IV-4 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili

1 MASSIMI E MINIMI LIBERI 1 IV-4 Massimi e minimi delle funzioni di più variabili Indice 1 Massimi e minimi liberi 1 Massimi e minimi vincolati 7 3 Soluzioni degli esercizi 13 A Appendice Interpolazione con il metodo dei Minimi quadrati 19 In questa dispensa vediamo alcuni risultati teorici riguardanti i punti di massimo e di minimo delle funzioni derivabili (di più variabili). Vediamo anche come, in conseguenza di tali risultati, si procede nella ricerca dei punti di massimo e di minimo. Considereremo due situazioni generali ben distinte: la ricerca dei massimi e minimi cosiddetti liberi e la ricerca dei massimi e minimi vincolati. Anche se i risultati teorici sono enunciati in generale per funzioni definite in R n o in sottoinsiemidi R n, gli esempi riguarderanno,sia per i massimi e minimi liberi siaper quelli vincolati, soltanto funzioni definite in R o suoi sottoinsiemi. 1 Massimi e minimi liberi Iniziamo con un paio di definizioni fondamentali, già incontrate nella seconda parte del corso per le funzioni di una variabile. Definizione Sia f : A R n R una funzione. Diciamo che il punto x 0 A è un punto di massimo globale di f se vale f(x 0 ) f(x), per ogni x A. Analogamente diciamo che il punto x 0 A è un punto di minimo globale di f se vale f(x 0 ) f(x), per ogni x A. Osservazione Un punto di massimo (minimo) globale è un punto in cui la funzione assume il suo valore massimo (minimo). L aggettivo globale sta a significare che prendo in considerazione tutto il dominio in cui è definita la funzione. Come sempre non si deve fare confusione tra il massimo della funzione e il punto di massimo: il punto di massimo è un punto del dominio di f, mentre il massimo è il massimo dei valori che la funzione assume, quindi nel codominio di f. Pertanto, se ad esempio f : R R, il punto di massimo appartiene ad R, mentre il massimo è un numero reale. Osservazione Non è detto ovviamente che tutte le funzioni abbiano punti di massimo o di minimo globale. Lo studente sa già fornire controesempi con funzioni di una sola variabile. Definizione Sia f : A R n R una funzione definita in un insieme A aperto. Diciamo che il punto x 0 A è un punto di massimo locale di f se esiste un intorno U di x 0 tale che f(x 0 ) f(x), per ogni x U. Analogamente diciamo che il punto x 0 A è un punto di minimo locale di f se esiste un intorno U di x 0 tale che f(x 0 ) f(x), per ogni x U. Quello che fa la differenza con le definizioni precedenti(massimi globali) è che ora ci si accontenta che la disequazione valga in un intorno del punto x 0 e non in tutto il dominio di f. Possiamo dare la definizione di punto di massimo (minimo) locale di una funzione definita in un generico sottoinsieme di R n (anche non aperto), con una piccola avvertenza in più. Possiamo dire che x 0 A è un punto di massimo locale di f se esiste un intorno U di x 0 tale che f(x 0 ) f(x), per ogni x U A (e analogamente per il minimo).

1 MASSIMI E MINIMI LIBERI Osservazione Lo studente rifletta sull importanza dell ipotesi sull insieme A. Consideri in particolare che, se ad esempio l insieme A fosse chiuso e se x 0 fosse un punto di frontiera per A, la prima definizione data non avrebbe senso: nessun punto di frontiera potrebbe essere punto di massimo o di minimo locale. Osservazione Un punto di massimo (minimo) globale è anche di massimo (minimo) locale. Non vale il viceversa. Non è comunque una novità: questo si ha anche con le funzioni di una sola variabile. Si pensi ad esempio alla funzione x x 3 3x +1, definita in tutto R. Essa ha in 0 un punto di massimo locale e in 1 un punto di minimo locale, ma non ha punti né di massimo né di minimo globali. Può essere un utile esercizio di ripasso verificare il tutto con un semplice studio della funzione in questione. Esempi La funzione f : R R, definita da f(x,) = x +, ha in x 0 = (0,0) un punto di minimo globale. 1 La funzione f : R R, definita da f(x,) = e x, ha in x 0 = (0,0) un punto di massimo globale (si consideri che f è una funzione radiale, con profilo la funzione f 0 : [0,+ ) R definita da f 0 (t) = e t ). Diamo ora un altra importante definizione, che non dovrebbe sorprendere lo studente che ricorda le cose viste con le funzioni di una sola variabile. Definizione Sia f : A R n R una funzione di classe C 1 nell insieme A. Se x 0 è un punto interno ad A, diciamo che x 0 è un punto stazionario di f se f(x 0 ) = 0. Osservazione Lo studente non confonda i concetti di punto di massimo (minimo) e di punto stazionario. Si noti che nelle definizioni di punto di massimo (minimo) non si fa nessuna ipotesi sulla derivabilità, e che invece nella definizione di punto stazionario la derivabilità è ovviamente necessaria. Si ricordi a tale proposito che ad esempio la funzione (di una variabile) f(x) = x ha in 0 un punto di minimo (locale e globale) ma non è in tale punto derivabile. Per comprendere e ricordare meglio i risultati che ora enuncerò, lo studente potrebbe rivedere rapidamente gli analoghi risultati visti nella seconda parte del corso per le funzioni definite in R. Proposizione Se f è una funzione di classe C 1 nell insieme A e x 0 è un punto di massimo (o minimo) locale per f interno ad A, allora x 0 è un punto stazionario di f. Osservazione Tale risultato viene talvolta indicato come la condizione necessaria del primo ordine per l esistenza di un punto di massimo o di minimo locali (per funzioni derivabili). 3 Osservazione Si noti che, come avveniva per le funzioni di una sola variabile, la condizione necessaria vale nei punti interni. Lo studente vada a rivedere l analoga proposizione incontrata nella seconda parte del corso e le osservazioni che la seguono. Osservazione Ricordo che non vale il viceversa della proposizione appena vista. Non è vero che, se x 0 è stazionario, allora esso sia necessariamente o di massimo o di minimo. Si ricordi il classico controesempio (in una variabile) dato da x x 3, che in x 0 = 0 ha un punto stazionario, che però non è né di massimo né di minimo. Esempio Come esempio in R della stessa situazione possiamo considerare la funzione f(x,) = x. Si vede facilmente che l origine x 0 = (0,0) è un punto stazionario di f. Infatti f è certamente di classe C 1 e si ha f(x,) = (x, ). Pertanto risulta f(x 0 ) = f(0,0) = (0,0). Possiamo vedere altrettanto facilmente che l origine non è punto né di massimo né di minimo di f. 4 A tale proposito ci possono tornare utili le restrizioni di f. Se consideriamo la restrizione di f alla retta (t,0), con t R, otteniamo la funzione f 1 (t) = t, per cui x 0 = (0,0) non può essere punto di massimo. Se invece consideriamo la restrizione di f alla retta (0,t), con t R, otteniamo la funzione f (t) = t, per cui x 0 = (0,0) non può essere nemmeno punto di minimo. Osservazione Possiamo in generale fare uso di un fatto abbastanza intuitivo: se f ha in x 0 un punto di massimo (minimo) locale, allora ogni restrizione passante per x 0 deve avere anch essa un punto di massimo (minimo) locale. 5 1 Il risultato si trova immediatamente pensando che la funzione assume sempre valori non negativi e si annulla nell origine. Alternativamente si può osservare che f è una funzione radiale, con profilo la funzione f 0 : [0,+ ) R definita da f 0 (t) = t. Ricordo che dicendo che f è di classe C 1 in A si intende che f ha derivate continue in A. Più avanti, dicendo che f è di classe C in A si intende che f ha derivate seconde continue in A. 3 Il risultato esprime infatti che la stazionarietà, l annullarsi della derivata, è condizione necessaria per avere un punto di massimo o di minimo. Dicendo primo ordine ci si riferisce all ordine di derivazione: qui si usa infatti la derivata prima. 4 Basterebbe ricordare il grafico di questa funzione (è una forma quadratica), che abbiamo incontrato parlando appunto di forme quadratiche. 5 Più precisamente, se f ha in x 0 un punto di massimo (minimo) locale e se γ è una curva tale che γ(t 0 ) = x 0, allora la restrizione f γ ha in t 0 un punto di massimo (minimo) locale.

