Prova scritta i Elettricità e Magnetismo e Elettromagnetismo A.A. 2006/2007 6 Settembre 2007 (Proff. F. Lacava, C. Mariani, F. Ricci, D. Trevese) Moalità - Prova scritta i Elettricità e Magnetismo: Esercizi 1 e 2 (3 ore) - Prova scritta i Elettromagnetismo: Esercizi 3 e 4 (3 ore) - Prova scritta i Elettricità e Magnetismo e i Elettromagnetismo: Esercizi 1, 3 e 4 (4 ore) Esercizio 1 Un conuttore cilinrico A i raggio R 1 = 0.5 cm e altezza h = 1.0 m si trova all interno i uno strato conuttore cilinrico B i raggio interno R 2 = 2.0 cm, raggio esterno R 3 = 3.0 cm e altezza h (nella figura viene mostrata una sezione perpenicolare all asse ei cilinri). Il conuttore A ha carica totale Q A = 4.0 10 9 C e il conuttore B carica totale Q B. Determinare a) la ifferenza i potenziale tra i ue conuttori; b) l energia elettrostatica immagazzinata nello spazio tra i ue conuttori; c) la carica Q e (in moulo e segno) sulla superficie esterna el conuttore B, sapeno che il lavoro necessario a allontanare i un tratto δ = 10 3 cm una carica q = 3.0 10 12 C posta a istanza = 10 cm all asse ei cilinri vale L = 6.0 10 14 J (si trascurino gli effetti inuttivi i tale carica sul cilinro conuttore); ) la carica totale Q B (in moulo e segno) sul conuttore B. R 2 R 3 A R 1 q B Esercizio 2 Una sottile superficie sferica isolante i raggio R = 1.0 m ha carica superficiale σ = 9.0 10 8 C/m 2. La superficie viene fatta ruotare attorno a un suo iametro con velocità angolare costante ω = 3.0 10 3 ra/s. Determinare a) il campo i inuzione magnetica B o (in moulo, irezione e verso) nel centro ella superficie sferica; b) il momento magnetico ella superficie sferica, specificano moulo, irezione e verso; c) l energia magnetica el sistema quano viene immerso in un campo i inuzione magnetica costante e uniforme i moulo B = 2.0 10 6 T inclinato i π/3 rispetto al momento magnetico ella superficie sferica. ω z R y x
Esercizio 3 Un elettromagnete è costituito a un circuito magnetico toroiale i materiale ferromagnetico (i lunghezza meia l = 1.2 m e avente sezione circolare S l 2 ) e un sottile traferro i spessore = 2 mm. Sul circuito magnetico sono avvolte N = 1000 spire in cui viene fatta circolare una corrente I = 20 A. La permeabilità magnetica relativa el ferromagnete, nelle conizioni i lavoro, è µ r = 500. Il traferro viene riempito con un isco i materiale iamagnetico la cui suscettività è χ = 5.0 10 3. Si calcolino: a) il campo magnetico H, l inuzione B e la magnetizzazione M nel circuito magnetico e nel traferro, prima ell introuzione el isco iamagentico, specificano intensità, irezione e verso; b) i campi H, B, e M nel ferromagnete e nel iamagnete quano il isco riempie il traferro, specificano intensità, irezione e verso; c) il valore elle correnti amperiane che circolano nel ferro e nel isco, specificanone la irezione e il verso rispetto al campo i inuzione magnetica B. I µ r l Esercizio 4 Un conensatore piano con armature circolari i raggio R = 20 cm, istanti = 2.0 cm, è collegato meiante un circuito i resistenza trascurabile a un generatore i forza elettromotrice V (t) = V o sin(ωt) i resistenza interna trascurabile, con V o = 10 V e ω = 1.0 ra/s. Trascurano gli effetti i boro, si eterminino in moulo, all istante i tempo t = 1.0 s a) il campo i inuzione magnetica B i in un punto interno al conensatore, a istanza r i = 10 cm all asse; b) il campo i inuzione magnetica B e in un punto esterno al conensatore, a istanza r e = 50 cm all asse; c) l energia elettrostatica immagazzinata all interno el conensatore; ) l energia magnetica immagazzinata all interno el conensatore. V(t) R
