1. UNA RAPIDA INTRODUZIONE 1 2. UNA RASSEGNA DI ESEMPI 2 3. QUANDO IL LIMITE E BANALE: LA CONTINUITÀ LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITE 24 8

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1 I LIMITI. UNA RAPIDA INTRODUZIONE pag.. UNA RASSEGNA DI ESEMPI. QUANDO IL LIMITE E BANALE: LA CONTINUITÀ 4. IL LIMITE DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO: RICAPITOLIAMO 5. PSEUDO-UGUAGLIANZE E FORME DI INDECISIONE (DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO) 5 6. ESERCIZI SUI LIMITI DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO ESERCIZI DA SVOLGERE 7. LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITE 4 8. PUNTUALIZZAZIONI VARIE SULLE DEFINIZIONI DATE 9. TEOREMI SUI LIMITI 4. FUNZIONI CONTINUE 46. LIMITI DI FUNZIONI ALGEBRICHE ( POLINOMI, RAPPORTI DI POLINOMI) 54. LIMITI DI FUNZIONI TRASCENDENTI, LIMITI NOTEVOLI 64. UNA RACCOLTA CONCLUSIVA DI ESERCIZI LE SUCCESSIONI 84 I iti, di Giacarlo Zilio, è distribuito co liceza Creative Commos Attribuzioe - No commerciale - No opere derivate 4. Iterazioale

2 I LIMITI. UNA RAPIDA INTRODUZIONE 6 Nella fuzioe y quado diveta grade grade (,,... ) la y corrispodete diveta piccola piccola, si schiaccia a zero, si avvicia moltissimo a. Ciò può essere espresso, i simboli, co la scrittura che si legge: 6 + il ite, per che tede a +, della quatità 6, è zero. Cosa devo guardare, ituitivamete, per determiare u ite? ) Posso guardare il grafico 6? + Faccio tedere a +, ossia mi sposto, sull asse, molto ma molto a destra e vedo cosa fa la y. I questo caso, la y corrispodete diveta piccola piccola! Tede a! Il ite è. ) Oppure, ache seza grafico, faccio assumere alla valori molto ma molto gradi e mi chiedo quali valori assume la y corrispodete. Tali valori della y soo piccolissimi! Il ite è duque. Ma dopo questa brevissima itroduzioe ituitiva, quei verbi, avverbi e aggettivi che abbiamo utilizzato ( tedere, avviciarsi, moltissimo, piccola, grade ) dovrao essere meglio precisati e, soprattutto, iequivocabilmete QUANTIFICATI. 6 + IL SIMBOLO DI LIMITE Ioltre le situazioi i cui si può parlare di ite soo assai svariate, e quell avviciarsi, quel tedere, della y ad u certo valore, può realizzarsi i modalità fra loro differeti. qui scrivo acosa tede qui scrivo l'espressioe della fuzioe " per che tede a..." tede sigifica si avvicia 6 y,6 6 y,6 Abbi pazieza, ti sottoporrò ora ua sequeza di ESEMPI, che sarao u ANTIPASTO PREZIOSO, PRIMA DI ARRIVARE ALLA DEFINIZIONE, perché ti farao etrare a cotatto co le curiose problematiche i gioco e ti permetterao così di capire per qual motivo, oostate questioi di questo tipo si siao presetate agli studiosi fi dall atichità classica, ua defiizioe soddisfacete di ite sia emersa soltato el XIX secolo, a coroameto di u avvetura itellettuale millearia, appassioate quato impegativa. qui scrivo acosa tede y A r c h i m e d e N e w t o W e i e r s t r a s

3 . UNA RASSEGNA DI ESEMPI Esempio Fra le molte affasciati formule che la Geometria ci propoe, ce è ache ua che permette, ota la lughezza del lato del poligoo regolare di lati, iscritto i ua circofereza di raggio r, di ricavare la lughezza del lato del poligoo regolare iscritto, avete umero di lati doppio. Tale formula, ricavabile utilizzado i modo opportuo i teoremi di Pitagora e di Euclide, è la seguete: r r 4r Suppoiamo che la ostra circofereza abbia raggio uitario: prediamo, isomma, r. Partiamo dall esagoo regolare iscritto: 6. E oto che il lato dell esagoo regolare iscritto è uguale al raggio: si ha duque 6 r. Bee! Applicado ora la formula, potremo subito ricavare la misura del lato del dodecagoo regolare iscritto: 4, E iterado il procedimeto, saremo poi i grado di calcolare le lughezze dei lati dei poligoi regolari iscritti, aveti 4 lati, 48 lati, 96 lati : 4, , , Nella tabella seguete ci siamo serviti della coosceza di 6,, 4, 48, 96,... per ricavare i perimetri dei rispettivi poligoi: ( p) 6 6, ( p) 6,657..., ( p) 4 6, lato perimetro lato Perimetro ,888 6,867784, , ,496 6,8896 4,6584 6, ,457 6,884 48,8658 6, ,654 6,885 96, ,869 88,57 6,8857 9,746 6, ,6679 6,856 La tabella mostra che quado il umero di lati diveta molto alto, il valore del perimetro, pur aumetado sempre, preseta ua tedeza a stabilizzarsi i prossimità di u valore leggermete superiore a 6,8. Ciò è perfettamete compresibile se pesiamo che, all aumetare del umero di lati, il poligoo regolare iscritto tede a riempire sempre più il cerchio, e quidi il suo perimetro tede ad approssimare sempre più la lughezza della circofereza, ossia il umero π r π π 6, Cosiderata ora la successioe a perimetro dell ' esagoo regolare iscritto 6 a perimetro del dodecagoo regolare iscritto 6, a perimetro del poligoo regolare iscritto, co 4 lati 6, a4 perimetro del poligoo regolare iscritto, co 48 lati 6, se si vuole idicare il fatto che "il valore della quatità ak, per valori molto alti di k, è assai prossimo al umero π " si potrà utilizzare la scrittura: ak π k che si leggerà "il ite, al tedere di k a ifiito, di ak, è π "

4 Esempio Cosideriamo la successioe il cui termie geerale è + c, co,,,... I primi elemeti della successioe valgoo: c ; c,5; c,...;... Cosa accade al umero c quado diveta molto, ma molto grade? E be facile rispodere: c si avvicia al valore. Ifatti + c + +, e la quatità, al crescere di, si fa sempre più piccola ( tede a zero), per cui il umero + c + assumerà, se viee preso gradissimo, valori molto, ma molto prossimi a. Possiamo esprimere questo fatto scrivedo c + + Esempio se Cosideriamo la fuzioe y f( ) dove idica la misura i radiati di u arco. Ad esempio, l arco il cui agolo al cetro corrispodete è di misura, i radiati, 6 π ; π π se se e co si ha 6, π π π, Acora: l arco, il cui agolo al cetro corrispodete misura 8 (i radiati, π / ), ha per seo la metà del lato del decagoo regolare iscritto ella circofereza goiometrica. Ma dalla Geometria si coosce che il lato del decagoo regolare iscritto i ua circofereza è uguale alla sezioe aurea del raggio (che, el caso della circofereza goiometrica, è uitario); 5 e la sezioe aurea di u segmeto si ottiee moltiplicado il segmeto stesso per il fattore. π 5 5 Pertato co avremo se se π, da cui 4 π 5 se se 4,969..., π π, Per valori piccoli ( prossimi a ) dell arco, il segmetio se quasi si cofode co l archetto : il valore di se è leggermete iferiore, ma molto vicio, al valore di. Pertato, co molto piccolo, il valore del rapporto se è molto prossimo a.

5 4 Ad esempio, co, (l arco è u millesimo di radiate, ossia: l arco, rettificato, dà luogo ad u segmetio che è esattamete la millesima parte del raggio), si ha se se, se se,, da cui, , se Il fatto che la fuzioe y assuma valori molto prossimi a quado l arco è molto prossimo a, si può esprimere attraverso la scrittura se che si legge se il ite, per che tede a zero, di, è uguale a. Osserviamo che, metre gli esempi e riguardavao il ite di ua successioe ( sequeza) umerica, qui abbiamo ivece cosiderato il ite di ua fuzioe di variabile reale. Riprederemo il discorso successioi alla fie del capitolo, cocetradoci di qui i avati sulle fuzioi di variabile reale (poco cambia per le successioi, che possoo essere cosiderate fuzioi co domiio o * ). se Se tracciamo (vedi figura sottostate) il grafico della fuzioe y f( ), avremo che, quado si avvicia (stiamo viaggiado sull asse delle ascisse) al valore, la y corrispodete si avvicia al valore. se Osserviamo che co la fuzioe y o è defiita. se Acora co riferimeto alla fuzioe y f( ), possiamo rilevare, come ci suggeriscoo tato l osservazioe del grafico quato semplici cosiderazioi quatitative, che quado ci spostiamo sull asse molto a destra ( tedete all ifiito positivo) oppure molto a siistra ( tedete all ifiito egativo), la y corrispodete cotiua ad adare su e giù itoro all ordiata, avviciadosi e allotaadosi periodicamete da essa, ma co oscillazioi smorzate, la cui ampiezza diveta piccola a piacere. E allora del tutto spotaeo utilizzare le scritture se se ; + Poiché il tedere a della fuzioe se, quado tede all ifiito positivo o egativo, avviee per oscillazioi, NON sarebbe corretto affermare che quato più è grade i valore assoluto, tato più il valore di se è prossimo a. Al crescere di i valore assoluto, abbiamo ua y corrispodete che si avvicia GLOBALMENTE a, ma il suo avviciarsi a NON ha u carattere mootòo. Osservazioi come questa soo molto importati: quado, più avati, teteremo di descrivere il cocetto di ite i modo geerale e preciso, il ostro compito sarà tutt altro che semplice, i quato dovremo elaborare ua defiizioe ella quale possao rietrare ache situazioi del tipo di quella appea cosiderata, i cui la y, pur presetado quella che oi setiamo essere ua tedeza a ite, o mostra u comportameto uidirezioale.

