Prova intermedia del 23 novembre 2012 durata della prova: 2h CINEMTIC E CLCL DI QUNTITÀ MECCNICHE Nelsistemadifiguraildiscodicentro ruoy ta intorno al suo centro; il secondo disco rotola senza strisciare su una guida orizzontale; la lamina di massa trascurabile ha la forma di un h P(m) s triangolo rettangolo con il lato verticale di lunghezza h e l ipotenusa inclinata di un angolo α α sull orizzontale. La lamina appoggia senza strisciare sulla periferia dei due dischi. Un punto m,r M,R d materiale di massa m scorre lungo l ipotenusa della lamina. La cerniera è posta a distanza d dall asse y. ssumendo come coordinate libere le coordinate s e indicate in figura, determinare: 1. La velocità della lamina e la velocità del punto P. 2. L energia cinetica del sistema 3. Il momento delle quantità di moto del sistema rispetto alla cerniera. DINMIC Il sistema di figura è in un piano y verticale. Il disco di massa M e raggio R rotola senza strisciare sulla pa- k M,R rete orizzontale. Un profilo circolare di raggio r privo di massa è saldato r sul disco e concentrico con esso. Un filo inestendibile di peso trascurabile ha P(m) al suo estremo P una massa m, passa per il piolo liscio e si avvolge senza strisciare sul profilo circolare. I due tratti liberi del filo sono rispettivamente orizzontale e verticale. Un secondo filo inestendibile e di peso trascurabile si avvolge sul disco e collega il disco con l estremo di una molla di costante elastica k. Il tratto libero del filo e la molla sono orizzontali. 1. Scegliere come coordinata libera la lunghezza della molla e determinare l energia cinetica del sistema e la potenza delle forze applicate. 2. Calcolare il moto a partire dalla quiete con la molla inizialmente di lunghezza nulla. 3. Determinare in funzione del tempo le reazioni vincolari nel punto di appoggio del disco.
Prova scritta del 5 febbraio 2013 Il sistema di figura è in un piano verticale. Un asta di massa M e lunghezza 2l ha l estremo vincolato da un carrello a scorrere sulla guida orizzontale liscia, mentre l estremo è incernierato nel punto medio del lato verticale di una lamina quadrata di massa m e lato l. La lamina è vincolata nei suoi vertici P e Q a scorrere sulla guida verticale y Q P F M,2l liscia y. Sul vertice della lamina collocato sotto il punto agisce una forza verticale F. Sia θ l angolo formato dall asta con la guida orizzontale, come in figura. 1. Determinare, in funzione di θ, il valore di F che consente all asta di ruotare con velocità angolare costante pari a ω o. 2. Determinare, nelle stesse ipotesi del punto precedente, la reazione vincolare agente in. ϑ Il sistema di figura è in un piano ver- y ticale. Il disco di massa m e raggio R rotola senza strisciare sull asta di lunghezza k l e uguale massa m che si appoggia senza attrito nei suoi due estremi ad una parete orizzontale. Una molla di costante elastica k collega il centro del disco a una parete verticale fissa. Le due estremità della molla sono poste alla stessa altezza. Usando come coordinate libere l ascissa dell estremo dell asta e l ascissa del centro del disco: 1. Scrivere l energia cinetica del sistema e il potenziale delle forze attive. 2. Scrivere le equazioni di Lagrange del sistema. 3. Determinare il moto del sistema. ll istante iniziale il sistema è in quiete con = 0, = l/2. 4. Determinare in funzione del tempo le reazioni vincolari scambiate tra il disco e l asta.
Prova intermedia del 5 febbraio 2013 Stabilità e piccole oscillazioni Il sistema di figura è in un piano verticale. Letreastesonoomogeneeehannougualemassa melunghezzal. LeduecernierefisseeC sono poste alla stessa quota a distanza l. Determinare la forza orizzontale F che mantiene l equilibrio con θ = π/6 e il periodo delle piccole oscillazioni intorno ad esso. θ C F Equazioni di Lagrange Il sistema di figura è in un piano ver- y ticale. Il disco di massa m e raggio R rotola senza strisciare sull asta di lunghezza k l e uguale massa m che si appoggia senza attrito nei suoi due estremi ad una parete orizzontale. Una molla di costante elastica k collega il centro del disco a una parete verticale fissa. Le due estremità della molla sono poste alla stessa altezza. Usando come coordinate libere l ascissa dell estremo dell asta e l ascissa del centro del disco: 1. Scrivere l energia cinetica del sistema e il potenziale delle forze attive. 2. Scrivere le equazioni di Lagrange del sistema. 3. Determinare il moto del sistema. ll istante iniziale il sistema è in quiete con = 0, = l/2.
