Congetture di Weil per le curve non singolari

Chapter 13 Congetture di Weil per le curve non singolari In questo capitolo dareo l idea della diostrazione delle congetture di Weil per le curve non singolari seguendo la diostrazione di Bobieri Stepanov. Per fare ciò avreo bisogno di verificare la validità del teorea di Rieann Roch anche nel caso di caratteristica p. Non è nostra intenzione darne una copleta diostrazione, bensì dareo una qualche evidenza della sua validità. 13.1 L enunciato Le congetture di Weil riguardano il nuero di punti delle varietà non singolari definite su capi finiti e il loro profondo significato geoetrico. Più precisaente, sia F q un capo finito con q = p n eleenti e X una varietà proiettiva definita su F q, indichiao con X la varietà definita sulla chiusura algebrica F q. Assuiao che X sia non singolare (ciò significa che la diensione n degli spazi tangenti è costante per ogni punto di X) e indichiao con N il nuero dei punti F q razionali (le cui coordinate hanno valore in F q ) di X, poniao ( ) t Z(t, X) = exp N (1.1) =1 Le congetture di Weil per X sono le seguenti: i) Z(t, X) è una funzione razionale di t 1

2CHAPTER 13. CONGETTURE DI WEIL PER LE CURVE NON SINGOLARI ii) Z(t, X) soddisfa l equazione funzionale Z ( ) 1 q n t, X = ±(q n/2 t) χ Z(t, X) con χ la caratteristica di Eulero Poincaré di X iii) Z(t, X) = P 1(t)... P 2n 1 (t) P 0 (t)... P 2n (t) con P 0 (t) = 1 t, P 2n = 1 q n t e per ogni 1 i 2n 1. P i (t) Z[t] con b i P i (t) = (1 α ij t) dove gli α ij sono interi algebrici che soddisfano la proprietà s=1 α ij = q i/2 (1.2) Se X è la riduzione odulo p di una varietà proiettiva coplessa allora il grado b i del polinoio P i (t) è uguale a di C HdR i (X, C) e X = 2n ( 1) i b i. La condizione?? viene couneente chiaata ipotesi di Rieann, in quanto, coe avreo odo di osservare per le curve, ha strabilianti analogie con la distribuzione degli zeri della funzione ζ(s) classica. Le congetture di Weil sono state diostrate da Weil stesso nel caso delle curve. A Dwork è dovuta la diostrazione della razionalità dell equazione funzionale. Deligne nel 1974 ottenne una diostrazione delle ipotesi di Rieann. Per ottenere questo risultato si è dovuto procedere alla ricerca di una buona teoria co oologica per le varietà definite su capi di caratteristica p, la cooologia étale. Concludiao questa sezione verificando coe, nel caso dello spazio proiettivo P r, le congetture di Weil, sono soddisfatte. Infatti in questo caso abbiao che N = 1 + q + q 2 +... q r i=0

1.2. RICHIAMI DI TEORIA DEI CAMPI 3 da cui segue che ( ) Z(t, P r ) = exp (1 + q +... + q r ) t = =1 1 (1 t)(1 qt)... (1 q t). Ricordiao inoltre che di C H i (P, C) è uguale (1+( 1) i )/2 per 0 i 2 e 0 per i > 2. 1.2 Richiai di teoria dei capi Ricordiao breveente alcuni risultati di teoria dei capi. Una trattazione copleta dell argoento può essere trovata in [Z.S] Volue 1 Cap. II. Un capo k si dice perfetto se è di caratteristica zero, oppure se è di caratteristica p e k p = k. Ciò è equivalente alla seguente afferazione: ogni polinoio irriducibile f(x) k[x] è separabile, i.e. f (x) 0. ha sepre Infatti se k non fosse perfetto, preso a k tale che a k\k p si diostra facilente che X p a è un polinoio irriducibile. Viceversa se f (x) 0 si ha che f(x) k[x p ], da cui f(x) = g(x) p e quindi f(x) è riducibile. Sia K un estensione di k, y K algebrico su k si dice separabile o inseparabile se il suo polinoio inio è separabile oppure no. Una estensione algebrica K di k si dice separabile se tutti i suoi eleenti lo sono. Una estensione finita e separabile K di k è seplice, cioè K = k(α). (2.1) In questo caso α è chiaato eleento priitivo. Un estensione algebrica K di k è norale su k se ogni polinoio irriducibile f(x) k[x] che ha una radice in K fattorizza copletaente

