Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc STATO IMITE UTIMO DI INSTABIITA oszone del problema Il problema della stabltà dell equlbro aste perfe6e: Il carco cr9co eulerano nfluenza delle mperfezon nfluenza de vncol Aste n c.a.: Il dagramma Momento- Curvatura (M- χ) cenn alla sua determnazone numerca pun9 cara6ers9c del dagramma (M- χ) Aste n c.a.: l metodo esa6o Aste n c.a.: l metodo della colonna modello Esempo: calcolo sforzo normale ul9mo d un plastro n c.a. snello. rescrzon Norma9ve
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (oszone del roblema) Il problema della valutazone della capactà portante d plastr tozz (plastr con rapporto tra lunghezza e mnma dmensone n sezone è suffcentemente pccola) s rduce al calcolo della capactà portante della sua generca sezone (se d sezone costante). In tal caso le sollectazon sono determnate con la teora del prmo ordne, n quanto s rtene che le sollectazon non sano nfluenzate dalla confgurazone deformata essendo gl spostament pccol (teora del I ordne) I ordne II ordne v uò però accadere che l enttà degl spostament non sa così pccola da poter trascurare le sollectazon agguntve che nascono mponendo l equlbro nella confgurazone deformata. In tal caso s parla d teora del II ordne. Nel caso ad esempo d una mensola soggetta a compressone la possbltà che l asta non sa nzalmente rettlnea potrebbe comportare effett del II ordne non trascurabl n presenza d snellezza elevata.
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (oszone del roblema) C s chede allora quale sa l nfluenza (n genere deletera) degl effett del II ordne sulla capactà portante delle strutture. In partcolare c s chede quale sa l nfluenza degl effett del secondo ordne sulla capactà portante d plastr n cemento armato. I ordne u I II ordne v u II < u I
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (Il problema della stabltà dell eq.) ASTE ERFETTE (Asta d Eulero) esempo classco sulla base del quale la teora della II ordne ha avuto l suo svluppo è l problema dell asta d Eulero. In partcolare, consderata una trave semplcemente appoggata, soggetta a sforzo normale, c s chede se esstano confgurazon equlbrate dverse dalla confgurazone nzale. E J Equazone d equlbro (Eq. dfferenzale omogenea) M = EJχ v'' v = 0 EJ v Carco crtco Eulerano Comportamento reale
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (Il problema della stabltà dell eq.) ASTE ERFETTE (Asta d Eulero) esempo classco sulla base del quale la teora della II ordne ha avuto l suo svluppo è l problema dell asta d Eulero. In partcolare, consderata una trave semplcemente appoggata, soggetta a sforzo normale, c s chede se esstano confgurazon equlbrate dverse dalla confgurazone nzale. E J Bforcazone dell Equlbro Equazone d equlbro (Eq. dfferenzale omogenea) M = EJχ v'' v = 0 EJ v cr = π Il carco crtco Eulerano è l pù pccolo carco per l quale sussste l equlbro nella confgurazone deformata. In corrspondenza d esso sussste quella che n gergo vene defnta bforcazone dell equlbro. EJ v
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (Il problema della stabltà dell eq.) INFUENZA DEE IMERFEZIONI Dal momento che le condzon d asta perfetta non sono n genere verfcate occorre consderare anche l nfluenza delle mperfezon, n genere rappresentate da una eccentrctà nzale e. E J e e M = = cm 1 cr I Equazone d equlbro (Eq. dff. non omogenea) M = EJχ EJv'' = (e + v) v'' + EJ v + EJ v 0 e = 0 e mperfezon elmnano l fenomeno della bforcazone dell equlbro cr = π EJ 0 y u o sforzo Normale massmo è nferore al carco crtco d Eulero Comportamento reale Asta d Eulero con Imperfezon v
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (Il problema della stabltà dell eq.) INFUENZA DEI VINCOI a formulazone del problema d Eulero rguardava l asta semplcemente appoggata. In realtà le condzon d vncolo che possono presentars sono n genere dverse e hanno notevole nfluenza sulla valutazone della stabltà dell equlbro d element struttural compress. er tener conto d cò l dea è quella d rdurs attraverso condzon d natura geometrca all asta d Eulero modfcando opportunamente la lunghezza della trave con un coeffcente β. Esemp 0 = 0 =0.7 0 =0.5 0 =β
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) DEFINIZIONE DE ROBEMA S consder ora un asta n cemento armato. oché l materale consderato è a comportamento non lneare la rcerca d poszon equlbrate dverse dalla confgurazone nzale comporta, oltre a non lneartà d natura geometrca, anche non lneartà meccanche. In partcolare l momento dpende non lnearmente dalla curvatura alla quale la sezone consderata è soggetta. I M ( χ) = (e + f ) = M + M Occorre qund valutare l massmo valore d che soddsf l equazone d equlbro nella sezone pù sollectata tenendo conto della non lneartà della legge M(χ) II v(x) f e Osservazone Nella generca sezone la rserva d resstenza flessonale M(χ) è n parte assorbta dal momento esterno del I ordne M I =e e n parte dal momento del II ordne M II =f.