1 MASSIMI E MINIMI LIBERI 3 Osservazione Per la ricerca dei punti di massimo o di minimo, valendo la condizione del primo ordine, conviene cercare intanto gli eventuali punti stazionari (si parla sempre di funzioni derivabili). La condizione però non consente di decidere se i punti stazionari trovati siano di massimo o di minimo (o nessuna delle due cose). Si osservi che non è una novità: anche con le funzioni di una variabile si procede nello stesso modo. Anche con quelle, inoltre, sapere che f (x 0 ) = 0 non ci consente di dire nulla sul punto x 0. Con una variabile occorre studiare o il segno della derivata prima in prossimità di x 0 oppure la derivata seconda in x 0. Anche per le funzioni di più variabili un aiuto per poter dire qualcosa sulla natura del punto stazionario viene dalle derivate seconde: i risultati generali che dicono come stanno le cose sono le condizioni del secondo ordine. Ecco una prima condizione, anche questa necessaria per la presenza di un punto di massimo o di minimo. Proposizione Sia f una funzione di classe C nell insieme A e sia x 0 un punto stazionario di f interno ad A. Si può dimostrare che se x 0 è punto di massimo locale, allora f(x 0 ) è definito negativo o semidefinito negativo; se x 0 è punto di minimo locale, allora f(x 0 ) è definito positivo o semidefinito positivo. Osservazione Ovviamente f(x 0 ) è il gradiente secondo (matrice hessiana) calcolato nel punto x 0. Qui occorre ricordare le definizioni viste un paio di lezioni fa: lo studente, se necessario, vada a rivedere le definizioni di forma quadratica (o matrice simmetrica) semidefinita, definita e indefinita. Ecco ora le condizioni sufficienti per poter dire che un punto è di massimo o di minimo locale. Proposizione Sia f una funzione di classe C nell insieme A e sia x 0 un punto stazionario di f interno ad A. Si può dimostrare che se f(x 0 ) è definita negativa, allora x 0 è punto di massimo locale; se f(x 0 ) è definita positiva, allora x 0 è punto di minimo locale; se f(x 0 ) è indefinita, allora x 0 non è né di massimo né di minimo locale. Osservazione Per lo studio dei massimi e dei minimi locali di una funzione di più variabili (di classe C ) si inizia quindi con la ricerca dei punti stazionari. Poi occorre studiare la natura degli (eventuali) punti stazionari trovati. Si calcola il gradiente secondo e si studia il segno della forma quadratica associata al gradiente secondo. Se si è fortunati il gradiente secondo risulta o definito o indefinito, e quindi si può concludere. Se non si è fortunati, il gradiente secondo risulta semidefinito e non si può concludere nulla. Si noti quindi che non sempre si riesce a stabilire la natura del punto stazionario con le derivate seconde. Ma nemmeno questa è una novità: anche con funzioni di una variabile, se troviamo un punto x 0 tale che f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0, da questa sola informazione non possiamo concludere nulla sul fatto che x 0 sia di massimo o di minimo. Osservazione Il comportamento locale di una funzione in prossimità di un suo punto stazionario dipende quindi dal segno del suo gradiente secondo. In pratica succede che se il gradiente secondo è indefinito (si ricordi qual è il significato originale di questo termine) ci sono direzioni lungo le quali i valori della funzione aumentano e ci sono altre direzioni lungo le quali i valori di f diminuiscono. A questa situazione, in cui non c è né massimo né minimo, si dà il nome di punto di sella. Se invece il gradiente secondo è definito, ad esempio positivo, (e anche qui si riveda la definizione del termine) in tutte le direzioni i valori della funzione aumentano e pertanto si ha la presenza di un punto di minimo. Osservazione Un importante applicazione dell uso delle derivate parziali per la ricerca dei punti di massimo e di minimo in più variabili è il metodo dei minimi quadrati, che userete l anno prossimo in Statistica. Si veda l appendice A alla fine di questa dispensa. È ora il momento di vedere qualche esempio di studio dei massimi e minimi di una funzione di due variabili. Esempi Cerchiamo i punti di massimo e di minimo locale della funzione f(x,) = x 3 6x +3. I punti stazionari si trovano calcolando anzitutto il gradiente di f: f(x,) = (6x 6, 6x+6),

1 MASSIMI E MINIMI LIBERI 4 ponendolo poi uguale al vettore nullo e risolvendo il sistema { 6x 6 = 0, che ha le due soluzioni (0,0) e (1,1). 6 6x+6 = 0 Questo significa che, in tutto R, la funzione f ha soltanto questi due punti stazionari. Ora dobbiamo studiare la natura di questi punti. Ci serve intanto il gradiente secondo, che risulta 1x 6 f(x,) =. 6 6 Studiamo la natura del punto (0, 0) calcolando 0 6 f(0,0) =. Si tratta di una matrice indefinita. 6 6 7 Pertanto l origine non è né di massimo né di minimo. Studiamo la natura del punto (1, 1) calcolando 1 6 f(1,1) =. Si tratta di una matrice definita positiva. 6 6 8 Pertanto (1,1) è punto di minimo locale. Consideriamo i semplici casi delle funzioni Abbiamo f(x,) = x + e g(x,) = x. f(x,) = (x,) e g(x,) = (x, ). Entrambe hanno, come unico punto stazionario, l origine (0, 0). I gradienti secondi sono f(x,) = 0 0 e g(x,) = 0. 0 Il primo è definito positivo, il secondo è indefinito. Pertanto f ha in (0,0) un punto di minimo locale (in realtà è di minimo globale) e g ha in (0,0) un punto che non è né di massimo né di minimo (classico punto di sella, come avevamo già concluso prima, utilizzando le restrizioni). Ora un caso in cui non si riesce a concludere. Consideriamo la funzione f(x,) = x + 4. Il gradiente è f(x,) = (x,4 3 ), da cui l unico punto stazionario è l origine. Il gradiente secondo è f(x,) = 0 0 1 e quindi f(0,0) = 0, 0 0 che però è semidefinito. Quindi le condizioni del secondo ordine non ci consentono di concludere. In realtà non è un caso particolarmente complicato dato che, osservando che la funzione è non negativa in tutto R e che nell origine si annulla, possiamo dire facilmente che l origine è punto di minimo globale. 6 Attenzione in generale qui. I sistemi che si ottengono annullando un gradiente non sono in genere dei sistemi lineari, e quindi qui non valgono i risultati visti nella parte III, come i teoremi di Cramer o di Rouché-Capelli. Per risolvere un sistema come quello dell esempio si può però semplicemente ricavare una delle incognite da una delle due equazioni e sostituire quanto trovato nell altra. Qui ad esempio dalla seconda equazione si ricava = x; sostituendo nella prima equazione si ha x x = 0, che dà per soluzioni x = 0 oppure x = 1. Da x = 0 si trova quindi = 0 (da cui il punto (0,0)) e da x = 1 si trova = 1 (da cui il punto (1,1)). 7 Abbiamo imparato che lo studio del segno della f.q. può essere condotto attraverso il calcolo dei minori principali. In questo caso det f(0,0) < 0, e quindi, trattandosi di un minore principale di ordine pari, la f.q. è indefinita. 8 I minori principali di NO sono entrambi positivi e quindi la f.q. è definita positiva.