4CHAPTER 13. CONGETTURE DI WEIL PER LE CURVE NON SINGOLARI in K[X] oppure equivalenteente K contiene il capo di spezzaento di f(x). Sia K una estensione finita norale di k il gruppo degli autoorfisi di K che fissano tutti gli eleenti di k è chiaato il gruppo di Galois di K rispetto a k e si indica con G(K/k). Se H è un qualche sottogruppo di G(K/k) si vede facilente che l insiee degli eleenti di K fissati da H è un sottocapo che usualente viene indicato con K H (capo fissato da H). Viceversa se k F K, allora K è anche un estensione norale di F e G(K/F ) G(K/k) consiste esattaente di tutti quegli autoorfisi che fissano gli eleenti di L. Il risultato fondaentale della teoria di Galois ci dice che c è una corrispondenza biunivoca tra i sottogruppi H di G(K/k) e i sottocapi F di K contenenti k. Direo che K è un capo di funzioni algebriche di r variabili su k se K è finitaente generato su k e tr k K = r. (2.2) Nel seguito considerereo solo capi di funzioni algebriche in una variabile. Un eleento x K, trascendente su k, si dice separante se K è un estensione separabile (algebrica) di k(x). In questo caso K si dice separataente generato su k. Osserviao che non tutti gli eleenti trascendenti di K sono separanti, ciò è chiarito dal seguente Esepio. Sia K = k(x, y) con x trascendente e y p x 2 polinoio inio di y su k(x) e p 2. K è un estensione separabile di k(y) e inseparabile di k(x). D ora in poi il capo k sarà sepre finito o algebricaente chiuso e quindi perfetto, di conseguenza K è sepre separataente generato su k. Quindi possiao scrivere K = k(y, x) con y trascendente e separante e x algebrico su k(y). Assuereo sepre che k è il capo delle costanti di K, cioè k è algebricaente chiuso in K.

2.3. CURVE ALGEBRICHE E CAMPI DI FUNZIONI ALGEBRICHE 5 2.3 Curve algebriche e capi di funzioni algebriche Dal paragrafo precedente si coincia ad evidenziare il legae tra le curve algebriche e i capi di funzioni algebriche che possono essere considerati coe il capo dei quozienti di una curva affine (proiettiva). Vogliao considerare l insiee C K forato dall insiee delle valutazioni discrete v di K su k. Per una tale valutazione v poniao e Indichiao con O v = {a K/v(a) 0} (3.1) v = {a k/v(a) > 0} (3.2) K v = O v / v (3.3) il capo residuo della valutazione. Questo, poiché k è algebricaente chiuso in K, è un estensione finita di k. Indichiao con f v il grado dell estensione. Chiaraente se k fosse algebricaente chiuso si avrebbe sepre che k v = k. Vediao coe descrivere gli anelli a valutazione discreta di K. Poiché k è algebricaente chiuso in K, abbiao che per ogni x K\k, k[x] è un anello di polinoi e K è un estensione finita di k(x). Sia R un anello a valutazione discreta di K, contenente x e indichiao con B la chiusura integrale di k[x] in K, questo è anche esso un anello finitaente generato su k. Poiché R è integralente chiuso, si ha che B R e posto n = R B, abbiao che la localizzazione di B a n è ancora un anello a valutazione discreta e quindi per la assialità degli anelli a valutazione discreta B n = R. Si verifica iediataente che per due anelli a valutazione discreta, l inclusione B n B iplica l inclusione n tra ideali assiali e quindi = n. Coe conseguenza di questa discussione possiao che dire ogni anello a valutazione discreta R è isoorfo alla localizzazione ad un ideale assiale dell anello delle coordinate di una curva affine non singolare definita su k avente B coe anello delle coordinate e conseguenteente K coe capo

