1 I LIMITI 1. UNA RAPIDA INTRODUZIONE Nlla fuzio y quado divta grad grad ( 1000, 1000000,... ) la y corrispodt divta piccola piccola, si schiaccia a zro, si avvicia moltissimo a 0. Ciò può ssr sprsso, i simboli, co la scrittura ch si lgg: lim 0 + il limit, pr ch td a +, dlla quatità, è zro. Cosa dvo guardar, ituitivamt, pr dtrmiar u limit? 1) Posso guardar il grafico lim? + Faccio tdr a +, ossia mi sposto, sull ass, molto ma molto a dstra vdo cosa fa la y. I qusto caso, la y corrispodt divta piccola piccola! Td a 0! Il limit è 0. ) Oppur, ach sza grafico, faccio assumr alla valori molto ma molto gradi mi chido quali valori assum la y corrispodt. Tali valori dlla y soo piccolissimi! Il limit è duqu 0. Ma dopo qusta brvissima itroduzio ituitiva, qui vrbi, avvrbi aggttivi ch abbiamo utilizzato ( tdr, avviciarsi, moltissimo, piccola, grad ) dovrao ssr mglio prcisati, soprattutto, iquivocabilmt QUANTIFICATI. lim 0 + IL SIMBOLO DI LIMITE lim Ioltr l situazioi i cui si può parlar di limit soo assai svariat, qull avviciarsi, qul tdr, dlla y ad u crto valor, può ralizzarsi i modalità fra loro diffrti. qui scrivo acosa td qui scrivo l'sprssio dlla fuzio " pr ch td a..." td sigifica si avvicia 1000 y 0,00 1000 1000000 y 0,00000 1000000 Abbi paziza, ti sottoporrò ora ua squza di ESEMPI, ch sarao u ANTIPASTO PREZIOSO, PRIMA DI ARRIVARE ALLA DEFINIZIONE, prché ti farao trar a cotatto co l curios problmatich i gioco ti prmttrao così di capir pr qual motivo, oostat qustioi di qusto tipo si siao prstat agli studiosi fi dall atichità classica, ua dfiizio soddisfact di limit sia mrsa soltato l XIX scolo, a coroamto di u avvtura itllttual millaria, appassioat quato impgativa. qui scrivo acosa td y A r c h i m d N w t o W i r s t r a s
. UNA RASSEGNA DI ESEMPI Esmpio 1 Fra l molt affasciati formul ch la Gomtria ci propo, c è ach ua ch prmtt, ota la lughzza dl lato dl poligoo rgolar di lati, iscritto i ua circofrza di raggio r, di ricavar la lughzza dl lato dl poligoo rgolar iscritto, avt umro di lati doppio. Tal formula, ricavabil utilizzado i modo opportuo i tormi di Pitagora di Euclid, è la sgut: r r 4r Suppoiamo ch la ostra circofrza abbia raggio uitario: prdiamo, isomma, r 1. Partiamo dall sagoo rgolar iscritto:. E oto ch il lato dll sagoo rgolar iscritto è ugual al raggio: si ha duqu r 1. B! Applicado ora la formula, potrmo subito ricavar la misura dl lato dl dodcagoo rgolar iscritto: 1 4 1 0,51738... E itrado il procdimto, sarmo poi i grado di calcolar l lughzz di lati di poligoi rgolari iscritti, avti 4 lati, 48 lati, 9 lati : 4 0,105... 4 1 4 0,13080... 48 4 9 4 48 0,05438... Nlla tablla sgut ci siamo srviti dlla cooscza di, 1, 4, 48, 9,... pr ricavar i primtri di rispttivi poligoi: ( p), ( p) 1,1157..., ( p) 4,557... 1 1 4 4 lato primtro lato Primtro 1 78 0,00818108,8317784 1 0,5173809,115708 153 0,00409013,831809 4 0,105384,5577 307 0,00045307,831841 48 0,1308058,7870040 144 0,001054,83185033 9 0,054381,80390 188 0,00051137,8318537 19 0,037343,8904945 384 0,01379,831151 La tablla mostra ch quado il umro di lati divta molto alto, il valor dl primtro, pur aumtado smpr, prsta ua tdza a stabilizzarsi i prossimità di u valor lggrmt suprior a,8. Ciò è prfttamt comprsibil s psiamo ch, all aumtar dl umro di lati, il poligoo rgolar iscritto td a rimpir smpr più il crchio, quidi il suo primtro td ad approssimar smpr più la lughzza dlla circofrza, ossia il umro r 1,83185.... Cosidrata ora la succssio a1 primtro dll ' sagoo rgolar iscritto a primtro dl dodcagoo rgolar iscritto,115708... a3 primtro dl poligoo rgolar iscritto, co 4 lati,5577... a4 primtro dl poligoo rgolar iscritto, co 48 lati,7870040...... s si vuol idicar il fatto ch "il valor dlla quatità ak, pr valori molto alti di k, è assai prossimo al umro " si potrà utilizzar la scrittura: lim ak k ch si lggrà "il limit, al tdr di k a ifiito, di ak, è "