Soluzione Esercizio 1 a) Per inuzione sulla superficie interna el guscio si ha carica Q A. La capacità el conensatore cilinrico è C = 2πɛ o h/ ln(r 2 /R 1 ), per cui la ifferenza i potenziale tra i ue conuttori è: V = Q A C = Q A 2πɛ o h ln R 2 R 1 99.7 V. b) L energia immagazzinata nel conensatore cilinrico è U = Q2 A 2C = Q2 A 4πɛ o h ln R 2 1.99 10 7 J. R 1 c) Sulla superficie interna el guscio si ha carica Q A e, poichè il conuttore B ha carica totale Q B, sulla sua superficie esterna sarà presente una carica Q e = Q A + Q B. Il campo all esterno ei cilinri è raiale e vale E(r) = Q e /2πɛ o hr, pertanto la ifferenza i potenziale tra ue punti è V (r 1 ) V (r 2 ) = (Q e /2πɛ o h) ln r 2 /r 1. Il lavoro fatto per spostare la carica q a e + δ si può scrivere come L = +δ r F ext = q +δ r E = q[v () V ( + δ)] = qq e 2πɛ o h ln + δ qq e 2πɛ o h (ove si è fatto uso el fatto che δ/ 1 e quini log(1 + δ/) δ/ e ella relazione F ext = F el = qe) a cui si ottiene Q e = L 2πɛ oh q ln +δ L 2πɛ oh qδ 1.11 10 8 C, con segno negativo (come era anche eucibile al fatto che bisogna compiere lavoro per allontanare al conuttore una carica positiva). ) La carica totale posseuta al cilinro esterno è Q B = Q e Q A 1.51 10 8 C δ,
Soluzione Esercizio 2 a) Consieriamo la porzione i superficie sferica tra ue piani perpenicolari all asse i rotazione a altezza z e z + z. Quano la sfera ruota, alla porzione i carica Q = σs = 2πR 2 σ sin θθ epositata su questa striscia infinitesima è associata una corrente elettrica i = (ω/2π)q = σωr 2 sin θθ ove θ è l angolo al centro ella sfera efinito all asse i rotazione z e al raggio che iniviua la striscia sulla sfera stessa. Il contributo ella striscia i corrente al campo i inuzione magnetica al centro ella sfera è equivalente a quello i un campo generato a una spira (i raggio r = R sin θ e percorsa alla corrente i) in un punto el suo asse istante z al suo centro. Tale campo ha un unica componente iretta lungo l asse i rotazione z B o = 1 µ o r 2 i 2 (r 2 + z 2 ) = 1 3/2 2 Ne segue che integrano su tutta la sfera (0 θ π) risulta µ o sin 2 θ i = 1 R 2 µ oωrσ sin 3 θθ B o = 2 3 µ oσωr 2.26 10 10 T b) Per calcolare il momento magnetico ella sfera carica rotante ragioniamo in maniera analoga applicano il teorema i equivalenza i Ampère. Ciascuna spira infinitesima contribuisce al momento magnetico per un fattore ato a m = πr 2 i = πωr 4 σ sin 3 θθ (iretto lungo z con verso positivo), per cui, integrano su tutta la sfera (0 θ π), si ottiene il momento magnetico totale c) L energia magnetica è m = 4 3 πσωr4 1.13 10 3 Am 2 U = m B = mb cos π/3 = mb 2 1.13 10 9 J