6CHAPTER 13. CONGETTURE DI WEIL PER LE CURVE NON SINGOLARI delle funzioni razionali. Inoltre abbiao che x può appartenere solo ad un nuero finito di ideali, infatti, pensata coe funzione regolare sulla curva, ha solo un nuero finito di zeri; quindi x appartiene solo a un nuero finito di ideali R con R anello a valutazione discreta, equivalenteente y = 1 x è contenuto in tutti gli anelli a valutazione discreta eccetto un nuero finito. Questo risultato è la generalizzazione del fatto che una funzione razionale su una curva algebrica ha solo un nuero finito di zeri e poli. Denotiao con C K l insiee delle valutazioni discrete. Assuiao k algebricaente chiuso, osserviao che C K è infinito e possiao dotarlo della topologia cofinita. Ad ogni aperto U associao l anello delle funzioni regolari O(U) = R U R (3.4) Ovviaente f O(U) può essere interpretata coe un applicazione f : U k che al punto R associa il valore dato dal residuo di f odulo R in R. Quindi se f, g definiscono la stessa funzione, abbiao f g R per un nuero infinito di punti, così f = g. Viceversa ogni f K può essere vista coe una funzione regolare su un aperto U. Una curva astratta non singolare è un aperto U = C K con la topologia indotta e la nozione indotta di funzione regolare. Possiao allargare la categoria delle varietà quasi proiettive di diensione 1, aggiungendo le curve astratte dicendo che un orfiso ϕ : X Y tra curve astratte o varietà è un applicazione continua che per ogni aperto V Y ed ogni funzione regolare su V f ϕ è una funzione regolare in ϕ 1 (U). In verità non abbiao affatto allargato la nostra categoria, poichè si può diostrare che ogni curva quasi proiettiva non singolare è isoorfa a una curva astratta. Sia, infatti, K il capo delle funzioni di una varietà quasi proiettiva non singolare Y e sia U C K l insiee degli anelli locali e ϕ : Y U

2.3. CURVE ALGEBRICHE E CAMPI DI FUNZIONI ALGEBRICHE 7 l applicazione biettiva con ϕ(p ) = O p, dobbiao solo verificare che U C K è un aperto poiché chiaraente ϕ porta funzioni regolari in funzioni regolari. Possiao assuere che Y è affine con anello delle coordinate A = k[y ], allora U consiste di tutti gli anelli a valutazione discreta R con A R K (3.5) Siano y 1... y n dei generatori di A, allora A R se e solo se y 1... y n R, quindi a U = n i=1 U i, con U i = {P C K /x i R} Così U i è una curva astratta e anche U lo è. Viceversa sia p C K, allora esiste una curva affine non singolare U e un punto q U con anello locale uguale a p, quindi U è isoorfo a un aperto di C. Poichè C è quasi copatto, possiao ricoprirla con un nuero finito di aperti V i C, i=1,... n, isoorfi a varietà affiniu i traite delle applicazioni φ i. Sia Y i, la chiusura proiettiva di U i e consideriao le applicazioni φ i estensioni delle applicazioni φ i, cf. Prop. 6.10 Cap. 4, Sia ora φ i : C Y i. (3.6) φ : C n Y i (3.7) l applicazione diagonale con φ(p) = n i=1 φ i(p). La chiusura Y dell iagine di φ(c), è ancora una varietà proiettiva. È iediato verificare che l applicazione φ è biettiva e induce un isoorfiso a livello di anelli locali. Ritorniao al caso k algebricaente chiuso in K, allora ogni x K\k è trascendente su k, quindi k(x) può essere interpretato coe il capo delle funzioni razionali di P 1 e l applicazione che ad ogni anello a valutazione discreta R K associa l anello a valutazione discreta R k(x) k(x) è un rivestiento raificato di grado n = [K : k(x)]. Vogliao definire tutti gli oggetti necessari per una corretta forulazione del teorea di Rieann Roch. i=1