Esmpio Cosidriamo la succssio il cui trmi gral è + 1 c, co 1,,3,... I primi lmti dlla succssio valgoo: 1+ 1 + 1 3 3+ 1 4 c1 ; c 1,5; c3 1,33333333...;... 1 3 3 Cosa accad al umro c quado divta molto, ma molto grad? E b facil rispodr: c si avvicia al valor 1. Ifatti + 1 1 c + 1+ 1, la quatità 1, al crscr di, si fa smpr più piccola ( td a zro), pr cui il umro + 1 1 c 1 + assumrà, s vi prso gradissimo, valori molto, ma molto prossimi a 1. Possiamo sprimr qusto fatto scrivdo 1 1 lim c lim + lim 1 1 + Esmpio 3 s Cosidriamo la fuzio y f( ) dov idica la misura i radiati di u arco. Ad smpio, l arco il cui agolo al ctro corrispodt è di 30 misura, i radiati, ; 3 1 s s 3 3 co si ha 0,95499... 3,141597... Acora: l arco, il cui agolo al ctro corrispodt misura 18 (i radiati, /10 ), ha pr so la mtà dl lato dl dcagoo rgolar iscritto lla circofrza goiomtrica. Ma dalla Gomtria si coosc ch il lato dl dcagoo rgolar iscritto i ua circofrza è ugual alla szio aura dl raggio (ch, l caso dlla circofrza goiomtrica, è uitario); 5 1 la szio aura di u sgmto si otti moltiplicado il sgmto stsso pr il fattor. 1 5 1 5 1 Prtato co avrmo s s, da cui 10 10 4 5 1 s s 10 4 0,309019... 0,983315... 0,314159... 10 10 Pr valori piccoli ( prossimi a 0) dll arco, il sgmtio s quasi si cofod co l archtto : il valor di s è lggrmt ifrior, ma molto vicio, al valor di. Prtato, co molto piccolo, il valor dl rapporto s è molto prossimo a 1.
4 Ad smpio, co 0,001 (l arco è u millsimo di radiat, ossia: l arco, rttificato, dà luogo ad u sgmtio ch è sattamt la millsima part dl raggio), si ha s s 0,001 s s 0,001 0,00099999983... da cui 0,99999983... 0,001 s Il fatto ch la fuzio y assuma valori molto prossimi a 1 quado l arco è molto prossimo a 0, si può sprimr attravrso la scrittura s lim 1 0 ch si lgg s il limit, pr ch td a zro, di, è ugual a 1. Ossrviamo ch, mtr gli smpi 1 riguardavao il limit di ua succssio ( squza) umrica, qui abbiamo ivc cosidrato il limit di ua fuzio di variabil ral. Riprdrmo il discorso succssioi alla fi dl capitolo, coctradoci di qui i avati sull fuzioi di variabil ral (poco cambia pr l succssioi, ch possoo ssr cosidrat fuzioi co domiio o * ). s S tracciamo (vdi figura sottostat) il grafico dlla fuzio y f( ), avrmo ch, quado si avvicia (stiamo viaggiado sull ass dll asciss) al valor 0, la y corrispodt si avvicia al valor 1. s Ossrviamo ch co 0 la fuzio y o è dfiita. s Acora co rifrimto alla fuzio y f( ), possiamo rilvar, com ci suggriscoo tato l ossrvazio dl grafico quato smplici cosidrazioi quatitativ, ch quado ci spostiamo sull ass molto a dstra ( tdt all ifiito positivo) oppur molto a siistra ( tdt all ifiito gativo), la y corrispodt cotiua ad adar su giù itoro all ordiata 0, avviciadosi allotaadosi priodicamt da ssa, ma co oscillazioi smorzat, la cui ampizza divta piccola a piacr. E allora dl tutto spotao utilizzar l scrittur s s lim 0; lim 0 + Poiché il tdr a 0 dlla fuzio s, quado td all ifiito positivo o gativo, avvi pr oscillazioi, NON sarbb corrtto affrmar ch quato più è grad i valor assoluto, tato più il valor di s è prossimo a 0. Al crscr di i valor assoluto, abbiamo ua y corrispodt ch si avvicia GLOBALMENTE a 0, ma il suo avviciarsi a 0 NON ha u carattr mootòo. Ossrvazioi com qusta soo molto importati: quado, più avati, ttrmo di dscrivr il coctto di limit i modo gral prciso, il ostro compito sarà tutt altro ch smplic, i quato dovrmo laborar ua dfiizio lla qual possao ritrar ach situazioi dl tipo di qulla appa cosidrata, i cui la y, pur prstado qulla ch oi stiamo ssr ua tdza a limit, o mostra u comportamto uidirzioal.
