Scienze e Tecnologie dell Ambiente Soluzioni della prova scritta di Fisica Generale 9 Luglio 2010 Parte 1 Esercizio 1 Un astronauta di massa m=80 Kg atterra su un pianeta dove il suo peso vale P=200 N. 1A) Sapendo che il raggio del pianeta su cui è atterrato vale R=10 7 m, determinare la massa M e la densità ρ del pianeta. Soluzione dell esercizio 1 1A) L accelerazione a cui è soggetto l astronauta è l accelerazione di gravità del pianeta a g =P/m = 2.5 m/s 2. L accelerazione di gravità è pari al valore del campo gravitazionale da cui si ha: a = GM R 2 M =R2 a G = 3.75 1024 Kg. La densità è quindi: ρ = M (4/3)πR 3 = 894Kg/m3. Esercizio 2 Un carrello di massa m=50 Kg, inizialmente dotato di una velocità v 0 =20 m/s, viene fermato da una forza F costante, agente in verso opposto al moto, in un tempo T=10 s. Calcolare: 2A) l intensità della forza; 2B) il lavoro da essa effettuato sul carrello; 2C) la potenza sviluppata. Soluzione dell esercizio 2 2A) Prendendo come verso positivo dell asse x la direzione di moto del carrello, ed utilizzando le leggi del moto uniformemente accelerato: v(t) =v 0 +at, si ha che il modulo dell accelerazione (negativa) con cui si arresta il carrello è a=v 0 /T=2 m/s 2. Da cui segue che il modulo della forza applicata è: F =ma =m v 0 T = 100N. 2B) Considerando che il carrello si arresta dopo aver percorso, nel verso positivo dell asse x, un tratto: x =v 0 T + 1 2 at 2 = 1 2 v 0T Il lavoro compiuto dalla forza è: L = F x = F 1 2 v 0T = 10 4 J.
2C) La potenza totale è: P =L/t = 1000W. Parte 2 Esercizio 3 Una massa M=10 g di elio a temperatura iniziale T i =0 o C viene riscaldata a volume costante fino a raddoppiarne la pressione. Trattando l elio come un gas perfetto monoatomico, la cui massa molare è m=4.02 g, calcolare: 3A) il lavoro fatto dal gas; 3B) la variazione di energia interna del gas; 3C) la quantità di calore assorbita dal gas. Soluzione dell esercizio 3 3A) Il lavoro è nullo perchè il volume del gas non cambia. 3D) L = 0. U =nc v T = 3 2 nr T. Il numero di moli di elio è n=m/m=2.49. A volume costante, se la pressione raddoppia, raddoppia anche la temperatura e quindi: T=T i =273.2 K. Quindi: U = 3 nr T = 8480J. 2 3B) Dal primo principio della termodinamica si ha: Q = U +L = 8480J. Esercizio 4 Una macchina termica lavora tra due sorgenti aventi rispettivamente temperature T 1 =300 K e T 2 =600 K. sapendo che il rendimentoη della macchina è pari al 70% di quello di una macchina di Carnot che lavora tra le stesse sorgenti e sapendo che la macchina ad ogni ciclo assorbe una quantità di calore Q 2 =1000 J, calcolare: 4A) il lavoro L eseguito dalla macchina; 4B) la variazione S di entropia delle sorgenti in un ciclo. Soluzione dell esercizio 4 4A) Per il rendimento si ha: η = 0.7 (1 T 1 T 2 ) = 0.35. Il lavoro L è dato da: L =ηq 2 = 3500J. 2
4B) Per il primo principio della termodinamica, dato che in un ciclo U=0, si ha: L=Q. Possiamo quindi calcolare Q 1, il calore ceduto dalla macchina all ambiente: L =Q L =Q 2 Q 1 Q 1 =Q 2 L = 6500J. La variazione di entropia delle sorgenti in un ciclo è quindi: S = Q 2 T 2 Q 1 T 1 = 5J/K. Parte 3 Esercizio 5 Un elettrone (massa m=9.11 10 31 kg, carica e= 1.6 10 19 C) in moto con velocità v 0 orizzontale e di modulo v 0 =3 10 6 m/s, entra in una regione in cui è presente un campo elettrostatico uniforme e costante, E, di modulo E = 500 N/C, perpendicolare a v 0 e diretto verso l alto. Tale regione si estende in direzione orizzontale per un tratto d=5 cm. (Nota: la forza gravitazionale è trascurabile). 5A) Si calcoli la velocità dell elettrone in modulo, direzione e verso all uscita dalla regione in cui è presente il campo elettrico. Soluzione dell esercizio 5 5A) L elettrone è sottoposto alla forza elettrostatica: F =e E; dato che la carica dell elettrone è negatica ed il campo E è diretto verso l alto, la forza sarà diretta verso il basso. Prendiamo come verso positivo dell asse x quello del moto della particella e l asse y positivo verso il basso. Per studiare il moto dell elettrone applichiamo F=m a, dove F = e Eŷ. Scomponendo tale relazione lungo gli assi x ed y si ha: ma x = 0 ma y = e E. Quindi lungo l asse x il moto è rettilineo uniforme, mentre lungo l asse y è uniformemente accelerato. Quindi: v x =v 0 v y = e E m t x =v 0 t y = e E 2m t2. Il tempo t f in cui l elettrone esce dalla regione si può quindi trovare imponendo x=d e quindi: t f = d v 0. Le componenti cartesiane della velocità di uscita dell elettrone v f sono: v fx (t f ) =v 0 v fy (t f ) = e E m t f = e Ed. mv 0 E quindi il modulo della velocità in uscita e l angoloθche essa forma con l asse x verso il basso sono, rispettivamente: 3