8CHAPTER 13. CONGETTURE DI WEIL PER LE CURVE NON SINGOLARI Dappria stabiliao gli oggetti corrispondenti ai differenziali eroorfi. Sia Der k (K) l insiee delle derivazioni di K e indichiao con Ω k (K) il suo k duale. È definita una applicazione k lineare d : K Ω k (K) (3.8) che a una funzione algebrica f associa il suo differenziale df, così definito df, D = D(f) per ogni derivazione D. Di solito si scrive Ω C per Ω k (K), anche se esso riflette le proprietà del capo K più che quelle della curva C (ovviaente nel caso k algebricaente chiuso non esiste questa diversa interpretazione). Si verifica così coe nel teorea del Cap. che di K Ω C = 1 (3.9) Sia p v un punto di C K di grado f v e t un paraetro locale, ogni f K ha una espansione forale in serie f = a t (3.10) =t con a k v. Una siile afferazione è vera anche per ogni differenziale ω = =s b t dt (3.11) con dt, D = D(t) = 1 per una qualche derivazione D. Ovviaente df = a t 1 dt. In questi casi scriviao =t ord v (f) = t, ord v (ω) = s e possiao parlare di zeri o poli se gli interi t e s risultano essere positivi o negativi.

2.3. CURVE ALGEBRICHE E CAMPI DI FUNZIONI ALGEBRICHE 9 Un divisore di C K è un eleento del gruppo abeliano libero generato dai punti di C K. Indichiao con Div (C K ) il gruppo dei divisori e un suo eleento si scrive coe t D = n i P i i=1 A differenza del caso classico abbiao che il grado di un punto P è uguale al grado del capo residuo e il grado del divisore D è deg (D) = t n i deg (P i ). i=1 Per ogni f K possiao definire (f) e verificare che anche in questo caso deg (f) = 0. Anche ad ogni differenziale ω possiao associare il suo divisore (ω). Inoltre, per quanto detto pria, abbiao che il grado del divisore di un differenziale è un intero ben definito che viene posto uguale a 2g 2. In questo caso non è ovvio a priori che il nuero g sia intero e non negativo, questa risulta essere una conseguenza del teorea di Rieann Roch. Osserviao che in questo caso, essendo k algebricaente chiuso in K, il genere della curva si conserva quando si procede ad una estensione del capo k (e conseguenteente di K). Siilente al caso classico, possiao definire gli spazi vettoriali L(D) = {f K /(f) + D 0} {0} I(D) = {ω Ω C /(ω) D 0} e indicare con l(d) e i(d) le loro diensioni. In questo contesto abbiao il teorea di Rieann Roch la cui diostrazione è basata sul concetto di pseudo differenziali introdotto da Weil. In questo paragrafo introduciao la nozione di funzione zeta associata ad una curva algebrica (o a un capo di funzioni con grado di trascendenza 1) definita su un capo finito e diao un idea della diostrazione della sua razionalità e dell equazione funzionale. D ora in poi k è un capo finito con q eleenti, per ogni punto p C K, poniao N(p) uguale al nuero degli eleenti del capo residuo k p, i.e. N(P ) = q d(p ).

