5 Roberto Tauraso - Analisi Soluzioni. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + y(x) = 3e x y() = R. Troviamo la soluzione generale in I = R. Una primitiva di a(x) = è A(x) = a(x) dx = dx = x e il fattore integrante è Quindi pmo calcolare le primitive di e A(x) = e x. e A(x) f(x) = e x 3e x = 3, e A(x) f(x) dx = 3 dx = 3x + c. Dunque la soluzione generale è uguale a Ora imponiamo la condizione y() = : Quindi la soluzione cercata è y(x) = e x (3x + c). y() = c =. y(x) = e x (3x + ) per x R.. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + xy(x) = xe x y() = e R. Troviamo la soluzione generale in I = R. Una primitiva di a(x) = x è A(x) = a(x) dx = xdx = x e il fattore integrante è e A(x) = e x.
Equazioni differenziali 53 Quindi pmo calcolare le primitive di e A(x) f(x) = e x xe x = x, e A(x) f(x) dx = xdx = x + c. Dunque la soluzione generale è uguale a ( ) x y(x) = e x + c. Ora imponiamo la condizione y() = e : ( ) y() = e + c = e da cui si ricava che c = /. Quindi la soluzione cercata è y(x) = e x (x + ) per x R. 3. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + tan(x) y(x) = cosx y() = 4 R. In questo caso l intervallo massimale dove cercare la soluzione è I = ( π/, π/). Prima determiniamo una primitiva di a(x) = tan x in I A(x) = tan xdx = d(cosx) = log cosx = log(cos x) cosx (il valore assoluto è stato tolto perché la funzione cos x è positiva nell intervallo I). Dunque il fattore integrante è Quindi integriamo e A(x) = e log(cos x) = cosx. e A(x) f(x) dx = e la soluzione generale è uguale a Ora imponiamo la condizione y() = 4: e la soluzione cercata è dx = tan x + c cos x y(x) = cos x (tan x + c) = sin x + c cosx. y() = c = 4 y(x) = sin x + 4 cosx per x ( π, π ).
54 Roberto Tauraso - Analisi 4. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + y(x) x y() = = arctanx R. L intervallo massimale dove le funzioni /x e arctan x sono continue e che contiene x = è I = (, + ). Una primitiva di a(x) = /x per x > è A(x) = a(x) dx = dx = log x x e così il fattore integrante è Quindi pmo calcolare le primitive di e A(x) = e log x = x. e A(x) f(x) = x arctan x. L integrale si ottiene facilmente per parti x arctanxdx = arctanxd(x ) = x x arctanx + x dx ( = x arctanx ) + x = x arctanx x + arctan x + c = (x + ) arctanx x + c. dx Dunque la soluzione generale in (, + ) è Ora imponiamo la condizione y() = : y(x) = ( (x + ) arctanx x + c ) ( x = x + ) arctanx + c x x y() = π + c = da cui si ricava che c = π. Quindi la soluzione cercata è y(x) = ( x + ) arctan x π x x per x (, ).
Equazioni differenziali 55 5. Risolvere il problema di Cauchy ( + x 4 )y (x) + 4x 3 y(x) = 4x 3 e determinare y(). y() = 5 R. Troviamo la soluzione generale in I = R. Si tratta di un equazione differenziale lineare del primo ordine a coefficenti non costanti e per identificare correttamente la funzione a(x) dobbiamo prima normalizzare l equazione dividendo per ( + x 4 ) il coefficente di y (x) y (x) + 4x3 4x3 + x4y(x) = + x 4. Quindi a(x) = 4x 3 /( + x 4 ) e una sua primitiva è A(x) = a(x) dx = 4x 3 + x dx = 4 + x 4 d(x4 ) = log( + x 4 ) e il fattore integrante è e A(x) = e log(+x4) = + x 4. Quindi pmo calcolare le primitive di e A(x) f(x) = ( + x 4 ) 4x 3 + x 4 = 4x3, e A(x) f(x) dx = 4x 3 dx = x 4 + c. Dunque la soluzione generale è uguale a Ora imponiamo la condizione y() = 5: Quindi la soluzione cercata è y(x) = e A(x) (x 4 + c) = x4 + c x 4 +. y() = c = 5. y(x) = x4 + 5 x 4 + per x R, e y() = 3.
