Università degli Studi di Teramo Facoltà di Medicina Veterinaria ECONOMIA ED ESTIMO RURALE Dott. Agronomo Raffaella Castignani Corso di Laurea in Tutela e Benessere Animale
Università degli Studi di Teramo Facoltà di Medicina Veterinaria 16 maggio 2016
Matematica Finanziaria La matematica finanziaria è funzionale all Estimo poiché aiuta la previsione: individua il valore più probabile in vista di un determinato quesito estimativo. Quando i dati economici di un bene si verificano in periodi differenti, è possibile confrontarli fra loro solo dopo averli riferiti allo stesso momento.
Matematica Finanziaria La possibilità di esprimere un giudizio di stima è vincolata alla necessità di basarsi sulla contemporaneità dei valori. Pertanto vige un principio fondamentale: non si possono sommare o sottrarre valori riferiti ad epoche diverse; per poter eseguire tali operazioni è necessario riportare i valori alla stessa epoca mediante le formule di anticipazione e posticipazione.
Interesse L interesse ( I ) è il prezzo da pagare per l uso del capitale ( k, C ). L unità di misura, ciò che determina l interesse, è il tasso ( o saggio) d interesse ( r ). I è il prezzo per l uso del k = è il compenso per unità di k nell unità di t r è l unità di misura = l I maturato da 1 nell unità di t
Interesse, Saggio L I è direttamente proporzionale: 1. al rischio 2. alla durata d impiego del k Il saggio r può essere annuale, semestrale, trimestrale, ecc., e come ogni bene economico è soggetto alle leggi della D e dell S. Il saggio viene espresso in forma %, ma per le formule viene adottato il saggio unitario, per esempio ad un saggio pari al 4% corrisponde un saggio unitario pari a 0,04
Interesse, Saggio e Montante Per l uso temporaneo di un capitale viene corrisposto a colui che concede il denaro un compenso detto interesse. Alla scadenza fissata il debitore restituisce il capitale iniziale e paga il relativo interesse. La somma complessiva, cioè il capitale più l interesse si definisce montante ( M ). M = C + I
Interesse I = compenso per l unità di C nell unità di t I = C x r x t Esistono diversi modi per il calcolo dell interesse, da cui derivano diversi regimi. I più importanti sono: 1. Regime ad interesse semplice 2. Regime ad interesse composto
Regimi Finanziari 1. Regime ad interesse semplice Un C è impiegato ad interesse semplice quando gli interessi vengono calcolati per tutta la durata dell impiego, in genere di 1 anno, sul C inizialmente investito. Gli interessi quindi non divengono fruttiferi, cioè non si trasformano in capitale
Regimi Finanziari 1. Regime ad interesse semplice La somma del capitale con gli interessi maturati in un determinato periodo di tempo si dice montante ( M ) o capitale finale ( Ct ), mentre il capitale investito si dice capitale iniziale ( C0 ). I = C0 x r x t M = C0 + I = C0 + ( C0 x r x t ) = C0 ( 1 + r x t )
Regimi Finanziari 1. Regime ad interesse semplice Formula dell interesse semplice: I = C0 x r x t Formula del montante o di posticipazione : M = C0 ( 1 + r x t ) Formula dello sconto o di anticipazione : C0 = M/ ( 1 + r x t ) Da cui possiamo ricavare le formule inverse per trovare di volta in volta l incognita d interesse.