10CHAPTER 13. CONGETTURE DI WEIL PER LE CURVE NON SINGOLARI Chiaraente questa definizione estende ai divisori di C K e abbiao N(D) = q d(d) La funzione zeta della curva C K definita su F q è Z(t, C K ) = t d(d) (3.12) 0<D: Div (C) Possiao considerare anche l espressione data dal prodotto di Eulero Z(t, C K ) = P C K (1 t d(p ) ) 1 (3.13) Sostituendo t con q s si evidenzia e la soiglianza di queste funzioni con la funzione zeta di Rieann, infatti abbiao Z(t, C K ) = N(D) S = (3.14) 0 D Div (C K ) p C K (1 N(p) s ) 1 La razionalità e conseguenteente l estensione della funzione Z(t, C K ) a tutto il piano coplesso dipende da alcuni risultati che sono conseguenza del teorea di Rieann Roch. Il nuero dei divisori positivi in Div (C K ) linearente equivalenti a un divisore D assegnato è uguale a N(D) 1 q 1 Posto Cl(C K ) uguale al gruppo dei divisori odulo equivalenza lineare e Cl d (C K ) il sottoinsiee di Cl(C K ) proveniente dai divisori di grado d, abbiao la successione esatta inoltre per ogni intero positivo d 0 Cl 0 (C K ) Cl(C K ) Z 0 (3.15) Cl d (C K ) = Cl 0 (C K ) = h(c K ) <. Da questi risultati segue che Z(t, C K ) = d=0 D Cl d (C K ) ( q l(d) 1 q 1 ) t d.

2.3. CURVE ALGEBRICHE E CAMPI DI FUNZIONI ALGEBRICHE 11 Poiché la serie q l(d) 1 q 1 (d + 1)N(D) (d + 1)(qt) d d 0 converge per q t < 1, abbiao che anche Z(t, C K ) converge e il prodotto di Eulero converge per Re (s) > 1. Più in dettaglio, siccoe l(d) = d(d) g + 1 per d(d) > 2g 2 Z(t, C K ) = 1 2g 2 q 1 q l(d) t s + (3.16) 1 q 1 2g 2 h(c K ) q 1 s=0 D Cl j (C K ) ( =2g 1 s=0 D Cl j (C k ) q g+1 t n q l(d) t s + h(c K) q 1 = G(t) + H(t) t )= s s=0 1 g (qt)2g 1 (q 1 ) 1 q t 1 t Quindi si estende a una funzione eroorfa su tutto il piano coplesso con poli seplici a t = 1 e t = q 1. Verifichiao l equazione funzionale. In?? si verifica iediataente che H(t) = ( ( ) 1 qt) 2g 2 H (3.17) qt inoltre G(t) = 2g 2 d=0 D Cl d (C K ) q d g+1 l(w D) t d = 2g 2 d=0 q 1 g q l(w D) (qt) d = q 1 g (qt) 2g 2 D Cl d (C K ) d ( ) d(w D) 1 l(w D) q qt D Cld(C K )

12CHAPTER 13. CONGETTURE DI WEIL PER LE CURVE NON SINGOLARI L applicazione D W D non cabia l insiee su cui avviene la soa, quindi abbiao G(t) = ( qt) 2g 2 G(1/qt). Quindi l equazione funzionale è verificata. Riassuiao i risultati più o eno esplicitaente ottenuti nel seguente Teorea (3.18). Sia C K la curva definta su F q associata al capo di funzioni K, allora abbiao 1. la funzione Z(t, C K ) può essere rappresentata nella fora Z(t, C K ) = L(t) (1 t)(1 qt) dove L(t) è un polinoio di grado 2g con L(0) = 1 e che soddisfa L(t) = ( qt) 2g L(1/qt). 2. il residuo di Z(t, C K ) a t = 1 è uguale al nuero delle classi h(c K ). Osserviao coe cabia la funzione zeta quando si estende il capo delle costanti da k = F q a k n = F q n. Sia F = k n e C F la curva copleta associata, allora confrontando i prodotti di Eulero di Z(t, C K ) e Z(t, C F ) e osservando che il grado di un divisore irriducibile P C K è la soa dei gradi dei divisori Q 1... Q t C F in cui si spezza il divisore P, i.e. d(p ) = t d(q i ) = td(q i ) (3.18) i=1 si ha che Z(t n, C F ) = ξ Z(tξ, C K ) (3.19) dove il prodotto varia su tutte le radici n e dell unità. Vediao ora alcune conseguenze dell equazione funzionale che ci rincodurranno alla originaria definizione di funzione zeta. Considerando la derivata logaritica della funzione Z(t, C K ) scritta coe prodotto infinito e oltiplicando per t si ottiene tz (t, C K ) Z(t, C K ) = d(p )t nd(p ) = n=1 P ( ) d(p ) t. =1 p

