ANALISI VETTORIALE OMPITO PER LE VAANZE DI FINE D ANNO Esercizio Sia r(t) la curva regolare a tratti x = t, y = t, t [, ] e x = t, y = t, t [, ]. alcolare la lunghezza di r, calcolare, dove esistono, i versori tangenti τ (t). Risposta La curva r è regolare a tratti per via di quanto succede della sua rappresentazione parametrica nel punto t = : pur riuscendo si ha lim x(t) = lim x(t), t t + lim t x (t) = lim t x (t) =, + La lunghezza L si calcola per ciascun tratto lim y(t) = lim y(t) t t + lim t y (t) = lim t y (t) =. + L = = (t) + (t ) dt + (t ) + (t) dt = 4t + 9t 4 dt = t 4 + 9t dt = 8 4 + 9t = 8 ( ). 7 I versori tangenti esistono in tutti i punti di r meno che nel punto (, ) corrispondente a t = : si ha ( ) x (t) τ (t) = ± x (t) + y (t), y (t). x (t) + y (t) Le espressioni di x (t) e y (t) sono naturalmente diverse a seconda che riesca t [, ) oppure t (, ]. Esercizio Sia r(t) la curva regolare a tratti x = cos(t), y = sin(t), z = t t [, π) t t [π, π]. (i) alcolare la lunghezza di r, (ii) determinare la funzione s(t) ascissa curvilinea su r, (iii) determinare i punti di non derivabilità di s(t). Risposta La curva r è composta di due due eliche separate: la prima x = cos(t), y = sin(t), z = t, punto (,, π) la seconda x = cos(t), y = sin(t), z = t, nel punto (,, 4π) t [, π], parte dal punto (,, ) e termina nel t [π, π], parte dal punto (,, π) e termina
La lunghezza totale, somma delle lunghezze delle due parti, è quindi L ascissa curvilinea è L = π s(t) = π ( ) + dt + + 4dt = π + 5 π t se t [, π] π + (t π) 5 se t (π, π] La funzione s(t) è derivabile in tutto [, π] privato del punto π: infatti s se t [, π) (t) = 5 se t (π, π] Esercizio Assegnato il campo F = (x, y ): determinare il lavoro di F lungo il segmento dall origine al punto (, ), determinare il lavoro di F lungo la poligonale (, ) (, ) (, ). Risposta Il lavoro del campo F è, per definizione, F. τ ds dove S è il segmento (, ), (, ) : x = t, y = t, t [, ], e Si ha quindi S S τ = (/ 5, / 5). F. τ ds = (t + 6(t) )dt = 6. Il lavoro lungo i due segmenti della poligonale (, ) (, ) (, ) è x dx + y dy = + 8 = 6 ome si è osservato già con l Es.8 del /, il campo F è conservativo, con potenziale dato da U(x, y) = x + y. I due lavori del campo F lungo il segmento (, ), (, ) e lungo la poligonale (, ) (, ) (, ) quindi coincidono tra loro e coincidono con l incremento di U tra gli estremi del segmento e della poligonale. Esercizio 4 Assegnato il campo F = (y, x, x + y + z ) :
determinare il lavoro di F lungo il segmento dall origine al punto (,, ), detto L(a, b, c) il lavoro di F lungo il segmento dall origine al punto (a, b, c), determinare il gradiente della funzione L(a, b, c), servirsi del punto precedente per verificare che F non è conservativo. Risposta Una rappresentazione parametrica del segmento S è x = t, y = t, z = t, t [, ]; il versore tangente è da cui τ = 4 (,, ) F. ( τ ds = (t). + t. + (4t ). ) dt = S = 48t dt = 48 = 6. Il lavoro L(a, b, c) di F lungo il segmento dall origine al punto (a, b, c) si calcola in modo analogo: il versore tangente è da cui L(a, b, c) = x = at, y = bt, z = ct, t [, ]; τ = a, b, c } a + b + c ( (bt). a + (at). b + (a + b + c )t. c ) dt = = a b + b a + (a + b + c ) c Il gradiente L(a, b, c) della L(a, b, c) è pertanto ( L a, L b, L ) ( a(b + c) + b c, =, b(a + c) + a, a + b + c ), vettore che non coincide con F calcolato in (a, b, c). In altri termini, L(a, b, c) non è un potenziale per F, e questo sarebbe un modo molto lungo per constatare che F non è conservativo: questo peraltro l avevamo già visto con l Es.8 del /, semplicemente constatando che il campo F non ha rotore nullo, dal momento che x F = x y F = y. Esercizio 5 Assegnato il campo F = (e x + y, e y + x)
determinare un suo potenziale con la tecnica dell aperto stellato, determinare il lavoro di F sui segmenti da (ρ, ) a (, ρ) al variare di ρ R. Risposta Nell Es.8 del / si è visto che in R il campo, essendo irrazionale, è conservativo, e si è costruito un suo potenziale con la tecnica dell integrazione indefinita. Procediamo qui invece con la tecnica dell aperto stellato, calcolando il lavoro del campo lungo il segmento [, ] t (tx, ty) dall origine al punto (x, y): = V (x, y) = (e xt + yt)x + (e yt + xt)y } dt = (e xt ) + (e yt ) + xy(t ) } dt = e x + e y + xy. Il lavoro richiesto sui segmenti da (ρ, ) a (, ρ) corrisponde, naturalmente a V (, ρ) V (ρ, ) =. Esercizio 6 Dato il campo F = cos(x + y), sin(x + y)} e detti r i cerchi di centro l origine e raggio r, determinare lim F. τ ds