Funzioni (parte II).

Funzioni (parte II). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 21 ottobre 214 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 1/ 55

Funzioni trigonometriche. Si supponga Ω sia il disco di raggio 1 centrato nell origine (disco unitario); siano A = (1, ), B = (, 1); sia P un punto sulla circonferenza, e si supponga che l angolo AÔP misuri x radianti (orientato antiorario!); sia Q la proiezione di P sull asse delle ascisse; sia T il punto sulla retta r contenente O e P la cui proiezione sull asse dell ascisse sia A. Allora l ascissa di Q si denota cos (x) (coseno di x); l ordinata di P si denota sen(x) (seno di x); l ordinata di T si denota tg(x) (tangente di x); Si noti che talvolta si usa sin(x) e tan(x) invece di sen(x) e tg(x). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 2/ 55

Funzioni trigonometriche. Figura : Funzioni trigonometriche sul cerchio unitario. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 3/ 55

Funzioni trigonometriche. Poichè i triangoli OPQ e OAT sono simili, sia ha che tg(x) = sen(x) cos(x), Si definisce poi cotangente la funzione Inoltre è facile osservare che cos () = 1, sin () = ; cos (2π) = 1, sin (2π) = ; ctg(x) = cos(x) sen(x). dal teorema di Pitagora, essendo il disco unitario, sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1, x [, 2π) (1) Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 4/ 55

Funzioni trigonometriche. 1.5 1.5.5 1 1.5 8 6 4 2 2 4 6 8 Figura : La funzione sin (x). La funzione sin (x) è periodica con periodo 2π; è dispari:sin ( x) = sin (x) ha dominio R ma immagine Im(sen(x))=[-1,1], (quindi sin (x) 1); Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 5/ 55

Funzioni trigonometriche. 1.5 1.5.5 1 1.5 8 6 4 2 2 4 6 8 Figura : La funzione cos(x). La funzione cos(x) è periodica con periodo 2π; è pari: cos ( x) = cos (x); ha dominio R ma immagine Im(cos (x)) = [ 1, 1] (quindi cos (x) 1); vale sin(x) = cos(x π 2 ) Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 6/ 55

Funzioni trigonometriche. 15 1 5 5 1 15 8 6 4 2 2 4 6 8 La funzione tan(x) è periodica con periodo π; Figura : La funzione tan(x). è dispari: tan( x) = tan(x) ; non è definita nei punti x k = kπ con k Z; ha dominio R\{x : x = kπ, k Z} e immagine Im(tan (x)) = R. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 7/ 55

Funzioni trigonometriche: esercizio. Esercizio Qual è il periodo di f (x) = sin (3x)? Da f (x + T ) = f (x) abbiamo per y = 3x f (x + T ) = sin(3(x + T )) = sin(3x + 3T ) = sin(y + 3T ) (2) f (x) = sin (3x) = sin (y). (3) Il più piccolo ˆT per cui sin(y + ˆT ) = sin(y) è ˆT = 2π, per cui il più piccolo T per cui f (x + T ) = sin(y + 3T ) = sin (y) = f (x) è 3T = ˆT = 2π da cui T = 2π/3. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 8/ 55

Funzioni iperboliche. Definizione Si definisce seno iperbolico la quantità Sh(x) = sinh (x) := ex e x. 2 Definizione Si definisce coseno iperbolico la quantità Ch(x) = cosh (x) := ex + e x. 2 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 9/ 55

Funzioni iperboliche. Definizione Si definisce tangente iperbolica la quantità Th(x) = tanh (x) := sinh(x) cosh(x) = ex e x e x + e x. A volte sinh (x) si denota senh(x); A volte tanh (x) si denota tgh(x); Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 1/ 55

Funzioni iperboliche: sinh. 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 3 4 Figura : La funzione sinh(x) in [ 4, 4]. La funzione sinh(x) è dispari: sinh( x) = sinh(x) (verificarlo) ; ha dominio R e immagine Im(sinh (x)) = R; è strettamente crescente. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 11/ 55

Funzioni iperboliche: cosh. 3 25 2 15 1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 Figura : La funzione cosh(x) in [ 4, 4]. La funzione cosh(x) è pari: cosh( x) = cosh(x) (verificarlo) ; ha dominio R e immagine Im(cosh (x)) = [1, + ) (cioè cosh(x) 1); è strettamente decrescente per x e strettamente crescente per x ; similmente alla (1) vale cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 12/ 55

Funzioni iperboliche: tanh. 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 La funzione tanh(x) Figura : La funzione tanh(x) in [ 1, 1]. è pari: tanh( x) = tanh(x) (verificarlo) ; ha dominio R e immagine Im(tanh (x)) = ( 1, 1) (cioè tanh(x) è limitata); è strettamente crescente. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 13/ 55

Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (x) + a? Risposta: Si trasla verticalmente di a il grafico di f (x). 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 2.5 1.5 1.5.5 1 1.5 Figura : Grafico di y = x + 1 (rosso), y = x (nero) e y = x 1 (verde). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 14/ 55

Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (x + a)? Risposta: Si trasla orizzontalmente di a il grafico di f (x). 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 8 6 4 2 2 4 6 8 Figura : Grafico di y = sin (x + 1) (rosso), y = sin (x) (nero) e y = sin (x 1) (verde). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 15/ 55

Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (x)? Risposta: Si simmetrizza il grafico di f (x) rispetto l asse x. 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 8 6 4 2 2 4 6 8 Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (x) (rosso). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 16/ 55

Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = k f (x)? Risposta: Si stira o si contrae di un fattore k il grafico di f (x) (rispetto l asse x). 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 8 6 4 2 2 4 6 8 Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = 2 sin (x) (rosso) e y =.5 sin (x) (verde). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 17/ 55

Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (kx)? Risposta: Si stira o si contrae di un fattore 1/k il grafico di f (x) (rispetto l asse y). 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 8 6 4 2 2 4 6 8 Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (2x) (rosso) e y = sin (.5x) (verde). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 18/ 55

Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f (x)? Risposta: Se f (x) non si fa niente, altrimenti lo si riflette sull asse x. 1.5.5 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1.5.5 1 8 6 4 2 2 4 6 8 Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin (x) (rosso). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 19/ 55

Operazioni sui grafici. Domanda: Si conosce il grafico di f (x). Qual è il grafico di y = f ( x )? Risposta: Si riflette il grafico della parte in cui x rispetto l asse y. 1.5.5 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1.5.5 1 8 6 4 2 2 4 6 8 Figura : Grafico di y = sin (x) (nero), y = sin ( x ) (rosso). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 2/ 55

Funzioni composte. Definizione Sia f : E R, g : F R tale che Im(f ) F. La funzione h = g f tale che si chiama funzione composta. h(x) = (g f )(x) = g(f (x)) Figura : Esempio di funzione composta. In giallo, l insieme Im(f ) F. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 21/ 55

Funzioni composte. Nota. Si noti che: E fondamentale che Im(f ) F ; In generale f g g f ; Si possono comporre più funzioni ((f g) τ) (x) = f (g(τ(x))) = f (g τ) (verificarlo!). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 22/ 55

Funzioni composte: generalizzazione. La definizione, più generale consiste in Nota. Siano X, Y, V, W insiemi. Siano f : X Y, g : V W tali che Im(f ) V. Sia X := {x X : f (x) V }. Allora per ogni x X si può definire la funzione h = g f tale che h(x) = (g f )(x) = g(f (x)). Tale h si chiama funzione composta. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 23/ 55

Funzioni composte: esempio 1. Esempio Siano Si vede che f (x) = x 2 + 1, g(x) = x (g f )(x) = g(f (x)) = x 2 + 1 Si osservi che da Im(f ) = [1, + ), Dom(g) = [, + ), la composta è ben definita e da Dom(f ) = R, (g f ) : R R. Si vede che (f g)(x) = f (g(x)) = ( x) 2 + 1 = x + 1. Osserviamo che Dom(g) = R + = [, + ) e in R + si ha che x + 1 = x + 1. Inoltre essendo Im(g) = [, + ) e Dom(f ) = R, la composta è ben definita. Quindi (f g) : R + R e f g g f. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 24/ 55

Funzioni composte: esempio 2. Esempio Siano Si vede che f (x) = x 2, g(x) = 4 x (g f )(x) = g(f (x)) = 4 x 2 Si osservi che da Im(f ) = (, ], Dom(g) = [, + ), la composta non è ben definita. L unico punto in cui la funzione è ben definita è x = e la composta vale. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 25/ 55

Funzioni composte: esempio 2. Si vede che (f g)(x) = f (g(x)) = ( 4 x) 2. Osserviamo che Dom(g) = R + = [, + ), Im(g) = [, ) = R +, Dom(f ) = R + e quindi da Im(g) Dom(f ) la composta è ben definita. Da Im(f ) = (, ] = R abbiamo f g : R + R. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 26/ 55