2.3. CURVE ALGEBRICHE E CAMPI DI FUNZIONI ALGEBRICHE 13 La seconda soa è presa su tutti quei punti P C K il cui grado divide per cui posta questa soa uguale N abbiao che { } t Z(t, C K ) = exp N. Chiaraente N 1 è il nuero dei punti F q razionali vediao ora che N n è il nuero dei punti F q n razionali. Dalla?? segue che { } t n exp M = Z(t n, C F ) = { } (tξ) exp N =1 ξ { ( )} t = exp N ξ. (3.20) Poiché =1 ξ 0 n/ e in questo caso è uguale a n, abbiao che ξ N n = M 1, cioè al nuero dei punti F q n razionali. Inoltre posto da segue che L(t) = 2g i=1 Z(t, C) = exp log ξ (1 α i t) (3.21) Π(1 α i t) (1 t)(1 qt) N n = q n + 1 α n 1. (3.22) Per concludere osserviao che dall equazione funzionale di L(t) segue che ( ) 1 L(ω) = 0 L = 0. (3.23) qω

14CHAPTER 13. CONGETTURE DI WEIL PER LE CURVE NON SINGOLARI 3.4 Ipotesi di Rieann La forulazione più iediata all ipotesi di Rieann per la funzione ζ(s, C K ) = Z(q s, C K ) è la seguente: gli zero sono lungo la retta di equazione Re (s) = 1 2. Chiaraente ciò equivale a dire che in?? si ha α i = q 1/2, 1 i 2g. Una conseguenza iediata dell ipotesi di Rieann è la stia diofantea N n q n 1 = αi n 2gq n/2 (4.1) couneente chiaata diseguaglianza di Weil. Usando la stia precedente e il fatto che N n è il nuero dei punti razionali della curva C F si può verificare che l ipotesi di Rieann vale per C K se e solo se vale per C F. Il prio passo verso la diostrazione delle ipotesi di Rieann consiste nel verificare che le diseguaglianze di Weil sono anche condizioni sufficienti. Infatti assuendo?? e applicando l operatore differenziale t d dt??. Si ottiene 2g i=1 α i t 1 α i t = (q r + 1 N r )t r. r=1 log all uguaglianza Questa serie ha raggio di convergenza R q 1/2, d altra parte poiché le singolarità sono solo nei punti α 1 i, abbiao che α i 1/R q 1/2 e quindi per la?? l ipotesi di Rieann è soddisfatta. Sia C K una curva proiettiva definita su k = F q, indichiao con k la chiusura algebrica di k, poniao K = k K e denotiao con CK la curva associata. Sia ϕ q : k k (4.2) l autoorfiso di Frobenius che anda ogni eleento nella sua q a potenza, i.e ϕ q(f) = f q. Geoetricaente ϕ q induce un orfiso birazionale ϕ q : C K C K (4.3)

