Elemeti di Matematica Fiaziaria per l Estimo Paolo Rosato Dipartimeto di Igegeria Civile e Architettura Piazzale Europa 1-34127 Trieste. Italia Tel: +39-040-5583569. Fax: +39-040-55835 80 E-mail: paolo.rosato@dia.uits.it 1
La matematica fiaziaria La matematica fiaziaria forisce gli strumeti ecessari per: Cofrotare fatti fiaziari che avvegoo i mometi diversi; Stimare il valor capitale di flussi di redditi futuri; Stimare l ammotare di redite; Determiare l ammotare di rate di mutui; Stimare l ammotare di iteressi su debito; Ecc. 2
Le prestazioi fiaziarie Le prestazioi fiaziarie soo rappresetate da flussi di costo e di ricavo. Perché ua prestazioe fiaziaria sia defiita uivocamete dobbiamo cooscere: l ammotare; la scadeza. 3
L iteresse L iteresse è il prezzo d uso del capitale. Il saggio (tasso) d iteresse (r) può essere espresso i termii percetuali (r = 5%) o i termii uitari (r = 0,05). L iteresse uitario è l iteresse maturato da ua uità di moeta i ua uità di tempo (ao). Il saggio di iteresse è direttamete proporzioale al rischio (ad u rischio maggiore corrispode u maggiore tasso di iteresse). 4
Il motate Il motate è la somma del capitale e dei relativi iteressi. Il motate uitario (q) è la somma fra u capitale pari a 1 e degli iteressi maturati i u ao: M = C 0 + C 0 r = C 0 (1 + r ) = C 0 q ( es. r = 0,05 q = 1,05). 5
Iteresse semplice e composto L iteresse semplice gli iteressi maturati o maturao a loro volta altri iteressi (ella pratica si usa quado si cosidera u periodo di tempo uguale o iferiore ad 1 ao o quado è previsto per legge). L iteresse composto gli iteressi maturati maturao a loro volta altri iteressi (si usa quado si cosidera u periodo di tempo superiore ad 1 ao). 6
Iteresse semplice: periodo uguale all ao Iteresse Motate Valore scotato I = C 0 r M = C 0 q C 0 = M / q La somma di 1.000 Euro viee depositata i baca all iteresse del 5%. Si vuol cooscere l ammotare: a) degli iteressi dopo u ao; b) del motate dopo u ao. I = C 0 r = 1.000 0,05 = 50 Euro M = C 0 + I = C 0 (1+r) = C 0 q = 1.000 1.05 = 1.050 Euro 7
Iteresse semplice: periodo iferiore all ao La durata viee idicata come frazioe di ao: = gg/365 Iteresse I = C 0 r Motate M = C 0 (1 + r ) Valore scotato C 0 = M / (1 + r ) La somma di 1.000 Euro viee depositata i baca per 90 giori all iteresse del 5%. Si vuol cooscere l ammotare: a) degli iteressi; b) del motate. I = C 0 r = 1.000 0,05 (90 / 365) = 12,39 Euro. M = C 0 + C 0 r = C 0 (1 + r ) = 1.012,39 Euro. 8
Motate M C C 0.r I C 0 C 0.r 0 1 2 t M C C C r C 1 o 0 0 r 9
Scoto V C D C 0 0 1 2 t V C 0 C 1 r 10
Scoto Regime di iteresse semplice 1,2 V 1 0,8 0,6 r = 4 % r = 6 % r = 8 % 0,4 0,2 0 0 5 10 15 20 25 30 t 11
Iteresse composto: la determiazioe del motate dopo ai: Dopo 1 ao: C 1 = C 0 + C 0 r = C 0 (1+r) Dopo 2 ai: C 2 = C 1 + C 1 r = C 1 (1+r) C 2 = C 0 (1+r) (1+r) C 2 = C 0 q 2 Quidi: C = C 0 q C 0 C 1 C 2... C 0 1 2... 12
Iteresse composto: esempio A quato ammoterà, tra 10 ai (), il capitale di 1.000 Euro (C 0 ) ivestito i titoli al saggio del 5%? M = C 0 q 1.000 1,05 10 = 1.629 Euro. Se l iteresse o fosse composto, cioè se gli iteressi o maturassero altri iteressi, il motate sarebbe iferiore: 1.500 Euro. 13
