FUNZIONI ALGEBRICHE PARTICOLARI (al massimo di secondo grado in x) Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4 B) September 9, 003 1. FUNZIONI Si ricordino le seguenti definizioni: Def. Dati due insiemi non vuoti A e B, si chiama applicazione o funzione (univoca) di A in B una qualsiasi legge che fa corrispondere ad ogni elemento x di A, uno e un solo elemento y di B. Indicata con f l applicazione (o funzione) di A in B, l elemento y di B, che la funzione associa all elemento x di A, si indica con yf(x); x si dice variabile indipendente e y variabile dipendente. Def. Dicesi Dominio (o insieme di definizione) della funzione f il sottoinsieme A non vuoto di A costituito dagli elementi x A ai quali è associato un solo elemento y B; l insieme degli elementi di B corrispondenti agli x A costituisce il Codominio della f. Def. Dicesi funzione numerica una funzione f : R R, con R insieme dei numeri reali. Def. Una funzione si dice plurivoca se i valori assunti dalla f, corrispondenti a valori della variabile indipendente, sono un numero finito, superiore ad uno. Da questo momento in poi ci occuperemo di funzioni numeriche ed univoche. Le funzioni possono presentarsi in forma esplicita (quando la relativa espressione analitica è risolta rispetto alla variabile dipendente, cioè y f(x)) e in forma implicita, quando il secondo membro della relativa espressione analitica è uguale a zero, cioè F(x,y) 0. Nedo Checcaglini, ottobre 003
Def. Una funzione si dice algebrica se, ridotta a forma implicita, si presenta sotto forma di un polinomio. Si dice grado della funzione il grado del polinomio. Def. Una funzione si dice trascendente se non è algebrica. Le funzioni algebriche in forma esplicita (che è quella più usata) si classificano in: razionali intere, razionali fratte, irrazionali intere e irrazionali fratte. Def. Una funzione si dice pari se, x appartenente al dominio, f(x) f(-x); una funzione si dice dispari se f(x) -f(-x). Def. Una funzione y f(x) si dice di periodo T se, x appartenente al dominio, f(x) f(x+t). Vediamo ora come si può tracciare il grafico approssimato di funzioni particolari (funzioni algebriche razionali fratte, al massimo di secondo grado in x) senza l uso di limiti e derivate. 1.1. Grafico approssimato di funzioni algebriche particolari Per disegnare in modo approssimato il grafico di funzioni particolari, funzioni algebriche razionali fratte al massimo di secondo grado in x, sarà sufficiente studiarne il dominio, le eventuali simmetrie (rispetto all asse y o all origine), le intersezioni con gli assi, il segno, gli asintoti (ed eventuali intersezioni della funzione con l asintoto orizzontale od obliquo), i punti estremanti (massimi o minimi relativi) e le coordinate di alcuni punti appartenenti alla curva. Rimandiamo al paragrafo successivo lo schema che permetterà, una volta affrontato lo studio di limiti e derivate, di disegnare in modo rigoroso e completo qualunque tipo di funzione. Per affrontare quanto prefissoci, sarà utile tener presente le seguenti osservazioni e regole pratiche (ricordiamo ancora che quanto esporremo si riferisce a funzioni algebriche razionali fratte al f x massimo di secondo grado in x, cioè y ( ) con grado di f, g ). gx ( ) Dominio: tutto l asse reale, esclusi i valori che annullano il denominatore. Eventuali simmetrie: occorre verificare se la funzione è pari o dispari (da non prendere in esame se il dominio è asimmetrico). Intersezioni con gli assi: occorre fare sistema tra la funzione e l asse x e tra la funzione e l asse y. Studio del segno: occorre vedere quando la funzione è positiva o negativa, risolvendo la disequazione f(x)>0. Asintoti: vale la seguente regola pratica (che avrà giustificazione con lo studio dei limiti): Nedo Checcaglini, ottobre 003
asintoti verticali: rette x x1, x x con x1, x eventuali valori che annullano solo il denominatore; asintoto orizzontale (si ha solamente se il grado del numeratore è del grado del denominatore): - se il grado del numeratore è minore, l asintoto orizzontale ha equazione y 0, cioè l asse delle x; - se il grado del numeratore è invece uguale a quello del denominatore, l asintoto orizzontale ha a equazione y dove a è il coefficiente del termine di grado massimo di f e b il coefficiente del b termine di grado massimo di g; asintoto obliquo (si ha solamente se il grado del numeratore supera di una unità il grado del denominatore, nel nostro caso f deve essere di secondo grado e g di primo grado): scritta la f ( x) R( x) funzione y sotto la forma y Q( x) +, con Q(x) quoziente della divisione e R(x) g( x) gx ( ) resto, si ha per asintoto obliquo la retta y Q(x). Non appare superfluo ricordare che se vi è asintoto orizzontale non può esservi asintoto obliquo e che sarà utile trovare anche le eventuali intersezioni della funzione data con tali asintoti. Massimi e minimi relativi: possiamo trovare gli eventuali punti estremanti senza però riconoscere subito se sono di massimo o di minimo; saranno gli altri elementi in nostro possesso (dominio, intersezioni, segno, asintoti ecc.) che ci permetteranno di risolvere il dubbio. Poiché i punti richiesti hanno tangente orizzontale, per trovarli procederemo nel seguente modo: a) faremo sistema tra la funzione f e il fascio di rette orizzontali y k; b) otterremo un equazione di secondo grado in x con la presenza del parametro k che, dopo aver raccolto i termini simili, andremo ad ordinare (se l equazione è di primo grado non ci saranno né massimi né minimi); c) porremo Δ 0 (condizione di tangenza) in tale equazione; d) otterremo una nuova equazione, al massimo di secondo grado in k, da cui ricaveremo al più due valori, k 1 e k, che rappresentano le ordinate dei punti estremanti; b e) sostituiti tali valori di k nella formula x, con b ed a coefficienti dell equazione di cui al a punto b), troveremo le rispettive ascisse dei punti cercati. Nedo Checcaglini, ottobre 003
Esempio: a) Studiare in modo approssimato la funzione y x x +. + x + Dominio: D( f ) { x R} (il denominatore non si annulla mai); Eventuali simmetrie (rispetto all asse y o all origine): x f ( x) + f ( x) x x + la funzione non è pari; f x x ( ) x x + f ( x) la funzione non è dispari; Intersezioni: y x y 0 x + x + y + x + A( ;0) e x + x + x 0 B (0;1) ; Studio del segno: f(x)>0 x > -; Asintoti: Per le considerazioni precedentemente fatte non vi sono asintoti verticali (il denominatore non si annulla mai), mentre vi è l asintoto orizzontale di equazione y 0. In questo caso le intersezioni tra la funzione e l asintoto coincidono con le intersezioni della funzione con l asse x; Massimi e minimi relativi: Nedo Checcaglini, ottobre 003
x + y x + x+ x+ kx + kx+ k kx ( 1 k) x+ k 0 (1) e per la condizione di y k tangenza, cioè Δ 0, ( 1 ) 4 ( ) 0 1 k k k k + k 8k + 8k 0 e raccogliendo i termini simili si ha: 3 9 7 1 7k 6k 1 0 k ± + k1, k 1. 7 7 Per trovare le ascisse dei punti estremanti, dalla (1) si ha: b 1 k x e sostituendo i valori di k trovati a k otteniamo x 1-4 e x 0 per cui possiamo concludere che la funzione ha un punto di massimo relativo M(0; 1) e di minimo relativo m(-4; -1/7). Il grafico è quello sopra riportato. Nedo Checcaglini, ottobre 003