Esercii di Analisi Matematica L-B Marco Alessandrini Gennaio-Maro 7 Indice Funioni di più variabili reali. Calcolo differeniale........................................... Ricerca di massimi e minimi....................................... Ricerca di massimi e minimi, anche vincolati............................ Integrali curvilinei. Integrali di campi vettoriali...................................... Integrali multipli 5. Integrali tripli.............................................. 5. Integrali tripli in coordinate cilindriche................................ 5 Funioni di più variabili reali. Calcolo differeniale Derivare la funione g(t) f( t, t), definita tramite f : R R, f(x, y) x y. x(t) t Le componenti di f sono y(t) t. Se si esplicita g(t): g(t) ( t ) t t 4 t g (t) 4t t altrimenti, con la regola della catena: fx (x, y) x f y (x, y) y fx ( t, t) t f y ( t, t) t e Allora: x (t) t y (t) g (t) ( t, t), ( t, ) 4t t. Ricerca di massimi e minimi Determinare i punti critici della funione f : R R, f(x, y) log(x x + y ). Il dominio della funione è D (x, y) R x x + y > }. f x x x + y ( x ) x f y x x + y y y I candidati sono P (, ) e P (, ). Per P : x x + y > > x ± y
che è vero, dunque P appartiene al dominio. P invece non appartiene al dominio, perché + > è falso. Dunque l unico candidato è (, ) in esso calcolo le derivate seconde pariali. f xx 6x(x x + y ) ( x )( x ) (x x + y ) x4 6xy 9 (x x + y ) f xx (, ) 4 da cui l hessiana è: f yy (x x + y ) y y (x x + y ) f yy (, ) f xy y(x x ) (x x + y ) f xy (, ) H(, ) ( ) per cui, studiando i minori principali, quello di ordine è negativo e H(, ) < : quindi la matrice è indefinita, e (, ) è punto di sella.. Ricerca di massimi e minimi, anche vincolati Determinare i punti critici della funione: f : R R, f(x, y, ) x + y 4x y Calcolo le derivate pariali: f x x 4 f y y f 4x y x y x y 8 x y 6 6 quindi i candidati sono (,, ) e (, 6, 6). Dopo aver calcolato le derivate seconde pariali costruisco le matrici hessiane, una per ciascun punto candidato: 4 4 H(,, ), H(, 6, 6) 4 4 Studiando i minori principali: l hessiana del punto (,, ) è indefinita (l ordine dei minori è, 4, -48), quindi il punto è di sella l hessiana del punto (, 6, 6) è definita positiva (l ordine dei minori è, 4, 48), quindi il punto è di minimo. Determinare i punti di massimo e minimo della funione: f : A R R, f(x, y) x + xy xy A (x, y) R x y } Calcolo le derivate pariali: fx x + y y f y xy x x + y y x(y ) x x y y x x y y x + y x ± quindi i candidati sono (, ), (, ) (punti di frontiera, che quindi non considero perché l annullamento del gradiente mi consente di studiare i soli punti interni se, alla fine, saranno punti critici, ciò verrà ugualmente
( ) ( ) scoperto studiando la frontiera al passo successivo),, e, (punti interni). A questi bisogna aggiungere (poiché il dominio è un quadrato definito da A) i quattro vertici e i punti ricavati dalla varietà, definita come unione delle 4 varietà costituenti i lati del quadrato. Nei punti interni calcolo f(x, y): f ( ), ( ) e f 7, 7 Vista la semplicità delle equaioni della frontiera, invece di applicare i moltiplicatori di Lagrange si riduce la funione f(x, y) a funione di una sola variabile (una funione per ogni lato di frontiera) per ognuna di queste si applica la condiione necessaria di punto di massimo o di minimo, cioè si pone la derivata uguale a. Sul lato di ascissa x : f(, y) y + y f (, y) y + y quindi nel punto f(, ) la funione di questo lato ha un massimo o un minimo (o un flesso a tangente oriontale, visto è che funione