Funzioni composte: esempio 3. Esempio Siano { 1, x f (x) = 3, x < g(x) = { x 2, x > 1 x, x 1 Calcoliamo (f g)(x) = f (g(x)). Supponiamo x 1. Allora g(x) = x ed è g(x) per x altrimenti, per x (, 1], si ha che g(x) <. Se x abbiamo f (g(x)) = 1 mentre per x (, 1] si ha f (g(x)) = 3. Supponiamo x > 1. Allora g(x) = x 2 > 1 > e quindi f (g(x)) = 1. Studiare per casa (g f )(x) = g(f (x)). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 27/ 55

Funzioni composte: monotonia. Teorema Sia Im(f ) Dom(g). Se f crescente, g crescente allora g f è crescente. Se f crescente, g decrescente allora g f è decrescente. Se f decrescente, g decrescente allora g f è crescente. Dimostrazione. Dimostriamo il primo asserto. Se x 1 > x 2, essendo f crescente, f (x 1 ) > f (x 2 ). Siano y 1 = f (x 1 ) e y 2 = f (x 2 ). Allora essendo g crescente g f (x 1 ). = g(f (x 1 )) = g(y 1 ) > g(y 2 ) = g(f (x 2 )) = g f (x 2 ). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 28/ 55

Funzioni composte: monotonia, esempio 1. Esempio Si consideri F (x) = log(sinh(x 3 )). Posto h(x) = log (x), g(x) = sinh(x), f (x) = x 3, si vede subito che f, g, h sono funzioni crescenti e che F (x) = (h (g f )) = h(g(f (x)). Inoltre G := g f è crescente perchè composizione di funzioni crescenti; F = h (g f ) = h G, dove è definita, è crescente perchè composizione di funzioni crescenti. Essendo x 3 dispari, sinh dispari, G(x) = sinh (x 3 ) è dispari essendo G( x) = sinh (( x) 3 ) = sinh ( (x 3 )) = sinh (x 3 ) = G(x) Essendo G(x) per x ne consegue, dalla disparità che G(x) per x e che quindi log(sinh(x 3 )) è definita esclusivamente per x >. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 29/ 55

Funzioni composte: monotonia, esempio 2. Esempio Si consideri F (x) = 1 log (x). Posto g(x) = 1 x, f (x) = log (x), si vede subito che g è una funzione decrescente in (, ) e (, + ) ed f crescente in (, + ), e che F (x) = (g f ) = g(f (x)). Quindi F è una funzione decrescente in (, 1) e (1, + ). Possiamo dire che F è decrescente in R + \{, 1}? Qualche problema tra immagini e domini? Nota. Nell esempio bisogna aver cura dei domini. Infatti Im(f ) = R + che non contenuto in Dom(g) = R\. Ma se restringiamo il dominio di f a R + \1 allora Im(f ) = R\ = Dom(g). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 3/ 55

Funzioni composte: monotonia, esempio 2. 1 1 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 5 5.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 2.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 x 14 2.9.95 1 1.5 1.1 1.15 Figura : Dall alto in basso: 1/x, log(x), 1/ log(x) e zoom di 1/ log(x). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 31/ 55

Funzioni invertibili e inverse. Definizione Una funzione f : D f (D) è invertibile in D se e solo se per ogni y f (D) esiste uno e uno solo x D tale che f (x) = y. Definizione Sia la funzione f : D f (D) invertibile in D. La funzione f 1 : f (D) D che associa ad ogni y f (D) l elemento x D tale che f (x) = y si chiama funzione inversa di f. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 32/ 55

Funzioni invertibili e inverse. Figura : Dall alto in basso: una funzione non invertibile e una invertibile. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 33/ 55

Funzioni invertibili. Definizione La funzione Id : D D tale che Id(x) = x si chiama funzione identica. Nota. Se la funzione f : D f (D) è invertibile allora e quindi f 1 f = Id. f 1 f (x) = f 1 (f (x)) = x, x D Se la funzione f : D f (D) è invertibile allora f f 1 (y) = f (f 1 (y)) = y, y f (D). Successivamente questa proprietà tornerà utile in varie circostanze. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 34/ 55

Funzioni invertibili. Sia D R un dominio simmetrico e f : D R una funzione pari. Allora f non è invertibile. Se è pari infatti f (x) = f ( x) ed essendo il dominio simmetrico x, x D. Sia f : R R una funzione periodica. Allora f non è invertibile. Se è periodica di periodo T infatti f (x + T ) = f (x). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 35/ 55

Funzioni iniettive e suriettive. Definizione Una funzione f : D E è iniettiva in D se e solo se per ogni x 1, x 2 D, x 1 x 2 si ha che f (x 1 ) f (x 2 ) Nota. La definizione di funzione iniettiva è equivalente a dire che se x 1, x 2 D, f (x 1 ) = f (x 2 ) allora x 1 = x 2. La definizione di funzione iniettiva è equivalente a dire che per ogni y f (D) esiste un unico x D tale che f (x) = y. Una funzione invertibile deve essere iniettiva. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 36/ 55