1 MASSIMI E MINIMI LIBERI 5 Osservazione Generalmente la ricerca dei punti di massimo o minimo globali è più complicata. Una funzione potrebbe avere ad esempio due punti di massimo locale e un punto di minimo locale, ma per sapere chi sono i punti di massimo e di minimo globali (se ci sono) non possiamo concludere con il semplice confronto dei valori. Se la funzione è definita in tutto R, non possiamo trascurare quello che succede ad esempio all infinito. Si consideri ancora l esempio (già visto) di f(x,) = x 3 6x+3, che ha un minimo locale in (1,1), oltre ad un punto stazionario né di massimo né di minimo in (0,0). Non possiamo certo dire che (1,1) è punto di minimo globale se la motivazione è che si tratta dell unico punto di minimo trovato. Possiamo però dire che f non ha punti di massimo globale, dato che se ne avesse, questi sarebbero anche punti di massimo locale, mentre di questi non ne abbiamo trovati. In realtà f non ha nemmeno punti di minimo globale, in quanto è illimitata. Infatti, se consideriamo la restrizione che si ottiene con la curva γ(t) = (t,0), otteniamo (f γ)(t) = t 3 che, variando t in tutto R, non è limitata, né inferiormente, né superiormente. Quindi non lo è nemmeno f. Esempi Cerchiamo i punti di massimo e di minimo della funzione f(x,) = x(e 1), in tutto R. Il gradiente è f(x,) = (e 1,xe ). Per trovare i punti stazionari dobbiamo annullare il gradiente e considerare quindi il sistema { e { 1 = 0 e = 1 xe = 0 x = 0. Quindi c è un solo punto stazionario: (0, 0). Il gradiente secondo è 0 e f(x,) = e xe e quindi f(0,0) = 0 1. 1 0 La matrice è indefinita e pertanto (0,0) non è né di massimo né di minimo. Quindi con le condizioni del secondo ordine in questo caso possiamo concludere. Proviamo a convincerci del risultato con le restrizioni. Possiamo osservare che ad esempio le restrizioni lungo gli assi non dicono molto. Infatti f 1 (t) = f(t,0) = 0 e f (t) = f(0,t) = 0. Proviamo con la restrizione lungo la retta di equazione = x: f 3 (t) = f(t,t) = t(e t 1). Lungo questa retta l origine sembrerebbe un punto di minimo, dato che per ogni t 0 risulta f 3 (t) > 0. Ma lungo la retta di equazione = x si ha: f 4 (t) = f(t, t) = t(e t 1), e qui l origine assomiglia invece ad un punto di massimo locale, dato che risulta f 4 (t) < 0 per ogni t 0. Abbiamo quindi il tipico comportamento di un punto di sella. Si vede facilmente che f non è limitata: lo provano le due restrizioni f 3 ed f 4 : f 3 non è limitata superiormente e f 4 non lo è inferiormente. 9 Cerchiamo i punti di massimo e minimo della funzione f(x,) = e x, in tutto R. Il gradiente è ( f(x,) = xe x, e x ), da cui l unico punto stazionario è (0,0). Il gradiente secondo è ( ) (1+x f(x,) = )e x 4xe x 4xe x (1+ )e x e quindi f(0,0) = 0. 0 Si tratta di una matrice definita negativa e quindi l origine è un punto di massimo locale. È in realtà un punto di massimo globale: lo si capisce o pensando al grafico (funzione radiale con f 0 (t) = e t ) o considerando che f(0,0) = 1 e e x 1 per ogni (x,) R. 9 Due restrizioni particolarmente convenienti per studiare la natura dell origine e la limitatezza di f sono quelle di equazione = ln(x+1) e = ln(1 x): infatti lungo la prima la funzione diventa x x e lungo la seconda x x.

1 MASSIMI E MINIMI LIBERI 6 Gli esempi visti riguardanofunzioni definite in tutto R. Le condizionienunciate però valgonoin generalein insiemi aperti. Possono quindi essere utilizzate ad esempio nell insieme dei punti interni al dominio di una funzione. Esempi Consideriamo la funzione f(x,) = xln. La funzione f è definita nel semipiano delle > 0, che è un insieme aperto. Cerchiamo i punti stazionari calcolando intanto ( f(x,) = ln, x ), che si annulla nel punto (0,1). Il gradiente secondo è f(x,) = ( 0 1 ) 1 x e quindi f(0,1) = 0 1. 1 0 La matrice è indefinita e quindi il punto non è né di massimo né di minimo. Si può confermarequesta conclusione utilizzando ad esempio le restrizioni date dalle curve α(t) = (t,1+t) e β(t) = (t,1 t). { } Consideriamo la funzione f : C R, con f(x,) = x+ e C = (x,) R : x + 1. Qui l insieme in cui viene considerata la funzione è un insieme chiuso. 10 { } Le condizioni studiate valgono nei punti interni a C, nell insieme (x,) R : x + < 1 Osservando che f = (1,1), possiamo dire che non ci sono punti stazionari interni a C, e quindi non ci sono punti di massimo o di minimo interni a C. Attenzione a non pensare a questo punto che non ci siano punti di massimo o di minimo in C: certamente ce ne sono, dato che, essendo C un insieme chiuso e limitato ed essendo f continua, il teorema di Weierstrass dice che f ha almeno un punto di massimo e almeno un punto di minimo in C. Evidentemente tali punti non sono interni a C (se lo fossero sarebbero punti stazionari), e devono stare quindi sulla frontiera di C, sulla circonferenza di equazione x + = 1. Impareremo più avanti come trovarli. Consideriamo la funzione f(x,) = x nel quadrato Q = [ 1,1] [ 1,1]. Q è un insieme chiuso e limitato di R, e quindi anche qui il teorema di Weierstrass garantisce che esistono un punto di massimo e un punto di minimo di f in Q. Annullando il gradiente di f, come già visto, si trova l origine come unico punto stazionario, che però non è né di massimo né di minimo. Anche in questo caso allora i punti di massimo e minimo globali stanno sul bordo. Per trovarli si potrebbero utilizzare le restrizioni di f al bordo del quadrato. Lo studente provi a farlo: 1 troverà che ci sono due punti di massimo globale in (1,0) e ( 1,0) (dove la funzione vale 1), e due punti di minimo globale in (0,1) e (0, 1) (dove la funzione vale 1). Si noti anche che la funzione si annulla nei punti di Q che stanno lungo le rette di equazioni = x e = x. Esercizio 1.1 Si determinino i punti stazionari delle seguenti funzioni e si stabilisca la loro natura con le condizioni del secondo ordine. Nei casi in cui tali condizioni non sono sufficienti, si stabilisca la natura dei punti stazionari con lo studio del segno. (a) f(x,) = x x + x+, in tutto R (b) f(x,) = x 3x + +x+ +1, in tutto R (c) f(x,) = x 3 x + 3, in tutto R (d) f(x,) = x (e 1), in tutto R (e) f(x,) = x ln, nel dominio di f, R (0,+ ) (f) f(x,) = x 4 + 4 4x, in tutto R (g) f(x,) = x+ 1 3 (x3 + 3 ), in tutto R (h) f(x,) = (1 x ) +x, in tutto R 10 La funzione esiste anche all esterno del cerchio C, ma la consideriamo solo nel cerchio. 11 Si rifletta su questo particolare: le condizioni, mettiamo quelle del primo ordine, non sono necessarie sul bordo del cerchio, in altre parole non è detto che in un punto di massimo che sta sul bordo il gradiente debba essere nullo, dato che il fatto che il punto sia di massimo potrebbe dipendere non tanto dalle caratteristiche della funzione quanto da quelle del bordo e la condizione del primo ordine non tiene in nessun conto come è fatto il bordo. 1 Ad esempio, per trovare la restrizione di f sul lato superiore del quadrato, basta pensare alla curva γ(t) = (t,1), con t [ 1,1], che ha per sostegno appunto questo lato del quadrato. La restrizione di f è allora la funzione t t 1.. 11