r r r Risposta Dalla formula di Stokes si ha F. τ ds = da cui, tenuto presente che si ha rot z ( F ) dx dy rot z ( F ) = cos(x + y) + sin(x + y) F. τ ds = [cos(x + y) + sin(x + y)] dx dy. r r Per passare al limite dell integrale doppio a secondo membro conviene utilizzare la seguente considerazione di carattere generale: Se una funzione f(x, y) è continua in un intorno dell origine le sue medie sui dischi r verificano Infatti πr r f(x, y) dx dy f(, ) per r. πr f(x, y) dx dy = f(, ) + r πr [f(x, y) f(.)] dx dy, r e il secondo membro tende a per r : infatti, grazie alla continuità di f(x, y) in (, ), dato comunque ε > esiste un δ > tale che f(x, y) f(, < ε per x + y < δ 4
e quindi πr f(x, y) f(.) dx dy < ε per r < δ. r Nel caso della funzione f(x, y) = cos(x + y) + sin(x + y), che vale in (, ), otteniamo dunque F. τ ds = r r r rot z ( F ) dx dy π per r. r Esercizio 7 Assegnate due funzioni continue f e g, calcolare l integrale curvilineo (f(x) + y)dx + (g(y) x)dy essendo la circonferenza di centro (, ) e raggio percorsa nel verso antiorario. Risposta Il campo vettoriale E = f(x), g(y)} è conservativo: un suo potenziale è infatti U(x, y) = F (x) + G(y) essendo F e G due primitive di f e g, certamente esistenti se f e g sono almeno continue. Il campo E = y, x} non è conservativo: infatti rot(e ) = 4 e quindi (f(x) + y)dx + (g(y) x)dy} = f(x)dx + g(y)dy} + = ydx xdy} = 4 dx dy = 4π ydx xdy} = Esercizio 8 alcolare l integrale curvilineo I = (xy 5) dx + (x + y ) dy essendo il segmento da (, ) a (, ), oppure l arco di parabola y = x percorso da (, ) a (, ). Risposta sul segmento: (xy 5) dx + (x + y ) dy } = 5 dx = 5
sull arco di parabola: x = t, y = t, t [, ] (xy 5) dx + (x + y ) dy } [ = t(t ) 5 + [t + (t ) ]t ] dt = L uguaglianza dei due valori era del resto prevedibile dal momento che il campo (xy 5, x +y ) ha rotore nullo e, essendo definito in tutto il piano, è conservativo: pertanto il lavoro lungo una curva dipende solo dagli estremi, e il segmento e l arco di parabola hanno gli stessi estremi. Esercizio 9 alcolare il lavoro compiuto dal campo di forze ( ) F (x, y) = x y, cos y x y lungo l arco di parabola y = x 4x + dal punto (, ) al punto (4, ). Risposta L insieme di definizione E di F è il semipiano x > y, che è (ad esempio) stellato; F è irrotazionale, dunque conservativo, in E, e i suoi potenziali U si calcolano imponendo ( ) U(x, y) = x y dx = x y x + g(y), y ( x y x) + g (y) = cos y x y da cui g(y) = sin y +: i potenziali di F sono le funzioni x y x+sin y +, e quindi il lavoro è + sin. A questo stesso risultato si arriva naturalmente anche calcolando l integrale curvilineo. Esercizio Assegnato il campo vettoriale y v = x + y, calcolare il lavoro relativo alla circonferenza G di centro (, ) e raggio r =, alla circonferenza P di centro (, ) e raggio r = 4. } x x + y alla curva : x = cos(t), y = sin(t), t [, kπ], k >. Risposta Il campo v ha rotore nullo in R (, )}: quindi è conservativo in ogni aperto semplicemente connesso Ω. la circonferenza G di centro (, ) e raggio r = è contenuta nell aperto Ω : y > semplicemente connesso contenuto in R (, )}: quindi il lavoro di v lungo essa è nullo. la circonferenza P di centro (, ) e raggio r = 4 include l origine al suo interno, quindi non è contenuta in alcun aperto semplicemente connesso di R (, )}. L aperto Ω = disco aperto di centro (, ) e raggio 4} \ disco chiuso di centro l origine e raggio } è ammissibile per la formula di Gauss Green, o Stokes; la sua frontiera Ω, con l orientamento positivo richiesto, è costituita da P percorsa in senso antiorario insieme alla 6
circonferenza di centro l origine e raggio percorsa in senso orario (fare il disegno!); siccome rot( v ) = si ottiene = rot z ( } y v ) dx dy = r Ω x + y dx + x x + y dy } } y = x + y dx + x y x + y dy x + y dx + x x + y dy = v. τds v. τds P P e quindi, siccome si ottiene π v. τds = (sin (ϑ) + cos (ϑ))dϑ = π P v. τds = π. L integrale sulla curva assegnata si calcola direttamente kπ v. τds = (sin (ϑ) + cos (ϑ))dϑ = kπ. Esercizio Assegnato il campo vettoriale y w = r n, x } r n calcolare il lavoro w. τ ds essendo la circonferenza di centro l origine e raggio r >. Risposta Il calcolo diretto produce π r(sin (ϑ) + cos (ϑ)) w. τ ds = r n rdϑ = = r n π dϑ = π r n Esercizio alcolare il flusso del campo di forze F (x, y) = (x y, x y ) uscente dalla frontiera del dominio D intersezione del cerchio di centro (, ) e raggio col semipiano y. Risposta Si usa il teorema della divergenza: F ν ds = div F dxdy = D D 7 D x y dxdy.