56 Roberto Tauraso - Analisi 6. Calcolare l integrale indefinito x sin xdx. R. Il problema equivale a risolvere la seguente equazione differenziale lineare: y (x) = x sin x. La soluzione particolare deve avere la forma: y (x) = (Ax + Bx + C) cosx + (Dx + Ex + F) sinx. Per determinare il valore dei coefficienti dobbiamo derivare y (x) = ((Dx + Ex + F) + (Ax + B)) cosx +((Dx + E)) (Ax + Bx + C)) sin x = (Dx + (E + A)x + (F + B)) cosx +( Ax + (D B)x + (E C)) sin x e imporre che y (x) = x sin x. Quindi D =, E + A =, F + B =, A =, D B = E C = e risolvendo si trova che A =, C = E = e B = D = F =. Così y(x) = y (x) + c = ( x ) cosx + x sin x + c. 7. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + y(x) x y() = = ex e calcolare il limite lim xy(x). x + R. L intervallo dove cercare la soluzione è I = (, + ). Una primitiva di a(x) = /x per x > è A(x) = a(x) dx = dx = log x x e così il fattore integrante è Quindi pmo calcolare le primitive di e A(x) = e log x = x. e A(x) f(x) = xe x.
Equazioni differenziali 57 L integrale si ottiene facilmente per parti xe x dx = (x )e x + c. Dunque la soluzione generale in (, + ) è Ora imponiamo la condizione y() = : Quindi la soluzione cercata è y(x) = x ((x )ex + c) ( = ) e x + c x x y() = c =. y(x) = ( x )ex + x per x (, ). Calcoliamo il limite richiesto: lim xy(x) = lim x + x +(x )ex + = + =. 8. Risolvere il problema di Cauchy y (x) 6y (x) + 9y(x) = y() = y () = R. Risolviamo prima l equazione differenziale omogenea L equazione caratteristica associata è y (x) 6y (x) + 9y(x) =. z 6z + 9 = che ha una radice: 3 di molteplicità. Dunque la generica soluzione omogenea è: y(x) = (c x + c )e 3x. Ora imponiamo le condizioni y() = e y () = : y() = c =
58 Roberto Tauraso - Analisi e dato che y (x) = c e 3x + 3(c x + c )e 3x y () = c + 3c =. Quindi risolviamo il sistema c = c + 3c = da cui si ricava che c = e c =. La soluzione cercata è y(x) = ( x + )e 3x. 9. Risolvere il problema di Cauchy y (x) 4y (x) + 5y(x) = y() = y () = R. Risolviamo prima l equazione differenziale omogenea L equazione caratteristica associata è y (x) 4y (x) + 5y(x) =. z 4z + 5 = che ha due radici complesse coniugate: + i e i di molteplicità. Dunque la generica soluzione omogenea è: y(x) = e x (c cosx + c sin x). Ora imponiamo le condizioni y() = e y () = : y() = c = e quindi y(x) = c e x sin x. Dato che y (x) = c e x ( sin x + cosx) y () = c =. La soluzione cercata allora è y(x) = e x sin x.