6 Esempio 4 5 La figura sottostate mostra il diagramma della fuzioe + y g( ) ( ) : L osservazioe del grafico, accompagata da cosiderazioi di carattere quatitativo, ci suggerisce che valgoo i iti segueti: + g ( ) + ( ) il ite di g( ), per che tede a, è +, vale a dire: quado è viciissimo a, il valore di g( ), ossia della y corrispodete, tede a + el seso che si fa altissimo, tato alto da sfodare, all isù, qualuque tetto prefissato. U po di umeri: + g ( ) + + ( ) + y g( ) ( ),5 7, 74,5 88, 79,, 74 il ite di g( ), per che tede a +, è, vale a dire: quado diveta gradissimo (ci stiamo spostado, sull asse delle ascisse, molto a destra), allora la y corrispodete si avvicia moltissimo a. + g ( ) ( ) il ite di g( ), per che tede a, è, vale a dire: quado diveta egativo ma molto grade i valore assoluto (ci stiamo spostado, sull asse delle ascisse, molto a siistra), allora la y corrispodete si avvicia moltissimo a.

7 Esempio 5 Cosideriamo la fuzioe y h( ) e tracciamoe il diagramma. 6 L osservazioe del grafico (accompagata da cosiderazioi umeriche) ci suggerisce che: h ( ) + + h ( ) + h ( ) h ( ) + dove scrivere + sigifica che si pesa a tedete a da destra, per valori positivi dove scrivere sigifica che si pesa a tedete a da siistra, per valori egativi dove scrivere che il ite è + sigifica idicare che la fuzioe ( la y) tede a dall alto Esempio 6 E veramete bizzarra la fuzioe defiita el modo seguete: se è razioale ( ) L ( ) { se è irrazioale ( ) Poiché qualsiasi itervallo della umber lie cotiee sia ifiiti umeri razioali, che ifiiti umeri irrazioali, il grafico della L( ), che è distribuito su due rette, si preseta tutto frammetato : se facciamo variare sull asse delle ascisse, assisteremo ad u freetico saltellare della y corrispodete, da ua retta all altra. Cosa possiamo affermare riguardo al comportameto della fuzioe, per che tede a? Facedo tedere a, i saltelli della y soo sempre più miuscoli come ampiezza : la y saltella etro ua fascia di ordiate sempre più ristretta, itoro all ordiata. Ache i questo caso particolarmete strambo, appare duque ragioevole accettare come corretta la scrittura L ( ) Quado duque ci decideremo, al termie di questa esplorazioe preiare, a dare ua defiizioe geerale, precisa e rigorosa, del cocetto di ite, dovremo fare i modo che tale defiizioe o escluda le situazioi come quella appea proposta.

8 Esempio 7 π y m( ) se Il domiio di questa fuzioe è { } 7 * (,) (, + ). I valori dell ordiata y o possoo scofiare all estero dell itervallo [,]. Per disegare il grafico della fuzioe è utile cercare le itersezioi co l asse delle ascisse, ossia risolvere l equazioe y. π π y se ; kπ ( k ); k ( k ); ( k *); ±, ±, ±, ±... k 4 Quidi la y si aulla ifiite volte, e azi si aulla ifiite volte ell itervallo fra l ascissa e l ascissa. Le ascisse i corrispodeza delle quali la y si aulla si addesao itoro all ascissa. Seguiamo ora il variare della y, quado varia da fio a. Se facciamo variare da a /, π π π la quatità varierà da π a π e perciò, el frattempo, y Se facciamo variare da / a /, π π π la quatità varierà da π a π e perciò, el frattempo, y Se facciamo variare da / a /4, π π π la quatità varierà da π a 4π 4 e perciò, el frattempo, y e così via π se dovrà assumere ua volta il valore. π se dovrà assumere ua volta il valore +. π se dovrà assumere ua volta il valore Isomma, facedo decrescere a partire dal valore, la y corrispodete assumerà, successivamete, i valori:,,, +,,,, +,... Il grafico sarà perciò il seguete (è chiaro che il prossimità dell ascissa possiamo solo immagiarcelo!): Di frote ora alla scrittura π se... come riempiremo i putii? Poiché, al tedere di a, la y corrispodete cotiua ad oscillare (co frequeza delle oscillazioi sempre più freetica) percorredo ad ogi oscillazioe tutta la bada di ordiate tra e, essa o si approssima a essua specifica ordiata: appare ragioevole coveire che il ite proposto NON ESISTE.

9 Esempio 8 π y ( ) se 8 Per tracciare il grafico di questa fuzioe, si può pesare di partire dai grafici di y π e di y se. Preso u valore di, l ordiata corrispodete si otterrà moltiplicado le due ordiate e se π. Ma come si modifica l ordiata, allorquado viee moltiplicata alterativamete per i valori,,, +,,,, +,..., oché per tutti i valori itermedi tra e +? Facile: quado l ordiata viee moltiplicata per +, resta ivariata quado viee moltiplicata per u umero compreso fra e, dimiuisce quado viee moltiplicata per, diveta uguale a quado viee moltiplicata per, cambia di sego divetado quado viee moltiplicata per u umero compreso fra e, cambia di sego e dimiuisce i valore assoluto. Oppure, si può pesare a come si modifica l ordiata se π, allorquado viee moltiplicata per : quado l ordiata origiaria è uguale a, dopo la moltiplicazioe diveta uguale a ; quado l ordiata origiaria è uguale a, dopo la moltiplicazioe resta uguale a ; quado l ordiata origiaria è compresa fra e, dopo la moltiplicazioe risulta compresa fra e ; quado l ordiata origiaria è uguale a, dopo la moltiplicazioe diveta uguale a ; quado l ordiata origiaria è compresa fra e, dopo la moltiplicazioe risulta compresa fra e Possiamo ache cosiderare il fatto che π co > : se π se π co < : se o i alterativa: π π π π se se se se Il grafico sarà perciò quello qui sotto raffigurato (è chiaro che i prossimità dell origie possiamo solo immagiarcelo co gli occhi della mete ): Di frote ora alla scrittura π se... è del tutto spotaeo coveire che il ite valga.. Ifatti si osserva che al tedere di a, la y corrispodete cotiua ad oscillare (co frequeza crescete), ma le oscillazioi hao ampiezza sempre più piccola, cosicché fiiscoo per circoscriversi i fasce di ordiate sempre più ristrette, i prossimità dell ordiata.

10 9 Esempio 9a y "parte itera di " it ( ) [ ] E( ) Questa fuzioe è defiita come segue: E ( ) il massimo itero relativo che o supera Esempi: E(7,59) 7; E(6/ ) 5; E( ) ; E( π ) ; E(5) 5; E(,) ; E( π ) 4; E( ) ; E( 7) 7 Quado facciamo tedere l ascissa ad u valore itero, tato per fare u esempio a, dobbiamo distiguere fra ite siistro (, tede a mateedosi <) e ite destro ( +, tede a mateedosi >) E( ) E( ) + Esempio 9b y "matissa di " m( ) è defiita come segue: m ( ) E ( ) Esempi: m(7,59),59; m(6/) m(,...),...; m( ),758...; m( π ), ; m(5) ; m(,),8; m( π ), ; m( ), ; m( 7) E( ) E( ) + m( ) m( ) + Esempio 9c y "sigum " è defiita come segue: + se > sigum( ) se < o esiste co Si può ache scrivere, equivaletemete: sigum( ) sigum( ) sigum( ) + Esempio La fuzioe di Dirichlet è defiita come segue: se è razioale ( ) D ( ) D( ) NON ESISTE se è irrazioale ( ) D( ) NON ESISTE

11 . QUANDO IL LIMITE E BANALE: LA CONTINUITA Nel caso di ua fuzioe reale di variabile reale, quado si fa tedere ad u valore fiito apparteete al domiio D della fuzioe, il caso di gra luga più frequete è che la y teda ad u altro valore fiito, quello che si ottiee, baalmete, assegado a il valore, ossia poedo ell espressioe della fuzioe e svolgedo i calcoli. Si dice allora che la fuzioe i esame è cotiua i : y f ( ) cotiua i D f ( ) f ( ) Lo ribadiamo: la cotiuità, per le fuzioi di uso comue, è la regola, la discotiuità è l eccezioe. Ad esempio, ua fuzioe poliomiale è cotiua i ogi puto del suo domiio (che è poi tutto ). Nella figura qui a destra è rappresetata la fuzioe y f( ) 8 che ha apputo questa proprietà: f ( ) f() f ( ) f() f ( ) f() 8 8 f ( ) f() (7) ecc. ecc. ecc. A volte si parla di cotiuità a siistra o a destra i u puto : y f( ) cotiua a siistra i D f ( ) f ( ) y f( ) cotiua a destra i D f ( ) f ( ) Ad esempio, la fuzioe matissa y m( ) è cotiua a destra, ma è discotiua a siistra, i corrispodeza di ogi valore itero. m( ) f(); + ivece m( ) f () + Cotiuità su di u itervallo cotiuità i ogi puto di quell itervallo. La cotiuità di ua fuzioe su tutto u itervallo può essere descritta, i modo poco matematico ma molto ituitivo, come la possibilità di disegare il grafico seza mai distaccare la matita dal foglio Acora: la fuzioe y arc se è cotiua su tutto il suo domiio D [, + ]. I corrispodeza delle due estremità del domiio, è più corretto parlare di cotiuità uilaterale : cotiuità a destra, i ; cotiuità a siistra, i + + π arc si arc si ( ) π arc si arc si ( + )

12 4. IL LIMITE DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO: RICAPITOLIAMO A) LIMITE FINITO PER CHE TENDE A UN ASCISSA FINITA Cosideriamo ua fuzioe y f( ), e sia u'ascissa fissata. Far tedere a sigifica far assumere a valori sempre più vicii a. Possiamo far tedere a da siistra (scriveremo ) oppure da destra (scriveremo + ) o, acora, quado o abbia importaza distiguere il caso > dal caso <, bilateralmete (scriveremo ) Metre si sta facedo tedere a, iteressa stabilire a cosa tede ( si avvicia) il valore corrispodete di y. Se accade che, quado è molto prossima a, l ordiata corrispodete è molto prossima ad u certo valore (come el caso dell ultima figura, ella quale, per prossimo a, y f( ) è prossima a ), allora si scriverà f( ) che si legge: il ite, per che tede a, di f ( ), è Quado oi pesiamo al f ( ), NON CI INTERESSA MINIMAMENTE COSA ACCADE PER UGUALE A ; azi, co la fuzioe potrebbe ache o esistere (è questo il caso illustrato i figura, dove il pallio vuoto, il buco, evidezia proprio la o esisteza della fuzioe co ). Noi vogliamo stabilire a quale valore si avvicia la y, quado SI AVVICINA a. E i esame duque il comportameto della fuzioe IN PROSSIMITA DI, ma NON IN. Per questa ragioe, TUTTE E TRE le fuzioi segueti soo perfettamete equivaleti dal puto di vista del ite per, i quato esse differiscoo solamete per il comportameto IN, che ai fii della determiazioe del ite E IRRILEVANTE. f( ) NON ESISTE f ( ) f( ) f( ) f( ) y f ( )

