Circuiti a tempo discreto Raffaele Parisi

Università di Roma La Sapienza Laurea specialistica in Ingegneria Elettronica Circuiti a tempo discreto Raffaele Parisi Capitolo 7: Circuiti TD-LTI nel dominio delle trasformate Rappresentazioni nel dominio delle variabili z ed, osservazione delle proprietà tramite la regione di convergenza (ROC), filtri inversi, filtri FIR ed IIR nel dominio z, valutazione della risposta in frequenza dal diagramma poli-zeri, relazione tra risposta in ampiezza ed in fase, circuiti passa-tutto ed a fase minima, circuiti a fase lineare generalizzata. 1

RAPPRESENTAZIONE DI CIRCUITI LTI NEL DOMINIO DELLE TRASFORMATE x[n] Circuito TD-LTI y[n] y[ n] = h[ n]! x[ n] " Y ( z) = H ( z) X ( z) Funzione di trasferimento: H z ( ) = Y z ( ) X z ( ) Se x[n]=δ[n] allora y[n]=h[n] e H(z) è la trasformata della risposta impulsiva.

Risposta in frequenza (legame ω-z): Capitolo 7 ( j! ) = ( ) j H e H z! z= e e j!n Circuito TD-LTI H(e j! ) " e j!n ( j H e! )! Risposta in ampiezza ( j ) " H e!! d ( j! % H e ) " (! ) d! # ' & $ ( =! Risposta in fase Ritardo di gruppo j ( ) N.B. Gli effetti sul segnale rappresentati da H e! e ( j "H e! ) possono essere indesiderati. Si parla in questo caso di distorsione (d ampiezza e di fase). 3

Filtri ideali I filtri ideali (passa-basso, passa-alto, passa-banda e arrestabanda) hanno risposta in ampiezza costante e risposta in fase nulla nella banda di interesse. Tuttavia nella maggior parte dei casi si può accettare una fase lineare, che corrisponde ad un ritardo sul segnale in ingresso. Un circuito che introduce solo un ritardo sul segnale di ingresso ha risposta impulsiva: h [ n] =![ n " n ] e quindi risposta in frequenza: d d ( j! ) " j nd = H e e! d ( j H e! ) = 1 ( j! ) " H e = #! n d! (" ) = nd 4

Esempio: filtro passa-basso (con ritardo) Capitolo 7 In questo caso la risposta in frequenza è: H d # j! n $ e d! %! <! c = & %( 0! c <! ' " ( j e ) e la risposta impulsiva: h lp [ n] = sin! c ( n # nd ) " ( n # n ) d per - < n < L effetto è quello di isolare la banda di interesse, introducendo anche un ritardo sul segnale. N.B. Il filtro ideale è comunque non causale (la risposta impulsiva è diversa da zero per n<0). 5

Equazione alle differenze finite e funzione di rete H(z) N M [! ] = [! ] " " a y n k b x n k k k = 0 k = 0 k Capitolo 7 Hp: circuito LTI e condizioni iniziali nulle N " a k Y(z)z!k = b k X(z)z!k k= 0 M " k= 0 z (linearità + traslazione nel tempo) H z ( ) M M (! k bk z ) " k 0 b # = 0 k = 1 N N k a (! 0 ak z & ')!! k = 0 k = 1 Y ( z) = = = $ % X ( z) (! 1 1! c ) k z ( 1 1 d ) k z N.B. La conoscenza della sola funzione di trasferimento del circuito non consente di trovare la risposta impulsiva in modo univoco! 6

Esempio H ( z)! 1 ( 1+ z ) = " # 1! 1 $# 3! 1 $ % 1! z &% 1+ z & ' (' 4 (! 1! 1+ z + z Y ( z) H ( z) = = " 1! 1 3! 1+ z! z X ( z) 4 8 # 1! 1 3! $! 1! % 1+ z! z & Y ( z) = ( 1+ z + z ) X ( z) " ' 4 8 ( 1 3 y n y n y n x n x n x n 4 8 [ ] + [! 1]! [! ] = [ ] + [! 1] + [! ] Capitolo 7 Si può ricavare l equazione alle differenze dalla funzione di trasferimento. Non è possibile ricavare la risposta impulsiva in modo univoco a partire dalla sola H(z), senza conoscere la regione di convergenza. 7

Causalità Capitolo 7 Un circuito è causale se e solo se h[n]=0 per n<0, cioè h[n] è una sequenza unilatera destra. La ROC di H(z) è esterna al polo di modulo più grande Stabilità Un circuito è stabile se e solo se: o equivalentemente: +" +" # h[n] < " n =!" # h[n]z!n < " n =!" per z =1. La ROC di H(z) deve includere la circonferenza unitaria 8