3.4. IPOTESI DI RIEMANN 15 che fissa solo i punti F q razionali, i.e. i punti di grado 1 di C K. Il capo K contiene un sottocapo puraente trascendente k(t) di cui K è un estensione separabile, pertanto esiste un estensione F norale per entrabi i capi. Geoetricaente possiao dare la seguente interpretazione C F C K P 1 (k) = C k(t) (4.4) con C F rivestiento di Galois sia di C K che di P 1 (k), con gruppo di autoorfisi G e sottogruppo H che agisce banalente su C K. A priori G non agisce su k, e perciò dobbiao considerare la chiusura algebrica di k, a esiste sepre un estensione finita di k su cui G agisce, quindi possiao riforulare tutto il problea usando questo coe capo su cui è definita la curva C K diostrare in questa situazione le ipotesi di Rieann e estenderne la validità, per le considerazioni precedenti, al caso di partenza. Quindi assuiao che G agisce su k e F è un estensione norale di k(t) e K. Sia P un punto k razionale di P 1 che non sia di diraazione per Fissato Q i f 1 (P ) abbiao che per qualche g G, quindi posto e abbiao che f : C F P 1 (k) (4.5) ϕ q (Q i ) = g Q i N 1 (C F, g) = {Q C F ϕ q (Q) = g Q} N 1 (C F, g) = G (q + 1) + O(1) (4.6) g G dove O(1) trae origine dalla raificazione di f. In odo siile si ha N 1 (C F, h) = H N 1 (C K ) + O(1) (4.7) h H Qui con N 1 (C K ) indichiao i punti k razionali di C K, cioè i punti di C K fissati dal orfiso ϕ q.

16CHAPTER 13. CONGETTURE DI WEIL PER LE CURVE NON SINGOLARI Supponiao che per un rivestiento di Galois si abbia la stia N 1 (C F, g) q + 1 + A + Bq 1/2 (4.8) Vediao coe da questa segue una diostrazione delle ipotesi di Rieann, infatti abbiao che N 1 (C F, g) G (q+1)+o(1) ( G 1)(1+q+A+Bq 1/2 ) q+1+a 1 +B 1 q 1/2 e quindi In particolare poiché abbiao N 1 (C F, g) = q + O(q 1/2 ) (4.9) N 1 (C F, 1) = N 1 (C F ) N 1 (C F ) (q + 1) C + Dq 1/2 per opportune costanti C e D. Nel caso generale, i.e. C K non necessariaente rivestiento di Galois di P 1, da?? e?? ricaviao che N 1 (C K ) = q + O(q 1/2 ) oppure equivalenteente, esistono delle costanti C e D tali che N 1 (C k ) (q + 1) C + Dq 1/2. Quindi per ottenere una verifica copleta delle ipotesi di Rieann, basta verificare la diseguaglianza?? per una qualunque estensione finita di F q, in particolare abbiao Proposizione (4.10). Sia q = p 2t, q > (g + 1) 4, assuiao che C K P 1 (k) sia un rivestiento di Galois definito su F q. Sia g G, il gruppo di Galois, allora N 1 (C K, g) 1 + q + (2g + 1)q 1/2. Di.Assuiao che esista un punto Q tale che ϕ q (Q) = gq, altrienti la proposizione è già diostrata.

3.4. IPOTESI DI RIEMANN 17 Consideriao lo spazio L(Q) e la sua iagine L(Q) ψ L(qQ) traite l applicazione ψ = g 1 ϕ q. Indichiao inoltre con L(rQ) pt l iagine traite ϕ p dello spazio L(rQ). t Si verifica iediataente che qualora rp t < q l applicazione di oltiplicazione L(rQ) pt L(Q) ψ L((rp t + q)q) è iniettiva. Possiao definire un applicazione δ nel odo seguente L(rQ) pt L(Q) L(rQ) pt L(Q) ψ che rende coutativo il diagraa. Posto = p t + 2g e r = g + 1 + [(g/g + 1)q 1/2 ] < q 1/2 = p t, abbiao che l(q) l(rq) > l(( + rp t )Q) (4.10) La disuguaglianza?? iplica che l applicazione δ non è iniettiva, quindi esiste una funzione non nulla i F (x) = S pt i (x)f ψ i (x) con r i=1 i=1 S P t i (x)f i (x) = 0 (4.11) Così se un punto Q Q soddisfa ψ(q ) = Q si ha ( ) ord Q F = ord Q S p t i (x)f i (x) > 0 Ricordando che la funzione F è una p t potenza, si ha e quindi p t (N 1 (C k, g) 1) deg (F ) = rp t + q N 1 (C k,g ) 1 + r + (p t + 2g)p t < 1 + q + (2g + 1) q.