MODELLO DI BLACK SCHOLES

MODELLO DI BLACK SCHOLES 1 Greche della Put Dalla put-call parity: C P = S Ke P = SN(d 1 ) Ke N(d ) S + Ke P = Ke (1 N(d )) S(1 N(d 1 )) quindi la FORMULA DI BLACK SCHOLES PER LA PUT è P = Ke N( d ) SN( d 1 ) d 1 = ln S K + (r + )(T t) p T t d = d 1 p T t DELTA PUT P := @P @S Deriviamo la put-call parity rispetto al sottostante @ @S (C P ) = @ S Ke @S C P = 1 da cui si ricava che P = C 1 = N(d 1 ) 1 = N( d 1 ) Osserviamo che: è negativo: 1 P 0 =) il prezzo della put diminuisce all aumentare del sottostante rappresenta l inclinazione della funzione del prezzo della put rispetto al sottostante 1

Gra co del delta rispetto al sottostante GAMMA PUT P := @ P @S = @ P @S = C = N(d 1) S p T t dove Osserviamo che: N(d 1 ) = p 1 d exp 1 è positivo! il prezzo della put è una funzione convessa del sottostante rappresenta l inclinazione della curva del delta rispetto al sottostante Gra co del gamma rispetto al sottostante

ELASTICITA PUT P := P S P THETA PUT p := @P @t Deriviamo la put-call parity rispetto al tempo iniziale t @ @t (C P ) = @ S Ke @t C p = Kre p = Kre N(d ) SN(d 1 ) p + Kre T t Quindi p = N( d )Kre SN(d 1 ) p T t RHO PUT (per esercizio) VEGA PUT p := @P @ = p come si veri ca derivando la put-call parity rispetto alla volatilità. Greche di posizione Sia dato il prezzo di una posizione P = N i X i i=1 con 1 i 1 Per linearità dell operatore derivata, si ha che Delta posizione: = @ @S = N P i=1 i Xi Gamma posizione i i=1 = @ @S = N P Xi Allo stesso modo il theta, vega e rho. L elasticità di una posizione è = S 3

Il delta di un portafoglio misura il rischio del portafoglio al variare del prezzo del sottostante (! V ar parametrico). Il Delta-hedging è una strategia di copertura che punta a immunizzare il portafoglio da variazioni del prezzo del sottostante, regolando le quantità di titoli da acquistare/vendere in modo tale che il delta della posizione sia nullo ( = 0): Questa strategia permette una copertura solo per piccole variazioni del prezzo del sottostante e quindi per un breve periodo di tempo. Occorre quindi ribilanciare periodicamente il portafoglio. Il gamma della posizione ci dà la sensibilità del delta alle varazioni dei prezzi del sottostante. Ad esempio un gamma grande ci suggerisce che il delta è molto sensibile alle variazioni del sottostante e quindi per mantenere la copertura bisogna ribilanciare frequentemente il portafoglio. In sostanza il gamma, fornisce una misura della frequenza di ribilanciamento del portafoglio. Quindi una strategia di copertura migliore è quella di delta-gamma hedging. La gura sottostante mostra nel caso di un portafolio di call e azioni l errore commesso se si utilizza una strategia di copertura solo per il delta. Se il prezzo dell azione passa da S a S 0, il delta hedging prevede che ci si muova lungo la retta tangente passante per il punto (S; C) che ha coe ciente angolare pari al delta della call in quel punto. Quindi C 0 = C + (S 0 S): In realtà il prezzo della call in S 0 è C 00 : La di erenza tra C 00 e C 0 misura l errore commesso. Ovviamente l errore è dovuto alla curvatura del prezzo della call rispetto al prezzo dell azione sottostante. Il gamma misura questa curvatura, quindi utilizzando una strategia di copertura delta-gamma andiamo a ridurre questo errore. 4