Equazioni differenziali 59. Risolvere il problema di Cauchy y (x) y (x) y(x) = y() = y () = R. Risolviamo prima l equazione differenziale omogenea L equazione caratteristica associata è y (x) y (x) y(x) =. z z = che ha radici: e entrambe di molteplicità. Dunque la generica soluzione omogenea è: y(x) = c e x + c e x. Ora imponiamo le condizioni y() = e y () = : e dato che y (x) = c e x c e x y() = c + c = y () = c c =. Quindi risolviamo il sistema c + c = c c = da cui si ricava che c = /3 e c = /3. La soluzione è y(x) = 3 ex 3 e x.. Risolvere il problema y (4) (x) + 8y (x) = y() = lim x + y(x) = R. Risolviamo prima l equazione differenziale omogenea L equazione caratteristica associata è y (4) (x) + 8y (x) =. z 4 + 8z = z(z 3 + 8) =
6 Roberto Tauraso - Analisi che ha radici: e le soluzioni complesse di z 3 = 8 ovvero, + i 3 e i 3. Dunque la generica soluzione omogenea è: La prima condizione y() = dà y(x) = c + c e x + e x (c 3 cos( 3x) + c 4 sin( 3x)). Imponiamo ora la seconda condizione lim x + y() = c + c + c 3 =. ( c + c e x + e x (c 3 cos( 3x) + c 4 sin( 3x)) ) =. Il limite richiesto esiste se e solo se c 3 = c 4 = perché le funzioni e x cos( 3x) e e x sin( 3x) non hanno limite per x +. Così il limite diventa ( c + c e x) = c =, lim x + Dalla prima condizione c = e la soluzione cercata è. Risolvere l equazione R. L equazione caratteristica è y(x) = e x. y (x) + y (x) + y(x) = xe x. z + z + = che ha due radici complesse coniugate: + i e i. Quindi una base dello spazio delle soluzioni omogenee è: y (x) = e x cosx, e y (x) = e x sin x. La funzione f(x) = xe x è del tipo discusso con a = e b =. Dato che z = a + ib = non è soluzione dell equazione caratteristica, la soluzione particolare ha la forma Calcoliamo le derivate e sostituiamole nell equazione y (x) = e x (Ax + B). y (x) = ex (Ax + A + B), y (x) = ex (Ax + A + B) xe x = y (x) + y (x) + y (x) = e x (5Ax + 4A + 5B).
Equazioni differenziali 6 Risolvendo il sistema 5A = 4A + 5B = si ottiene che A = /5, B = 4/5 e Dunque la soluzione generale è y (x) = e x ( 5 x 4 5 3. Sia y(x) una soluzione dell equazione ) = ex (5x 4). 5 y(x) = e x (c cosx + c sin x) + ex (5x 4). 5 y (x) + 6y (x) + 9y(x) = 7x. Calcolare l eventuale asintoto di y(x) per x +. R. L equazione caratteristica è z + 6z + 9 = che ha una soluzione di molteplicità : 3. Quindi una base dello spazio delle soluzioni omogenee è: y (x) = e 3x e y (x) = xe 3x. La funzione f(x) = x è del tipo discusso con a = e b = e ato che z = a + ib = non è soluzione dell equazione caratteristica, la soluzione particolare ha la forma Sostituendo otteniamo y (x) = Ax + B. 7x = y (x) + 6y (x) + 9y (x) = 9Ax + (6A + 9B) A = 3 e B =. Quindi ci sono infinite soluzioni che dipendono dalla scelta delle due costanti c e c y(x) = e 3x (c + c x) + 3x. Tutte queste soluzioni hanno per x + lo stesso asintoto y = 3x : y(x) m = lim x + x = 3 e q = lim (y(x) mx) =. x +
6 Roberto Tauraso - Analisi 4. Risolvere il problema di Cauchy y (x) + y (x) = x y() = y () = R. L equazione caratteristica è z + z = z(z + ) che ha radici semplici e. Quindi una base dello spazio delle soluzioni omogenee è: y (x) = e y (x) = e x. La funzione f(x) = x è del tipo discusso con a = b =. Dato che z = a + ib = ha molteplicità allora m = e la soluzione particolare da cercare ha la forma Calcoliamo le derivate: e sostituiamole nell equazione y (x) = x(ax + Bx + C) = Ax 3 + Bx + Cx. y (x) = 3Ax + Bx + C, y (x) = 6Ax + B x = y (x) + y (x) = 3Ax + (6A + B)x + (B + C). Quindi A = /3, B =, C = e Dunque la soluzione generale è Imponiamo le condizioni: y (x) = 3 x3 x + x. y(x) = c + c e x + 3 x3 x + x. y() = c + c =, inoltre, dato che y (x) = c e x + x x +, y () = c + =. Quindi c = e c = e la soluzione cercata è y(x) = e x + 3 x3 x + x.