Funzioni iniettive e suriettive. Nota. Una funzione f : D E è suriettiva se e solo se per ogni y E esiste x D tale che f (x) = y. Una funzione f : D E si dice biettiva se e solo se iniettiva e suriettiva. Nota. Sia E = f (D). Allora f : D E è sicuramente suriettiva perchè, per definizione di immagine, per ogni y f (D) esiste x D tale che y = f (x). Quindi una funzione f : D f (D) è biettiva se e solo se iniettiva. Se E non coincide con f (D) quest ultima affermazione non è vera. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 37/ 55

Funzioni iniettive: esempi. Esempio La funzione f (x) = x 2 non è iniettiva in R. Infatti f ( 1) = f (1) = 1. Esempio La funzione f (x) = x 3 è iniettiva in R. Infatti se f (x 1 ) = f (x 2 ) allora x1 3 = x 2 3 e i cubi di due numeri sono uguali se e solo se i numeri coincidono. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 38/ 55

Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Teorema Sia f : D R R strettamente monotona. Allora f è invertibile in D. Dimostrazione. Sia f : D R R strettamente crescente e quindi x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ). Dimostriamo che è iniettiva, cioè x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). Visto che x 1, x 2 sono arbitrari e distinti, possiamo supporre x 1 < x 2. Ma allora essendo crescente f (x 1 ) < f (x 2 ) e di conseguenza f (x 1 ) f (x 2 ). La dimostrazione del caso in cui f è strettamente decrescente è analoga (per casa). Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 39/ 55

Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Teorema Sia f : D R R è strettamente monotona allora f 1 è strettamente monotona. Nota. Se f : D R R è invertibile, allora non è detto che f sia strettamente monotona. 2 2 4 6 8 1 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 Figura : Una funzione invertibile e non monotona. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 4/ 55

Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 1. Esempio Sia a > 1. La funzione f (x) = a x è tale che f : R (, + ). E strettamente monotona e invertibile perchè se a x 1 = a x 2 allora x 1 = x 2. L inversa f 1 : (, + ) R è per definizione f 1 (y) = log a (y). 12 1 8 6 4 2 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 Figura : La funzione f (x) = 2 x. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 41/ 55

Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 2. Esempio La funzione f (x) = x 3 è tale che f : R R. E strettamente crescente e invertibile perchè se x 3 1 = x 3 2 allora x 1 = x 2. L inversa f 1 : (, + ) R è per definizione f 1 (y) = 3 y. 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 Figura : La funzione f (x) = x 3 in [ 1, 1]. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 42/ 55

Funzioni invertibili: le funzioni monotone. Esempio 3. Esempio La funzione f (x) = x 2 è non è invertibile se f : R R (funzione pari!); è invertibile se f : R + R + ed è f 1 (y) = y. 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 Figura : La funzione f (x) = x 3 in [ 1, 1]. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 43/ 55

Funzioni invertibili: il suo grafico. Nota. Osserviamo che Di conseguenza (x, y ) graf(f ) f (x ) = y. (y, x ) graf(f 1 ) f 1 (y ) = x. Questo comporta che i grafici delle due funzioni sono simmetrici rispetto alle bisettrici del primo e terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 44/ 55

Funzioni invertibili: il suo grafico. 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura : La funzione f (x) = e x in [.5, 2] (nero), f 1 (y) = log e (y) (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 45/ 55

Funzioni invertibili: il suo grafico. 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 1.8.6.4.2.2.4.6.8 1 Figura : La funzione f (x) = x 3 in [ 1, 1] (nero), f 1 (y) = 3 y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 46/ 55

Funzioni invertibili: il suo grafico. La funzione f : [, 1] [, 1] con f (x) = x 2 è invertibile e la sua inversa è f 1 (y) = y. 1.9.8.7.6.5.4.3.2.1.1.2.3.4.5.6.7.8.9 1 Figura : La funzione f (x) = x 2 in [, 1] (nero), f 1 (y) = y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 47/ 55

