Campi Elettromagnetici Stazionari - a.a. 2005-06 I Compitino - 17 Novembre 2005 Due anelli di raggio a=1 cm e sezione trascurabile, disposte come in Figura 1, coassiali tra loro e con l'asse x, in posizione x=-a e x=a, sono uniformemente carichi con una carica totale, rispettivamente, -Q e +Q, con Q=10-6 C. a) Si determini il momento di dipolo del sistema. b) Si trovi il potenziale sull'asse x e lo si confronti con il potenziale in approssimazione di dipolo per x=10a. Ad una distanza d=10a lungo l'asse x si trova un bastoncino di lunghezza h = 1 cm (vedi Figura 1), sul quale e' presente una carica lineare! = ky, con k=10-3 C/m 2. c) Qual'e' il momento di dipolo del bastoncino? d) Qual'e' il momento delle forze che agisce sul bastoncino? (si utilizzi l'approssimazione di dipolo sia per il bastoncino che per il sistema dei due anelli) z -Q 2a y +Q Figura 1 Un condensatore a facce piane parallele ha una capacita' C 1 =80 pf. a 1) sapendo che le armature del condensatore sono due quadrati di lato 20 cm, determinare a quale distanza sono tra loro (" 0 = 8.85 x 10-12 F/m) 2) inserendo tra le armature un conduttore piano, isolato, come mostrato in Figura 2a, la capacita' del condensatore diventa C 2 =150 pf. Quanto e' spesso il conduttore? 3) Se si collegano tra loro i conduttori come in Figura 2b, qual'e' la capacita' del sistema? (Nota: si assuma identica la distanza tra il conduttore centrale e le due piastre laterali) x a Figura 2 b
Campi Elettromagnetici Stazionari - a.a. 2005-06 II Compitino - 5 Dicembre 2005 Un fascio di ioni 12 C ++ con velocità iniziale nulla, accelerato da una differenza di potenziale V = 25 V, penetra in una regione in cui e' presente un campo magnetico B, in direzione normale alla velocità del fascio incidente. Il raggio di curvatura della traiettoria che le particelle descrivono e' di 100 mm. 1) Qual'e' la velocità degli ioni? 2) Qual'e' il valore di B? (Si utilizzi il valore m = 1.65 x 10-27 kg per l'unita' di massa atomica e e = 1.6 x 10-19 per la carica dell'elettrone) Un cilindro di altezza h e raggio r<<h, con una densita' superficiale di carica!, ruota attorno al suo asse con velocità angolare ". 1) Qual'e' il campo magnetico all'interno del cilindro? 2) Qual'e' il campo magnetico alle estremita' del cilindro sul suo asse? Esercizio 3 Una spira quadrata di lato L=1 cm e' percorsa da corrente i 2 = 2A. Un filo rettilineo, coplanare alla spira (vedi figura 1), percorso da corrente i 1 = 10 A e' posto a una distanza d = 2 cm da uno dei lati della spira. 1) Determinare la forza complessiva che agisce sulla spira. 2) Come cambia la risposta alla domanda precedente se il filo anziche' essere coplanare si trova di fronte alla spira (vedi figura 2), ancora a distanza d. d i 2 i 2 1 i1 i Figura 1 Figura 2
Campi Elettromagnetici Stazionari - a.a. 2005-06 I Compito Generale - 12 Dicembre 2005 Si consideri una carica q > 0 ed un sistema S di cariche disposte come in figura. 1) Si calcolino le componenti (nel sistema Oxyz definito in figura) del momento di dipolo elettrico del sistema S. 2) Quanto vale la forza esercitata dal sistema S sulla carica posta nell'origine? y D ( >> d ) -q d O q d d +q -q S x d z +q Due sferette conduttrici identiche (I e II) di raggio a = 1 mm sono poste nel vuoto con i centri a distanza d = 2 m l'una dall'altra. Sulla sferetta II e' presente una carica q II = 1 nc. La sferetta I e' collegata a massa. Essendo d >> a si puo' fare l'ipotesi che le cariche si distribuiscano uniformemente sulle superfici delle sferette. 1) Qual e' la carica sulla sferetta I? 2) Ad un dato istante la sferetta I viene staccata da massa e collegata alla sferetta II con un filo conduttore di capacita' trascurabile. Si trovi qual e' il potenziale della sferetta I. Esercizio 3 Una corrente i fluisce nel circuito di figura, formato da due semicirconferenze di raggio a e 2a, connesse da due fili rettilinei. (1) Calcolare il campo magnetico B nell'origine (modulo, direzione e verso). (2) Si supponga adesso che il sistema sia immerso in un campo magnetico, costante ed omogeneo, B = B 0 x. Qual e' il momento torcente sul sistema? Suggerimento: si calcoli il momento di dipolo magnetico della spira. i y P a 2a x
Campi Elettromagnetici Stazionari - a.a. 2005-06 II Compito Generale - 9 Gennaio 2006 Una sferetta conduttrice di raggio a si trova al centro di un guscio sferico conduttore di spessore trascurabile e raggio b>>a che e' collegato a massa attraverso un generatore di f.e.m. V 0. Nel guscio e' praticato un piccolo foro in modo da permettere il passaggio della sferetta. Sulla sferetta e' presente una carica q. 1. Si calcoli il campo elettrico presente nelle varie regioni dello spazio e le cariche elettriche presenti sulle due superfici del guscio sferico. 2. Ad un certo momento la sferetta viene spostata dal centro del guscio sferico fino a distanza molto grande. Qual'e' la variazione di energia tra lo stato iniziale e lo stato finale? Qual'e' il lavoro fatto dal generatore? Un filo conduttore cavo cilindrico di lunghezza infinita ha raggio interno a = 1 cm e raggio esterno b = 2 cm. Il filo e' percorso da una corrente i = 2 A con densita' costante in ogni punto interno al conduttore. 1. Si dica a quale distanza r dal centro il campo magnetico assume il valore massimo. 2. Un filo identico percorso dalla stessa corrente i nello stesso verso viene posto parallelamente al primo filo a distanza d = 1000 cm. Si calcoli il modulo della forza agente per unita' di lunghezza sul secondo filo in N/m.