Il calcolo dell integrale doppio si fa passando alle coordinate polari: x = ϱ cos ϑ, y = + ϱ sin ϑ con ϱ, ϑ π : I = π ϱ dϱ cos ϑ( + ϱ sin ϑ)dϑ = [ ] ϱ 4 [ ] ϑ sin ϑ π = + 4 4 π ϱ dϱ cos ϑ dϑ + ] [ cos ] π ϑ [ ϱ 5 5 = π 8 + 5. π ϱ 4 dϱ cos ϑ sin ϑ dϑ Esercizio alcolare il flusso del campo F = (x, xy) uscente dal dominio D = (x, y) R : x y, x y }. Risposta Siccome il dominio è un parallelogramma, si può applicare il teorema (di Gauss-Green e quindi quello) della divergenza: flusso = F ν ds = div F dxdy = x dxdy. + D L ultimo membro, col cambiamento affine di variabili u = x y, D v = x yt x = v u con determinante jacobiano det [ (x, y)/ (u, v)] = /, diventa [,] [,] v u dudv = du 4 (v u) dv = 4 D, y = v u, ] [ v uv dv = [ ] 4 u u =. Esercizio 4 Dato il dominio D di R costituito dai punti che si trovano nel quarto di spazio y, z e tra le sfere di centro l origine e raggio e, calcolare Risposta In coordinate sferiche l integrale diventa D z(x + y ) (x + y + z ) dxdydz. π π/ dϑ dϕ ϱ cos ϕ(ϱ sin ϕ) ϱ 6 ϱ sin ϕ dϱ = π π/ cos ϕ sin dϱ ϕ dϕ ϱ dϱ [ sin 4 ϕ = π 4 ] π/ [log ϱ] = π log. 4 y Esercizio 5 Dato il campo F = ( +xy y x, +xy xy), calcolare il lavoro compiuto dal campo lungo la curva di equazioni parametriche x(t) = t, y(t) = t, t [, ], 8
percorsa nel verso delle t crescenti. Risposta Nell aperto stellato x >, y > /x dove giace la curva il campo è conservativo, con potenziali log( + xy) xy +, per cui il lavoro richiesto è [log( + xy) xy ] (4,) (,) = log 9 5. Naturalmente a questo risultato si arriva anche calcolando l integrale curvilineo [( ) ( )] t t + t t t + + t t = [log( + t ) t 4 ]. Esercizio 6 Sia E il seguente sottoinsieme di R : E := (x, y, z) R, tali che x + y, x + y z x y }. alcolare il volume di E. Soluzione: In coordinate cilindriche sul dominio si ottiene π r r dr dz = π r E := r, r z r } r( r + r) dr = π + ( y) dy = 4π. A questo risultato si arriva anche con considerazioni geometriche: E è un cilindro E di raggio privato in basso di un cono E e sormontato da mezza sfera E di raggio, i cui i rispettivi volumi sono dati da Vol(E ) = π, Vol(E ) = π/, Vol(E ) = π/. Ne segue che Vol(E) =Vol(E ) Vol(E )+Vol(E ) = 4π/. Esercizio 7 Dato il campo vettoriale ( x ) F = 4 + x + y, y 4 + x + y calcolarne il lavoro sull arco di curva x = t + con t [, ]. y = t + 9
Soluzione: F è ben definito per x 4 + y, quindi in tutto il semipiano x e in particolare lungo l arco di curva in considerazione. F è inoltre conservativo con potenziale V (x, y) := ln(4 + x + y ) da cui segue che il lavoro è L = V (, 5) V (, ) = ln(7) ln(9). Esercizio 8 alcolare il lavoro compiuto dal campo lungo la curva sostenuta dalla semicirconferenza ed orientata in senso antiorario. ( yx e (y/x), x e (y/x) ) S : (x ) + (y ) =, y x Risposta In ciascuno dei due semipiani x > (dove si trova S) e x < (aperti stellati!) il campo è conservativo perché irrotazionale, ed un suo potenziale è la funzione f(x, y) = e (y/x). Gli estremi di S sono le intersezioni della circonferenza con la retta y = x, per cui il lavoro richiesto è nullo.