13 No possiamo tuttavia a questo puto pretedere di aver DEFINITO i modo rigoroso cosa si iteda per ite. Co quali parole, ifatti, abbiamo cercato di descrivere questo cocetto? Rileggiamole: «Se accade che, quado è molto prossima a, l ordiata corrispodete è molto prossima a u dato valore, allora si scriverà ( ) che si legge: il ite, per f che tede a, di f ( ), è» Ma adesso riflettiamo cosa sigifica esattamete MOLTO PROSSIMA a, y MOLTO PROSSIMA a? I che seso va iteso l avverbio MOLTO? Isomma: MOLTO QUANTO? IL NOSTRO PRIMO TENTATIVO DI DEFINIZIONE, DIFETTA CLAMOROSAMENTE IN PRECISIONE! POTREMMO riteere di colmare l ambiguità esprimedoci el modo seguete: «Se accade che, quato più si approssima a, tato più l ordiata corrispodete si approssima a, allora si scriverà ( ) e si leggerà: il ite, per f che tede a, di f ( ), è». TUTTAVIA, questa descrizioe potrebbe essere adeguata per la fuzioe rappresetata ella figura qui a fiaco ma escluderebbe quei casi i cui l avviciameto di y a è globale ma o uidirezioale, π come el caso, che abbiamo già icotrato, della fuzioe y f( ) se, per la quale abbiamo coveuto che sia ragioevole poter scrivere f( ) ache se l avviciameto della y all ordiata o ha carattere mootòo, ma oscillate ed escluderebbe ache il caso, acora più aomalo, della se è razioale ( ) L ( ) { se è irrazioale ( ) per la quale abbiamo accettato la correttezza della scrittura L ( ) pur i preseza di u avviciameto della y all ordiata o mootòo, besì saltellate Il problema di defiire rigorosamete il ite è tutt altro che semplice. Lo affroteremo el capitolo seguete (cosiderado, ioltre, ache i casi i cui sia coivolto l ifiito ). UNA DEFINIZIONE DI LIMITE, PER ESSERE SODDISFACENTE, DOVRÀ tradurre i modo o ambiguo e rigorosamete quatitativo e idee di ua molto prossima a, cui corrispode ua y molto prossima a ; richiedere o soltato che la y si avvicii idefiitamete a (cioè: peetri i u itoro arbitrariamete piccolo di ), ma richiedere cotemporaeamete che, purché la sia sufficietemete vicia a, la y corrispodete o fuoriesca più da tale itoro. Come vedremo, SI RIUSCIRÀ AD ELABORARE UNA DEFINIZIONE CORRETTA A PATTO DI RIBALTARE L ORDINE IN CUI VENGONO PRESI IN CONSIDERAZIONE E : ifatti, spotaeamete si è portati a pesare PRIMA alla che si avvicia a, POI alla y corrispodete che si avvicia a ; UNA DEFINIZIONE MATEMATICAMENTE INECCEPIBILE PARTIRÀ INVECE DA, PARLANDO DI UNA y CHE SI MANTIENE VICINA A TANTO QUANTO LO SI DESIDERA, A PATTO DI PRENDERE SUFFICIENTEMENTE VICINA A.

14 B) LIMITE INFINITO PER CHE TENDE A UN ASCISSA FINITA Nel caso della fuzioe y f( ) rappresetata qui a fiaco, diciamo che, al tedere di a, la f ( ) tede a +, perché costatiamo che, quado tede a, la y corrispodete assume valori altissimi, arbitrariamete alti, più alti di.., più alti di..., isomma: più alti di qualsiasi "tetto" prefissato. I geerale, la scrittura ( ) f + è utilizzata per idicare che al tedere di a, la y diveta alta, altissima, fio a portarsi al di sopra di qualsiasi tetto prefissato. La defiizioe rigorosa, che formuleremo el prossimo capitolo, esprimerà questa codizioe ribaltado l ordie i cui vegoo cosiderate la e la y : la y si matiee al di sopra di qualsiasi tetto prefissato, purché vega presa sufficietemete vicia a. y,,,,,,, Se voglio che la y stia al di sopra, tato per fare u esempio, del tetto... (mille miliardi) mi basta predere valori di sufficietemete vicii all ascissa : precisamete, mi basta predere compreso fra, e, (s itede, diverso da zero) C) LIMITE FINITO PER CHE TENDE A INFINITO + Nel caso della fuzioe y f( ) rappresetata qui sotto, + diciamo che, al tedere di a +, la f ( ) tede a, perché costatiamo che, quado viee presa positiva e molto grade, la y corrispodete assume valori molto prossimi a. I geerale, la scrittura f( ) + ( ) è utilizzata per idicare che al tedere di a +, la y si avvicia all ordiata. La defiizioe rigorosa, che daremo el prossimo capitolo, esprimerà questa codizioe capovolgedo l ordie i cui vegoo cosiderate la e la y : la y si matiee vicia tato quato oi vogliamo all ordiata, purché vega presa sufficietemete vicia a +, cioè sufficietemete grade. + y +,75,6584,95456,9954,9995

15 4 D) LIMITE INFINITO PER CHE TENDE A INFINITO Nel caso della fuzioe y f( ) + 5 rappresetata qui a fiaco, diciamo che, al tedere di a +, la f ( ) tede a +, perché costatiamo che, quado viee presa positiva e molto grade, la y corrispodete diveta altissima, così da oltrepassare, verso l alto, qualuque barriera prefissata. I geerale, la scrittura f( ) + + è utilizzata per idicare che per gradissima, la y assume valori gradissimi La defiizioe rigorosa, che daremo el prossimo capitolo, esprimerà questa codizioe ribaltado l ordie i cui vegoo pesate la e la y : la y si matiee maggiore di qualsiasi umero prefissato, purché vega presa sufficietemete grade.

16 5 5. PSEUDO-UGUAGLIANZE E FORME DI INDECISIONE (DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO) Suppoiamo di avere ua fuzioe che sia a sua volta il quoziete fra due fuzioi: f ( ) F( ) ; g( ) suppoiamo ioltre che, al tedere di a c (dove c potrà essere u ascissa fiita, oppure uo dei simboli +,, ), il umeratore f ( ) teda ad u valore fiito e o ullo (ad esempio, teda a 4) e il deomiatore g( ) teda a +. f ( ) Come si comporterà la fuzioe, quado tede a? g( ) c 4 Duque, ragioiamo. La ostra frazioe è f ( ). g( ) + Il umeratore assume valori molto vicii a 4 il deomiatore ivece assume valori gradissimi Ma allora, se il deomiatore è gradissimo (metre il umeratore o lo è, perché i suoi valori si mategoo prossimi a 4) vorrà dire che la frazioe assumerà valori piccolissimi! Avremo duque 4 f( ) c g ( ) + (più precisamete, per ovvi motivi di sego, Il tutto si potrebbe riassumere per mezzo della PSEUDO-UGUAGLIANZA Suppoiamo ora che f( ) 4, g( ) +. Quato varrà il c c f ( )? c g ( ) 4 f( ) + ) c g ( ) Si può osservare che, quado u umero viciissimo a 4 viee diviso per u umero positivo viciissimo a, il risultato della divisioe è u umero positivo gradissimo. Ad esempio, dividere per, equivale a moltiplicare per, dividere per, equivale a moltiplicare per 4 f( ) Avremo quidi + c g ( ) + Il tutto si potrebbe riassumere per mezzo della PSEUDO-UGUAGLIANZA IMPORTANTE: questa scrittura 4 è solo u modo cociso (e, proprio per la sua cocisioe, efficace) di esprimere u ragioameto be più articolato Duque: oi sappiamo bee che l'operazioe 4, presa alla lettera, come quoziete fra il umero 4 e il umero, è impossibile, priva di risultato, o defiita, illegal. Ma oi, i questo cotesto, NON stiamo pesado a questa operazioe!!!

17 6 Scrivedo 4 oi vogliamo solamete affermare che, se abbiamo u rapporto fra due fuzioi, e la fuzioe a umeratore tede a 4, metre la fuzioe a deomiatore tede a (sottiteso: per che tede ad u certo valore c ), allora il rapporto fra le due fuzioi tede a. Isomma: la scrittura 4 sostituisce l igombrate aotazioe f( ) f( ) 4 g( ) c c c g ( ) Suppoiamo ivece di avere due fuzioi f ( ), g( ) che, al tedere di a, tedao etrambe a ifiito: ( ), ( ) f g f ( ). Quato varrà il? g ( ) Riflettiamo. Noi stiamo studiado il comportameto della frazioe Il tedere all ifiito del umeratore vorrebbe far impeare la frazioe verso l ifiito ma il tedere all ifiito del deomiatore, per cotro, vorrebbe schiacciare la frazioe verso lo zero! Ci troviamo di frote a ua forma coflittuale, o, come geeralmete si dice, a ua f ( ). g( ) FORMA DI INDECISIONE Fra le due fuzioi che stao a umeratore e a deomiatore, vicerà il tiro alla fue quella che tede all'ifiito più rapidamete. Il valore del ite dipederà quidi dalle particolari fuzioi cosiderate: a volte potrà vicere il umeratore f, e allora il rapporto f / g tederà all'ifiito; altre volte potrà ivece vicere il deomiatore g, e i questo caso il rapporto f / g tederà a zero; i certi casi, poi, capita che le due fuzioi f, g trovao u equilibrio : il ite del rapporto f / g sarà allora u certo umero fiito e. Può ache accadere (situazioe be rara egli esercizi), che il ite del rapporto f / g o esista. Forma di idecisioe vuol dire che, a priori, o si può stabilire se esista il ite, e quato esso valga, applicado ua regola geerale o u teorema geerale; l idecisioe si scioglierà ivece tramite procedimeti che dipedoo dalle specifiche fuzioi coivolte. Alcui testi scrivoo forma idetermiata aziché forma di idecisioe ; forse sarebbe meglio parlare di forma iizialmete idetermiata!