Un circuito LTI è causale e stabile se la ROC della sua funzione di rete: 1. consiste della parte del piano z esterna al cerchio di raggio pari al modulo del polo più lontano dall origine. include la circonferenza unitaria Tutti i poli della funzione di rete di un circuito LTI causale e stabile sono interni al cerchio unitario Nota. Il requisito di stabilità impone che la ROC contenga la circonferenza unitaria, ma non pone altre condizioni sulla posizione dei poli (per esempio si può avere un circuito non causale e stabile con poli esterni al cerchio unitario). 9

Esempio ( ) H z 1 = " 1 # $ 1! z % 1! & ' ( z )! 1! 1 Capitolo 7 Hp: circuito causale Poli: z1 z 1 = = piano z Im ROC! 1 1! Re ROC : z > circuito instabile (la ROC non contiene la circonferenza unitaria) 10

Filtri inversi Capitolo 7 Un filtro con funzione di rete H i (z) si dice inverso di un filtro con funzione di rete H(z) se risulta: H(z) H i (z) =1 Esempio: equalizzatore Ciò implica che sia: [ ]" [ ] =! [ ] h n h n n Naturalmente la risposta in frequenza j della H e!. ( ) Hi ( z) = i 1 H ( z) Per quanto riguarda le risposte impulsive si deve avere: i j ( ) H e! Le ROC di H(z) e H i (z) devono essere sovrapposte (una deve contenere l altra)! è reciproca 11

Non tutti i filtri ammettono l inverso. Per esempio il filtro passa-basso ideale non ammette inverso poiché non c è modo di recuperare le frequenze tagliate. Nel caso di funzioni di rete razionali: M (! 1) (! 1 ) 1! c 1 ) k z )! dk z " b # " a # H ( z) = % & $ H ( z) = % & ' a ( ' ( 0 k = 1 0 k = 1 N i M 0 b0 (! 1) (! 1 ) 1! d 1 ) k z )! ck z k = 1 k = 1 N c k e d k sono gli zeri e i poli al finito di H(z), che eventualmente ha anche zeri e/o poli in z=0 e z=. 1

Gli zeri di H(z) diventano i poli del filtro inverso. Il filtro inverso è stabile e causale se e solo se gli zeri di H(z) sono interni al cerchio unitario (filtro o circuito a fase minima) H(z) stabile e causale H i (z) stabile e causale Poli e zeri di H(z) interni al cerchio unitario (Circuiti a fase minima) 13

Esempio fase minima 1! 0.5z 1! 0.9z H ( z) = " H ( z) = 1! 0.9z 1! 0.5z! 1! 1! 1 i! 1 Capitolo 7 ROC : z > 0.9 ROC : z > 0.5 oppure z < 0.5 stabile e causale sovrapposta con z > 0.9 (causale) Si sceglie come ROC del filtro inverso z > 0.5. La risposta impulsiva risulta: i n n! 1 [ ] = ( 0.5) [ ]! 0.9( 0.5) [! 1] h n u n u n In questo caso il filtro inverso è stabile e causale. 14

Nel caso di H(z) razionale, la risposta impulsiva può essere trovata attraverso lo sviluppo in fratti semplici. Nel caso di poli semplici si ha: Capitolo 7 Calcolo della risposta impulsiva dalla funzione di trasferimento termine presente se M N H(z) = N(z) D(z) = M!N B r z!r " + r= 0 N A " k 1! d k z!1 k=1 z -1 + Hp. causalità Si hanno due casi: M "N h[n] = # B r![n " r] + A k d n k u[n] r= 0 N # k=1 1. H(z) ha almeno un polo non nullo. H(z) non ha poli tranne che in z=0 circuito IIR circuito FIR 15

Circuiti IIR Sono i circuiti con una h[n] di durata infinita ( Infinite Impulse Response, IIR). Esempio [ ]! [! 1] = [ ] y n ay n x n H z = 1 1! az "! ( ) 1 [ ] = a n u[ n] h n x[n] a T y[n] [ ] h n a stabile se a < 1 Im! 1 zero in z=0 a! 1! Re 1 polo in z=a n 16

Circuiti FIR Sono i circuiti con una h[n] di durata finita ( Finite Impulse Response, FIR), quindi sempre stabili. Si ha un circuito FIR se H(z) ha solo il numeratore: M " k= 0 H(z) = b k z!k In questo caso si ha un polo di ordine M nell origine I circuiti FIR sono sempre stabili (la ROC è tutto il piano complesso tranne l origine) 17