Prova scritta del 26 giugno 2013 y C M,4R M,R Il sistema di figura è posto in un piano verticale. I due dischi di centri e sono omogenei di raggio R e masse rispettivamente M e m e rotolano senza strisciare sulle guide rispettivamente orizzontale e verticale. L asta omogenea di massa M e lunghezza 4R ha gli estremi incernierati nei centri dei due dischi. Usando come coordinata libera l angolo di inclinazione dell asta sull orizzontale: 1) Determinare la coppia C(t) da applicare sul disco di centro affinché l asta si muova con velocità angolare ω 0 costante assegnata. 2) In tale situazione determinare in funzione del tempo le reazioni vincolari esterne. Inunpianoverticaleundi- y K sco omogeneo di massa M e M,R raggio R ruota intorno al proprio centro C ed è appoggia- P(m) C to con vincolo di puro rotolamento su un carrello di massa k m m che scorre con vincolo liscio sull asse orizzontale. Un filo inestendibile di massa trascurabile si avvolge senza strisciare sul disco, passa per la carrucola fissa e liscia di raggio trascurabile e reca al suo estremo un punto materiale P di massa m. Il tratto P del filo è verticale mentre il tratto K è orizzontale. Una molla orizzontale di costante elastica k assegnata collega il carrello all asse y. Usando come coordinata libera la lunghezza della molla determinare la posizione di equilibrio del sistema e il periodo delle piccole oscillazioni intorno ad esso.
Prova scritta del 10 luglio 2013 Il sistema di figura è in un k 2m,2R piano verticale. I due dischi sono omogenei e rotolano senza strisciare sulle guide orizzontali. Le sommità dei dischi sono alla stessa quota. I due fili attaccati alle estremità della molla di costante elastica k si avvolgono senza P(m) strisciare sui due dischi e hanno i tratti liberi orizzontali. Un terzo filo è attaccato al centro del disco di centro, passa per il piolo liscio e reca al suo altro estremo un punto materiale P di massa m. I tratti liberi del filo sono rispettivamente orizzontale e verticale. Tutti i fili sono inestendibili e di massa trascurabile. Usando come coordinate libere la lunghezza della molla e l ascissa del centro del disco di centro : 1. Determinare l energia cinetica del sistema e il potenziale delle forze attive. 2. Determinare le equazioni di Lagrange del sistema. 3. Risolvere il moto del sistema a partire dalla condizione iniziale di quiete e con la molla di lunghezza nulla. Il sistema di figura, posto in un piano verticale, è costituito da un disco di massa m e raggio R e da un asta di massa m e lunghezza 4R, saldata lungo un diametro del disco con un estremo sulla C sua circonferenza. Il disco rotola senza strisciare su una guida orizzontale fissa. Usando come coordinata libera l angolo che l asta forma con la direzione verticale: 1. Determinare la coppia C(t) da applicare al disco affinchè il sistema si muova con velocità angolare ω 0 costante assegnata. 2. In tale situazione determinare in funzione del tempo le reazioni vincolari esercitate dalla guida orizzontale sul disco. m,4r
Prova scritta del 10 settembre 2013 In un piano verticale, una la- y l mina quadrata di lato l e massa 2m ha il lato CD scorrevole senza attrito lungo una guida oriz- 2m M θ zontale. lla lamina è applicata F una forza orizzontale F. Un asta omogenea di lunghezza l C D e massa m ha l estremo incernierato in un vertice della lamina. ll asta è applicata una coppia di momento M. Usando come coordinate libere l ascissa dell estremo C della lamina e l angolo di rotazione θ dell asta, determinare i valori di F e M che consentono alla lamina di traslare con velocità costante pari a v 0 e all asta di ruotare con velocità angolare costante pari a ω 0. Il sistema di figura, posto in un piano vertica- le, è costituito da un asta omogenea di massa m θ e lunghezza l e da una molla di costante elastica k. L asta è vincolata mediante una cerniera fissata nel suo estremo. La molla viene attaccata all estremità dell asta ed è mantenuta sempre verticale con la sua altra estremità alla stessa quota di. k Usando come coordinata libera l angolo θ di inclinazione dell asta: 1. Determinare la posizione di equilibrio stabile con θ 0. 2. Determinare il periodo delle piccole oscillazioni intorno alla posizione di equilibrio trovata nel punto precedente.
Prova scritta del 23 settembre 2013 In un piano verticale un disco omogeneo di massa m e raggio R rotola senza strisciare lungo una guida inclinata di un angolo k α. Un filo inestendibile di massa trascurabile si avvolge senza strisciare sul disco, ha un primo tratto libero inclinato di α, si appoggia sulla carrucola fissa e liscia e ha un secondo tratto libero orizzontale; il filo viene attaccato nel suo estremo ad una molla orizzontale di costante elastica k. L altra estremità della molla è fissata ad una parete α verticale. Scegliendo come coordinata libera la lunghezza della molla: 1. Determinare una equazione differenziale di moto per la coordinata libera. 2. Risolvere l equazione differenziale ponendo inizialmente il sistema in quiete con la molla di lunghezza nulla. 3. Determinare in funzione del tempo le reazioni vincolari della guida sul disco. Inunpianoverticaleundisco,omom,r geneo di massa m e raggio r, rotola senza strisciare su una guida orizzontale y C fissa ed è appoggiato senza attri- 2m,2r to ad una lamina quadrata, omogenea di massa 2m e raggio 2r, che a sua volta scorre senza attrito sulla guida orizzontale. Sul disco è applicata una coppia oraria C. Si determini: 1. il valore di C necessario affinchè la lamina quadrata trasli con moto uniformemente accelerato, con accelerazione pari a a 0 ; 2. l azione del disco sulla lamina quadrata durante il moto.