considerati sferici (ho quindi 4 sfere) Volume totale di materia V a (occupato dalle sfere) 4r 4 16 Va = 4 π r = π r 3 3 3 3 a 0
Packing factor: fcc Le sfere, però non occupano tutto il volume della cella, ma solo una frazione di esso Volume totale cella V c V = a c 0 3 (lato cella al cubo) 4r a 0 Ricordando che a = 2rv2 0 otteniamo: ( ) 3 3 V = 2r 2 = 16r 2 c
Packing factor: fcc Il fattore di impacchettamento (packing factor, PF) è il rapporto tra il volume occupato dagli atomi in una cella cristallina ed il volume totale della cella. Il PF indica quindi come lo spazio è utilizzato (più alto è, migliore è l occupazione dello spazio nella cella) Nel nostro caso (fcc): PF fcc 16 3 π r Va 3 π = = = = 0.74 V c 3 16r 2 3 2
Densità di linea Più definizioni per densità di linea e densità planare. La densità di linea è la frazione della linea che, lungo una determinata direzione, passa attraverso gli atomi. Densità di linea lungo la direzione (100) in un cristallo fcc L D = L C /L L L C = 2r L L = a in un fcc densità di linea frazione di linea che attraversa gli atomi lunghezza totale linea a 0 = 2rv2 L D = 2r/(2rv2) = 0.71
Densità planare La densità di planare è la frazione di area di un determinato piano cristallografico occupata dagli atomi (il piano deve passare per il centro degli atomi) Densità nel piano (110) in un cristallo fcc A B C A B C D E F F D E Calcolare l area del piano Calcolare area dei cerchi nel piano
Densità planare A B C D E F Area occupata da atomi, A c : ¼ cerchio per gli atomi A,C,D,F ½ cerchio per gli atomi B, E A c = 2 cerchi = 2πr 2 Area totale del piano, A p : Densità planare risultante AC = 4 r AD = 2 r v 2 A p = AC AD = (4r)(2rv2) = 8r 2 v2 2 Ac 2π r PD = = = A 2 8r 2 p 0.56
ESERCIZI
Ex 2.1. Indici di Miller Indicare le direzioni [112], [111] e [222] Svolgimento 1/2 1/2
Ex 2.1. Indici di Miller Viene qui fornita una cella cubica sulla quale poter testare le nozioni acquisite
Ex 2.2. Dimensione cella Calcolare dimensione della cella, fattore di impaccamento e densità per il ferro bcc (ferrite) ed fcc (austenite). Il raggio atomico del ferro è di 124 pm ed il suo peso atomico 55.8 g/mol. Svolgimento Dati: r Fe = 124 pm AW Fe = 55.8 g/mol Unità di misura molto usata in cristallografia è Å (Ångström) pari a 10-10 m La diffusione è abbastanza evidente se si pensa che parametri di cella e raggi atomici sono di questo ordine di grandezza. Ricordare però che questa unità di misura è solo TOLLERATA: è più corretto usare multipli o sottomultipli del sistema SI (di solito: nm = 10-9 m, pm = 10-12 m).
Ex 2.2. Dimensione cella Il ferro assume strutture cristalline diverse in intervalli di temperatura diversi. In particolare la sua struttura è bcc a temperatura ambiente ed fcc a temperature al di sopra dei 1000 C circa Parametro di cella nel caso bcc (atomi si toccano lungo la diagonale principale del cubo): 4 4r = 3a a= r a bcc = 286 pm 3 Parametro di cella nel caso fcc (atomi si toccano lungo la diagonale della faccia del cubo): 4 4r = 2a a= r a 2 fcc = 351 pm La cella cristalline del ferro fcc è più grande di quella del ferro bcc. Non sono stati considerati effetti di espansione termica
Ex 2.2. Dimensione cella Nei due casi valutiamo ora il fattore di impaccamento. Sappiamo già in anticipo che la struttura fcc (assieme ad hcp) sono quelle ad impaccamento maggiore PF bcc 4 3 4 3 volumeatomi 2 πr 2 πr 3 3 π 3 = = = = = 3 3 volume cella a 4 8 bcc r 3 0.68 PF fcc 4 3 16 3 4 πr πr volume atomi 3 3 π 2 = = = = = 0.74 3 3 volume cella a 4 6 fcc r 2 Ricordiamo che i due valori sono indipendenti dalla dimensione della cella. Nella cella fcc lo spazio è meglio utilizzato!