Compito Generale 20 Marzo 2006 PARTE I Una carica Q e' distribuita in una sfera di raggio R = 0.5 cm con una densita'!(r) =! 0 r 0 /r, dove! 0 = 20 nc/cm 3 e r 0 = 1cm. Si determinino il campo e il potenziale elettrico nei punti che distano r 1 = 0.1 cm e r 2 = 5 cm dal centro della sfera. Costante dielettrica del vuoto " 0 = 8.85 x 10-12 F/m In un lungo cilindro conduttore di raggio R scorre una densita' di corrente costante J. (a) Determinare il campo magnetico nel cilindro (si consideri µ! µ 0 ). (b) Parallelamente all'asse, ad una distanza a, viene praticato un lungo foro cilindrico. Si trovi il campo magnetico nel foro.
Compito Generale 20 Marzo 2006 PARTE II Un condensatore a facce piane parallele e' formato da due armature quadrate di lato L poste ad una distanza d << L. Lo spazio tra le due armature e' riempito da un dielettrico, con una costante dielettrica!. Sul condensatore e' presente una carica Q. Se il condensatore viene ruotato in posizione verticale, il dielettrico per effetto della forza di gravita' si sposta verso il basso di una distanza x prima di fermarsi. (a) Determinare la capacita' del condensatore e l'energia in esso contenuta. (b) Determinare la massa del dielettrico. Calcolare l'autoinduttanza di un circuito di N=100 spire avvolte intorno ad un toroide di raggio interno R = 1 cm, sezione quadrata di lato a = 0.5 cm e con una permeabilita' magnetica relativa µ r = 650. Permeabilita' magnetica del vuoto µ 0 = 4" 10-7 N A -2 Esercizio 3 Un disco di materiale conduttore e raggio # ruota ad una velocita' angolare $ in un campo magnetico costante e uniforme B parallelo al suo asse. (a) Determinare la differenza di potenziale tra il centro e il bordo del disco. (b) Tramite dei contatti striscianti si collegano questi due punti ad una resistenza R. Determinare la velocita' angolare $ se il momento torcente delle forze applicate e' M.
