Elementi di Risk Management Quantitativo

Elementi di Risk Management Quantitativo (marco.bee@economia.unitn.it) Marzo 2007 Indice 1 Introduzione 2 1.1 Argomenti e testi di riferimento................. 2 2 Nozioni preliminari 3 2.1 Un po di storia.......................... 3 2.2 Prezzi e rendimenti........................ 3 2.3 Distribuzione lognormale..................... 4 2.4 Capitalizzazione......................... 5 2.5 Sconto............................... 6 2.6 Il concetto di portafoglio..................... 6 2.7 Il Capital Asset Pricing Model................. 8 2.8 Relazione fra duration modificata e rischio........... 10 2.9 Il moto browniano........................ 10 2.10 Pricing di opzioni: il modello binomiale ad un periodo.... 11 2.11 Formula di Black & Scholes................... 16

1 Introduzione La disciplina del Risk Management può essere suddivisa in due branche correlate ma distinte: 1. il risk measurement ha lo scopo di fornire misure quantitative di rischio individuate tramite la modellazione e la stima delle proprietà statistiche dei portafogli, trattati come variabili casuali. Preliminarmente, è spesso necessario utilizzare tecniche di pricing per determinare i prezzi degli strumenti finanziari; 2. il risk management utilizza tali misure allo scopo di determinare l allocazione di capitale necessaria all istituzione finanziaria per coprirsi dai rischi. Dal punto di vista quantitativo, le tecniche utilizzate sono di tipo sia statistico (in quanto i portafogli sono variabili casuali di cui è necessario stimare i parametri) che matematico (strumenti di matematica finanziaria per prezzare le attività, metodi di ottimizzazione, ecc.) 1.1 Argomenti e testi di riferimento Argomenti trattati: Distribuzioni di perdita e misure di rischio; Rischi di mercato e operativi; Rischio di credito: probabilità di def ault, modelli di portafoglio. Testi di riferimento: Dispense del docente; McNeil, A.J., Frey, R. e Embrechts, P. (2005), Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton Series in Finance, Princeton, Princeton University Press;

(rischio di credito) Bluhm, C., Overbeck, L. e Wagner, C. (2002), An Introducion to Credit Risk Modeling, New York, Chapman and Hall; Sironi, A. (2005), Rischio e Valore nelle Banche, Milano, EGEA. 2 Nozioni preliminari 2.1 Un po di storia Prima del 1973 la finanza era affrontata con concetti e strumenti contabili (cioè aritmetici, o almeno non stocastici). Eccezioni: teoria del portafoglio di Markowitz; Capital Asset Pricing Model. La disciplina nasce con i lavori di Black & Scholes (1973) e Merton (1973). Essi sono i primi a determinare il prezzo di un derivato tramite il principio di non arbitraggio, ipotizzando una precisa evoluzione stocastica del sottostante. Da questo momento gli strumenti probabilistici assumono un ruolo di primo piano in finanza. 2.2 Prezzi e rendimenti Sia P t il prezzo di un attività finanziaria. La variazione percentuale di prezzo (rendimento netto) è data da Il rendimento lordo è dato da R t = P t P t 1 P t 1. R l t = P t P t 1. Infine, il rendimento logaritmico è dato da ( ) r t = ln(rt) l Pt = ln = ln(p t ) ln(p t 1 ) = p t p t 1. P t 1 Teorema 1 Il rendimento netto è un approssimazione lineare del rendimento logaritmico.