Equazioni differenziali 63 5. Risolvere il problema di Cauchy y (x) y (x) y(x) = 3e x e x y() = y () = 3 R. L equazione caratteristica è z z = che ha due radici semplici: e. Quindi una base dello spazio delle soluzioni omogenee è y (x) = e x e y (x) = e x. Per il calcolo della soluzione particolare sfruttiamo la linearità e consideriamo prima il caso f (x) = 3e x e poi il caso f (x) = e x. Per f (x) = 3e x allora a = e b =. Dato che z = a + ib = è una soluzione dell equazione caratteristica di molteplicità, la soluzione particolare ha la forma Calcoliamo le derivate e sostituiamole nell equazione Quindi A = e y (x) = Axe x. y (x) = A(e x xe x ), y (x) = A( e x + xe x ) 3e x = y (x) y (x) y (x) = 3Ae x. y (x) = xe x. Per f (x) = e x allora a = e b =. Dato che z = a + ib = non è una soluzione dell equazione caratteristica, la soluzione particolare ha la forma Calcoliamo le derivate e sostituiamole nell equazione da cui B = e y (x) = Be x. y (x) = Be x, y (x) = Be x e x = y (x) y (x) y (x) = Be x. y (x) = e x. Dunque una soluzione particolare per f(x) = f (x) + f (x) = 3e x e x è y (x) = y (x) + y (x) = xe x + e x
64 Roberto Tauraso - Analisi mentre la soluzione generale è Imponiamo le condizioni: y(x) = c e x + c e x + xe x + e x. y() = c + c + =, inoltre, dato che y (x) = c e x + c e x + e x xe x + e x, Risolvendo il sistema y () = c + c + = 3. c + c = c + c = si ottiene che c =, c = e la soluzione del problema di Cauchy è 6. Quali delle seguenti funzioni y(x) = e x + xe x + e x = e x (x ) + e x. y a (x) = e x (x + 3), y b (x) = e x (x 4 x), y c (x) = e x (x 5 + ), y d (x) = e x (x 4 + 3) sono soluzioni dell equazione differenziale y (x) y (x) + y(x) = 4e x x? R. Si potrebbe sostituire pazientemente le singole funzioni nell equazione e verificare quando questa sia soddisfatta, ma in realtà alcune semplici osservazioni ci permetteranno di operare più rapidamente. Il polinomio caratteristico z z + = (z ) ha una soluzione z = di molteplicità e dunque la soluzione omogenea è y o (x) = e x (c x + c ) con c e c costanti arbitrarie. Quindi pmo togliere dalle funzioni proposte la parte omogenea e verificare ora quale delle funzioni semplificate è soluzione ỹ a (x) =, ỹ b (x) = e x x 4, ỹ c (x) = e x x 5, ỹ d (x) = e x x 4 Inoltre dato che alla funzione f(x) = 4e x x pmo associare proprio il numero complesso la soluzione particolare ha la forma y (x) = x e x (Ax + Bx + C) = e x (Ax 4 + Bx 3 + Cx ) dove A, B e C sono costanti opportune non tutte nulle.
Equazioni differenziali 65 Quindi ỹ a (x) e ỹ c (x) vanno escluse: la prima perché è zero e la seconda perché contiene un termine x 5 incompatibile con la forma di y. Rimangono quindi da verificare solo ỹ b (x) = e x x 4 e ỹ d (x) = e x x 4. Basta fare i conti per ỹ b (x) perché per linearità per ỹ d (x) = ỹ b (x) otterremo proprio il doppio: (e x x 4 ) (e x x 4 ) + (e x x 4 ) = e x x Siccome f(x) = e x x, solo la funzione ỹ d (x) risolve l equazione data. Pmo così concludere che tra le funzioni proposte solo y d (x) è una soluzione. 7. Sia y(x) la soluzione del problema y (x) + y (x) + y(x) = 8e x 5 y() = y () =. Calcolare il limite lim x + e x y(x). R. L equazione caratteristica è z + z + = (z + ) = che ha solo una radice di molteplicità :. Quindi una base dello spazio delle soluzioni omogenee è y (x) = e x e y (x) = xe x. Calcoliamo la soluzione particolare. Per f (x) = 8e x allora a = e b = e dato che z = a + ib = non è una soluzione dell equazione, la soluzione particolare ha la forma y (x) = Ae x. Per f (x) = 5 allora a = e b = e dato che z = a + ib = non è una soluzione dell equazione caratteristica, la soluzione particolare ha la forma Dunque la soluzione generale ha la forma y (x) = B. y(x) = (c x + c )e x + Ae x + B. Prima di determinare i coefficienti impostiamo il calcolo del limite richiesto: ( lim x + e x y(x) = lim (c x + c )e x + A + Be x) = A. x + Quindi l unico coefficiente necessario è A. Determiniamolo y (x) + y (x) + y (x) = Ae x + Ae x + Ae x = 4Ae x = 8e x. Così A = e limite vale. Si noti che il limite non dipende dalle condizioni iniziali.