Funzioni trigonometriche e le loro inverse. La funzione f (x) = sin (x), se considerata come f : R R non è invertibile (in quanto periodica). Se invece la si restringe all intervallo (di periodicità ) [ π/2, π/2], cioè come f : [ π/2, π/2] [ 1, 1], essendo strettamente crescente e Im(f ) = [ 1, 1], risulta invertibile. La sua inversa si chiama arcoseno ed è denotata con arcsin(x) (talvolta arcsen(x)). Per definizione di inversa, si ha che f 1 : [ 1, 1] [ π/2, π/2]. Per definizione, per x [ π/2, +π/2], arcsin (sin (x)) = x. Per definizione, per y [ 1, 1], sin (arcsin (y)) = y. Si mostra che arcsin( x) = arcsin(x) cioè che arcsin è una funzione dispari. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 48/ 55

Funzioni trigonometriche e le loro inverse. 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 2 1.5 1.5.5 1 1.5 2 Figura : La funzione f (x) = sin (x) in [ π/2, π/2] (nero), f 1 (y) = arcsin y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 49/ 55

Figura : La funzione f (x) = sin (x) in [π/2, 3π/2] (nero), f 1 (y) (rosso). In blue la bisettrice Paola Mannucci del e Alvise primo Sommariva e del terzo Introduzione. quadrante. 5/ 55 Funzioni trigonometriche e le loro inverse. Nota. Cosa succede se invece di prendere quale intervallo di periodicità [ π/2, π/2] considero un altro intervallo in cui sin (x) è monotona? Supponiamo si consideri f (x) = sin (x) come funzione f : [π/2, 3π/2] [ 1, 1]. Sicuramente f è invertibile, ma il valore dell inversa sarà in [π/2, 3π/2] e non in [ π/2, π/2]. 5 4 3 2 1 1 2 2 1 1 2 3 4 5

Funzioni trigonometriche e le loro inverse. La funzione f (x) = cos (x), se considerata come f : R R non è invertibile (in quanto periodica). Se invece la si restringe all intervallo (di periodicità ) [, π], ciè come f : [, π] [ 1, 1], essendo strettamente decrescente e Im(f ) = [ 1, 1], risulta invertibile. La sua inversa si chiama arco coseno ed è denotata con arccos(x) (talvolta acos(x)). Per definizione di inversa, si ha che f 1 : [ 1, 1] [, π]. Per definizione, per x [, π], arccos (cos (x)) = x. Per definizione, per y [ 1, 1], cos (arccos (y)) = y. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 51/ 55

Funzioni trigonometriche e le loro inverse. 3.5 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5 1.5 1.5.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Figura : La funzione f (x) = cos (x) in [, π] (nero), f 1 (y) = arccos y (rosso). In blue la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 52/ 55

Funzioni trigonometriche e le loro inverse. La funzione f (x) = tan (x), se considerata come f : R R non è invertibile (in quanto periodica). Se invece la si restringe all intervallo (di periodicità ) [ π/2, +π/2], ciè come f : [ π/2, +π/2] R, essendo strettamente decrescente e Im(f ) = R, risulta invertibile. La sua inversa si chiama arco tangente ed è denotata con arctan(x) (talvolta atan(x)). Per definizione di inversa, si ha che f 1 : R [ π/2, +π/2]. Per definizione, per x [ π/2, +π/2], arctan (tan (x)) = x. Per definizione, per y R, tan (arctan (y)) = y. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 53/ 55

Funzioni trigonometriche e le loro inverse. 4 3 2 1 1 2 3 4 1 8 6 4 2 2 4 6 8 1 Figura : La funzione arctan (y) in [ 1, 1] Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 54/ 55

Funzioni trigonometriche e le loro inverse: esercizio. Esercizio Dire per quali valori di x è definita f (x) = arccos (x 3 8). La funzione è definita per x 3 8 1 1 x 3 8 1. Con facili conti si ottiene che devono valere entrambe le { x 3 9 x 3 7 e quindi dalla monotonicità stretta di x 3, per 3 7 x 3 9. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 55/ 55

Esercizio 1 sui domini di una funzione Esercizio Calcolare il dominio di f (x) = cosh(log x 2 1 ). Essendo R il dominio naturale di cosh, basta sia definita log x 2 1 e quindi che sia x 2 1 >. Essendo a = se e solo se a =, basta x 2 1, cioè x ±1. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 56/ 55

Esercizio 2 sui domini di una funzione Esercizio Calcolare il dominio di f (x) = arcsin(e x+2 x ). La funzione arcsin è definita per argomenti y tale che y 1. Di conseguenza bisogna richiedere che e x+2 x 1 ed essendo l esponenziale di un numero sempre positivo, basta e x+2 x 1. Essendo il logaritmo una funzione crescente, ciò è vero se e solo se cioè x+2 x log(e x+2 x ) log (1) =. Essendo x + 2, ciò è possibile se x e x + 2 =, cioè x = 2 oppure x <. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Introduzione. 57/ 55