Dimostrazione. Si approssimi la funzione f(x) = ln(x) in un intorno di x 0 = 1 tramite la formula di Taylor troncata al primo termine: ln(x) = ln(x 0 ) + (x x 0 ) 1 + o(x x 0 ) 2 x 0 = (x 1) + o(x x 0 ) 2. Ponendo x = P t /P t 1 e trascurando il resto si ottiene ( ) Pt ln P t 1 = P t P t 1. P t 1 P t 1 P t 1 Teorema 2 Il rendimento logaritmico relativo a n periodi è dato da Dimostrazione. Esercizio. r n 0 = ln(p n /P 0 ) = r 1 0 + r 2 1 + + r n n 1. 2.3 Distribuzione lognormale P ha distribuzione lognormale di parametri µ e σ 2 se P = e r = e µ+σz, (1) dove Z N(0, 1) e quindi r N(µ, σ 2 ). Valore atteso e varianza della (1) sono dati da: σ2 µ+ E(P ) = e 2, var(p ) = e 2µ+2σ 2 e 2µ+σ2. (2) Perché è conveniente usare i rendimenti logaritmici? Principalmente per ragioni statistiche: i prezzi sono lognormali se e solo se i rendimenti logaritmici sono normali. Quando possibile, conviene sfruttare questa caratteristica per le procedure inferenziali e di simulazione. Si supponga infatti che i rendimenti logaritmici siano normali, assumendo per semplicità µ = 0: r t = σɛ t, ɛ t N(0, 1), t = 1,..., T. Poiché r t = ln(p t /P t 1 ) = ln(p t ) ln(p t 1 ) abbiamo p t = p t 1 + σɛ t, t = 1,..., T. (3)

µ= 1, σ=1 µ=0, σ=1 1.5 1 0.5 0 0 2 4 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 0.03 0.02 0.01 µ=3, σ=1 x 10 3 µ=15, σ=1 1.5 1 0.5 0 0 50 100 Figura 1: Distribuzione lognormale. 0 0 500 1000 1500 Quindi p t p t 1 N(p t 1, σ 2 ). Applicando la funzione esponenziale all equazione (3) si ottiene il modello per l evoluzione temporale dei prezzi: e p t = e p t 1+σɛ t, vale a dire P t = e p t 1 e σɛ t = P t 1 e σɛt t = 1,..., T, (4) che è una distribuzione lognormale di parametri p t 1 e σ 2. 2.4 Capitalizzazione Si supponga di investire x$ per n anni al tasso annuo R, con capitalizzazione solo alla fine dell anno. Allora il valore futuro dopo n anni è F V n = x(1 + R) n $.

Se la capitalizzazione ha luogo m volte all anno si ottiene: ( F V n = x 1 + m) R nm $. Quando m, otteniamo la capitalizzazione continua: ( F Vn c = lim x 1 + R nm $ = xe m m) Rn $. Osservazione. Passando dalla capitalizzazione annuale a quella continua, il valore futuro (sul medesimo orizzonte temporale) aumenta progressivamente. 2.5 Sconto Le corrispondenti formule di sconto sono: x = F V n (1 + R) n $; F V n x = ( ) 1 + R nm $; m x = F V c n e Rn $. 2.6 Il concetto di portafoglio Un portafoglio di N attività è costruito come segue. Sia r i,t+1 il rendimento logaritmico dell attività i nel periodo [t, t + 1). I pesi delle attività nel portafoglio sono w = (w 1,..., w N ). Sia r = (r 1,..., r N ) ; siano inoltre E(r) = µ; var(r) = Σ. Sia r w = w r il rendimento del portafoglio. La sua media e varianza sono E(r w ) = w µ def = µ w ; var(r w ) = w Σw def = σ 2 w. Esempio 1. Sia r N N (µ, Σ). Allora r w N(w µ, w Σw). Esempio 2 Il ruolo della correlazione ρ è essenziale nello studio della diversificazione di portafoglio. Sia L i Bin(1; π), i = 1,..., N l indicatore di def ault dell i-esima controparte. In altre parole, ogni controparte fallisce con la stessa probabilità π. Si supponga inoltre che α i = 1/N, i = 1,..., N