66 Roberto Tauraso - Analisi 8. Sia y(x) soluzione del problema y (4) (x) y(x) = e x + 6x 7 lim x + y(x)/x =. Calcolare il limite lim x + y(x)/x. R. L equazione caratteristica è z 4 = che ha quattro radici di molteplicità :,, i, i. Quindi una base dello spazio delle soluzioni omogenee è y (x) = e x, y (x) = e x, y 3 (x) = cosx e y 4 (x) = sin x. Calcoliamo la soluzione particolare. Per f (x) = e x allora a = e b = e dato che z = a + ib = non è una soluzione dell equazione, la soluzione particolare ha la forma y (x) = Ae x. Per f (x) = 6x 7 allora a = e b = e dato che z = a + ib = non è una soluzione dell equazione caratteristica, la soluzione particolare ha la forma Dunque la soluzione generale ha la forma y (x) = Bx + C. y(x) = c e x + c e x + c 3 cosx + c 4 sin x + Ae x + Bx + C. Prima di determinare i coefficienti imponiamo la condizione che la soluzione generale deve soddisfare: lim x + y(x)/x = c lim x + ex /x =, e quindi c =. Si noti che i coefficienti c, c 3 e c 4 sono liberi e dunque il problema ha infinite soluzioni. Ora impostiamo il calcolo del limite richiesto lim y(x)/x = B, x + quindi il suo valore è lo stesso per tutte le soluzioni. Determiniamo l unico coefficiente necessario: y (4) (x) y (x) = Bx C = 6x 7. Così B = 6 e limite vale 6.
Equazioni differenziali 67 9. Sia y(x) soluzione del problema Calcolare il limite lim x + e x y(x)/x. R. L equazione caratteristica è y (x) + y (x) + y(x) = xe x. z + z + = che ha due radici complesse cooniugate: +i e i. Quindi una base dello spazio delle soluzioni omogenee è y (x) = e x cosx e y (x) = e x sin x. Calcoliamo la soluzione particolare. Per f(x) = xe x allora a = e b = e dato che z = a + ib = non è una soluzione dell equazione, la soluzione particolare ha la forma e sostituendo otteniamo y (x) = e x (Ax + B) xe x = y (x) + y (x) + y (x) = e x (5Ax + 4A + 5B). Dunque A = /5 e B = 4/5 e la soluzione generale ha la forma Infine calcoliamo il limite richiesto y(x) = e x (c cosx + c sin x) + e x (5x 4)/5. lim x + e x y(x)/x = A = 5.. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = x/y(x) y() = R. Qui la funzione a(x) = x mentre b(y) = /y. Dato che b(y ) =, la soluzione cercata risolve e dunque y(x) [ y y (x) y dy = ] y(x) x [ x = xdx ] x = x.