18 Ad esempio, chiediamoci quato vale il. + 4 Al tedere di a +, sia il umeratore che il deomiatore tedoo a + ; si ha duque ua F.I. (Forma di Idecisioe) del tipo. Fra il umeratore e il deomiatore 4, quale tederà all ifiito più rapidamete? Beh, ha coefficieti più robusti metre 4 ha grado più elevato. Ma oi dobbiamo pesare che +, quidi è il grado che fiisce per caratterizzare la rapidità co cui l espressioe tede all ifiito. Ad esempio, co, abbiamo ma è !!! Duque, per via del grado maggiore, è più rapido il tedere all ifiito del deomiatore: e questo deomiatore vicete riesce perciò a schiacciare il valore la frazioe verso lo. I defiitiva avremo Per covicerci acora di più di questo fatto, raccogliamo, sia a umeratore che a deomiatore, elevato all espoete più alto: avremo 5 7 NOTA: i due termii 5 4 e , avedo il umeratore fisso e il deomiatore tedete a ifiito, tedoo a zero (si dice, co locuzioe suggestiva, NOTA che soo termii evaesceti ). + Ma allora, dopo la semplificazioe per + 4 effettuata al passaggio precedete, il umeratore tede a 7 e il deomiatore, + che è il prodotto di u fattore tedete a ifiito per u fattore tedete a, tede all ifiito. Duque il ite è ( +, per ovvi motivi di sego). I geerale, i ua F.I. del tipo A( ) Tutte queste cosiderazioi di carattere ituitivo + B( ) verrao putualmete legittimate dai Teoremi co A, B poliomi di grado diverso, che saremo i grado di dimostrare quado, il ite è a partire dal capitolo successivo, se prevale il grado del Deomiatore, avremo fialmete stabilito ifiito se prevale il grado del Numeratore. ua defiizioe be fodata di ite. 6 + Cosideriamo ivece il? I questa F.I., cotrariamete al caso precedete, N e D hao il medesimo grado Procediamo come el caso Di qui si trae, ache se per ora precedete e avremo i modo solamete ituitivo (NOTA), che i ua F.I. + del tipo A( ) + B( ) co A, B poliomi dello stesso grado, il valore del ite è sempre uguale al quoziete fra i coefficieti dei due termii di grado massimo. NOTA Ricordiamoci che dobbiamo acora dare ua defiizioe rigorosa di ite, e che o abbiamo fi qui dimostrato alcu teorema a riguardo (d altrode, i asseza di ua defiizioe precisa, o ha eppure seso cercare evetualmete di dimostrare dei teoremi )

19 8 Dopo aver acceato al caso, prediamo i esame u altra situazioe iteressate: la. Occhio! NON vogliamo qui riferirci all operazioe /, che come be sappiamo è o defiita, illegal, i quato idetermiata. La scrittura è qui utilizzata per idicare i modo sitetico ed efficace la situazioe i cui si cerchi f ( ) il, quado è f( ) g( ). g ( ) f ( ) Nella frazioe operao due forze cotrastati: g( ) il umeratore, col suo tedere a, vorrebbe portare verso lo zero il valore della frazioe; ma el cotempo il deomiatore, col proprio tedere a, lavora per far impeare la frazioe verso l ifiito. I questo tiro alla fue, vicerà la fuzioe che tede a più rapidamete. Se è f ( ) a tedere più rapidamete a zero, il ite sarà ullo; se ivece è g( ) che tede a zero più rapidamete, il ite sarà ifiito. I altri casi il ite potrà essere fiito e o ullo, oppure acora o esistere. Isomma, è ua Forma di Idecisioe, al pari di Come esempio, prediamo il se. cos Numeratore e deomiatore tedoo etrambi a zero; tuttavia, basta fare u disego della circofereza goiometrica per redersi coto che, al tedere a zero dell archetto, la quatità cos tede a zero co rapidità molto maggiore rispetto a se. Pertato il ite i questioe è ifiito. Cosiderazioi di sego ci portao a stabilire, più i dettaglio, che se se + ; + cos cos La coclusioe, da oi tratta u po alla buoa, co l ituizioe geometrica, è cofermata da ciò che impareremo a partire dal capitolo successivo. Possiamo cofermare il risultato trovato ache el modo seguete: se se + cos se ( + cos ) se ( + cos ) cos cos + cos cos se Va detto che, molto spesso, le Forme di Idecisioe del tipo, quado tede a u ascissa fiita, vegoo risolte attraverso ua semplificazioe, cui si può perveire a seguito di ua scomposizioe, o razioalizzazioe, o moltiplicazioe di N e D per ua stessa espressioe. Cosideriamo ad esempio l esercizio seguete, el quale la scomposizioe del deomiatore è stata effettuata tramite la Regola di Ruffii: 4 ( + )( + )( ) ( + )( + ) ( ) ( )

20 Fi qui ci siamo occupati i particolare del QUOZIENTE f ( )/ g( ) di due fuzioi, i relazioe al quale abbiamo brevemete parlato delle FORME DI INDECISIONE segueti: FI.. FI.. Ivece, sempre per quato riguarda il quoziete f ( )/ g( ), NON soo forme di idecisioe le situazioi schematizzate dalle segueti PSEUDO-UGUAGLIANZE: k Se il umeratore tede a u valore fiito k, metre il deomiatore tede a ifiito, allora il ite è Per quato attiee al PRODOTTO f ( ) g( ), abbiamo le ovvie PSEUDO-UGUAGLIANZE k ( k ) e la FORMA DI INDECISIONE F. I. 9 U fattore tede a, cercado di redere uguale a ache il prodotto; l altro fattore tira dalla parte opposta, i quato il suo tedere a ifiito cercherebbe di far tedere all ifiito pure il prodotto Va detto comuque che ua F.I. [ ] si può ricodurre a ua [ / ], o a ua [/], come ell es. seguete: + e e + e + Il ite di questo esempio è perché L ESPONENZIALE a deomiatore TENDE ALL INFINITO PIÙ RAPIDAMENTE RISPETTO ALLA FUNZIONE ALGEBRICA a umeratore, come ) si verifica sperimetalmete provado ad assegare a valori egativi gradi i valore assoluto (es.,...) ) e, soprattutto, come dimostreremo rigorosamete più avati Ifie, per la SOMMA ALGEBRICA f ( ) + g( ) sussistoo evidetemete le PSEUDO-UGUAGLIANZE + + k + + k + + ( + ) + + ( ) e la FORMA DI INDECISIONE ( + ) + ( ) F. I.; si può ache esprimere come ( + ) ( + ) che si riscotra i situazioi molto frequeti e semplici, ad esempio co i poliomi: Abbiamo raccolto elevato all espoete più alto, ed etro paretesi abbiamo otteuto ( u termie evaescete) Geeralizzado questo esempio si trae che AL TENDERE DELLA VARIABILE A INFINITO UN POLINOMIO TENDE SEMPRE ALL INFINITO, RICALCANDO IL COMPORTAMENTO DEL SUO TERMINE DI GRADO PIÙ ELEVATO. A parte la dimostrazioe formale che abbiamo dato, CERCHIAMO DI COMPRENDERE BENE QUESTO FATTO, approfittado sempre dello stesso esempio ( 45 ). + Qui si ha u coflitto fra il tedere a + di e il tedere a di 45, che è sommato algebricamete a. Il termie 45, rispetto al termie, è più forte i quato al coefficiete, ma iferiore come grado; però, quado diveta molto grade, il coefficiete perde di importaza ed è i defiitiva il grado a decidere il coflitto. Nel ostro caso, il grado iferiore pealizza il termie 45, che tede a ifiito meo rapidamete rispetto a. Ad esempio, se, è 45 45, ma si ha già che prevale ettamete su 45. Il termie vicete, quello che tede all ifiito co maggiore rapidità, è quidi. Pertato, el tiro alla fue (dove tira verso + e 45 tira verso ), triofa, per via del grado superiore, il termie, e la somma algebrica, i defiitiva, tede a +. D ora i poi, ove sia richiesto il LIMITE DI UN POLINOMIO AL TENDERE DELLA VARIABILE A ±, o staremo più a raccogliere elevato all espoete massimo; applicheremo ivece la regola stabilita, vale a dire cocluderemo immediatamete che IL LIMITE È INFINITO, e PER TROVARE IL SEGNO di questo ifiito GUARDEREMO COME SI COMPORTA IL TERMINE CARATTERIZZANTE DI GRADO MASSIMO.

21 6. ESERCIZI SUI LIMITI DAL PUNTO DI VISTA INTUITIVO A dire il vero, qualcuo potrebbe sosteere che assegare esercizi, a questo livello, sia prematuro. Eh sì, perché oi fio ad ora abbiamo dato ua presetazioe dell argometo iti puramete ituitiva, ma NON abbiamo acora fissato defiizioi precise, e o abbiamo acora dimostrato alcu teorema. Purtuttavia, prima di affrotare i paragrafi successivi, che sarao dedicati proprio a questa defiizioe e a questi teoremi, sembra opportuo, dal puto di vista didattico, fare u po di pratica per vedere se i cocetti espressi el precedete approccio ituitivo soo stati compresi. Ti propogo allora ua rassega di esercizietti, ei quali ragioerai u po alla buoa basadoti su quato detto fi qui e facedo cosiderazioi di puro buo seso ; vedrai che riuscirai comuque a determiare i risultati corretti, ache se, i effetti, sarao solo i paragrafi segueti a giustificare i modo razioalmete impeccabile procedimeti e coclusioi. Facciamo qualche esempio. 5 ESEMPIO )? Quado faccio tedere a, cioè quado faccio assumere a valori prossimi a, il valore del umeratore 5 si avvicierà a 5 metre il deomiatore si avvicierà a. Dal puto di vista pratico, operativo, possiamo illustrare tutto ciò co degli ovali o dei rettagolii (oppure servedoci di opportue paretesi) e delle freccette, el modo seguete: 5? 5? Ma allora, il valore della frazioe, a cosa si avvicierà? U umero viciissimo a, diviso per u umero viciissimo a, dà u umero gradissimo: u umero viciissimo a el seso di u umero gradissimo ( i valore assoluto). u umero viciissimo a Avremo duque 5 ma ATTENZIONE: NON sarebbe corretto, vededo a umeratore quel sego, dire che il ite è. Ifatti, il deomiatore, che si avvicia a, può tedere a : per valori positivi (se facciamo assumere a valori prossimi a ma maggiori di, ad esempio:,;,;... isomma: se facciamo tedere a a da destra ) oppure per valori egativi (se facciamo assumere a valori prossimi a ma miori di, ad esempio:,99;, ;... isomma: se facciamo tedere a a da siistra ) E perciò ESATTO scrivere ma, SE VOGLIAMO ESSERE PIÙ PRECISI, DOVREMO DISTINGUERE I DUE CASI del ite destro ( + ) e del ite siistro ( ) Osserviamo che, el primo caso, avremmo avuto, più precisamete, e el secodo caso ivece ma sarebbe stato DEL TUTTO INUTILE fare la distizioe, i quato, comuque, tato u umero leggermete maggiore di quato u umero leggermete miore di soo egativi!