e che anche la correlazione sia uniforme: formalmente, cov(l i, L j ) = ρ (i, j = 1,..., N, i j). Allora la varianza di L ptf = (1/N) N i=1 L i è data da: var(l ptf ) = 1 N N N 2 var(l i ) + cov(l i, L j ) i=1 = 1 N N 2 π(1 π) + i=1 i,j=1 i j N ρπ(1 π) i,j=1 i j = 1 [Nπ(1 π) + N(N 1)ρπ(1 π)] (5) N 2 π(1 π) (N 1)ρπ(1 π) = + N N π(1 π) ρπ(1 π) = + ρπ(1 π), N N dove la (5) discende dal fatto che il numero di elementi di una matrice quadrata (N N) al di fuori della diagonale è pari a N 2 N. La varianza del portafoglio è dunque composta da tre addendi. Il primo ed il terzo tendono a zero all aumentare del numero di controparti; il secondo invece, non dipendendo da N, non può essere ridotto aumentando le dimensioni del portafoglio. Per questo motivo la quantità ρπ(1 π) è definita rischio non diversificabile. In definitiva si ha che lim (var(l ptf )) = ρπ(1 π). (6) N Da questo risultato si ricava che, quando le controparti sono correlate, per quanto si aumenti il numero delle controparti, non si può ridurre la varianza sotto una certa soglia. Dalla (6) emerge che la varianza asintotica del portafoglio è uguale a ρπ(1 π), che può assumere valori compresi fra 1 e +1. Ne risulterebbe dunque che la varianza asintotica, quando ρ < 0, è negativa. Questa conseguenza assurda può essere evitata se si impone che la matrice di covarianza sia definita positiva. Formalmente, si può dimostrare che, all aumentare di N, il range di valori ammissibili per il parametro ρ si restringe. Infatti la (6) è maggiore di

zero per ogni α IR N se e solo se cov( L) = Σ è definita positiva. Quando, come nel caso presente, Σ è data da 1 ρ ρ ρ ρ 1 ρ ρ Σ =......., ρ ρ 1 ρ ρ ρ ρ 1, il valore minimo di ρ per cui è definita positiva cresce al crescere di N. Più precisamente, è possibile dimostrare il seguente risultato. Proposizione 1 Sia X un vettore aleatorio N-dimensionale con E(X) = µ e cov(x) = Σ. Allora Σ è definita positiva (o, equivalentemente, cov(α X) = α Σα > 0 α R N ) se e solo se ρ > 1/(N 1). Ne segue che, per esempio, quando N = 2 la matrice è definita positiva per ρ > 1, quando N = 3 è definita positiva per ρ > 0.5, quando N = 3 è definita positiva per ρ > 0. 3, e così via. 2.7 Il Capital Asset Pricing Model Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) è un modello di equilibrio dei rendimenti delle attività finanziarie. Si può dimostrare, utilizzando un approccio à la Markowitz in cui le preferenze degli agenti operanti sul mercato siano del tipo media-varianza, che vale la seguente relazione. che ( ) σim µ i = r + (µ M r); E(R i ) = r + σ 2 M ( cov(ri, R M ) var(r M ) ) (µ M r), (7) dove r è il tasso di interesse risk-free e µ M e σm 2 sono rispettivamente il valore atteso e la varianza del rendimento del portafoglio di mercato, che è il portafoglio contenente tutte le attività rischiose presenti sul mercato. Il beta per l i-esima attività è dato da β i = cov(r i, R M ), var(r M )

cosicché il CAPM risulta essere µ i = r + β i (µ M r). (8) Sia ora rp i = β i (µ M r); allora il CAPM può essere riscritto come µ i = r + rp i, che dà una misura esplicita del premio al rischio. Il CAPM cambia il nostro concetto di rischio da σ i a β i. Per esempio, si consideri un attività incorrelata col mercato: il suo beta è uguale a 0, quindi, anche se la sua volatilità, misurata da σ, è molto alta, il suo rendimento, in equilibrio, sarà uguale al tasso di interesse risk-free, perché il suo rischio può essere completamente diversificato. In altre parole, il beta di un attività dà una misura del suo rischio non diversificabile. Risultati. 1. cov(ɛ i, R M ) = 0 [schema della dimostrazione: cov(ɛ i, r M ) = cov(r i β i r M, r M ) = cov(r i, r M ) β i σm 2 = σ im (σ im /σm 2 )σ2 M ) = 0]. 2. var(r i ) = βi 2σ2 M +σ2 ɛ i ; σm 2 è una misura del rischio sistematico, mentre è una misura del rischio specifico (o idiosincratico). Quest ultimo σ 2 ɛ i può essere ridotto (eliminato, asintoticamente) tramite diversificazione, cioè semplicemente aggiungendo altre attività al portafoglio. 3. L extra rendimento sull attività i-esima è collegato alla covarianza dei rendimenti fra l attività i ed il portafoglio di mercato. Un attività con beta uguale ad uno è, in media, rischiosa come il mercato; un attività con un beta maggiore di uno è, in media, più rischiosa del mercato; un attività con un beta minore di uno è, in media, meno rischiosa del mercato. In questa sede, più (meno) rischioso significa che l attività si muove più (meno) del mercato, cioè è un titolo aggressivo (difensivo). 4. La covarianza fra due attività è interamente determinata dai rispettivi

