COMPORTAMENTO DI UN SISTEMA IN REGIME SINUSOIDALE Un sistema risponde ad una sinusoide in ingresso con una sinusoide in uscita della stessa pulsazione. In generale la sinusoide d uscita ha una diversa ampiezza ed ha uno sfasamento rispetto alla sinusoide in ingresso. Il comportamento frequenziale di un sistema si descrive mediante due grafici: Il diagramma delle ampiezze: esso mostra il rapporto tra l ampiezza della sinusoide in uscita e quello della sinusoide in ingresso. Descrive l amplificazione/attenuamento introdotto dal sistema. Il diagramma delle fasi: esso mostra la differenza tra la fase della sinusoide in uscita e quella della sinusoide in ingresso. Descrive il ritardo sulle sinusoidi introdotto dal sistema Gli assi orizzontali (pulsazioni dei due diagrammi sono logaritmici, per potere esprimere sia i valori piccoli che quelli grandi. Tali assi sono cioè lineare nell esponente della potenza del, e gli intervalli vengono chiamate decadi. L asse verticale del diagramma dei moduli (guadagni è lineare in decibel. Il decibel è definito come: log(g dove G è il guadagno. La tabella seguente di conversione tra valore in db e il guadagno G può servire come esempio: 6db G= 4db G= db G= db G= -db G=, -4db G=, -6db G=, L asse verticale del diagramma delle fasi è tarato in gradi, alle volte in radianti. Il comportamento in frequenza di un sistema può essere dedotto in via simulativa, cioè in laboratorio, dando in ingresso al sistema sinusoidi con ampiezza costante ma pulsazione variabile, misurando poi quanto vale l ampiezza e lo sfasamento della sinusoide in uscita, al variare della pulsazione. Esiste però un metodo analitico per ricavare i due diagrammi precedenti. Tale metodo consiste nel ricavare la s del sistema, sostituire j al posto di s, e disegnare due diagrammi a partire dalla funzione F (j, quello del modulo e quello della fase. j è un numero complesso, variabile con, e si può dimostrare che il modulo di j corrisponde al guadagno del sistema al variare di, mentre la fase di j corrisponde allo sfasamento introdotto sulla sinusoide dal sistema sempre al variare di.
I diagrammi del modulo possono essere disegnati in maniera approssimata ricordando ad alcune regole. Il diagramma di Bode del guadagno si può approssimare ad una spezzata (insieme di semirette e segmenti Le pulsazioni di cambio inclinazione della spezzata si ricavano dai poli ed i zeri della s. Per trovare tali pulsazioni è sufficiente cambiare il segno ai poli ed agli zeri. 3 Se non esistono poli o zeri sull origine il diagramma parte con una semiretta orizzontale 4 Se esistono poli sull origine il diagramma parte con una semiretta in discesa 5 Se esistono zeri sull origine il diagramma parte con una semiretta in salita 6 Ogni polo introduce sulla spezzata una inclinazione in discesa di db/decade 7 Ogni zero introduce sulla spezzata una inclinazione in salita di db/decade 8 Se il diagramma parte orizzontale l altezza della semiretta iniziale si ricava trovando il guadagno per = (valutato in db 9 Se il diagramma parte in salita o in discesa la semiretta iniziale deve essere ricavata trovando un punto di passaggio. Questo punto si ottiene valutando il modulo per una sufficientemente piccola (almeno una decade più piccola della più piccola pulsazione di cambio inclinazione. Il guadagno per questa viene poi valutato in db. I diagrammi della fase possono essere disegnato in maniera approssimata ricordando le seguenti regole. Il diagramma di Bode della fase, si può approssimare ad una serie di gradini di altezza +/- 9 Le pulsazioni di cambio altezza si ricavano dai poli ed i zeri della s. E sufficiente cambiare il segno ai poli ed agli zeri. 3 Se non esistono poli o zeri sull origine il diagramma parte con una semiretta a fase zero. 4 Se esistono poli sull origine il diagramma parte con una semiretta orizzontale a fase 9 5 Se esistono zeri sull origine il diagramma parte con una semiretta orizzontale a fase +9 6 Ogni polo introduce un gradino in discesa di 9 7 Ogni zero introduce un gradino in salita di 9 8 Se vogliamo avere un approssimazione migliore le salite e le discese verticali del diagramma si devono sostituire con delle salite e discese a rampa che iniziano una decade prima della pulsazione di cambio fase e finiscono una decade dopo.
