Lezioe 4 Prerequisiti: Lezioi 23. Riferieto al testo: [H] Sezioe 2.4; [PC] Sezioe 5.5 Idice di u sottogruppo. Teorea di Lagrage per i gruppi fiiti. I questa lezioe deoterà sepre u gruppo fiito ed H u suo sottogruppo. Lea 4. Per ogi x Hx = xh = H. Diostrazioe: Proviao che Hx Sia x. Basta osservare che l applicazioe = H. L altra uguagliaza si prova i odo del tutto aalogo. è biiettiva. φ : H Hx h hx Teorea 4.2 (Teorea di Lagrage) Per ogi sottogruppo H di u gruppo fiito si ha che H divide. Diostrazioe: Le classi laterali destre Hx soo le classi di equivaleza di ρ d ; i quato tali esse forao u partizioe di. Pertato può essere rappresetato coe uioe disgiuta t = Hxi i= dove Hx Hxt soo le classi laterali a due a due distite (si dice ache che x... xt è u sistea copleto di rappresetati per la relazioe ρ d ). Dal Lea 4. segue che da cui la tesi. t = Hx = t H Corollario 4.3 Per ogi g apparteete al gruppo fiito si ha che i= o( g) divide. Diostrazioe: Basta ricordare che o( g ) è l ordie del sottogruppo di geerato da g. Osservazioe 4.4 Alla luce della diostrazioe del Teorea 4.2 è chiaro che il uero t delle classi laterali destre è uguale al uero delle classi laterali siistre. Ciò giustifica la seguete i
Defiizioe 4.5 Se è u gruppo fiito ed H u suo sottogruppo si dice idice di H i il uero ( : H ) = Hx x = xh x. { } { } Possiao allora riscrivere l euciato del Teorea di Lagrage ella fora: = ( : H ) H. Osserviao che se H allora / H = ( : H ) quidi Ne ricaviao u uovo criterio di oralità: / H = Corollario 4.6 Dato u sottogruppo H di u gruppo fiito se (:H) = 2 allora H. Diostrazioe: Se (:H) = 2 i laterali destri soo: - H=Hx per ogi x H (v. Osservazioe.4) - ed il suo copleetare i che è H = Hx per ogi x tale che x H. Vale l aalogo discorso per i laterali siistri. Segue che Hx = xh per ogi x. Osservazioe 4.7 Dal Corollario 4.6 segue subito quato avevao stabilito co calcoli espliciti ell Esepio.7 b) ossia che ( 23) S3. Corollario 4.8 Sia u gruppo. Soo equivaleti le segueti codizioi: a) è ciclico di ordie prio; b) è di ordie prio; c) ha due soli sottogruppi (se stesso ed il sottogruppo baale). Diostrazioe: L iplicazioe a) b) è baale. L iplicazioe b) c) segue iediataete dal Teorea di Lagrage. Proviao ora c) a). Suppoiao che valga c). Allora i particolare o è u gruppo baale. Esiste allora g g e ecessariaete g =. Quidi è ciclico. Se fosse ifiito sarebbe isoorfo a Z (v. Osservazioe 3.0) e quidi avrebbe ifiiti sottogruppi. Duque è fiito. Posto = per ogi divisore di si ha che < g > = o( g ) = e quidi = oppure =. Ma ciò iplica che è prio. H Esercizio 4.9 Utilizzado il Teorea di Lagrage provare che se è u gruppo oltiplicativo fiito allora per ogi g Ricavare da ciò ua uova diostrazioe del Teorea di Eulero. g =. ()
Svolgieto: I base al Corollario 4.3 = o( g) q per qualche itero q e quidi L euciato del Teorea di Eulero è il seguete: o( g) ( g ) = g =. Dato u itero > per ogi itero a coprio co a (od ) essedo ϕ la fuzioe di Eulero. Lo possiao parafrasare coe segue: ϕ ( ) Dato u itero > per ogi x U( Z ) x = []. Poiché ϕ ) = U( Z ) la tesi segue allora da (). ( Osservazioe 4.0 I risultati otteuti fiora ci cosetoo di trovare ua diostrazioe elegate del fatto che per ogi 2 S A =. 2 Si può ragioare coe segue: Nell Esepio 3.9 a) abbiao visto che ϕ ( ) S / A R2. Se e deduce che 2 = R2 = S / A = S A da cui la tesi. La diostrazioe si è duque ridotta ad ua riga. I essa soo cofluiti i segueti uovi strueti: - la ozioe di gruppo quoziete (Lezioi e 2) - il teorea fodaetale di ooorfiso per gruppi (Lezioe 3) - il Teorea di Lagrage per i gruppi fiiti (Lezioe 4) Esercizio 4. Sia u gruppo abeliao fiito siao H e K suoi sottogruppi. Provare che allora = H K. () Svolgieto: Cosideriao l applicazioe ϕ : H K ( h k) hk È facile verficare che ϕ è u ooorfiso di gruppi suriettivo. Si ha { h h h H h K} Ker ϕ = ( ).
Per il Teorea 3.8 segue che H K (2) Kerϕ Si prova quidi che l applicazioe σ : Kerϕ h ( h h ) è ua biiezioe. Dalla (2) e dal Teorea 4.2 discede allora che H K H K = = Kerϕ coe volevasi. Osservazioe 4.2 L idetità () è i realtà vera i ogi gruppo fiito. Lo proviao. Si ha Idividuiao le classi uguali. Dati h h 2 H si ha = hk. (2) h H 2. h K = h2k h2 h K cioè equivaleteete h h Quidi ell uioe i (2) le classi soo uguali a gruppi di. Pertato coe volevasi. = K Dall Esercizio 4. e dal Teorea di Lagrage segue i particolare che = H K se soo sottogruppi fiiti di u gruppo oltiplicativo abeliao aveti ordii coprii. Questo risultato si estede per iduzioe al caso di sottogruppi. Esercizio 4.3 Siao i gruppi...... gruppi fiiti. Provare che il gruppo è ciclico se e solo... soo a due a due coprii. soo ciclici e Svolgieto: Adottiao la otazioe oltiplicativa e procediao per iduzioe su. Sia dappria = 2 e sia = c( 2 ). Allora i base all Esercizio 4.9 per ogi ( g g2 ) 2 si ha ( g g2 ) = ( g g2 ) = ( ). Se 2 2 o soo coprii allora < 2 e quidi ( g g2 ) 2 o è ciclico. Alla stessa coclusioe si giuge se uo tra 2 o è ciclico: ifatti è isoorfo al sottogruppo { } di 2 2 a ogi sottogruppo di u gruppo ciclico è ciclico.
Viceversa se 2 soo coprii e 2 soo ciclici allora detti a a2 geeratori di 2 rispettivaete si ha che o ( a a2 ) = = 2 = 2 quidi 2 = ( a a2 ) è ciclico. Suppoiao allora che > 2 e che la tesi sia vera per valori di iori. Allora ( ) è ciclico se e solo se i gruppi ( ) l ipotesi iduttiva se e solo se i gruppi coprii a due a due tra loro e rispetto a soo ciclici ed hao ordii coprii ossia per... soo ciclici e gli ordii.... soo Esercizio* Provare che i u gruppo abeliao oltiplicativo se g... g soo eleeti periodici di periodi a due a due coprii allora o g g ) = o( g ) o( g ). (