Motate M C C 0.r C m.r I C 0 0 1 2 m t M = f ( t ) Fig. 3 i regime di iteresse composto C C (1 r) 0 M C C0 q 14
Scoto V C C.d C m.d D C 0 0 1 2 m t V C 0 C 1 r C q C q 15
Cofroto M M = C.e r. M = C.( 1+r ) M = C.(1+r.) C = 1 V = C.(1+r.) -1 V = C.( 1+r ) - V V = C.e -r. 0 1 Fig. 7 cofroto fra regimi di posticipazioe M = f(t) e fra regimi di aticipazioe V = f(t) t 16
Tasso Auo Nomiale e Tasso Auo Effettivo 17
Iteresse k TAN TAE auale 1 0,06 0,06000 semestrale 2 0,06 0,06090 trimestrale 4 0,06 0,06136 mesile 12 0,06 0,06168 gioraliero 365 0,06 0,06183 istataeo + 0,06 0,06183 18
Cofroto M C 0.e r. C 0.q I I (e r. ) C 0 0 1 2 t Fig. 9 M = f ( t ) Cofroto i regime di iteresse composto 19
Cofroto V C D ( e -d. ) D C 0 0 1 2 t Fig. 10 V = f ( t ) Cofroto i regime di iteresse composto 20
Spostameto di capitali el tempo No è possibile addizioare, sottrarre o cofrotare tra loro valori differiti el tempo, se prima o soo riportati allo stesso mometo. E ecessario idividuare le formule che cosetoo di aticipare o di posticipare ciascu valore. U valore spostato el futuro si trasforma i motate, spostato el passato si trasforma i valore scotato. 21
Periodi iferiori o uguali all ao Coefficiete di posticipazioe: (1 + r ) Coefficiete di aticipazioe: 1/(1+r) C 0 Posticipo (1 + r ) M 0 1 / (1 + r ) Aticipo 22
Esercizio Il caoe auo del vostro appartameto è suddiviso i due rate aticipate di 6.000 Euro ciascua. A quato ammota l affitto percepito dal proprietario, riferito a fie ao? Sia r = 5%. Posticipo (1 + r ) 6.000 6.000 0 0 6 mesi 12 mesi Ca = 6.000 (1+ 0.05) + 6.000 (1+0.05 1/2) = 6.000 1.05 + 6.000 (1.025) = 12.450 23
Periodi superiori all ao Coefficiete di posticipazioe: q Coefficiete di aticipazioe: 1/q C 0 0 Posticipo q 1 / q Aticipo M 24
Esercizio Comperate u uovo computer che pagate i 2 rate da 2.000 Euro: la prima subito, la secoda fra due ai. Quato costa il computer al mometo attuale (r = 6 %)? Aticipo 1 / q 2 2.000 0 2.000 0 1 2 2.000 + 2.000 1 / 1.06 2 = 3.780 Euro 25
U milioe di Euro tra ai scotato ad oggi All aumetare del tempo e/o del saggio dimiuisce il valore Saggio 1 ao 2 ai 3 ai 10 ai 20 ai 1% 990.099 980.296 970.590 905.287 819.544 2% 980.392 961.169 942.322 820.348 672.971 3% 970.874 942.596 915.142 744.094 553.676 4% 961.538 924.556 888.996 675.564 456.387 5% 952.381 907.029 863.838 613.913 376.889 6% 943.396 889.996 839.619 558.395 311.805 7% 934.579 873.439 816.298 508.349 258.419 8% 925.926 857.339 793.832 463.193 214.548 9% 917.431 841.680 772.183 422.411 178.431 10% 909.091 826.446 751.315 385.543 148.644 26
Valore e tasso di scoto Valore attuale di 1 milioe collocato tra vet'ai 1.000.000 Valo re attu ale 800.000 600.000 400.000 200.000-1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Saggio 27
Posticipazioe di capitali Regime Motate M=f(t) per t(0,) Scidibilità Iteresse semplice C C 1 0 r o Iteresse composto C C 1 r 0 si Fiaziario istataeo d=r=cost C C 0 e r si 28
Aticipazioe di capitali Regime Valore scotato M=f(t) per t(0,) Scidibilità Iteresse semplice Iteresse composto Fiaziario istataeo d=r=cost C C 0 C 0 0 C 1 r C 1 r C e d o si si 29