Significato degli zeri di una H(z) Capitolo 7 Poiché H(z) descrive il legame I/O, la posizione dei suoi zeri serve a prevedere il comportamento del filtro FIR. Gli zeri di H(z) che giacciono sul cerchio unitario corrispondono ad un guadagno nullo per sinusoidi complesse alle rispettive frequenze. Esempio: Zeri: z 0 1 H(z) = 1! z!1 + z!! z!3 = 1 1 1 z0 = + j 3 = e 1 1 z0 = " j 3 3 = e! j 3! " j 3 [ ] ( z ) x n = = 1 1 0 [ ] ( ) x n = z = e 0 [ ] ( ) x n = z = e 3 0 1 3 n n n! j n 3! " j n 3 Ingressi per i quali l uscita risulta nulla. 18

In generale se unitaria si ha: z 0 = e j! 0 è uno zero sulla circonferenza x[n] = z 0 n! y[n] = H(z) z= z0 " z 0 n = 0 Esempio. Si vuole annullare la componente sinusoidale: Capitolo 7 Si possono progettare i filtri FIR per annullare certe frequenze d ingresso (o attenuare certe bande di frequenze) FILTRI ANNULLATORI x[n] = cos! 0 n = 1 e j! 0 n + 1 e" j! 0 n z = e, z = e j! " j! 0 0 1 0 0 devono essere gli zeri del filtro H(z) = ( 1! z 01 z!1 )( 1! z 0 z!1 ) = 1! cos! 0 z!1 + z! (FIR del ordine o cascata di FIR del 1 ordine) 19

In generale: il filtro H(z) che annulla l ingresso z 0 n è dato da: [ ] ( 1 1 ) 0 H z =! z z! (FIR del 1 ordine) Esempio! #! $ 1 ± J n! 4 x[ n] = cos& n' % z0 = e % H ( z) = 1" cos z + z = 1" z + z 1, ( 4 ) 4 Equazione differenziale: [ ] = [ ]! [! 1] + [! ] y n x n x n x n Il circuito rimuove le sinusoidi a frequenza f =1/8. " 1 " " 1 " 0

Esempio a reale Capitolo 7 Somma di M+1 termini in progressione geometrica di ragione az -1 n M! 1 M + 1 " a 0 # n # M n! n 1! ( az ) h[ n] = % $ H ( z ) = ' a z = =! 1 & 0 altrove n = 0 1! az M + 1 M + 1 z! a = M z ( z! a) Memento: calcolo delle radici di un numero complesso Dato il numero complesso w si vuole calcolare z tale che: Posto e, deve essere: Quindi: w = z n w = w e j! w z = z e j! z w e j! w = z n e jn! z # z = n % w $! z =! w + "k & % n (k intero) z = n w! e j" w +#k n 1

Gli zeri del numeratore di H(z) sono: z k = a! e j "k M +1 (k = 0,1,...,M) N.B. Si considerano solo gli zeri sul primo angolo giro Il polo in z = a viene cancellato dallo zero z 0 = a. Rimangono quindi un polo di ordine M in z = 0 e M zeri distribuiti sulla circonferenza di raggio a. Im Esempio: M = 7 Polo di ordine 7. a Re Zeri: z k = a! e j "k 8 (k = 0,1,...,7)

Esempio: filtro a media mobile Calcolo degli zeri Calcolo dei poli Si ha un polo di ordine M-1 in z = 0. Il polo in z = 1 si cancella con lo zero per z 0 = 1. 3

Sviluppando gli zeri del numeratore: Dividendo ogni zero dello sviluppo per z si ottiene: Si hanno M-1 poli nell origine e M-1 zeri distribuiti uniformemente sulla circonferenza unitaria (tranne che in z=1). 4

Esempio: media mobile di ordine 10 (a meno del fattore 1/11): ( ) 10 k H z = " z!. Zeri: k = 0! j k 11 z = e, k = 1,,...,10 Sul cerchio unitario alle pulsazioni ω=πk/11 Forma fattorizzata: ( ) 4 0 # j! j! j! 11 " 1 $# 11 " 1 $ # 11 " 1 $ H z = % 1" e z &% 1 " e z &...% 1" e z & ' (' ( ' ( 5

Im[z] Grafico H [ z] : Capitolo 7 picchi vicino ai poli, valli vicino agli zeri. H [ z] 1 0-1 4 3 1 0-1 - -1 0-1 1 0 Im[z] - - -1 0 1 Re[z] 1 Re[z] - 6