Regimi Finanziari 1. Regime ad interesse semplice I = C0 x r x t M = C0 ( 1 + r x t ) C0 = I / r x t r = I / C0 x t C0 = M / 1 + r x t r = (M - C0 ) / C0 x t t = I / C0 x r t = (M - C0 ) / C0 x r
Esempio Deposito in un ufficio postale 300,00 all interesse del 5%. Calcolare l ammontare del capitale alla fine di un anno. I = C0 x r x t I = 300,00 x 0,05 x 1= 15,00 M = C0 + I M = 300,00 + 15,00 = 315,00
Esempio Qual è il montante di un capitale di 1.000,00 investito per 90 giorni al tasso del 7%? I = C0 x r x t M = C0 + I = C0 + ( C0 x r x t ) = C0 ( 1 + r x t ) M = 1.000,00 ( 1+ 0,07 x 90 / 360) = 1.017,5
Regimi Finanziari 2. Regime ad interesse composto Un capitale è impiegato ad interesse composto quando gli interessi maturati alla fine di ogni periodo convenuto di tempo si sommano al capitale che li ha prodotti diventando a loro volta fruttiferi
Regimi Finanziari ü ü ü 2. Regime ad interesse composto L interesse composto può essere: Interesse composto discontinuo annuo quando gli interessi si convertono in capitale fruttifero alla fine di ogni anno Interesse composto convertibile quando gli interessi si convertono in capitale fruttifero più volte nel corso dell anno Interesse composto continuo o matematico quando la conversione dell interesse si verifica ad ogni istante
Regimi Finanziari 2.Regime ad interesse composto ü Interesse composto discontinuo annuo Viene utilizzato nelle operazioni di credito ed economico estimative per periodi formati da un numero n intero di anni Riprendiamo la formula del montante semplice: M = C0 ( 1 + r x n ) e poniamo n = 1, otteniamo: M = C0 ( 1 + r )
Regimi Finanziari 2.Regime ad interesse composto ü Interesse composto discontinuo annuo Il coefficiente ( 1 + r ) lo aggiungiamo alla fine di ogni anno per cui avremo: C1 = C0 ( 1 + r ) C2 = C1 ( 1 + r ) = C0 ( 1 + r ) ( 1 + r ) = C0 ( 1 + r ) ² C3 = C2 ( 1 + r ) = C0 ( 1 + r ) ² ( 1 + r ) = C0 ( 1 + r )³ Cn = C0 ( 1 + r ). n
Regimi Finanziari 2.Regime ad interesse composto ü Interesse composto discontinuo annuo Cn = C0 ( 1 + r ). Posto ( 1 + r ) = q = MONTANTE UNITARIO diventa: Cn = C0 q n L interesse composto è ottenuto come differenza tra il montante ottenuto dopo n anni ed il capitale iniziale impiegato. n
Regimi Finanziari 2.Regime ad interesse composto ü Interesse composto discontinuo annuo I = Cn - C0 Sostituendo il valore Cn diventa: n I = C0 q - C0 I = C0 (q 1) n
Regimi Finanziari 1. Regime ad interesse composto ü Interesse composto discontinuo annuo Formula dell interesse composto n I = C0 (q 1) Formula del montante o di posticipazione : n M = Cn = C0 ( 1 + r ). Formula dello sconto o di anticipazione : n C0 = M /( 1 + r ). Da cui possiamo ricavare le formule inverse per trovare di volta in volta l incognita d interesse.
Trasferimento di Valori nel Tempo La matematica finanziaria permette di confrontare valori riferiti a periodi differenti riportandoli alla stessa data mediante le formule di posticipazione ed anticipazione riferite a: ü all interesse semplice per periodi inferiori ad un anno ü all interesse composto per periodi corrispondenti ad un numero intero di anni ü ad entrambi per periodi frazionari, cioè non corrispondenti ad un numero intero di anni
Università degli Studi di Teramo Facoltà di Medicina Veterinaria 23 maggio 2016
Lo Sconto In matematica finanziaria rappresenta la somma che viene detratta per rendere attuale un valore Commercialmente consiste nella ritenuta che viene effettuata su un capitale corrisposto prima del periodo stabilito
Lo Sconto n Definizioni n Una persona che deve riscuotere un certo importo a una data scadenza, può realizzare anticipatamente il suo credito secondo le seguenti modalità: n a. il debitore riscatta il suo debito, cioè lo paga in anticipo, e la somma che paga è inferiore al valore del debito; n b. una terza persona, in genere una Banca, anticipa al creditore l importo che si farà poi rimborsare dal debitore alla scadenza. In questo caso il creditore cede a un terzo il suo credito, ricevendo, anche in tal caso, un importo inferiore.
Lo Sconto n Definizioni n Lo sconto S è il compenso di chi paga un debito prima della scadenza e anche la differenza sull operazione di cessione di un credito.