Le aualità Le aualità (a) soo quelle prestazioi fiaziarie che si verificao ad itervalli auali. Le aualità soo classificate i: posticipate o aticipate, i base alla scadeza di ciascua aualità, rispettivamete alla fie o all iizio dell ao; costati o variabili, i base all ammotare di ciascua aualità; limitate o illimitate, i base alla durata complessiva della serie di prestazioi. 30
Aualità variabili e limitate a 0 a 1 a 2... a A 0 A Gli strumeti dispoibili: coefficieti di aticipazioe e posticipazioe. Le accumulazioi iiziale e fiale assumoo rispettivamete la forma: A 0 = a 0 + a 1 / q + a 2 / q 2 + a / q A = a 0 q + a 1 q -1 +... + a A 0 = A / q A = A 0 q 31
Aualità costati, posticipate, limitate A 0 A a a.. a 0 1 2.. Accumulazioe fiale: A a q 1 r Accumulazioe iiziale: A 0 a q 1 rq Accumulazioe itermedia: A m = A 0 q m = A / q -m 32
Aualità costati, aticipate, limitate A 0 a a a a A 0 1 2-1 Accumulazioe fiale: A aq q 1 r Accumulazioe iiziale: A 0 aq q 1 rq Accumulazioe itermedia: A m = A 0 q m = A / q -m 33
Aualità costati e illimitate A 0 a a.. 0 1 2.. ifiito Trattadosi di aualità illimitate: Posticipate: Aticipate: A A 0 a r aq r 0 Accumulazioe itermedia: A m = A 0 q m q 1 lim rq 1 r 34
Aualità periodiche costati illimitate C C = 33,33 r = 0,03 C = 1 / r C = q -1/r.q C = 20 r = 0,03 r = 0,05 r = 0,05 C = 1 / r C = q -1/r.q 0 10 20 50 70 90 100 120 Fig. 14 Cofroto fra: C = a / r e C = a.(q -1)/(r.q ) per a = 1 35
Le periodicità (o poliaualità) Le periodicità o poliaualità (P) soo prestazioi fiaziarie che si ripetoo ad itervalli regolari (), multipli dell ao. P P... P 0 2 3 t 36
Aualità variabili 0 m Fig. 18 37
Periodicità (Poliaualità) m P +m 2 P t P h k h 0 m +m 2 (t-1) t Fig. 20 38
Periodicità costati, posticipate, limitate A 0 A t P P... P 0 2... t Accumulazioe fiale: A t P q q t 1 1 Accumulazioe iiziale: A 0 P t q 1 q 1 q t 39
Periodicità costati, aticipate, limitate A 0 P P P P A t 0 2 (t-1) t Accumulazioe fiale: A t Pq q q t 1 1 Accumulazioe iiziale: A 0 Pq t q 1 q 1 q t 40
Periodicità costati, posticipate, illimitate Trattadosi di periodicità illimitate: lim t q t 1 1 1 t q q q 1 Posticipate: A 0 P q 1 Aticipate: A 0 Pq q 1 Accumulazioe itermedia: A m = A 0 q m 41
Trasformazioe di periodicità (P) i aualità (a) P P... P 0 2... t r a P q 1 42
Reitegrazioe La quota di reitegrazioe (Q re ) è quell aualità costate e posticipata che viee accumulata per u certo umero di ai allo scopo di costituire/riovare u capitale Q re ( V i V f ) q r 1 Prevededo di dover ristrutturare u fabbricato tra dieci ai, sosteedo ua spesa di Euro 100.000, si vuol cooscere la somma aua posticipata da accatoare al saggio del 5%. 3 0,05 Q re 100 10 100.000 0,0795 7. 950 10 1,05 1 E 43
Esercizio U immobile di civile abitazioe richiede, per poter forire u reddito costate, le segueti spese periodiche : a) spese per titeggiatura ogi 5ai (15 /mq); b) spese per riovo impiati ogi 25 ai (150 /mq); c) spese per ristrutturazioe itera ogi 80 ai (1000 /mq). Calcolare la quota aua relativa alle suddette spese. 15 r r r Qa 150 1000 5 25 q 1 q 1 q 80 1 44