Ex 2.2. Dimensione cella Calcoliamo ora la densità del ferro bcc ed fcc. La densità è calcolata come massa rispetto al volume. w atomo, Fe AWFe = [ g/ at] = N [ g/ mol] [ at/ mol] Il peso della cella è determinato da quanti atomi essa contiene: w w ρ = V Conosciamo già il volume di una cella cristallina, dobbiamo solo valutare quanto essa pesi. Sappiamo quanto pesa una mole di atomi di ferro (peso atomico), quindi possiamo calcolare quanto pesa un singolo atomo: cella, bcc = 2watomo, Fe cella, fcc atomo, Fe w = 4w La cella fcc pesa più di quella bcc (occupo meglio lo spazio )!
Ex 2.2. Dimensione cella La densità nei due casi è quindi calcolabile come: ρ = bcc w cellabcc, 3 abcc ρ = fcc w cella, fcc 3 a fcc Ovviamente, il volume di cella può essere valutato anche conoscendo il volume di un atomo e sfruttando il concetto di packing factor. Notare che, pur avendo una cella più grande, il ferro fcc è più denso! Risultato: ρ bcc = 7.89 kg/dm 3 ρ fcc = 8.57 kg/dm 3
Ex 2.3. Raggio atomico Determinare parametro di cella e raggio atomico del piombo (fcc) conoscendone la densità (11.4g/cm 3 ) ed il peso atomico (207 g/mol) Svolgimento Dati: ρ Pb = 11.4 g/cm 3 AW Pb = 207 g/mol Parliamo di un metallo e la cella è fcc quindi ci aspettiamo 4 at/cella. Dalla definizione di densità, invertendo il ragionamento fatto nel problema precedente, possiamo ricavare il volume di cella. Una cella infatti pesa: AWPb [ g/ mol] wcella, Pb = 4watomo, Pb = 4 [ g/ cella] = [ at/ cella] N [ at / mol ] Utilizziamo ora la definizione di densità per calcolare il volume
Ex 2.3. Raggio atomico ρ Pb w = V = V w cella, Pb cella, Pb cella, Pb cella, Pb ρpb Noto il volume di cella (cubo), lo spigolo (parametro di cella) è immediatamente calcolato: V = a a = V 3 3 cella, Pb Pb Pb cella, Pb Siccome il Pb è un metallo e la cella è fcc, gli atomi si toccano lungo la diagonale delle facce del cubo e quindi il raggio atomico è: 2 4r = 2a r = a 4 Pb Pb Pb Pb Risultato: a Pb = 494 pm r Pb = 175 pm
Ex 2.4. Tipo di cella Un materiale a struttura cubica con densità di 0.855 g/cm 3, ha massa atomica di 39.09 g/mol e parametro di cella di 534.4 pm. Se vi è un solo atomo per punto del reticolo, quale struttura ha il materiale? Svolgimento Dati: ρ= 0.855 g/cm 3 AW Pb = 39.09 g/mol a 0 = 534.4 pm 1 atomo per punto di reticolo Guardando nella tavola periodica otteniamo immediatamente la soluzione (parliamo di K che in genere cristallizza con cella bcc). Cerchiamo però una via alternativa che ci dia sicurezza di questo. Utilizziamo ancora la definizione di densità per valutare il peso di una cella ρ w cella = wcella = ρ Vcella a 3 0
Ex 2.4. Tipo di cella Sfruttiamo ora il fatto che abbiamo una sola specie atomica presente (1 punto di reticolo per atomo!). Valutiamo il peso di un atomo: AW watomo = N e calcoliamo quindi il numero di atomi presenti in una cella, dividendo il peso di una cella per il peso di un atomo! N at w ρ a N cella = = w atomo 3 0 AW Dai dati forniti otteniamo N at = 2 e perciò la cella è bcc Risultato: N at = 2 cella bcc
FINE