Le posizioni possono essere classi cate sulla base del delta, nel seguente modo: < 0 bearish position aspettative di ribasso del sottostante = 0 neutral position aspettative di invarianza del sottostante > 0 bullish position aspettative di rialzo del sottostante Esempi di classi cazione delle posizioni sulla base del delta-gamma e theta (vedi Cox-Rubinstein, "Options Markets"): long stock: bullish ( = 1); gamma neutral ( = 0), neutral ( = 0) short stock: bearish ( = 1); gamma neutral ( = 0), neutral ( = 0) long call: > 0; > 0; < 0 short call: < 0; < 0; > 0 long put: < 0; > 0; < 0 short put: > 0; < 0; > 0 3 Estensioni del Modello di Black Scholes 3.1 Tassi risk free variabili in modo deterministico (r(t)): la dinamica del prezzo del sottostante S (sotto la misura neutrale al rischio Q) diventa: ds S = r(t)dt + db t dove r(t) è una funzione deterministica del tempo, non è più costante uguale a r correzione all formula di Black Sholes: sostituiamo a r un valore medio TR r(s)ds t r! r = (T t) 3. Volatilità variabile in modo deterministico ((t)): la dinamica del prezzo del sottostante S (sotto la misura neutrale al rischio Q) diventa: ds S = rdt + (t)db t correzione alla formula di Black Sholes: sostituiamo a un valore medio TR (s)ds!! t = (T t) 5

3.3 Sottostante ha ussi indotti continui q Esempi di ussi indotti continui di intensità q: "dividend yield" per titoli azionari o indici tasso di interesse estero privo di rischio per valute spese di immagazzinaggio (q è negativo) o "conveniens yield" (positivo) per merci cedole per titoli obbligazionari I ussi indotti continui si possono paragonare al tasso sui depositi bancari in capitalizzazione continua (interessi reinvestiti idealmente ogni giorno) Ragionamento alla base della correzione della formula di Black Scholes: se il prezzo del sottostante passa da S t a S T in presenza del usso indotto, sarebbe passato da S t e q(t t) a S T in assenza del usso indotto S t! S T con ussi indotti S t e q(t t)! S T senza ussi indotti ) un opzione europea su un sottostante con usso indotto continuo di intensità q ha lo stesso valore di un opzione europea su un sottostante senza usso indotto ma con prezzo iniziale S t e q(t t) ) la correzione alla formula di Black Scholes si ha sostituendo Se q(t t) a S: C = Se q(t t) N(d 1 ) Ke N(d ) d 1 = ln S K + (r q + )(T t) p T t d = d 1 p T t La dinamica di S diventa: ds S ds S = ( q)dt + db t sotto P = (r q)dt + db t sotto Q ) cambia il DRIFT: se il sottostante presenta ussi indotti il tasso di crescita atteso sarà più basso. Osservazione: Se l intensità del usso indotto fosse variabile durante la TR q(s)ds vita dell opzione (ma comunque certa), bisogna sostituire Se t al posto di S nella formula di Black Scholes, dove q(s) è l intensità in s del TR q(s)ds t usso derivato, cioè sostituisco q = (T t) a q nella formula di sopra, dove q è l intensità media del usso indotto. 6

