Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013 Crema e-mail: liberali@dti.unimi.it http://www.dti.unimi.it/ liberali Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 1 Numeri complessi (1/5) Un numero complesso è un numero che può essere scritto nella forma: z = x + jy con x,y R e j = 1. Il numero j viene chiamato unità immaginaria. (In fisica e in matematica solitamente l unità immaginaria è indicata con i, ma in elettronica il simbolo i è usato per l intensità di corrente.) L insieme dei numeri complessi è un campo C in cui valgono tutte le proprietà delle operazioni con i numeri reali. Inoltre:..., j 1 = j, j 0 = 1, j 1 = j, j 2 = 1, j 3 = j, j 4 = 1,... Le potenze del numero j sono cicliche. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 2 1
Numeri complessi (2/5) Il coniugato del numero complesso z = x + jy è il numero: z = x jy La somma e il prodotto di due numeri complessi coniugati danno come risultato numeri reali: z + z = (x + jy) + (x jy) = 2x z z = (x + jy) (x jy) = x 2 ( jy) 2 = x 2 + y 2 Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 3 Numeri complessi (3/5) Poiché ogni numero complesso z = x + jy corrisponde ad una coppia di numeri reali (x,y), i numeri complessi possono essere rappresentati su un piano (piano di Argand). y = Im(z) y z x x = Re(z) Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 4 2
Numeri complessi (4/5) In modo analogo alla trasformazione da coordinate cartesiane a coordinate polari, si definisce la forma polare di un numero complesso: z = r e jϑ con r = x 2 + y 2 (modulo) e ϑ = arctan y x (fase) y z r θ x Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 5 Numeri complessi (5/5) Nella relazione che esprime la fase ϑ = arctan y x la funzione arcotangente deve essere intesa a quattro quadranti, tenendo conto separatamente dei segni di x e y: π < ϑ π 2 per x 0,y < 0 (III quadrante) π 2 < ϑ 0 per x > 0,y 0 (IV quadrante) 0 < ϑ π 2 π 2 per x 0,y > 0 (I quadrante) < ϑ π per x < 0,y 0 (II quadrante) La definizione corrisponde alla funzione atan2(y,x) del linguaggio C. Ovviamente, arctan 0 0 è indeterminato. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 6 3
Funzioni trigonometriche ed esponenziale Usando i numeri complessi, è possibile scrivere la funzione esponenziale come combinazione delle funzioni seno e coseno, e viceversa: e jϑ = cosϑ + j sinϑ cosϑ = e jϑ + e jϑ 2 sinϑ = e jϑ e jϑ 2 j Nel dominio complesso, la funzione e z è periodica, con periodo j2π. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 7 La funzione delta di Dirac (1/3) Consideriamo la funzione (reale, di variabile reale): x(t) = 1 T rect t T = { 1T se T 2 t T 2 0 altrove 1/T x -T/2 0 T/2 t L area sottesa dal grafico di x(t) è: x(t) dt = 1 T T = 1 Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 8 4
La funzione delta di Dirac (2/3) Per T 0, la funzione x(t) = 1 T rect t T = { 1T se T 2 t T 2 0 altrove tende a coincidere con l asse verticale, mantenendo tuttavia un area unitaria. Definiamo la funzione delta di Dirac δ(t) come il limite della funzione rettangolo per T 0: 1 δ(t) = lim T 0 T rect t T Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 9 La funzione delta di Dirac (3/3) La delta di Dirac δ(t) non è una funzione in senso classico, perché, pur essendo nulla per ogni t 0, il suo integrale è: δ(t) dt = 1 x 1 δ(t) 0 t Dimensionalmente, la funzione delta di Dirac δ(t) è l inverso di un tempo. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 10 5
La funzione gradino di Heaviside (1/2) L integrale tra e t della funzione delta di Dirac è la funzione gradino unitario di Heaviside u(t): { t 0, per t < 0 u(t) = δ(t) dt = 1, per t > 0 x 1 u(t) 0 t Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 11 La funzione gradino di Heaviside (2/2) Viceversa, la delta di Dirac è la derivata del gradino: δ(t) = du(t) dt L introduzione della delta di Dirac permette di esprimere matematicamente anche le derivate di funzioni discontinue. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 12 6
Frequenza di un segnale periodico Un segnale è periodico quando si ripete identicamente dopo un intervallo di tempo T, detto periodo: x(t + T ) = x(t), t L inverso del periodo è la frequenza: f = 1 T Dimensionalmente, la frequenza è l inverso di un tempo e si misura in hertz (Hz). Per un moto rotatorio, la frequenza f è legata alla velocità angolare ω dalla relazione: ω = 2π f. La velocità angolare si misura in radianti al secondo (rad/s). Poiché l angolo giro è pari a 2π rad, risulta: 1 Hz = 1 giro/s = 2π rad/s. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 13 Segnali periodici e serie di Fourier (1/3) Ogni segnale x(t) periodico con periodo T = 1 f 0 può essere espresso come serie di Fourier: dove x(t) = 1 2 a 0 + k=1 (a k cos2kπ f 0 t + b k sin2kπ f 0 t) a k = 2 T b k = 2 T T 2 T 2 T 2 T 2 x(t)cos2kπ f 0 t dt x(t)sin2kπ f 0 t dt Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 14 7