Esmpio 4 5 La figura sottostat mostra il diagramma dlla fuzio + 3 y g( ) ( ) : L ossrvazio dl grafico, accompagata da cosidrazioi di carattr quatitativo, ci suggrisc ch valgoo i limiti sguti: + 3 lim g ( ) lim + ( ) il limit di g( ), pr ch td a, è +, val a dir: quado è viciissimo a, il valor di g( ), ossia dlla y corrispodt, td a + l sso ch si fa altissimo, tato alto da sfodar, all isù, qualuqu ttto prfissato. U po di umri: + 3 lim g ( ) lim 1 + + ( ) + 3 y g( ) ( ),5 37,1 741,05 881,03 791,,0001 700040001 il limit di g( ), pr ch td a +, è 1, val a dir: quado divta gradissimo (ci stiamo spostado, sull ass dll asciss, molto a dstra), allora la y corrispodt si avvicia moltissimo a 1. + 3 lim g ( ) lim 1 ( ) il limit di g( ), pr ch td a, è 1, val a dir: quado divta gativo ma molto grad i valor assoluto (ci stiamo spostado, sull ass dll asciss, molto a siistra), allora la y corrispodt si avvicia moltissimo a 1.
Esmpio 5 Cosidriamo la fuzio 3 y h( ) 3 tracciamo il diagramma. L ossrvazio dl grafico (accompagata da cosidrazioi umrich) ci suggrisc ch: 3 lim h ( ) lim 0+ 0+ 3 3 lim h ( ) lim + 0 0 3 3 lim h ( ) lim 0+ + + 3 3 lim h ( ) lim 0+ 3 dov scrivr 0+ sigifica ch si psa a tdt a 0 da dstra, pr valori positivi dov scrivr 0 sigifica ch si psa a tdt a 0 da siistra, pr valori gativi dov scrivr ch il limit è 0 + sigifica idicar ch la fuzio ( la y) td a 0 dall alto Esmpio E vramt bizzarra la fuzio dfiita l modo sgut: s è razioal ( ) L ( ) { s è irrazioal ( ) Poiché qualsiasi itrvallo dlla umbr li coti sia ifiiti umri razioali, ch ifiiti umri irrazioali, il grafico dlla L( ), ch è distribuito su du rtt, si prsta tutto frammtato : s facciamo variar sull ass dll asciss, assistrmo ad u frtico saltllar dlla y corrispodt, da ua rtta all altra. Cosa possiamo affrmar riguardo al comportamto dlla fuzio, pr ch td a 0? Facdo tdr a 0, i saltlli dlla y soo smpr più miuscoli com ampizza : la y saltlla tro ua fascia di ordiat smpr più ristrtta, itoro all ordiata 0. Ach i qusto caso particolarmt strambo, appar duqu ragiovol accttar com corrtta la scrittura lim L ( ) 0 0 Quado duqu ci dcidrmo, al trmi di qusta splorazio prlimiar, a dar ua dfiizio gral, prcisa rigorosa, dl coctto di limit, dovrmo far i modo ch tal dfiizio o scluda l situazioi com qulla appa proposta.
Esmpio 7 y m( ) s Il domiio di qusta fuzio è { } 7 * 0 (,0) (0, + ). I valori dll ordiata y o possoo scofiar all stro dll itrvallo [ 1,1]. Pr disgar il grafico dlla fuzio è util crcar l itrszioi co l ass dll asciss, ossia risolvr l quazio y 0. 1 1 1 1 1 y 0 s 0; k ( k ); k ( k ); ( k *); ± 1, ±, ±, ±... k 3 4 Quidi la y si aulla ifiit volt, azi si aulla ifiit volt ll itrvallo fra l ascissa 1 l ascissa 1. L asciss i corrispodza dll quali la y si aulla si addsao itoro all ascissa 0. Sguiamo ora il variar dlla y, quado varia da 1 fio a 0. S facciamo variar da 1 a 1/, la quatità varirà da a 1 1 prciò, l frattmpo, y S facciamo variar da 1/ a 1/3, la quatità varirà da a 3 1 1 3 prciò, l frattmpo, y S facciamo variar da 1/3 a 1/4, la quatità varirà da 3 a 4 1 1 3 4 prciò, l frattmpo, y così via s dovrà assumr ua volta il valor 1. s dovrà assumr ua volta il valor + 1. s dovrà assumr ua volta il valor 1 Isomma, facdo dcrscr a partir dal valor 1, la y corrispodt assumrà, succssivamt, i valori: 0, 1, 0, + 1, 0, 1, 0, + 1,... Il grafico sarà prciò il sgut (è chiaro ch il prossimità dll ascissa 0 possiamo solo immagiarclo!): Di frot ora alla scrittura lim s... 0 com rimpirmo i putii? Poiché, al tdr di a 0, la y corrispodt cotiua ad oscillar (co frquza dll oscillazioi smpr più frtica) prcorrdo ad ogi oscillazio tutta la bada di ordiat tra 1 1, ssa o si approssima a ssua spcifica ordiata: appar ragiovol covir ch il limit proposto NON ESISTE.