22 ESEMPIO ) Avremo: 5 + 9? Si è trattato di u caso baale, o si è presetata essua delle situazioi speciali trattate el paragrafo dedicato alle pseudo-uguagliaze. ESEMPIO ) + 7? + Sia il umeratore che il deomiatore tedoo all ifiito: E quidi siamo di frote a ua forma idetermiata ? + IMPORTANTE Noi ei risultati alla fie della rassega, qualora l esercizio porti ad ua Forma di Idetermiazioe, scriveremo iazitutto che si è trovata, apputo, ua forma idetermiata (F.I.), poi e scriveremo ache il tipo (i questo caso, [ / ]) e ifie riporteremo pure il valore corretto del ite, dalla idividuazioe del quale, tuttavia, LO STUDENTE È PER ORA ESENTATO i quato, i geerale, essa presuppoe coosceze che verrao dai PARAGRAFI SUCCESSIVI. E pur vero che almeo i alcue di questi situazioi si potrebbe fi d ora, ragioado come si crede opportuo, o basadosi su teciche esposte alle pagie precedeti, tetare di stabilire quato valga il ite i questioe. Nel ostro specifico ultimo esempio, per il fatto che il Deomiatore ha grado maggiore del Numeratore, si capisce che D tederà all ifiito più rapidamete rispetto ad N e che quidi il ite sarà : PIU' RAPIDA- MENTE + oppure si potrebbe procedere per raccogeti, come i u caso dello stesso tipo esamiato qualche pagia addietro: I altre situazioi la determiazioe del ite è assai più problematica.

23 ESERCIZI ) ) ) 4) 5) 6) ( ) + + 7) ( ) 8) ( + ) 9) ( 5) ) ( 8 6 ) + + ) ( 8 6 ) + + ) ) 4) 5) 6) 7) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ) 9) ) ) ) ) 4) 5) 6) ) 8) 9) ) ) ) ) 4) 5) ) ( ) 7) ( ) 8) ( ) 5 + 9) 5 4 ( ) 4) + 4) 4) + + 4) 44) ( 5) 45) ) ( ) 47) + ( ) 48) + ( ) ( ) 49) + 5) 5) 5) 54) 55) ) 58) ) 6) ) ) e 4 + 7) + 6) ) e 4 7) ) + 69) e + 74) + 5) ( ) 56) 6) ) 66) ) e ) e e e ) + + e + 75) ( ) 77) l 78) l 79) l 8) l( + ) 8) l + Nei segueti esercizi, si suppoe sempre che sia ua misura i radiati: 8) se 8) cos 84) se se 85) 86) tg cos + cos π / se 87) 88) se + e + 89) se 9) se RISPOSTE ) ( per, + per + ) ) + ) ( precisamete, + cioé :" la y tede a dall ' alto") 4) ( precisamete, cioé :" la y tede a dal basso") 5) / 6) + 7) + 8) 9) FI.. + ( ) + ( ),ma essedo u poliomio, al tedere di a ifiito si comporta come il termie di grado massimo quidi il ite è + ) ) FI.. + ( ) + ( ),ma essedo u poliomio, al tedere di a ifiito si comporta come il termie di grado massimo quidi il ite è ) + ) + 4) ( precisamete, + cioé :" le y tede a dall ' alto") 5) ( + ) 6) 7) / 9 8) ( per 4, + per 4 + )

24 FI.. /,ma essedo u rapporto di poliomi di ugual grado co che tede a ifiito, il ite sarà uguale al rapporto fra i coefficieti dei due termii di grado massimo e quidi varrà ) Come per l ' esercizio precedete : il ite vale ) 9) [ ] FI.. /, i cui il grado del Deomiatore supera quello del Numeratore, il ite è ( + ) ) [ ] ma essedo u rapporto di poliomi, co che tede a ifiito, FI.. 4) [ / ], ma essedo u rapporto di poliomi, co che tede a ifiito, i cui il grado del Numeratore supera quello del Deomiatore, il ite è ( + ) 5) Come ell ' esercizio precedete : questa volta, però, il ite è 6) ( per, + per + ) ) 6 F../; I queste forme, quado si riferiscoo ad u rapporto di poliomi co che tede a u' ascissa fiita, si risolvoo per scomposizioe e semplificazioe. Il ite vale 4. 8) ( + per, per + ) 7) [ ] FI.. /, i cui il grado del Numeratore supera quello del Deomiatore, il ite è ( ) 9) [ ] ma essedo u rapporto di poliomi, co che tede a ifiito, FI ) [ ].. /,ma essedo u rapporto di poliomi di ugual grado co che tede a ifiito, il ite sarà uguale al rapporto fra i coefficieti dei due termii di grado massimo e quidi varrà 5../; queste forme, quado si riferiscoo ad u rapporto di poliomi co che tede a u' ascissa fiita, si risolvoo per scomposizioe e semplificazioe. Il ite vale / 4. ) ( per, + per + ) ) ( + per, per + ) F I ) [ ] FI.. /, i cui il grado del Numeratore supera quello del Deomiatore, il ite è ( + ) 4) [ ] ma essedo u rapporto di poliomi, co che tede a ifiito, FI.. /, i cui il grado del Deomiatore supera quello del Numeratore, il ite è ( + ) 5) [ ] ma essedo u rapporto di poliomi, co che tede a ifiito, 7) ( ) ( ), 6) FI.. + +,ma essedo u poliomio al tedere di a ifiito si comporta come il termie di grado massimo quidi il ite è + FI.. + +,ma essedo u poliomio al tedere di a ifiito si comporta come il termie di grado massimo quidi il ite è 9) ( ) ( ), 4) 4) + 4) FI..[,ma ] essedo " più forte" l ' espoeziale, il ite è 4)/ 5 44) + 45) + FI.. 46) 47) + 48) [ / ], ma essedo u rapporto di poliomi, co che tede a ifiito, i cui il grado del Deomiatore supera quello del Numeratore, il ite è ( + ) 8) FI.. 49) [ / ], ma essedo u rapporto di poliomi, co che tede a ifiito, 5) Come prima; i cui il grado del Numeratore supera quello del Deomiatore, il ite è ( + ) + 5) ( + per, per ) 5) FI..[ / ]; ( + ) 5) FI..[ / ]; ( + ) 54) + 55) ( per, + per + ) 56) FI..[ / ]; 57) FI..[ / ]; 58) ( per, + per + ) + 59) 6) ( + per, per ) 6) FI..[ / ] ; 6) FI [ / ] ;( + ) 6) FI..[ / ];( ) 64) ( + per, per + ) 65) FI../;/ [ ] 66) 67) + 68) ( + ) 69) 7) e 7) e 7) ( + ) 7) + 74) F.. I / ;( + ) dato che prevale l ' espoeziale 75) FI.. / ; [ ] + 76) [ ] 77) + 78) 79) No ha seso! I, se si vuole restare i, o può essere < 8) 8) 8) 8) 84) 85) Il ite o esiste + π π 86) ( + per, per ) 87) Situazioe straa : il ite esiste ed è 88) Il ite o esiste 89) Situazioe straa : il ite esiste ed è 9) ( per, + per + )

25 4 7. LA DEFINIZIONE RIGOROSA DI LIMITE CASO: LIMITE FINITO PER CHE TENDE AD UN VALORE FINITO Defiizioe: ( ) ( ) I I / I { }, ( ) I f f Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a se e solo se per ogi itoro di, esiste u itoro di (NOTA ) tale che, per ogi apparteete a questo itoro (escluso tutt al più : vedi NOTA ), f ( ) appartega all itoro di fissato iizialmete. Come abbiamo aticipato, si riesce a giugere a ua defiizioe soddisfacete soltato RIBALTANDO L ORDINE i cui vegoo presi i cosiderazioe e : ifatti, spotaeamete si è portati a pesare prima alla che si avvicia a, poi alla y corrispodete che si avvicia a ; LA DEFINIZIONE RIGOROSA SI OTTIENE SE INVECE SI PENSA PRIMA A POI A : la y della fuzioe si matiee vicia a tato quato lo si desidera, a patto di predere sufficietemete vicia a. Oppure: ( ) ε > δ > / ( ( δ, + δ ) { }, ( ) ( ε, + ε )) f f Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a se e solo se: per ogi ε > (comuque piccolo si preda quell ε ) esiste u δ > (NOTA ) tale che, per ogi apparteete all itervallo ( δ, + δ ) (escluso tutt al più : NOTA ), f ( ) appartega all itervallo ( ε, + ε ) Oppure: ( ) ε > δ > / ( δ < < + δ ε < ( ) < + ε) f f Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a se e solo se: per ogi ε > (arbitrariamete piccolo) esiste u δ > (NOTA ) tale che, se è compreso fra δ e + δ (escluso tutt al più : NOTA ), f ( ) risulti compreso fra ε + ed ε Oppure: ( ) ε > δ > / ( < δ ( ) < ε ) f f Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a se e solo se: per ogi ε > (piccolo a piacere) esiste u δ > (NOTA ) tale che, se la distaza di da è miore di δ (e è diverso da : NOTA ), la distaza di f ( ) da risulti miore di ε (vedi a questo puto NOTA 4) NOTA Questo itoro di dipede, di orma, dall itoro di, el seso che è tato più piccolo, quato più piccolo è I NOTA Abbiamo già osservato, presetado dal puto di vista ituitivo il cocetto di ite, come, quado pesiamo a tedete a, o ci iteressa cosa accade IN (dove, evetualmete, la fuzioe potrebbe addirittura o essere defiita), ma solo cosa accade i prossimità, diciamo così, di NOTA Questo δ dipede, di orma, da ε, el seso che è tato più piccolo, quato più piccolo è ε. Per idicare questa dipedeza di δ da ε, si usa a volte la otazioe fuzioale δ δ( ε ) (δ uguale δ di ε, ossia: il δ è u δ che dipede da ε )