68 Roberto Tauraso - Analisi In questo caso nell esplicitare la funzione y(x) otteniamo: y(x) = ± x +. Dato che y() = si sceglie il segno negativo e quindi l unica soluzione è y(x) = x + per x R.. Risolvere il problema di Cauchy y(x) y (x) = y() = Quante sono le soluzioni? R. Le variabili sono già separate, quindi basta integrare e dunque y(x) [ y y dy = ] y(x) y (x) x = [ x ] x = x. dx Per esplicitare la funzione y(x) dobbiamo invertire la funzione y /: y(x) = ± x. La condizione y() = è soddisfatta sia da y(x) = x sia da y(x) = x. Dunque le soluzioni del problema sono due ed entrambe sono definite nell intervallo [, + ).. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = y (x) y() = R. In questo caso la funzione a(x) = mentre b(y) = y. Dato che b(y ) = 4, la soluzione cercata risolve y(x) x y dy = dx
Equazioni differenziali 69 e dunque [ ] y(x) = [x] x y y(x) + = x. Per determinare la soluzione basta esplicitare la funzione y(x): y(x) = x. La soluzione è unica ed è definita sull intervallo massimale contenuto del dominio della funzione /( x) che contiene il punto x = ovvero (, /). Notiamo che se la condizione fosse stata y() = allora b(y ) = e la soluzione sarebbe stata la soluzione stazionaria y(x) =. 3. Risolvere il problema di Cauchy xy (x) + e y(x) = y() = log 5. R. Risistemando i termini è facile riconoscere un equazione differenziale a variabili separabili: per x y (x) = e y(x). x Così a(x) = /x e b(y) = e y. Dato che b(y ) = 4/5, la soluzione cercata risolve y(x) y(x) e y x dy = e y log 5 e y dy = x dx e dunque log 5 [log e y ] y(x) log 5 = [log x ]x log e y(x) log 4 = log x. Per determinare la soluzione basta esplicitare la funzione y(x): e quindi abbiamo due possibilità log e y(x) = log (4 x ) y(x) = log (±4 x + ). Dato che y() = log 5, il segno da prendere è quello positivo e quindi la soluzione è y(x) = log (4 x + ).
7 Roberto Tauraso - Analisi 4. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = 6 + 5y(x) y (x) y() = 4 e calcolare l eventuale asintoto della soluzione y(x) per x +. R. In questo caso la funzione a(x) = mentre b(y) = 6+5y y = (y 3)(y ). Dato che b(y ) =, la soluzione cercata risolve e dunque y(x) 4 y(x) ( (y 3)(y ) dy = 4 y ) x = dx y 3 [ log y y 3 ] y(x) 4 = [ x ] x log y(x) y(x) 3 log = x. Per determinare la soluzione è sufficiente esplicitare la funzione y(x): + y(x) 3 = y(x) y(x) 3 = ±ex +log = ±e x, e imponendo la condizione iniziale y() = 4 si ottiene Dato che l asintoto richiesto è y = 3. y(x) = 3 + e x per x > log. ( ) lim y(x) = lim 3 + = 3 x + x + e x 5. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = x( + y (x)) y() = R. Qui la funzione a(x) = x mentre b(y) = + y. Dato che b(y ) =, la soluzione cercata risolve y(x) x + y dy = xdx
Equazioni differenziali 7 e dunque [ arctan(y) ] y(x) = [ x ] x arctan(y(x)) = x. Per esplicitare la funzione y(x) dobbiamo invertire la funzione arcotangente: y(x) = tan(x ) per x ( π, π ). 6. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = 9 arctan(x) y(x) y() = 4 e calcolare il limite lim x + y(x)/ x. R. Qui b(y) = /y e dato che b(y ) = /4, la soluzione cercata risolve y(x) 4 x y dy = 9 arctanxdx. Il secondo integrale si risolve per parti x arctan xdx = x arctan x + x dx = x arctan x log( + x ) + c e così otteniamo [ ] y y(x) [ = 9 x arctan x ] x 4 log( + x ) y (x) 8 = 9x arctanx 9 log( + x ). Esplicitiamo la funzione y(x) imponendo la condizione y() = 4: Dunque il limite richiesto vale y(x) = 8x arctanx 9 log( + x ) + 6 per x. y(x) lim = 8π/ = 3 π. x + x
7 Roberto Tauraso - Analisi 7. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = y() = 3π x x + (sin(y(x)))3 R. Qui b(y) = sin 3 y e b(y ) = sin(3π) 3 = e quindi la soluzione è stazionaria: y(x) = 3π. 8. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = log(x) y(x) y() = e e calcolare y(e). R. La soluzione cercata risolve y(x) y dy = Quindi e x log xdx. [log y ] y(x) e = [x log x x] x log y(x) = x log x x +. Esplicitiamo la funzione y(x) imponendo la condizione y() = e: Dunque y(e) = e e e+ = e. y(x) = e x log x x+ per x >. 9. Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy y (x) = x (e y(x) ) y() = log 3. Calcolare il limite lim y(x). x + R. Qui la funzione a(x) = x mentre b(y) = e y. Dato che b(y ) = /3, la soluzione cercata risolve y(x) log3 e y dy = y(x) log 3 e y y(x) e dy = y log 3 e d( y ey ) = x x dx
Equazioni differenziali 73 e dunque [ log e y ] [ ] y(x) x 3 x = log 3 3 log e y(x) = x3 3. Esplicitiamo la funzione y(x) tenendo conto della condizione iniziale: ( ) y(x) = log e x3 /3 + per x R. Così ( ) lim y(x) = lim log e x3 /3 + = log. x + x + Quindi y(x) converge asintoticamente alla soluzione stazionaria. 3. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = 3 cos (x) sin(x) y(x) y() = R. Qui b(y) = y e b(y ) = e quindi la soluzione soddisfa e dunque y(x) y dy = x Quindi la soluzione cercata è y(x) = x 3(cosx) sin xdx = 3(cosx) d(cosx) [ ] y(x) = [ (cosx) 3] x y y(x) + = (cos x)3 +. (cosx) 3 per x ( π/, π/). 3. Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy xy (x) + y(x) = x sin(x 3 ) y( 3 π) =. Calcolare il limite lim x + y(x)/x5.