Grafico di H(e j! ) : si ottiene valutando H(z) nei punti della circonferenza unitaria. Diagramma poli-zeri " $ # % j H e! 11 4 11! 11! 1 1/! " Il comportamento in frequenza è passa-basso (banda passante intorno a f =0). Le sinusoidi a frequenza ω k =πk/11 sono annullate. 7

Esempio: filtro a media mobile passa banda complesso Capitolo 7 Un modo per controllare la risposta in frequenza del filtro in media mobile consiste nel posizionare il polo che cancella lo zero in modo opportuno. Se, per esempio, il polo viene scelto in modo da cancellare lo zero a! = "m (per un certo indice m 0), la H(z) può M essere fattorizzata come: M!1# H(z) = 1! e j "k *% $ k= 0 k)m M z!1 In questo caso, siccome c è uno zero senza il suo complesso coniugato, la risposta impulsiva h[n] è complessa. & ( ' 8

Esempio M =10 m = Capitolo 7! = " # 10 = " # 0, $ f = 0, = f f 3 =0,3 RISPOSTA IN AMPIEZZA: H(z) z= e j! f 4 =0,4 Im f 5 =0,5 Polo di ordine 9 Re f 1 =0,1 10 f 0 =0 8 6 1 4 0-0.5-0.4-0.3-0. -0.1 0 0.1 0. 0.3 0.4 0.5 FREQUENZA NORMALIZZATA FILTRO PASSA-BANDA Gli zeri non sono simmetrici rispetto all asse reale e quindi il filtro ha coefficienti non reali. 9

Risposta in frequenza dalla funzione di trasferimento Per un sistema LTI rappresentato da una H(z) razionale, la risposta in frequenza è data dal rapporto tra due polinomi in e! j" : H(z) = M " k= 0 N " k= 0 b k z!k a k z!k = b 0 a 0 # M $ k=1 N $ k=1 ( 1! c k z!1 ) ( 1! d k z!1 ) H(e j! ) = M # k= 0 N # k= 0 b k e " j!k a k e " j!k = b 0 a 0 $ M % k=1 N % k=1 ( 1" c k e " j! ) ( 1" d k e " j! ) 30

La risposta in ampiezza è: H(e j! ) = b 0 a 0 " M $ k=1 N $ k=1 1# c k e # j! 1# d k e # j! In particolare esprimendo la risposta in ampiezza in db si ha: H(e j! ) db = 0log 10 H(e j! ) = M b = 0log 0 10 + # 0log 10 1" c k e " j! " 0log 10 1" d k e " j! a 0 k=1 N # k=1 31

La risposta in fase è: M Capitolo 7!H(e j" ) =! b 0 + $!(1# c k e # j" ) #!(1# d k e # j" ) a 0 k=1 N $ k=1 N.B. In genere si calcola il valore principale della fase, in modo che sia:!" < #H(e j$ ) % " Per la ricostruzione della fase continua è necessaria una operazione di unwrapping (o srotolamento ), fatta aggiungendo dei multipli di π.!!!!!"!"!"!3" Unwrapping 3

Calcolo della risposta in frequenza dal diagramma poli-zeri Esempio: singolo zero H(z) =1! re j" z!1 = z! re j" z H(e j! ) = e j! " re j# e j! v 1 = e j! v = re j" v 3 = v 1 # v Im! 3 v v 3 H(e j! ) = v 1 " v v 1 = v 3 v 1! v 1!. 1 Re H(e j! ) = v 3 v 1 = v 3 #H(e j! ) = #v 3 "#v 1 = $ 3 "! 33

Esempio: risposta in frequenza di un circuito con un polo o uno zero singolo Capitolo 7 1. Zero singolo: H(e j! ) =1" re j# e " j! Ponendo r = 0.9 e θ = 0 si ottengono questi grafici: 34

Ponendo invece r = 0.9 e θ = π/ si ottiene: 35

. Polo singolo: H(e j! ) = 1 1" re j# e " j! Capitolo 7 Ponendo r = 0.9 e θ = 0 si ha: 36

Ponendo r = 0.9 e θ = π/ si ha: 37

Esempio: singolo polo, influenza del modulo r (θ = π/4) H(e j! ) = 1 1" re j# e " j! All aumentare di r da r = 0.6 a r = 0.99 la risposta in ampiezza ha un picco sempre più pronunciato in θ = π/4. Per r = 1 si ha una discontinuità. 38

Esempio: risposta in frequenza di un circuito con due poli H(z) = 1 ( 1! re j" z!1 ) 1! re! j" z!1 ( ) = z ( z! re j" )( z! re! j" ) Capitolo 7 H(e j! ) = e j! ( e j! " re j# ) e j! " re " j# ( ) Zero doppio poli complessi coniugati 39