IV-4 MASSIMI E MINIMI DELLE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI MASSIMI E MINIMI VINCOLATI 7 Massimi e minimi vincolati Abbiamo incontrato in precedenza il concetto di curva in R. Definizione Diciamo che una curva γ : I R è regolare se è di classe C 1 e se γ (t) 0 per ogni t I. 13 Esempi La curva γ(t) = (t,1 t), con t R, il cui sostegno 14 è la retta di equazione = 1 x, è regolare, dato che si ha γ (t) = (1, 1) per ogni t R. La curva γ(t) = (t 1,t), con t R, il cui sostegno è la parabola raffigurata a fianco, è regolare. Infatti γ (t) = (t,1) e questo vettore non è mai nullo. Tra breve ci porremo il problema di determinare i punti di massimo e di minimo di una funzione di due variabili lungo una curva del piano. Per arrivare ad una formulazione più rigorosa del problema e per vedere i metodi per la sua risoluzione occorre introdurre qualche concetto generale. γ(0) x γ(1) γ( 1) In R una curva regolareèun casoparticolaredi un concetto più generale, quello di varietà, propostonella seguente definizione. Definizione Un sottoinsieme V di R si dice una varietà unidimensionale se V è localmenteil graficodi una funzione di classe C 1. x V Osservazione Occorre chiarire il significato di questa definizione. Localmente significa in un opportuno intorno. La definizione vuol dire che per ogni punto P V P nelle vicinanze di P l insieme V è il grafico di una qualche funzione. Ovviamente non si richiede che, qualunque sia il punto P, la funzione sia sempre la stessa: la funzione dipende, in generale, dal punto P che scegliamo. Vediamo qualche esempio. x 1 Esempi Consideriamo la parabola di equazione = x. Preso un qualunque punto P = (x 0, 0 ) della parabola, è ovvio che nelle vicinanze di P la parabola è il grafico della funzione x x, definita per x appartenente ad un intervallo (x 0 δ,x 0 +δ). 15 Quindi la parabola è una varietà unidimensionale in R. Consideriamo la parabola di equazione x =. 0+δ 0 0 δ P x 0 x 0 P x 0 δ x 0+δ x 0 Se prendiamo un qualunque punto P = (x 0, 0 ) della parabola, anche qui ovviamente nelle vicinanze di P la parabola è il grafico della funzione, definita per appartenente ad un intervallo ( 0 δ, 0 + δ). Quindi anche questa parabola è una varietà unidimensionale in R. Possiamo anche osservare che, con 0 > 0, nelle vicinanze di P la parabola è anche il grafico della funzione x x, con x appartenente ad un intorno del tipo (x 0 δ,x 0 +δ), a patto che tale intorno non contenga l origine. E se prendiamo un punto P = (x 0, 0 ) della parabola con 0 < 0, nelle vicinanze di P la parabola è il grafico della funzione x x, con x in (x 0 δ,x 0 +δ), e anche qui l intorno non deve contenere l origine. Se prendiamo infine il punto P = (0,0), nelle vicinanze di P la parabola non è il grafico di nessuna funzione della variabile x. La parabola è invece il grafico della funzione, definita per in un intorno ( δ,δ). Si noti che nella definizione di varietà unidimensionale non si fa riferimento a quale tipo di funzione, se della variabile x o, ma si chiede soltanto che ci sia una funzione di cui la varietà è il grafico. Consideriamo la circonferenza di equazione x + = 1. 13 Non vado troppo in profondità su questo aspetto. Mi limito a dire che, se γ(t) = (γ 1 (t),γ (t)), allora diciamo che la curva è di classe C 1 se le sue due componenti γ 1 (t) e γ (t) sono di classe C 1 e chiamiamo derivata di γ semplicemente la funzione γ (t) = (γ 1 (t),γ (t)). Quindi, dicendo γ (t) 0 per ogni t I, si intende che il vettore γ (t) non è mai nullo. 14 Ricordo che il sostegno della curva è la sua immagine, l insieme dei punti γ(t), al variare di t nell intervallo I. 15 Questo è un caso in cui la funzione è sempre la stessa, qualunque sia il punto, ma abbiamo già detto che in altri casi può non essere così. x 1 x