Lo Sconto Lo sconto può essere: 1. Commerciale 2. Razionale Sconto semplice commerciale Lo sconto commerciale è proporzionale al valore nominale M e al tempo t di anticipazione Regime: interesse semplice Sc = M rt Denominazione: commerciale Applicazione: calcoli bancari per periodi inferiori ad un anno
Lo Sconto Sconto razionale ad interesse semplice Si ottiene dalla differenza tra il valore futuro o nominale (M o Cn) ed il valore attuale o reale (C0 ). Lo sconto è uguale alla differenza tra il montante ed il valore iniziale: Sc = M C0
Lo Sconto Sconto razionale ad interesse semplice dalle formule dell interesse semplice sappiamo che: sostituendo: C0 = M / (1+ rt) Sc = M C0 = M - M / (1+ rt) = M(1+rt)- M/1+rt= M(1+rt-1)/1+rt= M rt/( 1 + rt)
Lo Sconto 1. Sconto ad interesse semplice Sc = M rt/( 1 + rt) Sconto semplice razionale Regime: interesse semplice Denominazione: razionale Applicazione: calcoli finanziari, estimativi per periodi inferiori ad un anno
Esempio 1 Cambiale di 300,00 con scadenza a 7 mesi scontata presso una banca al saggio del 6%. A quanto ammonta lo sconto effettuato? Sconto commerciale Sc = Mrt Sc = 300,00 x 0,06 x 7/12 = 10,50 Sconto razionale Sc= Mrn/(1+rn) Sc = 300,00 x0, 06x7/12/=(1+0,06x7/12) Sc = 10,50/1,035=10,145
Mentre lo sconto si calcola in base ad un capitale futuro (M) dal quale va detratto per ottenere il capitale presente C0 l interesse si calcola in base ad un capitale presente (C0) a cui va aggiunto per ottenere un capitale futuro (M) M-Sc= C0 C0+I=M
Lo Sconto 1. Sconto ad interesse composto (discontinuo annuo) Lo sconto è uguale alla differenza tra il montante ed il valore iniziale: Sc = M C0 dalle formule dell interesse composto sappiamo che: n C0 = M /q. sostituendo: Sc = M C 0 n n n = M - M /q = M ( q - 1) / q
Lo Sconto 1. Sconto ad interesse composto ( discontinuo annuo) Sc = M ( q n - 1) / q n Regime : interesse composto Denominazione : composto/razionale Applicazione : calcoli finanziari, estimativi per n anni
Esercizi Esercizio n. 2 Il diritto di realizzare tra 8 anni un credito di 1.000,00 viene ceduto oggi ad una terza persona. Quale somma viene pagata oggi ad un tasso del 6%? Esercizio n. 3 Si vuole conoscere l ammontare dello sconto da applicare oggi ad un capitale di 4.000,00 percepibile tra 5 anni volendolo realizzare subito al tasso del 5%
Omogeneizzare Capitali Omogeneizzare capitali significa riportare i valori allo stesso tempo, per poterli confrontare ed effettuare una scelta. Per omogeneizzare utilizzo le formule di capitalizzazione, per tanto in riferimento al tempo t : 1. capitalizzazione semplice se t < 1 ( anno) 2. capitalizzazione composta se t > 1 (anno)
Omogeneizzare Capitali 1.Capitalizzazione semplice t < 1 Ø Coefficiente di Posticipazione (o di capitalizzazione ) consente di andare avanti nel tempo: (1+ rt) Ø Coefficiente di Anticipazione (o di attualizzazione) consente di tornare indietro nel tempo: 1/ (1+ rt) Ricorda: in regime di capitalizzazione semplice n M = C 0 ( 1 + r x t ) n C 0 = M / 1 + r x t
Omogeneizzare Capitali 1.Capitalizzazione composta t > 1 Ø Coefficiente di Posticipazione (o di capitalizzazione) consente di andare avanti nel tempo: q n Ø Coefficiente di Anticipazione (o di attualizzazione) consente di tornare indietro nel tempo: 1/q n Ricorda in regime di capitalizzazione composta: M = C 0 ( 1 + r ) n. C 0 = M /( 1 + r ) n..
Omogeneizzare Capitali Nella risoluzione dei quesiti è necessario capire se il capitale deve essere anticipato o posticipato, cioè considerare una capitalizzazione nel caso di posticipare nel tempo o una attualizzazione nel caso di anticipare nel tempo. q 0 t se il capitale viene valutato alla fine di un periodo : posticipare / capitalizzare q t 0 se il capitale viene considerato all inizio di un periodo : anticipare / attualizzare per riportare il capitale indietro nel tempo
Esercizi Esercizio n. 4 Depositando 1.000,00 al tasso del 5%, si vuole conoscere oggi l interesse maturato dopo 8 anni. Esercizio n. 5 Tra 4 mesi scade un debito di 2.000,00. quanto si dovrebbe pagare per liberarsi oggi di quel debito ad un tasso pari al 6%?
Le Rendite o Periodicità La Rendita è una successione di valori pagabili o esigibili in date diverse ( scadenze). I valori sono detti rate o termini della rendita Gli intervalli di tempo che intercorrono tra due scadenze successive sono denominati periodi della rendita.