H(e j! ) = v 1 v " v 3 = 1 v " v 3!H(e j" ) = " #! v #! v 3 = = " #$ #$ 3 Im! v Capitolo 7 v 1!. 1 v 3 Re! 3 40

Relazione tra risposta in ampiezza e risposta in fase In generale la conoscenza di una delle due funzioni non consente di calcolare l altra. Nel caso di funzioni razionali, la conoscenza di una funzione e del numero di poli e zeri limita il numero di possibili scelte per l altra funzione. Nel caso di funzioni a fase minima, la risposta in ampiezza determina la risposta in fase in modo univoco (il contrario avviene a meno di un fattore di scala). 41

Supponiamo di conoscere H(e jω ). Si ha: Capitolo 7 H(e j! ) " 1 % = H(e j! )H * (e j! ) = H(z)H * $ ' = C(z) # & z= e j! z= e j! H(z) = b 0 a 0! e quindi: M # k=1 N # k=1! 1 C(z) = H(z)H * # " ( 1" c k z "1 ) ( 1" d k z "1 ) z * $! & = b $ 0 # & % " % a 0 L obiettivo è quello di dedurre le caratteristiche di H(z) dalla conoscenza di C(z). ' z *! 1 $ H * # & = b 0 ' " z * % a 0 M ) k=1 N ) k=1 ( 1( c k z (1 ) ( 1( d k z (1 ) ' M ) k=1 N ) k=1 M ) k=1 N ) k=1 ( 1( c * k z) ( 1( d * k z) ( 1( c * k z) ( 1( d * k z) 4

Proprietà di poli e zeri di C(z): d k polo di H(z) c k zero di H(z) d k e (d k* ) -1 poli di C(z) c k e (c k* ) -1 zeri di C(z) cioè poli e zeri di C(z) compaiono a coppie di coniugati e reciproci (un elemento viene da H(z), l altro da H * (1/z * ) ). In particolare, se un polo o zero di una coppia è interno al cerchio unitario, l altro è esterno. Se H(z) è causale e stabile, allora i suoi poli devono essere interni al cerchio unitario, ma nulla si può dire degli zeri. 43

Esempio grafico 1 Capitolo 7 Im Im H 1 (z) H (z) Re Re H 1 (z) e H (z) differiscono per la posizione di uno zero ma hanno la stessa funzione C(z) C(z) Im zero doppio Re *! 1 $ *! 1 $ C(z) = H 1 (z)h 1 # & = H " % (z)h # & " % z * z * 44

Esempio grafico Im Capitolo 7 Coppie di poli coniugati reciproci: p 1 e p p 3 e p 4 p 5 e p 6 Coppie di zeri coniugati reciproci: z 1 e z z 3 e z 4 z 5 e z 6 z 4 z 3 p 6 p 5 z 5 z 6 p 1 p 3 p z 1 z Re Se H(z) è stabile e causale, bisogna scegliere i poli p 1, p 3 e p 5. Per quanto riguarda gli zeri si hanno queste possibilità: {z 1 oppure z } e {(z 3 e z 5 ) oppure (z 4 e z 6 )} p 4 In totale si hanno quindi 4 possibili circuiti (stabili e causali) con 3 poli e 3 zeri. L ambiguità si risolve se si aggiunge la condizione che H(z) abbia fase minima. 45

N.B. Se il numero di poli e zeri non è limitato, il numero di possibili funzioni H(z) è infinito. Infatti si consideri il termine: Si ha:! H ap (z)h ap # " * 1 z * H ap ( z) z! a = 1! az! 1 *! 1 funzione passa-tutto o allpass $ & = z'1 ' a * % 1' az ( z ' a '1 1' a * z = 1' a* z z ' a ( z ' a 1' a * z =1 Quindi, data una certa H(z), la seguente funzione: ( ) H1( z) = H ( z)! H ap z ha la stessa C(z) di H(z), cioè: *! 1 $! 1 $ C(z) = H 1 (z)h 1 # & = H(z)H * # & " % " % z * z * 46

Circuiti passatutto analogici I circuiti passatutto hanno una risposta in ampiezza piatta. Esempio: circuito analogico passatutto del I ordine. H(s) = 1! "s 1 + "s H(s) s= j! =1 "! H(s) s= j!!h(s) s= j" db 10 0!!! "!" 47

La H(s) è caratterizzata da uno zero posto a destra dell asse immaginario.! 1 " j! piano s 1!! Il contributo della fase dovuto allo zero è negativo, cioè aumenta la fase complessiva (per valori negativi). In questo senso il circuito allpass non è a fase minima. Lo zero è simmetrico (coniugato) rispetto al polo. 48