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI 8 Preso un punto P = (x 0, 0 ) sulla circonferenza, con 0 > 0, la circonferenza è localmenteil graficodella funzionex 1 x. Se prendiamoun puntop = (x 0, 0 ) con 0 < 0, la circonferenza è localmente il grafico della funzione x 1 x. Se prendiamo il punto P = (1,0), nelle vicinanze di P la circonferenza è il grafico della funzione 1, con in un opportuno intervallo del tipo ( δ,δ). Se infine prendiamo P = ( 1,0), nelle vicinanze di P la circonferenza è il graficodella funzione 1, con in un opportuno intervallo del tipo ( δ,δ). Abbiamo esaminato tutti i punti della circonferenza. La circonferenza di equazione x + = 1 è dunque una varietà unidimensionale in R. Si noti che con 0 > 0 e x 0 > 0 la circonferenza è localmente il grafico anche della funzione 1. Nel punto (0,1) la circonferenza è localmente il grafico di una funzione della variabile x ma non della variabile. 0+δ 0 0 δ P x 0 x Consideriamo l insieme delle soluzioni dell equazione x = 0, (x+)(x ) = 0, che è dato dall unione delle rette di equazione = x e = x. Tale insieme non è una varietà unidimensionale in R. Infatti, se prendiamo l origine, che fa parte di questo insieme, nelle vicinanze di questo punto l insieme non è il grafico di nessuna funzione, né della variabile x, né della variabile, come si può capire facilmente. = x x = x Osservazione Possiamo notare dagli esempi che, nei casi in cui abbiamo una varietà unidimensionale, la funzione di cui la varietà è il grafico è stata ottenuta ricavando in funzione di x (oppure x in funzione di ) nell equazione che definisce la varietà. Si dice che abbiamo esplicitato la variabile x (o la ) in funzione dell altra variabile. Non è difficile intuire che questo non sempre si può fare: l equazione che definisce la varietà potrebbe essere molto più complicata di quelle che abbiamo incontrato negli esempi. Si pensi ad esempio all insieme delle soluzioni dell equazione x 3 +x+ 3 = 0. Oltre al problema di capire se è una varietà, è evidente che esplicitare una variabile rispetto all altra non è così facile come in precedenza. In generale esempi di varietà unidimensionali in R sono: i sostegni delle curve regolari iniettive; 16 l insieme delle soluzioni di un equazione del tipo g(x,) = 0 con g di classe C 1 e gradiente non nullo. 17 Sia ora f una funzione di classe C 1 sull aperto A R e sia V A una varietà unidimensionale. Vogliamo studiare come si determinano i punti di massimo/minimo locale della restrizione di f a V. V si chiama anche il vincolo, da cui il nome di ricerca dei massimi/minimi vincolati. Anzitutto osserviamo che un punto può essere di massimo/minimo vincolato senza essere di massimo/minimo per f. Ad esempio, la funzione f(x,) = x ha nell origine un punto di minimo lungo il vincolo dato dall asse x, ma non ha nell origine un punto di minimo (l origine è, come abbiamo visto, un punto di sella). Vincolo in forma parametrica Vediamo ora il caso di un vincolo dato come sostegno di una curva regolare (si dice anche che il vincolo è dato in forma parametrica). Sia V il sostegno di una curva regolare γ e sia P = γ(t 0 ). Si può provare facilmente che in questo caso P è un punto stazionario vincolato di f su V se e solo se Df(γ(t 0 )) = 0. 18 16 Non approfondisco la questione delle curve iniettive, dette anche semplici. Una curva è iniettiva se non passa mai due volte per lo stesso punto. L ultimo esempio visto sopra mostra che se una curva passa due volte per lo stesso punto non dà origine ad una varietà. 17 Anche qui non approfondiamo la questione: dico solo che l annullarsi del gradiente è un fatto sgradevole per le proprietà che stiamo considerando. Si osservi che questo risultato fornisce un modo operativo per capire se un insieme nel piano è una varietà: studiando l annullarsi del gradiente abbiamo modo di sapere ad esempio se l insieme delle soluzioni dell equazione x 3 +x+ 3 = 0 è una varietà. Si osservi anche che nell ultimo esempio (l insieme delle soluzioni dell equazione x = 0), che non è una varietà, la funzione è g(x,) = x e il gradiente di questa nell origine si annulla. L annullarsi del gradiente è quindi un evento che può impedire di esprimere l insieme come grafico di una funzione. 18 Attenzione a non fraintendere in qualche modo la notazione: si tratta della derivata, calcolata in t 0, della funzione t f(γ(t)) = f(γ 1 (t),γ (t)).

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI 9 Esempio Troviamo i punti stazionari vincolati della funzione f(x,) = x+ sul sostegno della curva γ(t) = (t 3,t ), con t R. Si ha Df(γ(t)) = Df(t 3,t ) = D(t 3 +t ) = 3t +t = 0, che ha per soluzioni 0 e 3. Ci sono due punti stazionari vincolati: l origine e il punto ( 8 7, 4 9 ). Esempio Troviamo i punti stazionari vincolati della funzione f(x,) = e x sul sostegno della curva γ(t) = (t,e t ), con t R. Si ha Df(γ(t)) = Df(t,e t ) = D(e t e t ) = e t e t = e t (1 e t ) = 0, che ha per soluzione t 0 = ln. C è un unico punto stazionario vincolato, il punto P = γ(t 0 ) = ( ln, 1 ). Osservazione Per stabilire se i punti stazionari trovati sono punti di massimo/minimo si possono usare le tecniche studiate per le funzioni di una variabile. Infatti è chiaro che, una volta sostituita l espressione della curva nella funzione, si tratta di studiare una funzione di una sola variabile, data dal parametro t. Esercizio.1 Si determinino i punti stazionari vincolati delle seguenti funzioni, sul sostegno delle curve indicate: (a) f(x,) = x +, con γ(t) = (t,t) e t R (b) f(x,) = x+, con γ(t) = (t 3 1, t) e t R (c) f(x,) = x, con γ(t) = (t,t 3 ) e t ( 1,1) (d) f(x,) = x+ln(1+ ), con γ(t) = (1+t,t) e t R Vincolo esplicitabile Passiamo ora al caso in cui la varietà V (il vincolo) sia dato come soluzioni di una certa equazione. Per quanto detto in precedenza, supponiamo che nelle vicinanze del punto P = (x 0, 0 ) V la varietà V sia il grafico della funzione = g(x) di classe C 1, con x (x 0 δ,x 0 +δ). 19 Definizione Diciamo che P è punto stazionario vincolato di f sulla varietà V se Df ( x 0,g(x 0 ) ) = 0. 0 Osservazione Naturalmente, se x 0 è punto di massimo o di minimo per la funzione x f(x,g(x)), allora (x 0, 0 ) = (x 0,g(x 0 )) è punto stazionario vincolato di f su V. Osservazione Se avessimo che V è il grafico della funzione x = h(), di classe C 1, con ( 0 δ, 0 +δ), potremmo dire che P è punto stazionario vincolato di f su V se Df ( h( 0 ), 0 ) = 0. Esempio Cerchiamo i punti stazionari vincolati della funzione f(x,) = x + sulla varietà definita dall equazione x+ 1 = 0. Si tratta di una retta: possiamo esplicitare il vincolo ( esplicitare la nel vincolo) scrivendo = 1 x, con x R. Quindi consideriamo la funzione x f(x,1 x), con x R. Si ha Df(x,1 x) = D(x x+1) = 4x = 0, che ha per soluzione x = 1 (da cui = 1 ). Pertanto c è il solo punto stazionario vincolato P = ( 1, 1 ). Esempio Cerchiamo i punti stazionari vincolati della funzione f(x,) = x sulla varietà V data dalla parabola di equazione x = 0. Dopo aver esplicitato il vincolo nella forma = x, consideriamo la funzione x f(x,x ), con x R. Si ha Df(x,x ) = D(x x 4 ) = x 4x 3 = x(1 x ) = 0, che ha per soluzioni x = 0, x = ± 1. 19 Stiamo in pratica ipotizzando di conoscere, almeno in un intorno del punto che ci interessa, l espressione della funzione di cui la varietà è il grafico. 0 A scanso di possibili fraintendimenti, Df(x 0,g(x 0 )) è la derivata della funzione x f(x,g(x)), calcolata nel punto x 0.

