1) Una sfera conduttrice di raggio r = 5 cm possiede una carica q = 10 8 C ed è posta nel centro di un guscio sferico conduttore, di raggio interno R = 20 cm, posto in contatto con la terra (a massa). Si calcoli la densità di carica sulla superficie interna del guscio ed il potenziale della sfera piccola, riferito all infinito. Sulla superficie interna del guscio sferico (induzione totale) si avrà la carica indotta q distribuita uniformemente, quindi Il campo elettrostatico all esterno del guscio sferico è nullo, quindi il potenziale della sfera piccola, riferito all infinito (oppure riferito alla terra o massa, che è la stessa cosa) è dato dalla differenza di potenziale tra la sferetta ed il guscio sferico: 2) Una sfera conduttrice di raggio R = 20 cm viene caricata elettricamente mediante un generatore di tensione ad essa collegato mediante un sottile filo conduttore. Durante il processo di carica, il potenziale della sfera varia nel tempo secondo l espressione V = at, con a = 100 Volt / s. Si calcoli il tempo necessario ad accumulare sulla sfera la carica Q = 10 10 C. La relazione che lega il potenziale V alla carica Q sulla sfera, a ciascun istante, è Quindi, all istante generico t: 3) Un cilindro di rame di sezione A = 10 mm 2, e lunghezza indefinita possiede una carica per unità di lunghezza pari a λ = 10 12 C/m. Si calcoli il modulo del campo elettrostatico sulla superficie del cilindro. Ricordando l espressione del campo elettrostatico generato da un filo rettilineo indefinito, a distanza r dal filo stesso: Sulla superficie del cilindro r = R, quindi il campo cercato vale: Notare che il conduttore possiede una densità σ di superficie di carica pari a: 1
E utilizzando il teorema di Coulomb, otteniamo il risultato di prima: 4) Due condensatori uguali a facce piane e parallele ( C 1 = C 2 = 10 nf ), sono collegati in parallelo e caricati mediante un generatore di tensione alla d.d.p. V = 100 Volt. Una volta scollegato il generatore, la distanza tra le armature del condensatore C 1 viene dimezzata. Durante questo processo, un quantitativo di carica ΔQ si sposta da un condensatore all altro. Si calcoli il valore di ΔQ ed il verso dello spostamento. Le capacità sono uguali inizialmente e le chiamiamo C, quindi scriviamo per la carica totale Q: Dopo la trasformazione avremo: Si noti che il potenziale ai capi del sistema dei due condensatori in parallelo non è più V, mentre la carica totale Q è rimasta invariata. Quindi: Si ricava quindi: Inoltre: Combinando la a) con la b) : Questo è il valore cercato di carica che si sposta, e lo spostamento è da C 2 a C 1. 2
5) Per una particella che si muove su di una orbita circolare in un campo di forza centrale, l energia potenziale è uguale in modulo al doppio dell energia meccanica della particella. Si consideri l atomo di idrogeno come costituito da un protone ed un elettrone, quest ultimo che ruota attorno al protone su di una orbita circolare di raggio r = 0.53 Å. Si calcoli l energia minima necessaria per ionizzare l atomo (ovvero portare a distanza infinita l elettrone, con velocità finale nulla). Ci si può sganciare dai moduli se ci si ricorda che l energia meccanica (energia totale) dell elettrone sull orbita circolare è negativa (per avere una orbita chiusa l energia totale deve essere negativa) ed è negativa pure l energia potenziale dell elettrone. Quanto segue non è necessario per risolvere il problema, ma per giustificare la prima frase del testo: Chiamando W l energia totale dell elettrone, T l energia cinetica e U quella potenziale: Inoltre, per il moto circolare, l accelerazione centripeta vale: Quindi Per portare l elettrone a distanza infinita con velocità finale nulla (ionizzazione) posso pensare di agire in due fasi successive: prima