beta: cov(r i r, R j r) = cov(r i, R j ) = E(R i R j ) E(R i )E(R j ) = = E(β i (R M r)β j (R M r)) β i β j (µ M r) 2 = β i β j (E(R M r) 2 (µ M r) 2 ) = = β i β j (E(RM) 2 µ 2 M) = = β i β j σm 2 5. Tecnicamente, il CAPM è un modello fattoriale, in cui il fattore è R M. 2.8 Relazione fra duration modificata e rischio La duration di un titolo obbligazionario è la derivata prima della funzione prezzo-rendimento; essa è data dalla media ponderata delle scadenze di tutti i flussi di cassa: D = N i=1 t F C t/(1 + y) t, P dove F C sono i flussi di cassa (pagamento di cedole e rimborso del nominale) ed y è il tasso di rendimento effettivo a scadenza. Si definisce duration modificata la quantità DM = D/(1 + y). Si dimostra che vale la relazione Si ha dunque dp P dp P = DM dy. = DM dy r DM dy σ(r) DM σ(dy) 2.9 Il moto browniano Che ipotesi distribuzionali si adottano in tempo continuo? Normalmente si ipotizza che il prezzo del sottostante S t sia un moto browniano geometrico. Per arrivare a definirlo, è necessario iniziare dal moto browniano standard. Il moto browniano standard è un processo stocastico W t, t IR, definito dalle seguenti proprietà:

(i) W 0 = 0; (ii) W t W s N(0, t s). (iii) W t è funzione continua di t; (iv) se t 0 < t 1 < < t n, le v.c. indipendenti. W 0, W 1 W 0,..., W n W n 1 sono Il moto browniano geometrico è la soluzione dell equazione differenziale stocastica: ds t = µs t dt + σs t dw t, dove W t è un moto browniano standard. Si dimostra tramite la formula di Itô che il processo stocastico della variabile ln(s t ) è la soluzione dell equazione ) d ln(s t ) = (µ σ2 dt + σdw t. 2 Tale soluzione è data da S t = S 0 exp ) } {(µ σ2 t + σw t. (9) 2 Dalla (9) si ha che la distribuzione di (S t /S 0 ) S 0 è lognormale di parametri (µ σ 2 /2)t e σ 2 t. 2.10 Pricing di opzioni: il modello binomiale ad un periodo Un opzione è uno strumento finanziario che dà il diritto di comprare (opzione call) o vendere (opzione put) una quantità stabilita di una attività finanziaria (il sottostante) ad un prezzo prestabilito K (strike price) alla scadenza del contratto (opzione europea) o in qualsiasi momento tra l emissione e la scadenza (opzione americana). Il payoff a scadenza di una call è dato da max{s T K, 0}, quello di una put è dato da max{k S T, 0}. Le opzioni sono strumenti non lineari, nel senso che il loro prezzo reagisce in modo non proporzionale ad una variazione del prezzo del sottostante (che è la principale variabile che ne influenza il prezzo) e questa caratteristica è il motivo per cui prezzare questi strumenti è più difficile e richiede un approccio diverso rispetto, per esempio, ai bond; il metodo di pricing delle opzioni è noto come pricing by arbitrage.

Si supponga che esistano sul mercato solo due strumenti: un azione e un opzione call il cui sottostante è l azione; inoltre è disponibile un conto corrente il cui rendimento lordo (rendimento lordo risk-free) è indicato con r (se dunque il rendimento netto è uguale al 5%, r = 1.05). Infine, operiamo in tempo discreto, con due soli tempi, 0 e 1. Costruiamo, al tempo 0, un portafoglio ottenuto prendendo a prestito β 0 $ in contanti e comprando α 0 azioni del sottostante. Il valore iniziale di questo portafoglio è dato da Il sottostante al tempo T V 0 = β 0 + α 0 S 0. = 1 può assumere due soli prezzi, e la sua distribuzione di probabilità è di tipo bernoulliano: us 0 con prob. π S 1 = gs 0 con prob. 1 π, 0 < g < u. Data questa struttura di prezzo per il sottostante, in T = 1 anche l opzione può assumere esclusivamente due valori: C u = max{us 0 K, 0} con prob. π C 1 = C g = max{gs 0 K, 0} con prob. 1 π. Sulla base di queste sole informazioni, è possibile ricavare il prezzo dell opzione al tempo 0. A questo scopo, si considerino i due possibili valori del portafoglio al tempo 1: V u = us 0 α 0 + rβ 0 con prob. π V 1 = V g = gs 0 α 0 + rβ 0 con prob. 1 π. Scegliamo ora α 0 e β 0 in modo che le due equazioni seguenti siano simultaneamente soddisfatte: Si ricava facilmente us 0 α 0 + rβ 0 = C u gs 0 α 0 + rβ 0 = C g. (10) α 0 = C u C g (u g)s 0 def =, β 0 = uc g gc u (u g)r. (11)