Ammortameto La quota di ammortameto (Q am ) è quell aualità costate, posticipata e limitata che deve essere corrisposta per estiguere u debito cotratto iizialmete Q am D i rq q 1 La Q am può essere disaggregata i due distite compoeti: quota capitale (Q c ); quota iteressi (Q i ). 45
Esercizio Si costruisca il piao di ammortameto di u debito di E. 10.000 da estiguere i tre ai al saggio del 10%, co rate aue, costati e posticipate. Q am D i r q q 1 10.000 0,4021 4.021 Ao Rata Quota capitale Quota iteressi Debito estito Debito residuo 0 - - - - 10,000 1 4,021 3,021 1,000 3,021 6,979 2 4,021 3,323 698 6,344 3,656 3 4,021 3,656 365 10,000 0 46
Esercizio A La situazioe fiaziaria di u impresa è la seguete: - 11.000 da icassare fra u mese; - 40.000 da versare fra sei mesi; - 20.000 da restituire fra due ai. Assumedo u tasso di iteresse pari al 6 % auo, calcolare: - l idebitameto totale all attualità; - la rata semestrale posticipata che estigue il debito i sette ai. Idebitameto: A 11.000 1 1 0,06 12 40.000 6 1 0,06 12 20.000 2 1,06 0 45.689,61 47
Covertibilità semestrale: Esercizio A Q as 0,03 1,03 45.689,61 14 1,03 1 14 4044,65 Covertibilità aua: Q aa 0,06 1,06 45.689,61 7 1,06 1 7 8186.71 Q as Q as 6 1 0,06 Q aa 12 8186.71 Q as 8186.71 2,03 4032,86 48
Esercizio B La costruzioe di u complesso immobiliare richiede i segueti esborsi: - 3 ml di da versare subito; - 5 ml di all ao da versare per i prossimi 3 ai; - 4 ml di da versare fra 4 ai. Assumedo u tasso di iteresse pari al 6 %, calcolare la rata aua posticipata del mutuo deceale che fiazia la costruzioe. Fabbisogo fiaziario: A Quota ammortameto: 3 1,06 1 4 3 5 3 4 0,06 1,06 1,06 0 19,53 Q a 0,06 1,06 19,52 10 1,06 1 10 2,65 49
Esercizio C Compilare il piao di ammortameto trieale, co rate aue posticipate, di u mutuo pari a 15.000 al tasso di iteresse del 4 %. 0,04 1,04 15 3 1,04 1 Quota ammortameto:.000 5405, 23 Q a 3 Ao Qa Qi Qc De Dr 0 15000,00 1 5405,23 600,00 4805,23 4805,23 10194,77 2 5405,23 407,79 4997,44 9802,67 5197,33 3 5405,23 207,89 5197,33 15000,00 0,00 50
Esercizio D La mautezioe di u fabbricato richiede le segueti spese: - 2000 ogi 4 ai; - 100 ogi 6 mesi; - 6000 ogi 10 ai. Assumedo u tasso di iteresse pari al 10 %, calcolare la quota di mautezioe aua. Quota mautezioe: Q m 0,1 6 0,1 2000 100 100 1 0,1 6.000 10 1,1 1 12 1,1 1 4 1012,41 51
Alcui saggi di uso comue Saggio iteresse (r): Prezzi d uso (costo) dei capitali (posticipazioe) Saggio di scoto (d): Costo dell aticipazioe di u capitale (d=r/(1+r) Saggio di capitalizzazioe: Rapporto fra reddito e valore di u bee Saggio di iteresse legale (rl): Saggio fissato per orma co cui si regolao i rapporti (debiti/crediti) fra cittadio e pubblica ammiistrazioe (sl= Iflazioe + Redimeto medio titoli di stato (BOT) a 12 mesi Tasso ufficiale di riferimeto (TUR): Tasso al quale la BCE fiazia le bache per le operazioi pricipali EURIBOR: Europea Iterbak Offered Rate, tasso di rifiaziameto iterbacario a breve, riferimeto per i tassi praticati ei mutui a tasso variabile IRS: Iterest Rate Swap, tasso di riferimeto ei mutui a tasso fisso 52