74 Roberto Tauraso - Analisi R. L equazione si riscrive come (xy(x)) = x sin(x 3 ) e integrando rispetto a x tra 3 π e x otteniamo, dato che y( 3 π) =, xy(x) = 3 x [xy(x)] x 3 π = x 3 π x sin(x 3 ) dx sin(x 3 ) d(x 3 ) = [ cos(x 3 ) ] x 3 3 π 3 π = cos(x3 ). 3 Così per x Allora y(x) = cos(x3 ). 3x y(x) cos(x 3 ) lim = lim x + x 5 x + 3x 6 3. Sia y(x) la soluzione del problema di Cauchy = lim x + ( (x 3 ) / + o(x 6 )) 3x 6 = 6. y (x) = log(x)e y(x) /x y() =. Calcolare il limite lim y(x). x (e ) R. Separando le variabili e integrando otteniamo per x > e quindi y(x) Allora la soluzione è x e y log(x) x dy = dx = log(x) d(log(x)) x e y(x) = (log(x)) /. y(x) = log ( (log(x)) / ) definita nell intervallo massimale (/e, e ). Così lim y(x) = lim log ( (log(x)) / ) =. x (e ) x (e )
Equazioni differenziali 75 33. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = e x 3y(x) y() = e quindi calcolare il limite lim x + y(x)/x. R. Qui b(y) = e 3y e b(y ) = e quindi la soluzione soddisfa e dunque Quindi la soluzione cercata è Ora calcoliamo il limite richiesto y(x) lim x + x y(x) [ e 3y 3 e 3y(x) 3 e 3y dy = ] y(x) x [ e x = e x dx ] x 3 = ex. y(x) = 3 log ( 3e x log = lim x + = lim x + ) ( ) 3e x 3x log 3 + x 3x = 3. per x R. 34. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = (x ) (y(x) ) y() = log ( 3 = lim ex) x + 3x R. Qui b(y) = y e b(y ) = e quindi la soluzione soddisfa y(x) y dy = x (x ) dx e dunque [ log y ] y(x) = [ x x ] x
76 Roberto Tauraso - Analisi log y(x) = x x. Cominciamo ad esplicitare la funzione y(x) e togliendo il valore assoluto abbiamo che y(x) = e x x. y(x) = ± e x x. Siccome y() = dobbiamo scegliere il segno positivo. Allora la soluzione cercata è y(x) = + e x x per x R. 35. Risolvere il problema di Cauchy y (x) = 3 3x + ey(x) e y(x) y() = log 3 e determinare y(). R. Qui b(y) = ( e y )/e y e b(y ) = /3 e quindi la soluzione soddisfa e così y(x) log 3 e y x e dy = 3 y 3x + dx [ log e y ] y(x) = [ log 3x + ] x log 3 e y(x) = ±(3x + ). Esplicitiamo la funzione y(x) imponendo la condizione iniziale y() = log 3: ( y(x) = log + ) per x > /3. 3x + Quindi y() = log(9/4) = log(3/).