Segnali periodici e serie di Fourier (2/3) Ricordando la relazione tra seno, coseno ed esponenziale, la serie di Fourier può essere scritta in forma complessa: dove x(t) = c k e j2kπ f 0t k= c k = c k = 1 2 (a k jb k ) = 1 T T 2 T 2 x(t) e j2kπ f 0t dt I termini a k,b k e c k sono detti coefficienti di Fourier. Ovviamente, a k,b k R, mentre c k C. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 15 Segnali periodici e serie di Fourier (3/3) La serie di Fourier permette di esprimere una funzione periodica attraverso un numero discreto di parametri, che sono le ampiezze delle componenti cosinusoidali (a k ) e sinusoidali (b k ) alla frequenza fondamentale ( f 0 ) e alle frequenze multiple (k f 0 ). Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 16 8
Esempio: onda triangolare 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 17 Serie di Fourier per l onda triangolare Coefficienti di Fourier b k (parte sinusoidale): 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 I coefficienti tendono rapidamente a zero all aumentare di k di solito bastano pochi coefficienti per avere una buona approssimazione. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 18 9
Onda quadra e effetto Gibbs 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 19 Serie di Fourier per l onda quadra Coefficienti di Fourier b k (parte sinusoidale): 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Il gradino contiene componenti a TUTTE le frequenze, e i coefficienti tendono a zero lentamente all aumentare di k qualsiasi approssimazione presenta una sovraelongazione nei punti di discontinuità (effetto Gibbs). Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 20 10
Trasformata di Fourier (1/5) La serie di Fourier è definita solo per segnali periodici. Tuttavia, la somma di due funzioni periodiche può essere non periodica: ad esempio x(t) = sin2π f 1 t + sin2π 2 f 1 t non è periodica pur essendo una combinazione lineare di funzioni periodiche, una con frequenza fondamentale f 1 e l altra con frequenza fondamentale 2 f 1. Una funzione come x(t), non periodica ma ottenuta come combinazione di due funzioni periodiche, è detta 2-periodica. Quindi non sempre si può scrivere sotto forma di serie di Fourier la funzione ottenuta dalla somma di funzioni esprimibili come serie di Fourier. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 21 Trasformata di Fourier (2/5) Un segnale non periodico può essere considerato come un segnale periodico avente T, e di f 0 0. Con questo espediente, l analisi di Fourier può essere generalizzata al caso non periodico, sostituendo la sommatoria con l integrale: X( f ) = F (x(t)) = x(t) e j2π ft dt Questa è la definizione della trasformata di Fourier, ed è valida per tutti quei segnali x(t) per cui l integrale al secondo membro esiste. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 22 11
Trasformata di Fourier (3/5) X( f ) = F (x(t)) = x(t) e j2π ft dt x(t) è una funzione del tempo t, X( f ) è una funzione della frequenza f. Indichiamo con F l operatore che trasforma x(t) in X( f ): x(t) F X( f ) Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 23 Trasformata di Fourier (4/5) Dalla funzione X( f ) si ottiene ancora x(t) per mezzo dell antitrasformata di Fourier: x(t) = F 1 (X( f )) = X( f ) e j2π ft d f Trasformata e antitrasformata di Fourier coincidono (tranne che per il segno meno nell esponenziale) e possiamo parlare di coppie di trasformate di Fourier, denotandole nel modo seguente: o, più semplicemente: x(t) F X( f ) F 1 x(t) X( f ) Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 24 12
Trasformata di Fourier (5/5) Nota: alcuni testi definiscono la trasformata di Fourier come l operatore che trasforma una funzione del tempo t in una funzione della frequenza angolare (o velocità angolare) ω = 2π f. Con questa definizione, la trasformata è: X(ω) = F (x(t)) = mentre l antitrasformata è: x(t) = F 1 (X(ω)) = 1 2π Nel seguito, useremo sempre X( f ). x(t) e jωt dt X(ω) e jωt dω Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 25 Trasformata di Fourier: proprietà (1/3) Linearità: x 1 (t) + x 2 (t) X 1 ( f ) + X 2 ( f ) kx(t) kx( f ) Cambio di scala: x(kt) 1 ( ) f k X k Traslazione nel tempo: x(t +t 0 ) e j2π ft 0 X( f ) Traslazione in frequenza (o modulazione): e j2π f0t x(t) X( f + f 0 ) Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 26 13
Trasformata di Fourier: proprietà (2/3) Moltiplicazione e convoluzione: x 1 (t) x 2 (t) X 1 ( f ) X 2 ( f ) x 1 (t) x 2 (t) X 1 ( f ) X 2 ( f ) L operazione di convoluzione tra due segnali è definita come: x 1 (t) x 2 (t) = x 1 (τ) x 2 (t τ) dτ = x 1 (t τ) x 2 (τ) dτ Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 27 Trasformata di Fourier: proprietà (3/3) Derivazione: Integrazione: x (t) j2π f X( f ) x(t) dt 1 j2π f X( f ) Le due ultime relazioni permettono di trasformare un equazione differenziale o integrale nel dominio del tempo in un equazione algebrica nel dominio della frequenza. La trasformata di Fourier di una funzione reale e pari è reale e pari; la trasformata di Fourier di una funzione reale e dispari è immaginaria e dispari. Elettronica II Segnali periodici; serie di Fourier; trasformata di Fourier p. 28 14