Dunque il portafoglio costituito, in t = 0, da quote dell azione e β 0 $ ha, con certezza, lo stesso payoff dell opzione; ne segue che l opzione e il portafoglio devono avere lo stesso prezzo al tempo 0, cioè C 0 = V 0. Se così non fosse, sarebbe infatti possibile costruire un arbitraggio, cioè una strategia di trading che fornisce un profitto privo di rischio. Infatti, si ipotizzi che sia V 0 > C 0 : in questo caso un investitore potrebbe acquistare l opzione e vendere il portafoglio al tempo 0, con un introito pari a V 0 C 0 ; al tempo 1 il riacquisto del portafoglio al prezzo V 1 sarebbe esattamente compensato dalla vendita dell opzione. Svolgendo i calcoli (esercizio), si trova che il prezzo dell opzione al tempo 0 è dato da C 0 = S 0 + β 0 = 1 r dove π = (r g)/(u g). [( ) r g C u + u g ( ) ] u r C g u g = 1 r [π C u + (1 π )C g ] = 1 r E π (C 1), (12) La strategia di copertura (hedging strategy) corrispondente alle operazioni matematiche descritte in precedenza consiste nelle seguenti operazioni: si costruisce, al tempo 0, un portafoglio ottenuto prendendo a prestito β 0 $ in contanti, comprando α 0 azioni del sottostante e vendendo l opzione. Dunque, operazioni e relativi cashflow al tempo 0 sono come segue: vendo l opzione +C 0 prendo a prestito contanti +β 0 acquisto azioni α 0 S 0. (13) La strategia di copertura si conclude al tempo 1 nel modo seguente: rimborso l opzione C 1 rimborso il prestito β 0 r vendo le azioni α 0 S 1. (14) Sia nella (13) che nella (14) ovviamente bisogna sostituire i valori e β 0 ai valori α 0 e β 0.

Esempio. Siano r = 1, S 0 = 10, K = 15, 20 con prob. π S 1 = 7.5 con prob. 1 π. (15) Ne segue che 5 con prob. π C 1 = 0 con prob. 1 π. (16) Dunque, applicando la (11), si ricava = 0.4, β0 = 3$, V 0 = 3$ + 0.4 10$ = 1$ e π = 0.2. Al tempo 0, la strategia di copertura consiste in vendere l opzione, il cui prezzo è uguale a V 0 (= +1$), prendere a prestito 3$ e comprare 4$ di azioni. Al tempo 1 ci sono due possibilità: 1. S 1 = 20$. L opzione viene esercitata ( 5$); rimborso il prestito ( 3$), vendo le azioni (+0.4 20$ = +8$). Bilancio netto: 0$. 2. S 1 = 7.5. L opzione non viene esercitata (0$); rimborso il prestito ( 3$), vendo le azioni (+0.4 7.5$ = +3$). Bilancio netto: 0$.