fermo l elettrone, cioè azzero la sua energia cinetica. Per fare questa operazione devo fare un lavoro L 1 negativo (devo frenare la particella) pari a T. Successivamente porto la particella all infinito facendo lavoro L 2 positivo contro la forza attrattiva coulombiana, pari a. Vediamo che il lavoro totale per ionizzare l atomo, vale: Effettuando i calcoli, otteniamo L = 21.736 x 10 19 Joule. Le energie di ionizzazione vengono normalmente indicate usando come unità di energia l elettronvolt, il cui simbolo è ev. Un elettronvolt è l energia che un elettrone acquista attraversando una differenza di potenziale di un Volt, quindi 1 ev = 1.6 x 10 19 Joule. Nel nostro caso otteniamo per l energia di ionizzazione, E ioniz. = L = 13.585 ev, da confrontare con il valore sperimentale 13.59844 ev. 3
6) Un elettrone è posto a distanza r = 20 cm dal centro di un guscio conduttore sferico cavo, di spessore trascurabile, raggio R = 5 cm e carico con Q = 10 8 C. Se l elettrone viene lasciato libero di muoversi, e nell ipotesi che possa penetrare il guscio sferico, con quale velocità arriverà al centro del guscio? Si trascuri qualunque effetto di induzione elettrostatica. L elettrone verrà accelerato dal campo elettrico e si muoverà lungo la direzione radiale dalla distanza r alla distanza R dal centro del guscio sferico. Una volta entrato nel guscio l elettrone procederà con velocità costante poiché il campo elettrico è nullo all interno del guscio. Sarà quindi sufficiente conoscere la variazione di energia potenziale tra il punto r e quello R. Potenziale in r e in R: Quindi, avremo per l elettrone: Inoltre: Ovvero, ricordando che l elettrone parte da fermo (energia cinetica iniziale nulla): Da cui si ricava la velocità con cui l elettrone raggiunge il centro del guscio sferico. 7) Quale è l espressione del modulo della forza elettrica risultante che agisce su di una carica unitaria positiva posta al centro di un quadrato di lato b, avente nei quattro vertici le cariche q, 2q, - 4q e 2q, nella successione data? Ponendo correttamente le cariche indicate ai vertici del quadrato di lato b nell ordine specificato, si vede subito che le due cariche uguali 2q esercitano sulla carica unitaria al centro del quadrato una forza risultante nulla. Le cariche q e -4q a loro volta esercitano forze concordi per cui sarà sufficiente sommare i moduli delle due forze per ottenere il risultato (ricordando che la carica al centro è unitaria): Quindi: 4
8) Si consideri il potenziale elettrostatico V = - Kxy dove K è una costante. Si calcolino in un punto generico le componenti E x, E y, E z del vettore campo elettrostatico. Sappiamo che: Quindi, in coordinate cartesiane: 9) Una carica puntiforme q è posta al centro di un cubo di spigolo b. Si calcoli il valore del flusso del campo elettrostatico E generato dalla carica, attraverso una sola faccia del cubo. Se la carica viene posta su un vertice del cubo, quanto vale il flusso di E attraverso ognuna delle facce del cubo? Quando la carica è posta al centro del cubo, per simmetria potremo affermare che il flusso del campo elettrico da essa generato è uguale su ciascuna faccia del cubo. Poiché il flusso totale deve valere, su di una singola faccia del cubo avremo un sesto di tale valore. Nel caso in cui la carica è posta al vertice del cubo, avremo che sulle tre facce con uno spigolo sulla carica, il flusso sarà nullo essendo il campo elettrico parallelo a tali superfici. Il flusso sulle rimanenti tre facce sarà uguale su ciascuna faccia, e varrà, come si può comprendere immaginando di circondare la carica con otto cubi uguali di lato b, uniti in modo da avere un vertice in comune coincidente con la carica q, che vanno a costruire un nuovo cubo di lato 2b contenente al centro la carica. 5