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI 10 Pertanto i punti stazionari vincolati sono i punti (0,0), ( 1, 1 ) e ( 1, 1 ). Esempio Cerchiamo i punti stazionari vincolati della funzione f(x, ) = x + sulla varietà definita dall equazione x = 0. Si tratta di una parabola: possiamo esplicitare il vincolo scrivendo x =, con R. Quindi consideriamo la funzione f(,), sempre con R. Si ha Df(,) = D( +) = +1 = 0, che ha per soluzione = 1. Pertanto c è il solo punto stazionario vincolato P = ( 1 4, 1 ). Esempio Cerchiamoipunti stazionarivincolati della funzione f(x,) = x x+ sulla varietàdata dallaparabola di equazione x +1 = 0. Dopo aver esplicitato il vincolo nella forma x = 1, possiamo scrivere Annullando la derivata si ottiene f( 1,) = ( 1) ( 1)+ = 4 3 + +1. Df( 1,) = 4 3 3 +1 = 0, ( 1)(4 + 1) = 0. Abbiamo tre possibili soluzioni, che sono = 1, oppure = 1± 17 8. Dall equazione x = 1 otteniamo i tre punti della parabola che sono i punti stazionari vincolati. Il primo è (0,1) e gli altri due sono ( 1 17 8 ) 1, 1 17 8 e ( ( 1+ ) 17 8 ) 1, 1+ 17 8. Osservazione Può sembrare che il determinare i punti stazionari vincolati non sia più difficile che trovare i punti stazionari di una funzione di una variabile, dato che, negli esempi visti, in effetti abbiamo sempre dovuto annullare la derivata di una funzione di una sola variabile. Ovviamente questo è vero, a patto però di essere in grado di esplicitare il vincolo. Una varietà è localmente, per definizione, il grafico di una funzione, ma trovare nei casi concreti questa funzione, come già detto, può non essere per nulla agevole. Osservazione Analogamente al caso del vincolo in forma parametrica, nei casi in cui si può esplicitare la relazione tra x e che definisce il vincolo non è difficile stabilire se i punti stazionari vincolati trovati sono punti di massimo o di minimo vincolati: basta infatti usare le tecniche studiate in precedenza per le funzioni di una variabile. Così ad esempio non è difficile capire che il punto ( 1 4, 1 ) è un punto di minimo locale vincolato per la funzione f(x,) = x+ sulla parabola di equazione x = 0. La restrizione di f al vincolo, la funzione +, ha in = 1 un punto di minimo. Analogamente il punto ( 1, 1 ) è un punto di minimo locale vincolato per la funzione f(x,) = x + sulla retta di equazione x+ 1 = 0. Anche qui la restrizione di f al vincolo, la funzione x x x+1, ha in x = 1 un punto di minimo. Esercizio. Si determinino i punti stazionari vincolati delle seguenti funzioni, sul vincolo indicato, espresso in forma di equazione: (a) f(x,) = x+, sul vincolo dato da x = 0 (b) f(x,) = x +x +, sul vincolo dato da x +1 = 0 (c) f(x,) = x 3 x + 3, sul vincolo dato da x+ +1 = 0 (d) f(x,) = (x +1)ln, sul vincolo dato da x +1 = 0 Caso generale Funzione Lagrangiana Per finire, vediamo un fondamentale risultato generale. Supponiamo che il vincolo sia dato in forma implicita come insieme delle soluzioni di un equazione del tipo g(x,) = 0, con g funzione di classe C 1 e g 0. 1 Si può dimostrare che P è un punto stazionario vincolato di f su V se e solo se f(p) è un multiplo di g(p). 1 Ribadisco che, se siamo in grado di esplicitare il vincolo, allora abbiamo già un modo per procedere. Quanto segue assume quindi particolare valore nei casi in cui risulta complicato o non siamo in grado di esplicitare il vincolo. Significa quindi che i due vettori f(p) e g(p) sono proporzionali, in altre parole che esiste uno scalare λ tale che f(p) = λ g(p). Questo risultato è dovuto a Lagrange.

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI 11 La ricerca dei punti stazionari vincolati in questi casi si può effettuare quindi scrivendo il sistema f x = λ g x f = λ g g(x,) = 0 (1) in cui le prime due equazioni richiedono che il punto cercato renda proporzionali i gradienti e la terza chiede invece che tale punto appartenga al vincolo. Anche il coefficiente di proporzionalità λ, detto moltiplicatore di Lagrange è un incognita nel sistema. Questo metodo si chiama appunto metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Si tratta di un metodo importantissimo, tanto nella teoria quanto nelle applicazioni. Esso ha una validità che va ben oltre l ambito che stiamo qui considerando. Si tratta di uno dei metodi più generali della matematica e delle sue applicazioni. Alla scrittura del sistema (1) si può arrivare anche definendo la cosiddetta funzione Lagrangiana (o semplicemente Lagrangiana) del problema: L(x,,λ) = f(x,) λg(x,). Al sistema (1), che raccoglie le condizioni di Lagrange, si arriva annullando il gradiente della Lagrangiana, e ( f L(x,,λ) = x λ g x, f ) λ g, g(x,). È importante osservare che, dopo aver definito la Lagrangiana, la condizione di stazionarietà vincolata si traduce nella stazionarietà (senza vincoli) della funzione Lagrangiana. Quindi possiamo dire che i punti di massimo/minimo vincolati vanno cercati tra i punti stazionari della funzione Lagrangiana. Vediamo ora qualche esempio. Esempio Consideriamo la funzione f(x,) = x sul vincolo dato dall equazione x+ 1 = 0. La funzione Lagrangiana del problema è L(x,,λ) = x λ(x+ 1). Il gradiente della Lagrangiana è L(x,,λ) = ( λ,x λ, x +1 ) e quindi le condizioni di Lagrange sono λ = 0 x λ = 0 x+ = 1 = λ x = λ x+ = 1 = λ x = λ λ = 1 dal quale si ottiene λ = x = = 1. Pertanto si ha l unico punto stazionario vincolato ( 1, 1 ). Si noti che il punto trovato sta sul vincolo e in questo punto i gradienti di f(x,) = x e di g(x,) = x+ 1 sono rispettivamente f( 1, 1 ) = (1, 1 ) e g(1, 1 ) = (1,1), chiaramente proporzionali. Esempio Consideriamo l esempio già incontrato della funzione f(x,) = x sul vincolo dato dall equazione x = 0. La funzione Lagrangiana del problema è L(x,,λ) = x λ(x ). Il gradiente della Lagrangiana è L(x,,λ) = ( x λx, +λ, x + ) e quindi le condizioni di Lagrange sono x λx = 0 +λ = 0 x = x(1 λ) = 0 = λ x =.