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) VAUTAZIONE DEA CURVATURA Modello Cnematco y ϕ ϕ y u v du ε x = = dx x Deformazone della fbra a lvello y u = ϕ y dϕ y dx r dϕ dx dx+ε x dx χ = ε x y d ϕ = 1 dx r = χ trascurable rdϕ = dx +ε dx x egame curvatura-deformazone
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) Il DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA oché samo nteressat alla valutazone della capactà ultma dell elemento strutturale l dagramma M-χ può essere ragonevolmente approssmato con una trlatera cu punt caratterstc sono rappresentat rspettvamente dal punto d prma fessurazone del CS (I Stado), dal punto d prmo snervamento dell armatura (II Stado) e dal punto d rottura allo SU della sezone (III Stado). N=cost M (χ y, M y ) (χ u, M u ) III Stado Dagramma Momento-Curvatura (χ f, M f ) II Stado Semplfcato I Stado χ
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) UNTI CARATTERISTCI DE DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA I Stado Il momento flettente e lo sforzo normale resstent della sezone s valutano consderando la sezone nteramente reagente omogenezzata a CS II Stado Il momento flettente e lo sforzo normale resstent della sezone s valutano consderando la sezone elastca ma parzalzzata. III Stado Il momento flettente e lo sforzo normale resstent s valutano consderando per la sezone le condzon d stato lmte ultmo.
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) ESEMIO DI DIAGRAMMA MOMENTO-CURVATURA (codce VCASU) 160 140 10 (χ y, M y ) (χ u, M u ) M (knm) 100 80 60 40 0 (χ f, M f ) N=374 kn DATI SEZIONE: Dmenson Sezone b=30 cm, h=30 cm 0 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.000 0.0005 0.0003 0.00035 Curvatura (1/cm) Armatura 3φ nferore e superore.
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) METODI DI SOUZIONE: I METODO AE DIFFERENZE FINITE M ( χ) = e + [ v(x) ] Δx x v v +1 e 0 M( χ ) = e+ [ v (x )] Sstema lneare con ncognta v k k k K v 1 + (K Δx )v K v+ 1 = Δx k (e M ( χ ) + K k k χ ) χ Metodo delle dfferenze fnte d v dx v v Δx + v 1 + 1 = Svluppo n sere d Taylor della legge M(χ) k k dm ( χ ) M( χ ) + dχ χ = χ k k ( χ χ ) = (e + v )
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) METODI DI SOUZIONE: I METODO DEA COONNA MODEO (D.M. 9.1.96) f ( f ) M ( χ) = e + Soluzone approssmata a verfca del plastro s esegue calcolando l massmo valore dello sforzo normale u per cu sa ancora possble l equlbro nella sezone maggormente sollectata. Esso deve rsultare mnore dello sforzo normale applcato. χ = 10 e ( ) + max M χ u e con u > d v(x) v(x) = f x sn π d v(x) π χ( x) = = dx f x sn π Curvatura Massma χ max = π f 10 f
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) METODI DI SOUZIONE: I METODO DEA COONNA MODEO M (knm) 180 160 140 10 100 80 M I = u e (χ y, M y ) M II u /10 Soluzone del sstema M 10 u ( χ) = e χ u + 10 u I M y = u e + χy = M + M II 60 40 0 0 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.000 0.0005 0.0003 0.00035 χ Curvatura (1/cm) = u u M y(u ) = χ y( e + 10 Soluzone Iteratva u )
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) METODI DI SOUZIONE: I METODO DEA COONNA MODEO SOUZIONE ITERATIVA o sforzo normale ultmo u s valuta n 5 pass: 1) s scegle un u d prmo tentatvo 1) s valuta l dagramma M-χ 3) s valuta l momento del II ordne M II 4) s valuta M I 5) se u e M I l procedmento teratvo termna, altrment s utlzza l valore u =M I /e come ulterore u d tentatvo e s rpetono punt dal 1 al 5 fno a che la condzone non rsult verfcata M (knm) 180 160 140 10 100 80 60 40 0 0 (χ y, M y ) M I 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.000 0.0005 0.0003 0.00035 χ M II u = 10 = u Curvatura (1/cm) χ y
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) METODI DI SOUZIONE: I METODO DEA COONNA MODEO (ESEMIO) Materal Cls Rck 30 Mpa Accao FeB44K Nel caso dell esempo consderato sono state necessare 6 terazon per raggungere la convergenza, ottenendo per lo sforzo normale ultmo l valore u = 374. kn che corrsponde al momento M I =11.6 knm DATI: Dmenson Sezone b=30 cm, h=30 cm Armatura 3φ nferore e superore. Eccentrctà e = 30 cm Altezza plastro H=700 cm N.B. l valore d u n assenza d fenomen del II ordne vale 48 kn, valore maggore del % rspetto al caso nel quale gl effett del II ordne sano mess n conto
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) METODI DI SOUZIONE: I METODO DEA COONNA MODEO (ESEMIO) Materal Cls Rck 30 Mpa Accao FeB44K 180 160 140 (χ y, M y ) DATI: Dmenson Sezone b=30 cm, h=30 cm Armatura 3φ nferore e superore. Eccentrctà e = 30 cm Altezza plastro H=700 cm M (knm) 10 100 80 60 40 0 0 M II =61.8 knm M I = 11. knm = u = 374 kn 0 0.00005 0.0001 0.00015 0.000 0.0005 0.0003 0.00035 χ Curvatura (1/cm)
Corso d Teora e rogetto d ont A/A 013-014 - Dott. Ing. Fabrzo aolacc lastr snell n c.a. (verfca allo SU) RESCRIZIONI NORMATIVE