26 5 NOTA 4 Le quattro defiizioi alterative di ite, che abbiamo proposto, soo tutte equivaleti fra loro. Ciò è subito evidete se si coviee che gli itori mezioati ella prima delle quattro defiizioi siao circolari; ma poi u aalisi atteta permette di stabilire che ella prima defiizioe data è del tutto idifferete leggere gli itori i questioe come itori circolari o ivece geerici. Ciò si deve al fatto che ogi itoro I di u puto ( itervallo aperto coteete quel puto) cotiee u itoro CIRCOLARE del puto stesso (azi, e cotiee ifiiti: tutti quelli il cui raggio è miore o uguale della più piccola fra le distaze del puto cosiderato, dalle estremità dell itoro I ) CASO: LIMITE INFINITO ( + ) PER CHE TENDE AD UN VALORE FINITO (aaloga sarebbe la defiizioe per il ite ) Defiizioe: f( ) + I+ I / ( I { }, f( ) I+ ) Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a + se e solo se per ogi itoro di +, esiste u itoro di tale che, per ogi apparteete a questo itoro di (escluso tutt al più ), f ( ) appartega all itoro di + fissato iizialmete Oppure: ( ) + > δ > / ( ( δ, + δ ) { }, ( ) (, + )) f M f M Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a + se e solo se per ogi M > (arbitrariamete grade) esiste u δ > tale che, per ogi apparteete all itervallo ( δ, + δ ) (escluso tutt al più ), f ( ) appartega all itervallo ( M, + ) Oppure: ( ) + > δ > / ( δ < < + δ ( ) >M ) f M f Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a + se e solo se per ogi M > (comuque grade lo si scelga) esiste u δ > tale che, se è compreso fra δ e + δ (escluso tutt al più ), f ( ) risulti maggiore di M Oppure: ( ) + > δ > / ( < δ ( ) >M ) f M f Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a + se e solo se: per ogi M > (grade a piacere) esiste u δ > tale che, se la distaza di da è miore di δ (e è diverso da : il comportameto della fuzioe IN o ci iteressa), f ( ) risulti maggiore di M Osservazioe sulle defiizioi di questa pagia L itoro di di cui si parla dipede dall itoro di + che viee mezioato precedetemete: isomma, si ha δ δ ( M ) e, quato più si prede grade M, tato più, di orma, occorrerà predere piccolo δ.

27 6 CASO: LIMITE FINITO PER CHE TENDE A INFINITO ( + ) (aaloga sarebbe la defiizioe se il ite fosse ) Defiizioe: f( ) I I + / ( I +, f( ) I ) + Si dice che il ite, per che tede a +, di f ( ) è uguale a se e solo se per ogi itoro di, esiste u itoro di + tale che, per ogi apparteete a questo itoro di +, f ( ) appartega all itoro di fissato iizialmete. Oppure: f( ) ε > N > / ( ( N, + ), f( ) ( ε, + ε) ) + Si dice che il ite, per che tede a +, di f ( ) è uguale a se e solo se per ogi ε > (piccolo a piacere) esiste u N > tale che, per ogi apparteete all itervallo ( N, + ), f ( ) appartega all itervallo ( ε, + ε ) Oppure: f( ) ε > N > / ( > N ε < f( ) < + ε oache f( ) < ε ) + Si dice che il ite, per che tede a +, di f ( ) è uguale a se e solo se per ogi ε > (arbitrariamete piccolo) esiste u N > tale che, se è maggiore di N, f ( ) risulti compreso fra ε ed + ε ( la distaza di f ( ) da sia miore di ε ) Osservazioe sulle defiizioi di questa pagia L itoro di + di cui si parla dipede dall itoro di che viee mezioato precedetemete: isomma, è N N(ε ) N uguale N di ε, cioè: questo-n-è-u-n-che-dipede-da-ε e quato più si prede piccolo ε, tato più, i geerale, occorrerà predere grade N. COME PUOI VEDERE, SI PARTE SEMPRE DALLA STESSA DEFINIZIONE-BASE : «Si dice che il ite, per che tede a c, di f ( ) è uguale a e si scrive f ( ) c se e solo se per ogi itoro di, esiste u itoro di c tale che, per ogi apparteete a questo itoro (co esclusioe tutt al più di c, el caso c sia u ascissa fiita), f ( ) appartega all itoro di fissato all iizio». Si formulao successivamete le particolarizzazioi di questa defiizioe ai vari casi. Se c è u ascissa fiita, l itoro di c di cui si parla è u itervallo aperto coteete c e, siccome tale itoro può essere supposto circolare, fiisce per essere defiito dal suo raggio ε ; se ivece è c +, l itoro di c è costituito da tutti i puti di ascissa > di u certo umero N ; aalogamete per l itoro di

28 4 CASO: LIMITE INFINITO ( + ) PER CHE TENDE A INFINITO ( + ) (aaloghe sarebbero le def. se cambiasse il sego di uo degli ifiiti o di etrambi) Defiizioe: f( ) I I' + / ( I' +, f( ) I ) + Si dice che il ite, per che tede a +, di f ( ) è uguale a + se e solo se per ogi itoro I di + (pesato sull asse delle ordiate), esiste u altro itoro I' di + (pesato, questa volta, sull asse delle ascisse), tale che, per ogi apparteete a quest ultimo itoro I' +, f ( ) appartega all itoro di + fissato iizialmete. Oppure: f( ) + M > N > / ( ( N, + ), f( ) ( M, + )) + Si dice che il ite, per che tede a +, di f ( ) è uguale a + se e solo se: per ogi M > (arbitrariamete grade) esiste u N > tale che, per ogi apparteete all itervallo ( N, + ), f ( ) appartega all itervallo ( M, + ) Oppure: f ( ) + M > N > / ( > N f( ) >M ) + Si dice che il ite, per che tede a +, di f ( ) è uguale a + se e solo se: per ogi M > (grade quato si vuole), esiste u N > tale che, se è maggiore di N, f ( ) risulti maggiore di M. Osservazioe sulle defiizioi di questa pagia Il secodo itoro cui fa riferimeto la defiizioe dipede dal primo: N NM ( ), vale a dire N è u N di M, ossia dipede da M ; e quato più si prede grade M, tato più, di orma, saremo costretti a predere grade ache N.

29 8 DEFINIZIONI DI LIMITE: CHE MODIFICHE SUBISCONO QUANDO COMPARE OSSERVAZIONE FONDAMENTALE (l abbiamo già fatta i precedeza la ripetiamo) LE DEFINIZIONI DI LIMITE NEI QUATTRO CASI, quado vegoo date ella forma più geerale, si possoo tutte pesare come PARTICOLARIZZAZIONI della DEFINIZIONE ASTRATTA seguete: ( ) I I c / I { }, ( ) I c f c f ( c ) dove ciascuo dei due simboli, c potrà rappresetare, a secoda dei casi, u valore fiito, oppure +, oppure acora (e, el caso c valga + o, la specifica zioe {} c va, ovviamete, tralasciata). Questa importatissima osservazioe cosetirà immediatamete di scrivere le defiizioi di ite el caso i cui, c o etrambi valgao. Sarà poi immediato tradurre la defiizioe i forma umerica, riflettedo sulla aalogia/differeza fra itoro di + e itoro di. f( ) I I / ( I { }, f( ) I ) f ( ) M > δ > / < f( ) < M ( δ ) f( ) I I / ( I, f( ) I ) f( ) ε > N > / < N f( ) < ( ε ) f( ) + I+ I / ( I, f( ) I+ ) f ( ) + M > N > / < N f( ) >M ( ) f( ) I I + / ( I +, + f( ) I ) f ( ) + M > N > / > N f( ) < M ( ) f( ) I I' / ( I', f( ) I ) f ( ) > N > / M < N f( ) < M ( ) DEFINIZIONI DI LIMITE: LIMITE UGUALE A (SENZA ALCUN SEGNO), LIMITE PER CHE TENDE A (SENZA ALCUN SEGNO) Limite uguale a (seza alcu sego) ( ) I I c / ( I c { }, ( ) I ) c f c f, dove il simbolo c potrà valere, a secoda dei casi, (ascissa fiita) oppure + oppure acora (e, el caso c valga + o, la specificazioe {} c va, ovviamete, tralasciata)., a ( b, + ) / < a > b. U itoro di è u uioe di itervalli del tipo ( ) { } U itoro circolare di è della forma (, k) ( k, + ) o ache { / > k}. Ad es., se c è u ascissa fiita ( c ), la defiizioe geerale el riquadro può essere riscritta come segue: ( ) / ( ( ) ) f M > δ > < δ f >M