MASSIMI E MINIMI VINCOLATI 1 Ragionando sulla prima equazione si ha che deve essere o x = 0 oppure λ = 1. Con x = 0 si ottiene = 0 dalla terza e λ = 0 dalla seconda. Altrimenti con λ = 1 si ha = 1 dalla seconda e x = ± 1 dalla terza. Pertanto si trovano tre punti stazionari vincolati: (0,0), ( 1, 1 ) e ( 1, 1 ), già trovati prima per altra via. Esempio Altro caso già visto: troviamo i punti stazionari vincolati della funzione f(x,) = x+ sul vincolo dato dall equazione x = 0. La funzione Lagrangiana del problema è L(x,,λ) = x+ λ(x ). Le condizioni di Lagrange sono 1 λ = 0 1+λ = 0 x = 0 3 λ = 1 1+ = 0 x = λ = 1 = 1 x = 1 4. Unico punto stazionario vincolato è quindi ( 1 4, 1 ). Esempio Riprendiamo la funzione f(x,) = x + sul vincolo dato dall equazione x+ 1 = 0. La funzione Lagrangiana del problema è L(x,,λ) = x + λ(x+ 1). Le condizioni di Lagrange sono x λ = 0 λ = 0 x+ 1 = 0 x = λ/ = λ/ λ/+λ/ 1 = 0 λ = 1 x = 1/ = 1/. Unico punto stazionario vincolato è quindi ( 1, 1 ). Esempio Consideriamo la funzione f(x,) = x+ sul vincolo dato dall equazione x + 1 = 0, notando che qui esplicitare la x o la non è così banale. 4 La funzione Lagrangiana del problema è L(x,,λ) = x+ λ(x + 1). Le condizioni di Lagrange sono 1 λx = 0 1 λ = 0 x + 1 = 0 1 = λx 1 = λ x + 1 = 0. Osserviamo che λ = 0 non porta a soluzioni. 5 Quindi, dato che deve essere λ 0, possiamo dividere per λ e otteniamo x = 1/(λ) λ = ±1/ = 1/(λ) x = 1/(λ) 1/(4λ )+1/(4λ ) 1 = 0 = 1/(λ). Soluzioni sono pertanto i due punti ( 1, 1 ) e ( 1, 1 ). Si noterà che in questi esempi abbiamo parlato solo di punti stazionari (vincolati), e non di punti di massimo o di minimo. Lo studente lungimirante avrà capito che le condizioni di Lagrange che abbiamo visto sono a tutti gli effetti condizioni del primo ordine. Ci si aspetta allora anche condizioni del secondo ordine, che usano le derivate seconde. Ci sono infatti, ma presumibilmente il tempo a mia disposizione per questo corso sta per finire. Non vediamo queste condizioni. 3 Si ricordi che l ultima condizione di Lagrange è semplicemente l appartenenza al vincolo, che quindi può essere riscritta direttamente, senza fare il calcolo della derivata parziale rispetto al moltiplicatore. 4 Non è difficile ma occorre considerare due casi possibili. Infatti, se vogliamo ad esempio esplicitare in funzione di x possiamo riscrivere il vincolo nella forma = 1 x ma ora dobbiamo tenere in conto che non c è un solo modo di scrivere in funzione di x, dato che può essere = 1 x oppure = 1 x. Quindi per questa strada dovremmo considerare le due possibilità separatamente. Col metodo dei moltiplicatori di Lagrange questo non serve. 5 Con λ = 0 le prime due equazioni non sono certamente soddisfatte.

3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 13 Esercizio.3 Si determinino i punti stazionari vincolati delle seguenti funzioni, sul vincolo indicato, espresso in forma di equazione: si utilizzi il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. (a) f(x,) = x, sul vincolo dato da x +1 = 0 (b) f(x,) = x +, sul vincolo dato da x +1 = 0 (c) f(x,) = x, sul vincolo dato da x + 1 = 0 (d) f(x,) = x, sul vincolo dato da x+ 1 = 0 3 Soluzioni degli esercizi Esercizio 1.1 (a) Il gradiente della funzione f(x,) = x x + x+ è f(x,) = (x 1, x+ +1). Quindi scriviamo il sistema { x 1 = 0 x+ +1 = 0 { x = 1 x = 1. Si tratta di un sistema di equazioni lineari. Con le tecniche imparate nella parte III di questo corso si trova facilmente l unica soluzione ( 1 3, 1 3 ), che è quindi l unico punto stazionario della funzione. Per stabilire la natura di tale punto calcoliamo il gradiente secondo 1 f(x,) = 1 che risulta definita positiva. Il punto ( 1 3, 1 3 ) è pertanto un punto di minimo locale. (b) Il gradiente della funzione f(x,) = x 3x + +x+ +1 è f(x,) = (x 3+1, 3x++1). Quindi scriviamo il sistema { x 3 +1 = 0 3x++1 = 0 { x 3 = 1 3x+ = 1. Si trova l unica soluzione (1, 1), che è l unico punto stazionario della funzione. Per stabilire la natura del punto calcoliamo il gradiente secondo 3 f(x,) = 3 che risulta indefinita. Il punto (1,1) non è pertanto né di massimo né di minimo locale (è un punto di sella). (c) Il gradiente della funzione f(x,) = x 3 x + 3 è f(x,) = ( 3x, x+3 ). Quindi scriviamo il sistema { 3x = 0 x+3 = 0 { = 3x x+7x 4 = 0 { x(7x 3 1) = 0 = 3x. Con x = 0 si trova = 0 e quindi la soluzione (0,0). Con x = 1/3 si trova = 1/3 e quindi la soluzione ( 1 3, 1 3 ). Vi sono dunque due punti stazionari: l origine e ( 1 3, 1 3 ).

3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 14 Per stabilire la natura dei punti stazionari calcoliamo il gradiente secondo 6x 1 f(x,) =. 1 6 Calcolando questa matrice nei due punti si ha allora 0 1 f(0,0) =, che è indefinita e 1 0 1 f( 1 3, 1 3 ) =, che è definita positiva. 1 Il punto (0,0) non è né di massimo né di minimo locale, mentre il punto ( 1 3, 1 3 ) è di minimo locale. (d) Il gradiente della funzione f(x,) = x (e 1) è f(x,) = ( x(e 1),x e ). Quindi scriviamo il sistema { x(e 1) = 0 x e = 0. Dalla seconda equazione, dato che non può essere e = 0, deve necessariamenteessere x = 0. La prima equazione èalloranecessariamentesoddisfatta. Pertantolesoluzionisonotutti ipunti conx = 0, etutti ipuntidell asse. Questi sono i punti stazionari. Per stabilirne la natura calcoliamo il gradiente secondo (e f(x,) = 1) xe xe x e. Nei punti del tipo (0,) il gradiente secondo vale (e f(0,) = 1) 0, che è semidefinita (positiva o negativa a seconda di ). 0 0 Le condizioni del secondo ordine non consentono di concludere. Possiamo allora studiare il segno della funzione f: la funzione è nulla sugli assi, positiva sul primo e sul secondo quadrante e negativa sul terzo e quarto quadrante. Quindi i punti del tipo (0,) con > 0 sono di minimo locale, quelli del tipo (0,) con < 0 sono di massimo locale, mentre l origine non è né di massimo né di minimo. (e) La funzione f(x,) = x ln è ovviamente definita sulle > 0. Il gradiente della funzione è f(x,) = xln, x ln. Quindi scriviamo il sistema { xln = 0 x ln = 0. Dalla prima, se x = 0 anche la seconda è soddisfatta, e quindi sono soluzioni tutti i punti del tipo (0,), con > 0. Poi, sempre dalla prima, se = 1 anche la seconda è soddisfatta e pertanto sono soluzioni anche tutti i punti del tipo (x,1), con x qualunque. Allora i punti stazionari sono quelli del semiasse positivo delle e quelli della retta di equazione = 1. Per stabilirne la natura calcoliamo il gradiente secondo f(x,) = ( ln 4xln 1 4xln 1 x 1 ln Nei punti del tipo (0,) il gradiente secondo vale ( ln ) 0 f(0,) =, che è semidefinita positiva. 0 0 ).