Esmpio 8 y ( ) s 8 Pr tracciar il grafico di qusta fuzio, si può psar di partir dai grafici di y di y s. Prso u valor di, l ordiata corrispodt si ottrrà moltiplicado l du ordiat s. Ma com si modifica l ordiata, allorquado vi moltiplicata altrativamt pr i valori 0, 1, 0, + 1, 0, 1, 0, + 1,..., oché pr tutti i valori itrmdi tra 1 + 1? Facil: quado l ordiata vi moltiplicata pr + 1, rsta ivariata quado vi moltiplicata pr u umro comprso fra 0 1, dimiuisc quado vi moltiplicata pr 0, divta ugual a 0 quado vi moltiplicata pr 1, cambia di sgo divtado quado vi moltiplicata pr u umro comprso fra 0 1, cambia di sgo dimiuisc i valor assoluto. Oppur, si può psar a com si modifica l ordiata s, allorquado vi moltiplicata pr : quado l ordiata origiaria è ugual a 1, dopo la moltiplicazio divta ugual a ; quado l ordiata origiaria è ugual a 0, dopo la moltiplicazio rsta ugual a 0; quado l ordiata origiaria è comprsa fra 0 1, dopo la moltiplicazio risulta comprsa fra 0 ; quado l ordiata origiaria è ugual a 1, dopo la moltiplicazio divta ugual a ; quado l ordiata origiaria è comprsa fra 0 1, dopo la moltiplicazio risulta comprsa fra 0 Possiamo ach cosidrar il fatto ch co > 0: s 1 s 1 co < 0: s o i altrativa: 1 s 1 s 1 s s Il grafico sarà prciò qullo qui sotto raffigurato (è chiaro ch i prossimità dll origi possiamo solo immagiarclo co gli occhi dlla mt ): Di frot ora alla scrittura lim s... 0 è dl tutto spotao covir ch il limit valga 0.. Ifatti si ossrva ch al tdr di a 0, la y corrispodt cotiua ad oscillar (co frquza crsct), ma l oscillazioi hao ampizza smpr più piccola, cosicché fiiscoo pr circoscrivrsi i fasc di ordiat smpr più ristrtt, i prossimità dll ordiata 0.
9 Esmpio 9a y "part itra di " it ( ) [ ] E( ) Qusta fuzio è dfiita com sgu: E ( ) il massimo itro rlativo ch o supra Esmpi: E(7,59) 7; E(1/ 3) 5; E( 3) 1; E( ) 3; E(5) 5; E( 0,) 1; E( ) 4; E( ) ; E( 7) 7 Quado facciamo tdr l ascissa ad u valor itro, tato pr far u smpio a 3, dobbiamo distigur fra limit siistro ( 3, td a 3 matdosi <3) limit dstro ( 3+, td a 3 matdosi >3) lim E( ) lim E( ) 3 3 3+ Esmpio 9b y "matissa di " m( ) è dfiita com sgu: m ( ) E ( ) Esmpi: m(7,59) 0,59; m(1/3) m(3,33333...) 0,33333...; m( 3) 0,730508...; m( ) 0,141597...; m(5) 0; m( 0,) 0,8; m( ) 0,858407...; m( ) 0,79491...; m( 7) 0 lim E( ) 3 lim E( ) 3 3 + lim m( ) 1 3 lim m( ) 0 3 + Esmpio 9c y "sigum " è dfiita com sgu: + 1 s > 0 sigum( ) 1 s < 0 o sist co 0 Si può ach scrivr, quivaltmt: sigum( ) lim sigum( ) 1 0 lim sigum( ) 1 0 + Esmpio 10 La fuzio di Dirichlt è dfiita com sgu: 1 s è razioal ( ) D ( ) lim D( ) NON ESISTE 0 s è irrazioal ( ) 0 lim D( ) NON ESISTE