Compito Generale 10 Luglio 2006 PARTE I Nel modello atomico di Thomson, l'atomo di elio consiste di una sfera di raggio a nel cui interno e' uniformemente distribuita la carica positiva +2e mentre i due elettroni vengono assimilati a due particelle puntiformi mobili all'interno della sfera ciascuna avente carica negativa -e. Quali sono le posizioni di equilibrio stabile degli elettroni? Un sistema e' costituito da un conduttore sferico cavo con raggio interno a=5 cm e raggio esterno b=6.8 cm, isolato e con carica totale nulla. Al centro del conduttore si trova una carica puntiforme q=1.5 nc. 1. Si calcoli il potenziale elettrostatico. 2. Ad un certo istante il conduttore viene collegato a massa (V=0). Si calcoli la carica presente sulla superficie interna ed esterna del conduttore. 3. Successivamente la carica q viene portata a distanza infinita da un operatore. Si calcoli il lavoro fatto dall'operatore.! 0 = 8.85 x 10-12 F/m
Compito Generale 10 Luglio 2006 PARTE II Un cilindro cavo di raggio interno a, raggio esterno b, e altezza h ( h >> b > a) e' costituito da un materiale isotropo, lineare ed omogeneo di permeabilita' magnetica µ e costante dielettrica!! Sul cilindro e' avvolto uniformemente un solenoide con n spire per unita' di lunghezza. Ad un certo istante t=0 nel solenoide inizia a scorrere una corrente i(t). Si calcolino: 1. I campi B ed H in ogni punto all'interno e all'esterno dell'avvolgimento. 2. L'induttanza dell'avvolgimento. 3. Sfruttando la simmetria del sistema (assi e piani di simmetria) si mostri che le linee di campo elettrico indotto sono circonferenze concentriche. 4. Il campo elettrico presente nelle varie regioni all'interno e all'esterno dell'avvolgimento. Dopo un certo tempo la corrente nel solenoide raggiunge un valore costante i 0. Si risponda alle domande seguenti utilizzando i valori numerici: h=25 cm, a= 1 cm, b=2 cm, i 0 = 11.5 A, µ " 750 µ 0 5. Si calcolino le correnti di magnetizzazione (direzione, verso e modulo) presenti nel volume e sulle superfici del cilindro. 6. Il cilindro e' libero di muoversi senza attrito lungo l'asse del solenoide: si calcoli la sua posizione di equilibrio se l'asse del solenoide e' verticale e il cilindro ha una massa m=120 g (si assuma corrente costante i 0 ). µ 0 = 4" 10-7 H/m
Compito Generale 25 Settembre 2006 PARTE I Una sfera metallica di raggio R 1 = 1 m e carica Q = 1 nc viene collegata con un filo conduttore ad una sfera, lontana dalla prima, di raggio R 2 = 0.3 m inizialmente scarica. a) Quali cariche q 1 e q 2 possiedono le due sfere a collegamento avvenuto? Si verifichi che le densità superficiali soddisfano la relazione! 1!! 2 = R 2/ R 1. b) Quanto valgono l'energia elettrostatica iniziale U 1 della prima sfera e l'energia U del sistema a collegamento avvenuto? Come si e' dissipata l'energia U 1 - U? Una spira circolare di raggio r=10 cm, percorsa da una corrente continua di intensita' i = 1.5 A, si trova in un campo magnetico uniforme di induzione B = 1 kg; la direzione di B e' parallela al piano della spira. Sia A 1 A 2 il diametro della spira perpendicolare a B; si calcoli: a) il modulo della risultante delle forze magnetiche agenti sopra meta' della spira avente i punti A 1 e A 2 come estremi; b) il momento assiale rispetto alla retta A 1 A 2 delle forze agenti sopra l'intera spira. A1 B i A2
Compito Generale 25 Settembre 2006 PARTE II In un condensatore piano, le cui armature hanno, ciascuna, superficie S = 10 cm 2 e sono poste a distanza relativa d = 1 cm, viene inserita parallelamente alle armature una lamina metallica di spessore! = 0.5 mm. Successivamente, una delle due zone in cui risulta diviso il condensatore viene riempita con olio di costante dielettrica relativa " r = 3.32. La tensione ai capi del condensatore vale #V = 100 V, e la lamina interposta si trova ad una distanza a = 6 mm da una delle due armature (v. figura 1). Si calcoli: a) la capacita' del sistema; b) i moduli dei campi elettrici nella zona dove c'e' l'olio, in quella dove c'e' l'aria e nella lamina metallica; c) la forza risultante che agisce sopra la lamina. " 0 = 8.85 x 10-12 F/m Tre solenoidi, ciascuno di N=1000 spire, sono avvolti su un unico anello toroidale di materiale ferromagnetico di permeabilita' magnetica relativa µ r = 800; l'anello ha sezione S=10 cm 2 e lunghezza media L=30 cm. Nel primo solenoide passa una corrente di intensita' variabile nel tempo secondo la legge i 1 (t) = I 1 sen $t, con I 1 = 1.2 A e $! 90 rad/s ; l'intensita' di corrente nel secondo solenoide e' invece i 2 (t) = I 2 cos $t, con I 2 = 0.8 A: se il terzo solenoide e' aperto, qual'e' la massima d.d.p. tra i suoi estremi? Esercizio 3 Gli estremi P 1 e P 2 di una sbarretta di lunghezza d, possono scorrere con attrito trascurabile lungo due guide metalliche parallele, come e' indicato in figura 2; la sbarretta si muove verso sinistra con velocita' costante v. Il sistema si trova in un campo magnetico uniforme, perpendicolare al piano delle guide e rivolto verso l'alto rispetto a chi osserva la figura. Si calcoli la d.d.p. V C - V D indotta tra i morsetti C e D nei casi seguenti: a) l'induzione magnetica ha valore costante B 0 ; b) l'induzione magnetica varia secondo la legge B = B 0 cos $t e all'istante t = 0 la sbarretta ha distanza nulla dalla retta CD.