3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 15 Nei punti del tipo (x,1) il gradiente secondo vale 0 0 f(x,1) = 0 x, che è ancora semidefinita positiva. Le condizioni del secondo ordine non consentono di concludere in nessun caso. Lo studio del segno della funzione, che è nulla sui punti stazionari e per il resto positiva, porta a dire che tutti i punti stazionari sono di minimo (globale). (f) Il gradiente della funzione f(x,) = x 4 + 4 4x è f(x,) = ( 4x 3 4,4 3 4x ). Quindi scriviamo il sistema { 4x 3 4 = 0 4 3 4x = 0 { 4x 3 = 4 4 3 = 4x { x 3 = x 9 = x e quest ultimo fornisce le soluzioni (0,0), (1,1) e ( 1, 1), che sono i punti stazionari. Il gradiente secondo è Pertanto si ha Si ha poi f(0,0) = f(x,) = f(1,1) = f( 1, 1) = 1x 4 4 1. 0 4, che è indefinita. 4 0 1 4, che è definita positiva. 4 1 Pertantopossiamoconcludereche(1,1)e( 1, 1)sonopuntidi minimo locale, mentre(0,0)non ènédimassimo né di minimo. (g) Il gradiente della funzione f(x,) = x+ 1 3 (x3 + 3 ) è Quindi scriviamo il sistema f(x,) = ( 1 x,1 ). { 1 x = 0 1 = 0 { x = 1 = 1 e quest ultimo fornisce le soluzioni (1,1), (1, 1), ( 1,1) e ( 1, 1). Il gradiente secondo è Pertanto si ha poi poi e infine f(1,1) = f(1, 1) = f( 1,1) = f( 1, 1) = f(x,) = x 0. 0 0, che è definita negativa; 0 0, che è indefinita; 0 0, che è indefinita; 0 0, che è definita positiva. 0 Pertanto possiamo concludere che (1,1) è un punto di massimo locale, ( 1, 1) è punto di minimo locale, (1, 1) e ( 1,1) non sono né di massimo né di minimo.

3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 16 (h) Il gradiente della funzione f(x,) = (1 x ) +x è Quindi scriviamo il sistema f(x,) = ( x+x,1 x ). { x +x = 0 1 x = 0 { x(1 ) = 0 x = 1 e quest ultimo fornisce le soluzioni (1,1) e ( 1,1). Il gradiente secondo è + x f(x,) =. x 0 Pertanto si ha e f(1,1) = f( 1,1) = 0, che è indefinita 0 0, che è indefinita. 0 Pertanto possiamo concludere che i due punti stazionari non sono né di massimo né di minimo. Esercizio.1 (a) La restrizione della funzione f alla curva γ è la funzione Calcolando la derivata di questa si ottiene g(t) = f(γ(t)) = f(t,t) = t 4 +t. g (t) = 4t 3 +t = t(t +1). Questa funzione si annulla soltanto per t = 0, pertanto c è l unico punto stazionario (0, 0). (b) La restrizione della funzione f alla curva γ è la funzione Calcolando la derivata di questa si ottiene g(t) = f(γ(t)) = f(t 3 1, t) = t 3 1 t. g (t) = 3t 1. Questa funzione si annulla per t = ± 1 3, pertanto ci sono due punti stazionari, i punti ( 3 3/ 1, 3 1/) e ( 3 3/ 1,3 1/). (c) La restrizione della funzione f alla curva γ è la funzione Calcolando la derivata di questa si ottiene g(t) = f(γ(t)) = f(t,t 3 ) = t 4 t 6 = t 4 ( t ). g (t) = 8t 3 6t 5 = t 3 (4 3t ). Questa funzione si annulla per t = 0 oppure per t = ± 3, valori questi ultimi che però non appartengono all intervallo ( 1, 1). Pertanto c è il solo punto stazionario dato dall origine. (d) La restrizione della funzione f alla curva γ è la funzione g(t) = f(γ(t)) = f(1+t,t) = 1+t +ln(1+t ). Calcolando la derivata di questa si ottiene g (t) = t+ t ( 1+t = t 1+ 1 ) 1+t. Questa funzione si annulla soltanto per t = 0. Pertanto c è il solo punto stazionario (1,0).

3 SOLUZIONI DEGLI ESERCIZI 17 Esercizio. (a) Possiamo esplicitare il vincolo nella forma = x. Allora consideriamo la funzione f(x,x ) = x+x 4. La derivata si annulla in x = 1 3 4 = 4 1/3. Il punto stazionario vincolato è quindi ( 4 1/3,4 /3 ). (b) Possiamo esplicitare il vincolo nella forma = x + 1. Allora consideriamo la funzione f(x,x+1) = x +x(x+1)+(x+1) = 13x +10x+. La derivata si annulla in x = 5 5 13. Il punto stazionario vincolato è quindi ( 13, 3 13 ). (c) Possiamo esplicitare il vincolo nella forma = x 1. Allora consideriamo la funzione f(x, x 1) = x 3 x( x 1)+( x 1) 3 = x x 1. La derivata si annulla in x = 1. Il punto stazionario vincolato è quindi ( 1, 1 ). (d) Possiamo esplicitare il vincolo nella forma = x +1. Allora consideriamo la funzione f(x,x +1) = (x +1)ln(x +1). La derivata è x xln(x +1)+(x +1) x x +1 = x( ln(x +1)+1 ) e si annulla soltanto per x = 0. Quindi c è il solo punto stazionario vincolato (0, 1). Esercizio.3 (a) Abbiamo f(x,) = x e poniamo g(x,) = x +1. La funzione Lagrangiana del problema è L(x,,λ) = x λ(x +1). Le condizioni di Lagrange sono λ = 0 x+λ = 0 x +1 = 0 = λ x = λ λ λ+1 = 0 λ = 1 4 x = 1 4 = 1. Pertanto si ha l unico punto stazionario vincolato ( 1 4, 1 ). (b) Abbiamo f(x,) = x + e poniamo g(x,) = x +1. La funzione Lagrangiana del problema è L(x,,λ) = x + λ(x +1). Le condizioni di Lagrange sono x λ = 0 +λ = 0 x +1 = 0 x = λ/ = λ/ λ/+λ/+1 = 0 λ = 1 x = 1 = 1. Pertanto si ha l unico punto stazionario vincolato ( 1, 1 ). (c) Abbiamo f(x,) = x e poniamo g(x,) = x + 1. La funzione Lagrangiana del problema è L(x,,λ) = x λ(x + 1).