Osservazioni. 1. La (12) non dipende dall avversione al rischio degli investitori, ma solo dal fatto che preferiscano più denaro a meno denaro (questa è condizione necessaria per eliminare possibilità di arbitraggio); 2. la (12) non dipende dalla probabilità π, che è ignota ma riguardo alla quale ogni investitore ha una propria opinione; tale opinione è dunque irrilevante per la determinazione del prezzo; 3. la (12) è il valore atteso scontato del payoff dell opzione, dove il valore atteso è calcolato rispetto alla pseudo probabilità π, denominata probabilità risk-neutral. Rispetto a questa misura di probabilità il rendimento del portafoglio di replica è uguale al rendimento risk-free in quanto ha rendimento certo (non dipende dal valore del sottostante al tempo 1); 4. la distribuzione di probabilità determinata da π = (r g)/(u g) nel modello binomiale ad un periodo è definita risk-neutral nel senso seguente. Si verifica (esercizio) che: E π (V 1 V 0 ) = rβ0 + π us 0 α0 + (1 π )gs 0 α0 = rβ0 + rα0s 0 = rv 0, (17) dove la penultima uguaglianza si ottiene sviluppando la quantità π us 0 α0 + (1 π )gs 0 α0, utilizzando π = (r g)/(u g). La (17) dice che il rendimento atteso dell investimento nel portafoglio di replica è uguale al rendimento risk-free; equivalentemente, non c è premio al rischio; 5. condizione necessaria affinché π identifichi una misura di probabilità è che g r u. Osservazioni. Dal modello binomiale ad un periodo emergono fondamentalmente due messaggi. 1. Una posizione nell opzione è strettamente equivalente ad una posizione nel sottostante; quindi un portafoglio contenente l opzione e un appropriata quantità ( ) del sottostante è localmente privo di

rischio (con l avverbio localmente si intende per piccole variazioni del prezzo del sottostante ); essendo tale portafoglio privo di rischio, il suo rendimento deve essere il rendimento risk-free. Un portafoglio di opzioni e di posizioni nei rispettivi sottostanti è detto -neutral. 2. Il prezzo dell opzione al tempo t < T può essere calcolato scontando al tasso risk-free il valore atteso del payoff a scadenza calcolato sulla base della probabilità risk neutral. 2.11 Formula di Black & Scholes In tempo continuo, il ragionamento precedente porta alla formula di Black & Scholes. Il prezzo di un opzione call alla scadenza è dato da C T = max(0, S T K), dove K è lo strike price. dei criteri del pricing risk-neutral, il prezzo è dato da Al tempo t < T, sulla base C t = e r(t t) E π [max(0, S T K)], (18) dove π è la probabilità risk-neutral e r è il tasso di interesse risk-free. Analogamente, il prezzo di una put alla scadenza è C T = max(0, K S T ); al tempo t < T si ottiene: C t = e r(t t) E π [max(0, K S T )]. Si dimostra che la (18) si può scrivere nella forma C t = S t Φ(d 1 ) Ke r(t t) Φ(d 2 ), dove S t è il prezzo dell azione sottostante, T è la data di scadenza, K è lo strike price e d 1 e d 2 sono definiti come segue: d 1 = ln(s t/k) + (r + σ 2 /2)(T t) σ T t d 2 = ln(s t/k) + (r σ 2 /2)(T t) σ = d 1 σ T t. T t In termini puramente intuitivi, in t < T, S t Φ(d 1 ) è il valore atteso, calcolato rispetto alla probabilità risk-neutral, di una v.c. discreta che vale S T se S T > K e 0 altrimenti. Il termine Φ(d 2 ) è invece la probabilità, sempre risk-neutral, che l opzione venga esercitata alla scadenza.

Si noti che il prezzo C t di un opzione è funzione di S t, r, σ: C t = f(s t, r, σ). Inoltre dipende, ma in modo deterministico, dal tempo a scadenza T t e dallo strike price K. Osservazioni. La formula di B&S vale sotto le seguenti ipotesi: (i) l evoluzione del prezzo in tempo continuo è un moto browniano; (ii) il tasso di interesse risk-free e la varianza σ 2 sono costanti; (iii) il mercato è perfetto (cioè le vendite allo scoperto sono ammesse, il mercato è sempre aperto, i costi di transazione sono nulli). Vale la pena di sottolineare esplicitamente che la formula è valida esclusivamente per opzioni di tipo europeo; per le opzioni americane ed esotiche il prezzo può essere determinato solo tramite metodi numerici, non in forma chiusa (eccezione: per un opzione call americana su un azione che non paga dividendi l esercizio anticipato rispetto alla scadenza non è mai conveniente; quindi il suo prezzo è identico a quello della corrispondente opzione europea e può essere ottenuto tramite la formula di B&S).