A.A. 2015/2016 Corso di Analisi Matematica 2

A.A. 2015/2016 Corso di Analisi Matematica 2 Stampato integrale delle lezioni (Appendice di Teoria della Misura) Massimo Gobbino

Indice Lezione 131. Introduzione alla teoria della misura: motivazioni. Paradosso di Banach- Tarski. Sigma-algebra. Tre definizioni di misura (misura positiva su sigma-algebra, misura esterna, misura vettoriale)............................ 4 Lezione 132. Teoremi di passaggio al limite della misura su successioni monotone di insiemi. Insiemi misurabili alla Caratheodory: definizione e dimostrazione che costituiscono una sigma-algebra............................. 5 Lezione 133. Costruzioni di misure: metodo I (misura di Lebesgue) e metodo II (misure di Hausdorff). Verifica che tali metodi producono misure esterne. I razionali hanno misura di Lebesgue nulla................................ 6 Lezione 134. Gli insiemi boreliani sono misurabili se e solo se la misura è additiva sui distanti. Le misure costruite con il metodo II sono additive sui distanti. Descrizione della via classica alla misura di Lebesgue (via approssimazione da fuori con aperti e da dentro con compatti)................................ 7 Lezione 135. Misurabilità alla Caratheodory vs misura interna. Esempio di Vitali (insieme non misurabile secondo Lebesgue). Funzioni misurabili: definizione e stabilità per passaggio al limite.................................. 8 Lezione 136. Step functions (con immagine finita o numerabile). Definizione di integrale per funzioni positive (equivalenza tra due definizioni). Definizione di integrale per funzioni a segno qualunque. Riemann-Darboux vs Lebesgue (suddivisione orizzontale vs verticale)................................. 9 Lezione 137. Enunciato dei tre teoremi di passaggio al limite (Beppo Levi o convergenza monotona, lemma di Fatou, convergenza dominata). Dimostrazione del lemma di Fatou e sue varianti con il limsup............................ 10 Lezione 138. Dimostrazione del teorema di convergenza dominata e di convergenza monotona. Teoremi di continuità e derivabilità per integrali dipendenti da parametro. Accenno ad argomenti successivi (derivabilità di funzioni lipschitziane e punti di Lebesgue)....................................... 11 3

4 Corso di Analisi Matematica 2 A.A. 2015/2016 Lezione 131

Stampato integrale delle lezioni (Appendice di Teoria della Misura) 5 Lezione 131