30 Alcue osservazioi sulla scrittura ( ) c f : 9 a) essa si può dimostrare equivalete alla scrittura ( ) c f + ; b) essa è usata, ella quasi totalità dei casi, più che altro come scrittura provvisoria, i attesa di decidere se, più precisamete, il ite è + o ; spesso, a tale scopo, è ecessario passare a cosiderare separatamete il ite siistro e il ite destro (dei quali ci siamo già occupati a livello ituitivo, e la cui defiizioe rigorosa formuleremo più avati). c) Se risulta ( ) c f oppure ( ) c f +, allora è ache corretto scrivere ( ) c f (seppure quest ultima scrittura sia meo precisa) Limite per che tede a (seza alcu sego) f( ) I I / I, f( ) I ( ) dove, per la defiizioe di itoro di, ti rimado al riquadro precedete. potrà essere u ordiata fiita, oppure uo dei due simboli + o. Ad esempio, se è u ordiata fiita ( ) avremo: f( ) ε > N > / > N f( ) < Tuttavia, la scrittura f( ) ( ε ) è usata, più che altro, per sitetizzare la cogiuzioe f( ) f( ), + alla quale si può dimostrare equivalete. Si può ifie utilizzare ache la scrittura f( ), che a questo puto è di ovvia iterpretazioe. DEFINIZIONI DI LIMITE: LIMITE SINISTRO, LIMITE DESTRO Limite siistro f( ) I I / I { }, f( ) I ( ) dove il simbolo I idica u itoro siistro di. potrà essere, a secoda dei casi, u ordiata fiita, oppure uo dei due simboli: + o. Più umericamete, scriveremo ad esempio: f( ) I δ > / ( δ, ), f( ) I ( ) E facile dimostrare, e importate teer presete, che UN LIMITE BILATERALE ESISTE SE E SOLO SE ESISTONO SIA IL LIMITE SINISTRO CHE IL DESTRO, E SONO UGUALI FRA LORO Limite destro + + f( ) I I / I { }, f( ) I + ( ) dove il simbolo I + idica u itoro destro di. potrà essere, a secoda dei casi, u ordiata fiita, oppure uo dei due simboli: + o. Più umericamete, scriveremo ad esempio: f( ) + I δ > / (, + δ), f( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) f f f +

31 8. PUNTUALIZZAZIONI VARIE SULLE DEFINIZIONI DATE ) NIENTE PAURA No bisoga spavetarsi troppo di frote a queste defiizioi rigorose di ite! Da ua parte, di ua defiizioe o ambigua di ite c era seza dubbio bisogo per u esigeza squisitamete itellettuale di approfodimeto ( guardar detro elle cose!); per disporre di u criterio o equivoco che permetta di decidere se si possa parlare o meo di ua "tedeza a ite", quado ci si imbatta i ua fuzioe dalla atura isolita ; per fodare su di ua base sicura la dimostrazioe di teoremi sui iti, i quali possao poi giustificare procedimeti di calcolo vari: sia i relazioe a fuzioi otteute tramite operazioi, composizioi o iversioi a partire da altre fuzioi; sia elle applicazioi successive del cocetto di ite (derivata, itegrale ). D altro cato, NELLA PRATICA, quado dovremo calcolare u ite, oi quasi sempre cotiueremo a operare esattamete come prima; a questo puto, però, il ostro apparato di defiizioi e teoremi giustificherà da u puto di vista rigoroso quato ci setivamo già autorizzati a fare, i asseza di ua defiizioe precisa, sulla base del buo seso. ) DUE RIGHE DI STORIA Alla defiizioe di "ite" che abbiamo esposto si giuse, storicamete, molto tardi: fi dall'atichità i matematici fatalmete icotraroo il cocetto di ite ell'ambito di molte delle problematiche più iteressati, ma fu soltato co u lavoro del matematico tedesco Heie, pubblicato el 87 (!), che apparve la defiizioe co l epsilo-delta usata al gioro d'oggi. Heie si ispirò comuque alle lezioi dell'altro tedesco Weierstrass, metre già il fracese Cauchy ( ) aveva brillatemete e abbodatemete lavorato, pur seza riuscire ad evitare qualche careza di rigore, sulla tematica del ite. Il secolo XIX è caratterizzato, i geerale, da u lavoro di ricerca sui fodameti dell'aalisi ifiitesimale (cocetto di umero reale, di ite, di derivata, di itegrale) ad opera di studiosi come Bolzao, Cauchy, Dedekid, Cator, Weierstrass. ) ESERCIZI DI APPLICAZIONE DELLA DEFINIZIONE DI LIMITE NEI VARI CASI (ovvero: come si cotrolla, tramite la defiizioe, la correttezza di u ite assegato) a) Verificare, direttamete tramite la defiizioe di ite, che Si tratterà di impostare la disequazioe < ε dove ε idica u umero > arbitrariamete fissato, poi di risolverla co l obiettivo di far vedere che essa è verificata su tutto u itoro di 4, privato al più del puto < ε; < ε; ε < < ε, ε < < + ε; 4 ε < < 4+ ε OK! La disequazioe è verificata su tutto u itoro di 4 b) Verificare, direttamete tramite la defiizioe di ite, che Si tratterà di impostare la disequazioe 4 > M + 4 dove co M si idica u umero > arbitrariamete fissato, poi di risolvere la disequazioe e far vedere che essa è verificata su tutto u itoro di, privato al più del puto. < <, M M; 4, ; 4, ; 4 > < M < M 4 4 M OK! La disequazioe è verificata su tutto u itoro di, privato del puto.

32 c) Verificare, direttamete tramite la defiizioe di ite, che Imposteremo la disequazioe < ε + dove co ε si idica u umero positivo arbitrariamete fissato; dovremo poi risolvere la disequazioe e far vedere che essa è verificata su tutto u itoro di < ε; < ε; < ε; < ε; > ; < > ε ε ε OK! La disequazioe è verificata, i particolare, per tutti gli maggiori di ε ; +. e l itervallo, + ε costituisce u itoro di +. 4 ) PSICOLOGIA E RIGORE Ripesiamo alla defiizioe di ite fiito per che tede a u valore fiito, data ad esempio ella forma: ( ) / f ε > δ > < δ f ( ) < ε Quado si è trattato di esporta a parole, abbiamo scritto: Si dice che il ite, per che tede a, di f ( ) è uguale a se e solo se: per ogi ε > ( piccolo a piacere ) esiste u δ > tale che, se la distaza di da è miore di δ (e è diverso da : il comportameto della fuzioe IN o ci iteressa), la distaza di f ( ) da risulti miore di ε E importate osservare che locuzioi del tipo: per ogi ε >, PICCOLO A PIACERE per u ε > fissato, ARBITRARIAMENTE PICCOLO COMUNQUE PICCOLO si fissi ε > hao soprattutto ua fuzioe PSICOLOGICA: dal puto di vista matematico, possiamo essere più asciutti e dire semplicemete: PER QUALSIASI ε >, COMUNQUE SI FISSI ε >, per u ε > ARBITRARIO. PROPRIO PER QUESTO la defiizioe data è completamete rigorosa! Essa o fa più riferimeto (come ei discorsi itroduttivi al cocetto di ite) a descrizioi vaghe e matematicamete discutibili del tipo: molto vicia a, f ( ) molto vicia a ( bella forza! QUANTO vicia? ), piccola differeza, piccola distaza ( ma QUANTO piccola, isomma? ) Questi tetativi igeui di descrizioe vegoo ora rimpiazzati da u INEQUIVOCABILE gioco di quatificatori: PER OGNI ESISTE Aalogo discorso, aturalmete, vale per espressioi liguistiche come arbitrariamete grade, grade a piacere, ecc. da oi usate i relazioe al umero M elle defiizioi di ite ifiito (ribadiremo questo aspetto più avati). 5 ) PSICOLOGIA, RIGORE E LA PRATICA DEGLI ESERCIZI La locuzioe " ε arbitrariamete piccolo" (o "piccolo a piacere"), discussa al precedete puto 4), è comuque adottata da molti testi ache perché è utile a suggerire, quado ce e sia bisogo, la seguete IMPORTANTE OSSERVAZIONE: se, i u caso specifico, devo dimostrare che f( ), potrò supporre, se lo ritego comodo o utile, ε piccolo a mio piacere, abbastaza piccolo da cosetire tutti i passaggi algebrici di cui io avverta l'esigeza ai fii del procedimeto. Ifatti, se riesco a dimostrare che tato per fare u esempio PER TUTTI GLI ε <, è possibile trovare u δ che vada bee, allora, evidetemete, resterà pure dimostrato che PER QUALUNQUE ε esiste u δ che va bee. Cosidera a proposito l esercizio seguete.

33 Suppoiamo che sia richiesto di dimostrare, servedosi della defiizioe, che Imposteremo allora la disequazioe < ε co l obiettivo di far vedere che essa è verificata i tutto u opportuo itoro dell ascissa ( fatta eccezioe, al più, per ; ma i questo es. si vede comuque subito che l eccezioe o si verificherà). Duque scriveremo: ε < < ε ε < < + ε e a questo puto, per liberare dalla prigioia della radice quadrata, desidereremmo poter elevare al quadrato. Però sappiamo che ua disequazioe può essere elevata al quadrato (el seso che, così facedo, si muta i ua disequazioe co le stesse soluzioi di quella di parteza) soltato se i membri della disequazioe soo positivi. Ora, riguardo all espressioe ε, essa è positiva ( ) soltato quado ε. Allora, che fare? Sarà forse ecessaria ua laboriosa distizioe di casi? NO! Perché il bello è che se oi ci itiamo a predere i cosiderazioe soltato gli ε tali che ε, il ostro procedimeto dimostrativo avrà poi u valore del tutto geerale!!! Cerchiamo di spiegare i dettaglio il motivo di questo fatto. Suppoiamo di aver dimostrato che l itoro cercato esiste per tutti gli ε. Il ostro obiettivo fiale è di far vedere che, COMUNQUE si fissi u ε >, esiste u δ tale che ecc. ecc. Quidi, il discorso, ormai portato a termie per gli ε, rimarrebbe apparetemete acora aperto per gli ε > ma se oi prediamo u ε >, possiamo passare a cosiderare u qualuque umero ausiliario ε, co ε. Per questo ε abbiamo già dimostrato che esiste u δ tale che, se δ < < + δ, si ha ε < < + ε. Ma allora per tutti gli tali che δ < < + δ risulterà a maggior ragioe ε < < + ε (ifatti, essedo ε > ε, sarà ε < ε < < + ε < + ε ) Pertato, i corrispodeza dell ε da oi scelto, SIAMO RIUSCITI A DETERMINARE u δ (ilδ ) tale che ecc. ecc. Tutto questo discorso mostra che, i defiitiva, ell affrotare la disequazioe ε < < + ε oi possiamo pesare ε piccolo a piacere, talmete piccolo da cosetirci di effettuare il passaggio di elevameto al quadrato che ci cosetirà di isolare (quidi: ε, per le ostre esigeze): ( ) ( ) ( ) ε < < + ε ; ε + ε < < + ε + ε ; ε( ε) < < + ε +ε. Vediamo ora che i due umeri ε ( ε ) e + ε + ε soo, rispettivamete, il primo miore e il secodo maggiore di. Pertato la disequazioe posta è effettivamete verificata i tutto u itoro dell ascissa, C.V.D. OSSERVAZIONE Se desideriamo u itoro CIRCOLARE, ci basterà predere il raggio δ di questo itoro uguale (o miore) della più piccola fra le distaze dell ascissa dai due estremi ε ( ε ) e + ε + ε dell itoro trovato: δ mi ε( ε), ε + ε. ( ) SE ESISTE UN INTORNO NON CIRCOLARE DI UN PUNTO, NEL QUALE SIA VERIFICATA UNA CERTA CONDIZIONE, ALLORA ESISTERÀ SEMPRE ANCHE UN INTORNO CIRCOLARE DI QUEL PUNTO (ANZI, INFINITI INTORNI CIRCOLARI), NEL QUALE LA STESSA CONDIZIONE RISULTA VERIFICATA. Certo, perché ogi itoro I di u puto ( itervallo aperto coteete quel puto) cotiee ifiiti itori circolari del puto stesso (tutti quelli il cui raggio è della più piccola fra le distaze del puto cosiderato, dalle estremità di I)