di una sola variabile). Sulla ascissa x : f(, y) + y y f (, y) y y quindi nel punto f(, ) la funione di questo lato ha un massimo o un minimo (o un flesso a tangente oriontale). Sull ordinata y : f(x, ) x f (x, ) x x quindi nel punto f(, ) (che avevamo già trovato prima) la funione di questo lato ha un massimo o un minimo (o un flesso a tangente oriontale). Sull ordinata y : f(x, ) x f (x, ) x x quindi nel punto f(, ) (che avevamo già trovato prima) la funione di questo lato ha un massimo o un minimo (o un flesso a tangente oriontale). Nei quattro vertici del quadrato: f(, ) f(, ) f(, ) f(, ) Visto che i vertici assumono valori superiori o inferiori a tutti gli altri, tra essi ci sono i minimi e i massimi. Ciò consente di risparmiarci la verifica sui punti critici di ogni lato (sono presenti un massimo, un minimo e due flessi) e di dichiarare i punti (, ) e (, ) massimi relativi, mentre (, ) e (, ) sono minimi relativi. Integrali curvilinei. Integrali di campi vettoriali Determinare l integrale di lavoro F ds, relativo alla poligonale orientata ABC di cui sono fornite le coordinate dei punti, della funione F (x, y). F (x, y) ( log( + y ) y ) x, x + y A (, ), : B (4, ) C (4, 4)
Il dominio è x >. Se il campo è esatto, allora esiste l integrale di lavoro calcolabile come differena di poteniale agli estremi di integraione: allora verifico (tramite le derivate pariali miste) se il campo ha poteniale. F y F x x + y y? y + y x che è falso, dunque il campo non è esatto. Calcoliamo l integrale di lavoro con la definiione. Scomponendo la curva in due parti ottengo +, AB, BC. Parametriando: Allora, separatamente: F ds (t) (t, ), t 4 e (t) (4, t), t 4 F ds Per concludere, poiché (t) (t) log() t dt log (t) (t) t ( log( + ), t) (, ) dt t + dt log [ t ( log( + t ), ] 4 t + t log ) (, ) dt t + t dt [ log( + t ) ] 4 log 7 log F ds F ds + F ds: F ds log + log 7 log log + log 7 log 4 Dato il campo F (x, y), dopo aver determinato se è esatto sul dominio assegnato H calcolarne F ds sulla poligonale ABC dell eserciio precedente. ( ) F (x, y) y +, x (y + ), H x R, y > } Se il campo è chiuso, allora è esatto. Con le derivate pariali: F y F x? (y + ) (y + ) che è vero, dunque il campo è esatto e possiamo calcolare il lavoro come differena di poteniale tra i due punti estremi. È necessario trovare un poteniale generico. U x F e U y F Usando la prima relaione, che è più semplice da integrare: U F dx y + dx y + x + h(y) che è l espressione incompleta di U. Derivandola, e confrontandola con F si ricava h(y) con cui definire completamente il poteniale: du dy x (y + ) + h (y)? x (y + ) h (y) h(y) dy + c c da cui U y + x + c Il lavoro tra i punti (, ) e (4, 4) è: F ds U(4, 4) U(, ) 5 4 4
Integrali multipli. Integrali tripli Determinare l integrale (x + y + ) dxdyd, in cui il dominio di integraione I è il cubo di lato unitario. I I (x, y, ) x, y, } Col metodo di Cavalieri, tutte le funioni sono costanti, quindi: [ y + y + y [ x ] (x + y + ) dxdyd ] + xy + x dyd ( d + ) + d ( ) + y + dyd [ + ] +. Integrali tripli in coordinate cilindriche x Dato il dominio di integraione A, integrare x + y dxdyd. A (x, y, ) x, y,, x + y } A + La forma del dominio si presta alla conversione in coordinate cilindriche. x r cos ϑ y r sin ϑ Visto che x e y, allora: cos ϑ sin ϑ Le condiione su si scrivono come: ϑ π r r Allora, ricordando che passando da coordinate cartesiane a polari si ha dxdyd r drddϑ: π π r cos ϑ r r drddϑ cos ϑ [ π r ] ddϑ cos ϑ π cos ϑ 6 dϑ 6 π ( ) ddϑ r cos ϑ drddϑ π [sin ϑ] π 6 ( ) 6 [ ] cos ϑ dϑ 5