ESEMPI DI DIAGRAMMI DI BODE Esempio n. Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente j: j = 3,6 ( + ( + j, j, ( + j, Si ricavano i poli e gli zeri di ( +,s s = 3,6 ( +,s ( +,s Non si hanno poli o zeri sull origine (s= ma sono presenti poli ed uno zero diversi da s=. +,s = s = =, +,s = sp = =, +,s = sp = =, Non c è nulla per s= quindi parte orizzontale e l altezza si calcola sostituendo s= nella s ( + F ( s = = 3,6 = 3,6 log(3,6=3db ( + ( + = rad P P = rad = rad il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza 3db, incontra un polo a rad/sec ed inizia a scendere di db/decade, poi incontra uno zero a rad/sec e torna orizzontale, infine incontra il secondo polo a rad/sec e torna a scendere con la pendenza di db/decade. Diagramma bode delle ampiezze 4 3 - - -3-4 3
Esempio n. Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente j: j = ( + 36, j, ( + j, Si ricavano i poli e gli zeri di s = 36, ( +,s ( +,s Non si hanno poli o zeri sull origine (s= ma sono presenti poli diversi da s=. +,s = s P = =, +,s = sp = =, Non c è nulla per s= quindi parte orizzontale e l altezza si calcola sostituendo s= nella s F ( s = = 36, = 36, log(36,=5db ( + ( + P P = rad = rad il diagramma dei moduli asintotico parte orizzontale con altezza 5db, incontra un polo a rad/sec ed inizia a scendere di db/decade, poi incontra il secondo polo a rad/sec e scendere con la pendenza di 4db/decade. Diagramma bode delle ampiezze 6 4 - -4-6 -8 Esempio n.3 j = ( + Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente j: ( + j, j, ( + j, 4
Si ricavano i poli e gli zeri di ( +,s s = ( +,s( +,s Non si hanno poli o zeri sull origine (s= ma sono presenti poli ed uno zero diversi da s=. +,s = s = = s, +,s = sp = = s, +,s = sp = = s, Non c è nulla per s= quindi parte orizzontale e l altezza si calcola sostituendo s= nella s ( + F ( s = = = log( = = db ( + ( + = rad P P = rad /sec = rad il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza db, incontra uno zero in rad/sec ed inizia a salire di db/decade, poi incontra un polo a rad/sec e torna orizzontale, infine incontra il secondo polo a rad/sec e torna a scendere con la pendenza di db/decade. Diagramma bode delle ampiezze 45 4 35 3 5 5 5 pulsazione rad Esempio n.4 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente j: (, j + j =, ( + j( +, j (,s + Si ricavano i poli e gli zeri di s =, ( + s( +,s 5
Non si hanno poli o zeri sull origine (s= ma sono presenti poli ed uno zero diversi da s=.,s + = s = = s, + = s = s s P +,s = sp = = s, Non c è nulla per s= quindi parte orizzontale e l altezza si calcola sostituendo s= nella s ( + F ( s = =, =, =, log(, = ( 3 = 6db ( + ( + = rad P P = rad /sec = rad il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale con altezza -6db, incontra uno zero in rad/sec ed inizia a salire di db/decade, poi incontra un polo a rad/sec e torna orizzontale, infine incontra il secondo polo a rad/sec e torna a scendere con la pendenza di db/dec. Diagramma bode delle ampiezze - - -3-4 -5-6 -7-8 -9 Esempio n.5 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente j: ( j + j = j( +, j ( s + Si ricavano i poli e gli zeri di s = s( +,s Non si hanno poli o zeri sull origine (s= ma sono presenti poli ed uno zero diversi da s=. s + = s = sec 6