Opzioni su azioni che pagano dividendi: la formula di Black Scholes classica va benissimo se si intende che S sia il prezzo secco, mentre se si intende (com è più naturale) S come prezzo tel-quel (che include il dividendo), si utilizza la formula di Black Scholes corretta Esempio Opzione su Valuta: Si consideri una call europea a 4 mesi scritta sul dollaro. Supponiamo che il tasso di cambio corrente sia di 0.9 euro, il prezzo di esercizio 0.8 euro, il tasso di interesse interno del % annuo, il tasso di interesse estero del 3% annuo, la volatilità del tasso di cambio è del 0% annuo. Determinare il prezzo dell opzione. Abbiamo che T t = 0:3333, S = 0:9; K = 0:8, r = 0:0; q = r f = 0:03; = 0: ln 0:9 0:8 + 0:0 0:03 + 0: 0:3333 d 1 = 0: p = 1: 048 9 0:3333 d = 1: 048 9 0: p 0:3333 = 0:933 44 N(d 1 ) = NormalDist(1: 048 9) 0:85 89 N(d ) = NormalDist(0:933 44) 0:84 7 C = 0:9 exp( 0:03 0:3333) 0:85 89 0:8 exp( 0:0 0:3333) 0:84 7 = 0:104 59 Opzioni su Futures: danno la possibilità di entrare in una posizione long/short in future Il sottostante è il prezzo future F (ricordo che F = S t e ), che vediamo come prezzo spot di titoli che pagano un "dividend yield" continuo pari al tasso di interesse privo di rischio r. Quindi in questo caso q = r. Questo ha senso, infatti, il contratto future ha costo iniziale nullo, quindi in un mondo neutrale al rischio il tasso di crescita atteso dal future è uguale a 0. Sappiamo che il prezzo di un titolo che paga un dividend yield pari a q, cresce al tasso atteso (r q). L unico modo a nchè il drift sia nullo è quindi porre q = r. La formula di BS corretta, in questo caso nota con il nome di FORMULA DI BLACK, diventa: C = F e N(d 1 ) Ke N(d ) d 1 = ln S K + ( )(T t) p T t d = d 1 p T t = volatilità del prezzo future. 7

4 Esercizio Calcolare prezzo, delta, gamma ed elasticità della posizione che si ottiene comprando una call con strike 1000 e vendendo una call con strike 1100, sapendo che il sottostante oggi quota 1000, la sua volatilità è del 10% annuo, il tasso privo di rischio è r = 5% e la scadenza è tra un anno. Di che tipo di posizione si tratta? +BULLSP READ = +CALL(K 1 = 1000) CALL(K = 1100) S = 1000, = 0:1, r = 0:05, T t = 1 CALL(K 1 = 1000) : d 1 = ln(1000=1000) + (0:05 + 0:1 =) (1) 0:1 p 1 = 0 + 0:055 = 0:55 0:1 d = 0:55 0:1 p 1 = 0:45 N(d 1 ) = N(0:55) = NormalDist 0:55 = 0:708 84 N(d ) = N(0:45) = NormalDist 0:45 = 0:673 64 CALL(K = 1100) : C 1 = 1000 0:708 84 1000 exp( 0:05 (1)) 0:673 64 = 708: 84 640: 79 = 68: 05 d 1 = ln(1000=1100) + (0:05 + 0:1 =) (1) 0:1 p 1 0:095 31 + 0:055 = = 0:403 1 0:1 d = 0:403 1 0:1 p 1 = 0:503 1 N(d 1 ) = N( 0:403 1) = NormalDist( 0:403 1) = 0:343 44 N(d ) = N( 0:503 1) = NormalDist( 0:503 1) = 0:307 45 C = 1000 0:343 44 1100 exp( 0:05 (1)) 0:307 45 Prezzo del BULL SPREAD = 343: 44 31: 7 = 1: 74 Posizione DELTA BULL SPREAD = C 1 C = 68: 05 1: 74 = 46: 31 = C1 C = N(d 1 ) C1 = 0:708 84 C = 0:343 44 = 0:708 84 0:343 44 = 0:365 4 8

Posizione GAMMA BULL SPREAD = C 1 C = C 1 = N 0 (d 1 ) S p T t = exp( p 1= p d 1) S T t exp( 1= 0:55 ) 0:859 63 p p = 1000 0:1 1 50: 66 = 0:003495 C = exp( 1= ( 0:403 1) ) 0:91 97 p p = 1000 0:1 1 50: 66 = 0:003678 = 0:003495 0:003678 = 0:000 487 Posizione OMEGA BULL SPREAD = S = 0:365 4 1000 = 7: 890 3 46: 31 9