Circuiti passatutto TD Capitolo 7 H ap (z) viene chiamata funzione passatutto (allpass), perché ha modulo unitario sulla circonferenza unitaria. Infatti: z " a e " a 1" a e H e = = = e = 1 " 1 * " j! * * j! ( j! ) " j! ap " 1 " j! " j! 1" az j! 1" ae 1" ae z= e Esempio: a reale Im H ap (z) = 1 1! z!1! a 1! az =!a" a z!1!1 1! az!1 a a -1 Re 49

In generale le funzioni di rete di circuiti passatutto sono espresse come prodotto di fattori del tipo visto: in cui poli e zeri sono reali o compaiono a coppie di complessi coniugati. piano z! 4 3 H ap (z) =! 3 4 z!1! p " k # 1! p k z!1 Im N r k=1 0.8 1 N " c k=1 1 0.8 = 5 4 ( z!1! w )( k z!1 *! w ) k ( 1! w * k z!1 )( 1! w k z!1 ) Gli zeri sono coniugati e reciproci dei poli Re Diagramma poli e zeri tipico di un circuito allpass 50

Un circuito passa tutto stabile e causale ha necessariamente zeri esterni al cerchio unitario (non è a fase minima). La fase (continua, cioè unwrapped ) non è mai positiva 51

Circuiti TD a fase minima Sono i circuiti TD che ammettono un circuito inverso stabile e causale. Sono caratterizzati da una funzione di rete con tutti gli zeri interni al cerchio unitario (N.B. nel caso di circuiti analogici gli zeri hanno tutti parte reale negativa). Per i circuiti a fase minima la conoscenza della funzione C(z) = H(z)H * ( 1 z * ) consente di determinare H(z) in modo univoco. 5

Proprietà Capitolo 7 Una H(z) generica può essere sempre espressa come prodotto di una funzione razionale a fase minima e una funzione razionale passatutto: H(z) = H min (z)! H ap (z) Dimostrazione Si supponga che H(z) abbia uno zero esterno al cerchio unitario in z = 1/c *, con c <1, e tutti i rimanenti poli e zeri all interno del cerchio unitario. H(z) può essere espressa nel seguente modo: H(z) = H (z)! ( z "1 " c * ) 1 a fase minima 53

In modo equivalente si può scrivere: H(z) = H 1 (z)! ( 1" cz "1 )! z"1 " c * 1" cz "1 La funzione H min (z) H ap (z) H min (z) = H 1 (z)! ( 1" cz "1 ) è a fase minima e differisce da H(z) per il fatto che lo zero in z = 1/c * è stato trasformato nello zero reciproco e coniugato z = c. 54

Tale procedimento può essere applicato a tutti gli zeri esterni al cerchio unitario. Si ha dunque: H(z) = H min (z)! H ap (z) poli e zeri di H(z) interni al cerchio unitario + zeri coniugati e reciproci degli zeri di H(z) esterni al cerchio unitario zeri di H(z) esterni al cerchio unitario + poli coniugati e reciproci degli zeri di H(z) esterni al cerchio unitario 55

Applicazione: compensazione della risposta in frequenza (per esempio equalizzazione) s[n] Sistema distorcente H d (z) s d [n] Sistema compensante H c (z) s c [n] G(z) Nel caso ideale: s c [n] = s[n]! H c (z) = H d "1 (z) H c (z) è stabile e causale se e solo se H d (z) è stabile, causale e a fase minima. 56

Nel caso in cui H d (z) non sia a fase minima si ha: H d (z) = H d min (z)! H d ap (z) " H c (z) = La funzione di rete complessiva risulta: 1 H d min (z) G(z) = H d (z)! H c (z) = H d ap (z) ed è una funzione passatutto. La risposta in ampiezza è compensata ma rimane una distorsione in fase. 57

Proprietà dei circuiti a fase minima Capitolo 7 1. Tra tutti i circuiti aventi la stessa risposta in ampiezza, il circuito a fase minima presenta il minimo ritardo di fase ( fase minima ). Dimostrazione H(z) = H min (z)! H ap (z)!h(z) z= e j" =!H min (z) z= e j" +!H ap (z) z= e j" La fase del termine passatutto non è mai positiva per 0 ω π e quindi riduce la fase di H(z) (ovvero aumenta il negativo della fase ) N.B. Per evitare ambiguità, si deve imporre la condizione aggiuntiva che H(e jω )>0 per ω=0: H e j 0 +" ( ) = h[n] # > 0 n =!" in quanto un circuito con risposta impulsiva -h[n] ha gli stessi poli e zeri ma fase alterata di π. 58