Classificazione delle Rendite In funzione dell intervallo di tempo con cui i valori si susseguono distinguiamo: A. Annualità ( rendite annue) : i valori si verificano annualmente. In tal caso i periodi sono di 12 mesi; B. Poliannualità ( rendite poliennali) : i valori si verificano puntualmente ogni certo numero di anni; C. Valori saltuari (rendite frazionate) : i valori si verificano ad intervalli di tempo di durata varia, i periodi di tempo non sono costanti
Classificazione delle Rendite In funzione dell entità sidistinguono: A. Costanti : si succedono nella stessa entità B. Variabili : sono di entità diverse. In funzione della scadenza in: A. Anticipate : i valori si verificano all inizio del periodo B. Posticipate : i valori si verificano alla fine di ogni periodo. In funzione della durata in: A. Limitate : i valori si verificano in un certo intervallo di tempo B. Illimitate : i valori si verificano perpetuamente
Classificazione delle Rendite PERIODICITA valori che si susseguono ad intervalli di tempo costanti variabili ANNUALITA anticipate posticipate POLIANNUALITA limitate illimitate VALORI SALTUARI
Problemi Fondamentali 1. Ricerca della sommatoria finale ( Sn, An) : la somma di tutte le rate riportate alla fine dell ultimo periodo della rendita; 2. Ricerca della sommatoria iniziale ( S0, Ao) : la somma di tutte le rate riportate all inizio del primo periodo della rendita; 3. Ricerca della sommatoria intermedia ( Sm, Am): la somma di tutte le rate riportate ad un periodo intermedio m
Esempio ü Viene pagato un canone annuo di 1.000,00 suddiviso in due semestralità anticipate. Cosa vuol dire? La cifra non viene pagata all inizio o alla fine dell anno ma viene divisa in due rate anticipate, cioè all inizio di ogni semestre: la prima rata vale per i primi 6 mesi, la seconda per i successivi. I valori sono diversi
Esempio ü Qual è la differenza percepita dal proprietario tra un pagamento univoco alla fine dell anno e due semestralità anticipate? Le due rate devono essere trasferite in avanti nel tempo: la prima rata deve essere capitalizzata per 12 mesi, la seconda per 6 mesi. ( r = 5%) Utilizziamo le formule di capitalizzazione semplice M = 500 ( 1+ 0,05) + 500 (1 + 0,05x 6/12) = 1.037,5
Esempio ü Cosa avviene se le semestralità sono posticipate, ( ovvero la prima rate cade in corrispondenza del 6 mese e vale per il periodo precedente e la successiva alla fine dell anno), il proprietario percepisce la stessa cifra? Le due rate devono essere trasferite in avanti nel tempo: la prima rata deve essere capitalizzata per 6 mesi, la seconda viene sommata tal quale. ( r = 5%) M = 500 ( 1 + 0,05x 6/12) + 500 = 1.012,50
Annualità a si intende un importo pagabile od esigibile ogni anno Possono essere: n Limitate si ripetono per un numero finito di anni Illimitate anni si ripetono per un numero infinito di 2. Anticipate se pagate all inizio di ogni anno Posticipate Mediamente anticipate anno se pagate alla fine di ogni anno se pagate a metà di ogni
Annualità Limitate anticipate posticipate mediam. anticipate Annualità Illimitate anticipate posticipate mediam. anticipate
Annualità Costanti Limitate Posticipate Periodicità con scadenza annuale che si ripetono con la stessa entità ( a ) e che si verificano alla fine dell anno per un periodo di tempo finito ( n ). Vengono cercate: n Accumulazione finale An n Accumulazione iniziale A0 n Accumulazione intermedia Am
Annualità Costanti Limitate Posticipate 1. Accumulazione finale An Siamo in regime di interesse composto discontinuo annuo. a : valore annuo che si ripete costantemente per un numero di anni n An : accumulazione finale di tutti i valori a pertanto è un montante risultante dalla somma di tutte le capitalizzazioni singole.
Annualità Costanti Limitate Posticipate 2. Accumulazione iniziale A0 si ottiene dividendo il valore dell accumulazione finale per il coefficiente di attualizzazione 3. Accumulazione intermedia Am si può ottenere sia dalla formula dell accumulazione iniziale posticipando, o da quella dell accumulazione finale anticipando tramite gli opportuni coefficienti.
Annualità Costanti Limitate Anticipate Periodicità con scadenza annuale che si ripetono con la stessa entità ( a ) e che si verificano all inizio dell anno per un periodo di tempo finito ( n ). Vengono cercate: n Accumulazione finale An n Accumulazione iniziale A0 n Accumulazione intermedia Am
Annualità Costanti Limitate Anticipate 1. Accumulazione finale An 2. Accumulazione iniziale A 3. Accumulazione intermedia Am si ricavano dalle formule dell annualità posticipate moltiplicandole per il coefficiente q, per riferire i valori a fine anno.