Soluzione Esercizio 3 a) Utilizzano il teorema ella circuitazione i Ampère si ha H 1 l + H o = NI, con H 1 campo entro il ferromagnete. e H o nel vuoto. Dalla conizione i raccoro B 1 = B o = B e alle relazioni B1 = µ o µ r H 1 e B o = µ o H o, si ottiene B = µ oµ r NI µ r + l 5.71 T H 0 = µ rni µ r + l 4.55 106 A/m H 1 = NI µ r + l 9.09 103 A/m M 1 = (µ r 1)H 1 4.54 10 6 A/m Le irezioni i tali vettori sono tangenti alla circonferenza passante nel toro con verso orario (ato il verso ella corrente inicato in figura). b) Ripeteno lo stesso ragionamento i prima si ha (inichiamo con µ ia r iamagnete) = 1 + χ la permeabilità magnetica el B = µ oµ r µ ia r NI µ r + µ ia l H ia = H 1 = M ia = (µ ia r r 5.70 T µ r NI µ r + µ ia r l 4.56 106 A/m µ ia r NI µ r + µ ia r l 9.07 103 A/m 1)H ia 2.28 10 4 A/m M 1 = (µ r 1)H 1 4.53 10 6 A/m I versi sono gli stessi i prima, ora però c è un vettore i magnetizzazione anche nel iamagnete, con verso opposto a H. c) Le correnti amperiane i superficie si ottengono alla relazione J s = M ˆn. Quini i fer a = lm 1 5.44 10 6 A i ia a = M ia 45.6 A con i fer a circolante nello stesso verso i I (in senso antiorario vista a B) e i ia a in verso opposto (in senso orario).
Soluzione Esercizio 4 a) Trascurano gli effetti i boro, il campo elettrico all interno el conensatore può essere consierato costante e ricavato semplicemente a V E = V = V o sin(ωt) (1) La corrente i spostamento associata a questo campo elettrico à luogo a un campo i inuzione magnetica. Consierazioni i simmetria ci portano a eurre che le linee i campo i questo campo i inuzione magnetica formano ei cerchi attorno all asse el conensatore. Per calcolare il campo i inuzione magnetica B i a una istanza r i (< R) all asse possiamo quini utilmente consierare la circuitazione i B i su una linea circolare i raggio r i concentrica all asse el conensatore: ovvero, all istante t, 2πr i B i = ɛ o µ o ri 0 t V o sin(ωt) 2πrr (2) V o ω cos(ωt ) r i B i = ɛ o µ o 2 = 1.50 10 16 T (3) b) Per il calcolo el campo B e si può proceere analogamente ma la circuitazione va fatta su una linea circolare i raggio r e (> R) e si eve tener conto el fatto che il campo elettrico (sempre trascurano effetti i boro) è nullo all esterno el conensatore e quini il suo flusso sulla superficie elimitata alla linea circolare i raggio r e riceve contributi non nulli solo sulla intersezione tra quella superficie e il volume tra le facce el conensatore a cui si ottiene 2πr e B e = ɛ o µ o R 0 t V o sin(ωt) 2πrr (4) R 2 V o ω cos(ωt ) B e = ɛ o µ o = 1.20 10 16 T (5) 2r e c) L energia elettrostatica totale U E si calcola, teneno presente che il campo elettrico è uniforme all interno el conensatore e (sempre grazie all ipotesi i effeti i boro trascurabili) nullo all esterno el conensatore. Moltiplicano la ensità i energia elettrostatica per il volume πr 2 el conensatore si trova il risultato U E = 1 2 ɛ V 2 o 2 πr2 = 1 2 ɛ V0 2 sin 2 (ωt ) o πr 2 = 1.97 10 9 J (6) ) L energia magnetica immagazzinata all interno el conensatore è escritta al seguente integrale U B = che, teneno presente l anamento el campo B all interno el conensatore, R 0 1 2µ 0 B 2 2πrr (7) ci porta al risultato V o ω cos(ωt ) B = ɛ o µ o r (8) 2 U B = ɛ 2 πr 4 V0 2 ω 2 cos 2 (ωt ) oµ o = 4.51 10 29 J (9) 16