. Tra tutti i circuiti aventi la stessa risposta in ampiezza, il circuito a fase minima presenta il minimo ritardo di gruppo. >0 Infatti:!(") = # d d" $H(e j" ) = # d d" $H min(e j" ) # d d" $H ap(e j" ) 3. Tra tutti i circuiti aventi la stessa risposta in ampiezza, il circuito a fase minima presenta il minimo ritardo dell energia della risposta impulsiva. Si può infatti dimostrare che si ha: n! h[m] " h min [m] m = 0 n! m = 0 qualunque sia n, cioè la sequenza a fase minima ha l energia concentrata nella sua parte iniziale. 59

Esempio: H(z) a fase non minima H(z) = 1-3.559 z -1 +4.8954 z - -3.6194 z -3 +1.1664 z -4 60

H min (z) = 1.44-3.9419 z -1 +4.8119 z - -.9334 z -3 +0.81 z -4 Capitolo 7 61

H ap (z) = 0.6944!1.1785z!1 + z! 1!1.1785z!1 + 0.6944z! Capitolo 7 N.B. La risposta in ampiezza è costante e pari a 1 6

& BC0?46D4?@-:?4 6 Capitolo 7 % $ # BC0?46=.050:?A!!#!$!% H(z)=1-3.559z -1 +4.8954z - -3.6194z -3 +1.1664z -4!&!'!(!) 6!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+,-./0134567.4894:;<6=!!6.05>?0/@14A & BC0?46D4?@-:?4 % $ BC0?46=.050:?A #!!#!$!% H min (z)=1.44-3.941z -1 +4.8119z - -.9334z -3 +0.81z -4!&!'!(!)!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+,-./0134567.4894:;<6=!!6.05>?0/@14A & BC0?46D4?@-:?4 % $ BC0?46=.050:?A #!!#!$!%!& H ap (z) = 0.6944!1.1785z!1 + z! 1!1.1785z!1 + 0.6944z!!'!(!)!!"#!"$!"%!"&!"'!"(!")!"*!"+,-./0134567.4894:;<6=!!6.05>?0/@14A 63

Circuiti LTI con fase lineare generalizzata I filtri ideali hanno risposta in ampiezza costante e risposta in fase nulla. La condizione di fase nulla richiede filtri non causali. È necessario introdurre una distorsione della fase. In particolare è accettabile una dipendenza della fase dalla frequenza di tipo lineare 64

H(e j! ) Capitolo 7 Filtri ideali: non causali!h(e j" )! Risposta in ampiezza piatta! Risposta in fase nulla H(e j! ) Filtri reali: causali! ripple!h(e j" )! Fase lineare con la frequenza (AUSPICABILE) 65

Filtro ritardatore d ( j ) H e = e (! < # )! $ j!" Risposta in frequenza ( j H e! ) = 1 ( j ) $ H e! = %!"! < # ( j! ) d$ H e " (! ) = % = # d! Risposta impulsiva (è non causale!) sin! ( n #") hd [ n] = - $ < n < + $! ( n #") N.B. Si può avere un ritardo α non intero (si può realizzare mediante la ricostruzione del segnale analogico, seguita da un nuovo campionamento). 66

Passabasso a fase lineare lp ( j ) H e = e! <!! # j!" c Risposta in frequenza ( j H e! ) = 1 ( j ) # H e! = $!"! <! c ( j! ) d$ H e " (! ) = % = # d! Risposta impulsiva (è non causale!) sin! c ( n $ ") hd [ n] = -% < n < + % # ( n $ ") Si può verificare che se α è un numero intero, allora la risposta impulsiva è simmetrica ripetto ad α. 67

Circuiti a fase lineare generalizzata Sono definiti da una risposta in frequenza con la seguente forma: H(e j! ) = A(e j! ) " e # j$! + j% Questi circuiti hanno un ritardo di gruppo costante:!h(e j" ) = #$" + % &(") = # d d"!h(e j" ) = $ 68

Imponendo che il ritardo di gruppo sia costante si ricava una condizione necessaria che lega la risposta impulsiva h[n] ai termini α e β e che deve essere verificata per qualunque ω: +$ & n=%$ h[ n] sin(!( n %") + # ) = 0 Tale condizione non fornisce in pratica indicazioni utili per il progetto di filtri a fase lineare. È possibile tuttavia individuare delle condizioni sufficienti per la linearità della fase: - Filtro FIR causale - Risposta impulsiva simmetrica 69