,s = s = = sec, + P = rad P = rad C è un polo per s= quindi parte in discesa con pendenza db/decade. Per poter disegnare il grafico devo trovare il valore del diagramma per una pulsazione. Si prende un pulsazione volte più piccola della più piccola pulsazione di cambio inclinazione (escluso quella nell origine e cioè,rad/sec F ( j, =,, + + (,, =, = log( = (3 = 6db il diagramma asintotico dei moduli parte in discesa con inclinazione db/decade e vale 6db per pulsazione, rad/sec. Incontra poi uno zero in rad/sec e diventa orizzontale, poi incontra un polo a rad/sec e torna a scendere con la pendenza di db/dec. Diagramma di Bode delle ampiezze 7 6 5 4 3,,,,,, Esempio n.6 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente j: j = j(, j + ( j + ( +, j Si ricavano i poli e gli zeri di s(,s + s =, ( s + ( +,s Si ha uno zero sull origine (s= e sono presenti poli ed uno zero diversi da s=.,s + = s = = sec, + s = sp = sec 7
+,s = sp = = sec, = rad P P = rad /sec = rad C è uno zero per s= quindi parte in salita. Si calcola il guadagno per pulsazione rad/sec F ( j, =, (, + + + (, =,, =, = =, log(, = ( 4 = 8db il diagramma asintotico dei moduli parte in salita con pendenza db/dec e vale -8db per la pulsazione rad/sec. Poi incontra uno zero in rad/sec sale di 4db/decade, poi incontra un polo a rad/sec e sale di db/decade, infine incontra il secondo polo a rad/sec e torna orizzontale. Diagramma di Bode delle ampiezze,,,,,, - -4-6 -8 - - Esempio n.7 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente s: (,s + s =, ( s + ( +,s Si ricavano i poli e gli zeri. Non si hanno zeri o poli sull origine (s= ma sono presenti poli ed uno zero diversi da s=. 8
,s + = s = = sec, s + P = s = sec +,s = sp = = sec, = rad P P = rad = rad Non c è nulla per s= quindi il diagramma parte orizzontale. Si calcola il guadagno per pulsazione nulla ( +, F ( j =, =, =, = =, ( + ( + log(, = ( 3 = 6db il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale 6db. Poi incontra un polo in rad/sec e scende di db/decade, poi incontra uno zero a rad/sec e torna orizzontale, infine incontra il secondo polo a rad/sec e scende di db/decade. Diagramma di Bode delle ampiezze,, -,,,, -4-6 -8 - - Esempio n.8 Tracciare il diagramma di Bode delle ampiezze per la seguente s: (,5s + s =,5 3 ( s +,(5 + s Si ricavano i poli e gli zeri. Non si hanno zeri o poli sull origine (s= ma sono presenti poli ed uno zero diversi da s=.,5s + = s = = 4sec,5 9
s + P 5, = s =,sec 3 + s = sp 5 = = 5sec = 4rad /sec P P =,rad = 5rad /sec Non c è nulla per s= quindi il diagramma parte orizzontale. (,5s + Si calcola il guadagno per pulsazione nulla s =,5 3 ( s +,(5 + s ( +, F ( j = 5 = 5 = =,3 ( +, (5 + 5 log(,3 = ( 3 db il diagramma asintotico dei moduli parte orizzontale e vale db. Poi incontra un polo in,rad/sec e scende di db/decade, poi incontra uno zero a 4rad/sec e torna orizzontale, infine incontra il secondo polo a 5rad/sec e scende di db/decade. Diagramma di Bode delle ampiezze,, -,,,,, - -3-4 -5-6 -7-8 -9 -