34 6) ANALOGAMENTE: POSSIBILITÀ DI CONSIDERARE SOLTANTO VALORI DI VICINI A Aalogamete, o è difficile covicersi che, el corso di ua verifica della correttezza di u ite per attraverso la defiizioe, è possibile, voledo, cosiderare soltato valori di vicii a 7) DAL PICCOLO A PIACERE AL GRANDE A PIACERE E acora: quado abbiamo euciato le defiizioi di ite ifiito, ad esempio la: f ( ) + M > δ > / < δ f ( ) > M el riferirci al umero M >, abbiamo detto che adava pesato grade a piacere, arbitrariamete grade ; ma avremmo potuto beissimo fare a meo di locuzioi di questo tipo! I effetti la defiizioe, espressa i simboli, si ita a presetare u quatificatore uiversale, che sigifica semplicemete per ogi, per qualsiasi, qualuque sia, comuque si preda e quidi è idifferete rispetto al grade o al piccolo. Tuttavia, parlare di u M > grade a piacere o simili, si rivela utile sia da u puto di vista psicologico, sia per ricordare che: se, i u caso specifico, devo dimostrare che f( ) + posso supporre, se lo ritego comodo o utile, M grade a mio piacere. Ifatti, se io riesco a dimostrare che, ad esempio, PER TUTTI GLI M MAGGIORI DI.. è possibile trovare u δ "che vada bee", allora, evidetemete, resterà pure dimostrato che PER QUALUNQUE M esiste u δ che va bee (preso u M miore o uguale di.., lo rimpiazzo provvisoriamete co u altro umero M ' maggiore di.., e il δ che va bee per questo M ' adrà bee a maggior ragioe ache per l M fissato iizialmete) 8) CONSIDERAZIONI ANALOGHE A QUELLE ESPOSTE AI PUNTI 5), 6), 7) SI POSSONO RIFERIRE, EVIDENTEMENTE, A TUTTE LE DEFINIZIONI DI LIMITE NEI VARI CASI. 9) TENDERE ALL ORDINATA DAL BASSO O DALL ALTO. Qui è la y che tede a : f ( ) ε > I c / ( I c { c } ε < f ( ) ) la y tede a c DAL BASSO Qui è la y che tede a + : f ( ) + ε > I c / ( I c { c } f ( ) < + ε ) la y tede a c DALL ALTO l + l l + +

35 9. TEOREMI SUI LIMITI I questa rassega di teoremi, la lettera c starà ad idicare uo qualsiasi dei simboli:,, + OBIETTIVI; OSSERVAZIONI PRELIMINARI La teoria dei iti prevede ua bella mole di teoremi; qui di seguito troverai i più rilevati. Di alcui verrà data la dimostrazioe, ma o di tutti. Quato faremo, d altrode, sarà ampiamete sufficiete a permetterti di compredere quali soo gli stili dimostrativi pricipali, e di acquisire metodi efficaci di esposizioe del ragioameto. I tal modo, potresti poi cercare tu stesso di formulare delle dimostrazioi (ache se, oestamete, questo obiettivo preseta i geere u grado di difficoltà medio-alto), e comuque sarai i grado di approfodire ciò che desideri, attraverso qualsiasi fote (libro di testo o sito web). Osserverai come la verità di pressoché tutti gli euciati può essere colta co l ituizioe algebrica e/o geometrica, e scoprirai che è assai facile ricostruire il coteuto di questi teoremi itegrado l ituizioe col ragioameto, seza che la memoria richieda di essere scomodata più di tato. Questo percorso servirà ache a fissare alcue proposizioi cardie che etrerao, i seguito, ella dimostrazioe di altri teoremi più avazati e molto importati. 4 Ad esse verrao assegati omi particolari (Teorema della Permaeza del Sego, Teorema dei Due Carabiieri, Teorema di Esisteza del Limite delle Fuzioi Mootòe ) ) Limite della fuzioe opposta Se ua fuzioe f () ammette il ite fiito, allora la fuzioe f () ammette il ite : [ f ] f( ) ( ) c c Dimostrazioe Suppoiamo, per fissare le idee, c fiito; lasciamo al lettore le facili modifiche da apportare alla dimostrazioe el caso c + oppure c. La ostra tesi è che [ f( ) ], sotto l ipotesi che f ( ) c c. Dobbiamo perciò far vedere che ε > δ > tale che c δ < < c + δ c ε < f ( ) < + ε. Fissiamo duque ad arbitrio u ε >. I corrispodeza di questo ε esisterà, per ipotesi, u δ > tale che, se c δ < < c+ δ c, risulti ε < f( ) < + ε. Ma da quest ultima catea di disuguagliaze si trae, cambiado i segi e i versi, + ε > f( ) > ε ossia, leggedo da destra verso siistra, ε < f( ) < + ε C.V.D. ) f( ) [ f( ) ] ± c c ) Il ite di ua costate (voglio dire: fuzioe costate) è la costate stessa: k k c 4) Se k è ua costate reale, e si ha f ( ) c f + k + k c, allora risulta [ ( ) ] 5) Il ite del valore assoluto è uguale al valore assoluto del ite a) f( ) f( ) c c b) f( ) ± f( ) + c c

36 6) Uicità del ite 5 TEOREMA DI UNICITÀ DEL LIMITE Se, per c, la fuzioe f () ammette u ite, questo è uico. Dimostrazioe Dimostreremo il teorema suppoedo c ; aaloga sarebbe la dimostrazioe el caso c + o c. Per assurdo: suppoiamo che sia, cotemporaeamete, ( ) c f e ( ) c f, co (suppoiamo ache, fiiti; il ragioameto per assurdo che stiamo effettuado si potrebbe facilissimamete adattare alle altre possibili evetualità). Fissiamo u ε sufficietemete piccolo affiché i due itori ε, + ε ε, + ε ( ) e ( ) siao disgiuti ( siao privi di itersezioe, o abbiao puti comui). Facile! Basterà che scegliamo ε < e avrem o raggiuto lo scopo. Ora, i corrispodeza di questo ε, δ > tale che I( c, δ ) { c} essedo ( ) esisterà u c f ε < f( ) < + ε ed essedo ( ), esisterà u c f ε < f( ) < + ε., si abbia δ > tale che, I( c, δ ) { c}, si abbia Adesso poiamo δ mi ( δ, δ) e cosideriamo I( c, δ ), che poi può essere visto come I( c, δ ) I( c, δ ). Per ogi di questo I( c, δ ), fatta eccezioe al più per c, si avrà cotemporaeamete ε < f( ) < + ε e ε < f( ) < + ε ; ma ciò è palesemete assurdo, perché le due codizioi soo icompatibili i quato i due itervalli ( ε, + ε ) e ( ε, + ε ) avrebbero i tal modo dei puti comui, metre li abbiamo supposti disgiuti.

37 7) Permaeza del sego 6 TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO Se, per c, la fuzioe f () ammette u ite diverso da zero ( * { }, oppure + o ), allora esiste u itoro di c per tutti gli del quale, escluso tutt'al più c el caso f () matiee lo stesso sego del ite. c sia fiito, Figura A Figura B Dimostrazioe La ostra ipotesi è che esista il f ( ). c Il simbolo c può idicare u ascissa fiita, oppure + o acora ; ache il ite potrà essere fiito o ifiito. Cosideriamo solo il caso i cui sia fiito; le modifiche da apportare alla dimostrazioe el caso + o soo piuttosto ovvie. Dico ora che è sempre possibile scegliere u itoro ( ε, + ε ) del ite, costituito da ordiate aveti tutte lo stesso sego del ite. E be facile redersee coto: el sottocaso >, basterà a tale scopo predere ε < (figura A); se fosse poi <, basterebbe a tale scopo predere ε < (figura B). Ma essedo per ipotesi f ( ), i corrispodeza dell ε fissato esisterà sempre u itoro I c c per ogi del quale (fatta eccezioe al più per c, el caso c sia fiito), f () cada all itero della fascia di ordiate ( ε, + ε ), costituita, ribadiamolo, esclusivamete da ordiate che hao lo stesso sego del ite. Il teorema è così dimostrato. 8) Se esiste u itoro di c per ogi del quale, escluso tutt'al più c, si ha f ( ) e f () ammette u ite per c, allora è, oppure + La dimostrazioe è facile: si effettua ragioado per assurdo e utilizzado il teorema precedete. 9) Se esiste u itoro di c per ogi del quale, escluso tutt'al più c, si ha f( ) > e f () ammette u ite per c, allora è, oppure +. Osserverai che questo teorema ha u ipotesi rafforzata rispetto a quella del precedete teorema 8, e tuttavia la tesi o è >, besì, esattamete come per il. 8,. Cosidera, a proposito, la fuzioe f ( ) co. Il ite è ullo, NON positivo, pur essedo > quado. ) Evidetemete, teoremi aaloghi ai teoremi 8), 9) valgoo ache se si suppoe, questa volta, f( ) (risp. f( ) < ) i tutto u itoro di c, escluso tutt al più c.