Esempio. Risposta in frequenza di un filtro FIR simmetrico non causale ( ) = h[n]e " j!n H e j! Per la simmetria della risposta impulsiva si può scrivere: Quindi la risposta in frequenza vale: H e j! ed è reale +# n ="# M $ = $ h[n]e " j!n n =" M h[n] = h[!n] n =1,,..., M M ( ) = h[0] + h[n] ( e " j!n + e j!n ) La fase è nulla -4-3 - -1 0 1 3 4 Ordine M=8 # = h[0] + # h[n]cos!n n =1 M n =1 Lunghezza L=M+1=9 70 n

Filtro FIR causale: si applica la traslazione nel tempo Capitolo 7 0 1 3 4 5 6 7 8 n H c ( e j! ) = e " j! M H( e j! ) = e " j! M ( ) = h[0] + " h[n]cos!n H c e j! M n =1 $ M ' & ) & h[0] + # h[n]cos!n) n =1 %& () H c ( e j! ) #H c ( e j! ) = $! M!H c ( e j" ) 71

Circuiti FIR a fase lineare: si hanno 4 tipi di filtro Tipo 1: simmetrico di lunghezza dispari Capitolo 7 h[n]=h[m-n] 0 n M (M intero pari) h[n] M=6 L=M+1=7 ( ) = h[n] H e j! M " e # j!n = e # j! n = 0 0 1 3 4 5 6 n M M " a[n]cos!n n = 0 (! h M $ " # % & k = 0 * con a[n] = )! h M " # ' n $ % & k =1,,..., M + * M % '!H ( e j" ) = #" M & j" ' d!h e $(") = # ( ( ) d" = M 7

Tipo : simmetrico di lunghezza pari Capitolo 7 h[n]=h[m-n] 0 n M (M intero dispari) h[n] M=5 0 1 3 4 5 n H( e j! ) = e " j! M M +1 M ) # b[n]cos!% n " 1 &, / + (. * $ ' - n =1 % '!H ( e j" ) = #" M & j" ' d!h e $(") = # ( ( ) d" = M " con b[n] = h M +1 %! n # $ & ' n =1,,..., M +1 73

Tipo 3: antisimmetrico di lunghezza dispari Capitolo 7 h[n]= - h[m-n] 0 n M (M intero pari) h[n] n 0 1 3 4 5 6 M H( e j! ) = je " j! M M # c[n]sin!n n =1 & (!H e j" ' j" ( d!h e %(") = # ) ( ) = #" M + $ ( ) d" = M con " c[n] = h M # $! n % & ' n =1,,..., M 74

Tipo 4: antisimmetrico di lunghezza pari Capitolo 7 h[n]= - h[m-n] 0 n M (M intero dispari) h[n] 0 1 3 4 5 n M H( e j! ) = je " j! M M +1 ) # d[n]sin!% n " 1 &, / + (. * $ ' - n =1 & (!H e j" ' j" ( d!h e %(") = # ) ( ) = #" M + $ ( ) d" = M " con d[n] = h M +1 %! n # $ & ' n =1,,..., M +1 75

Distribuzione degli zeri in un FIR a fase lineare Capitolo 7 Se h[n] è reale! H(z) ha zeri a coppie complessi e coniugati. 1. Se h[n] è simmetrica (h[n]=h[m-n]) : Quindi se z 0 = re jω è uno zero di H(z), anche il suo reciproco z 0-1 = r -1 e -jω è uno zero di H(z). Se poi h[n] è reale, ogni zero complesso fa parte in generale di una quadrupla di zeri coniugati reciproci. Casi particolari: zeri sulla circonferenza unitaria, zeri reali, zeri in z = ±1. 76

Caso importante: z =-1! Se M è dispari si ha quindi H(-1) = -H(-1)! H(-1) = 0 cioè z=-1 deve essere uno zero dei filtri FIR simmetrici di ordine dispari. 77

. Se h[n] è antisimmetrica si ha: quindi valgono le stesse proprietà del caso simmetrico. In più si ha:! H(1) = 0!! z =1 è sempre uno zero dei filtri FIR antisimmetrici!! H(-1) = 0! z =-1 è uno zero dei filtri FIR antisimmetrici di ordine pari. 78

Si ha dunque: Caso simmetrico Caso antisimmetrico Esempio Raggruppando gli zeri opportunamente, il circuito si può sintetizzare con la cascata di celle del I, II e IV ordine, tutte a fase lineare. Capitolo 7 z = -1 deve essere uno zero se M è dispari z = 1 è sempre uno zero z = -1 deve essere uno zero se M è pari piano z 79