v f = vfx 2 +v2 fy = v0 2 + ( e Ed ) mv 2 = 3.34 10 6 m/s. 0 θ =arctg( v fy ) =arctg( e Ed ) = 26 o. v fx mv 2 0 Esercizio 6 Si consideri un sistema di due conduttori sferici concentrici isolati ed inizialmente scarichi. Il conduttore interno è una sfera di raggio R 1, mentre il conduttore esterno è un guscio sferico di raggio interno R 2 e raggio esterno R 3. Immaginiamo adesso di caricare la sfera interna, di raggio R 1, con una carica Q positiva. 6A) Come saranno distribuite le cariche sul guscio sferico conduttore? 6B) Calcolare il vettore campo elettrico (modulo, direzione e verso) in tutto lo spazio. Soluzione dell esercizio 6 6A) In un conduttore le cariche si distribuiscono solo sulle superfici. Se carichiamo la sfera interna con una carica Q, che si distribuirà necessariamente in maniera uniforme sulla superficie della sfera conduttrice, per induzione la superficie interna del guscio conduttore, di raggio R 2, si caricherà con una carica -Q, anch essa distribuita in maniera uniforme. Infine, dato che il guscio inizialmente era scarico, sulla superficie esterna, di raggio R 3, verrà indotta una carica totale Q. 6B) Come noto all interno dei conduttori il campo elettrico è nullo. Tutte le cariche sono distribuite a simmetria sferica sulle superfici conduttrici. Quindi il campo elettrico generato (dove non è nullo) è radiale uscente e la sua intensità nei vari punti può essere calcolata con il teorema di Gauss prendendo ad esempio come superfici di Gauss, superfici sferiche centrate nel centro del sistema di cariche. Si ha quindi: E(r) = 0, r<r 1 ; E(r) =k Q r 2, R 1<r<R 2 ; E(r) = 0, R 2 <r<r 3 ; E(r) =k Q r 2, r>r 3. Parte 4 Esercizio 7 Una spira circolare di raggiorèmessa in rotazione attorno ad un suo diametro con velocità angolare costanteωin una regione in cui è presente un campo magnetico uniforme e costante B 0. All istantet=0 la normale alla spira e diretta come il campo magnetico. 7A) Se la spira ha resistivitàρesezionea, da quale corrente è percorsa? 7B) Qual e la potenza media dissipata nella spira? Soluzione dell esercizio 7 Si induce corrente nella spira perché l angolo compreso tra il campo magnetico e la normale alla spira stessa varia nel tempo: questo significa che il flusso magnetico attraverso la spira cambia e induce quindi una forza elettromotrice. Questa f.e.m. è data in modulo da E = dφ B dt. Il flusso magnetico si ottiene dalla definizione: Φ B = S B da = B πr 2ˆn =B 0 πr 2 cosωt. 4
La f.e.m. è dunque, in modulo, E =πωb 0 r 2 sinωt. Per calcolare la corrente che scorre nella spira ci serve la sua resistenza, data da 7A) R =ρ 2πr A, per cui la corrente è i = E R =ωb 0rA 2ρ sin ωt. 7B) Per la potenza dissipata media si ha: W =Ri 2 /2 dove il fattore 1/2 proviene dalla media temporale del sin 2 ωt Esercizio 8 Un elettrone (m = 9 10 31 kg) viene sparato con velocità di modulov 0 = 3 10 6 m/s da una sorgente che si trova al centro di un solenoide rettilineo infinito di raggior = 5cm e dotato di un numero di spire per unità di lunghezza pari adn=1000 spire/m. Inizialmente la sua velocità forma un angoloθ=π/6 con l asse del solenoide. 8A) Calcolare la corrente che deve scorrere nell avvolgimento del solenoide affinché l elettrone non ne urti la parete interna. Soluzione dell esercizio 8 Poiché il campo magnetico del solenoide è uniforme e diretto parallelamente all asse del solenoide, l elettrone compie un moto elicoidale. Perché non urti le pareti è sufficiente che il diametro della traiettoria circolare nel piano perpendicolare al campo, sia minore del raggio del solenoide (si noti che tale traiettoria circolare passa per l asse del solenoide): d = 2r = 2 mv eb <R. v è la componente perpendicolare al campo della velocità della particella, e valev =v 0 sinπ/6 =v 0 /2. Il campo del solenoide invece (trascuriamo gli effetti di bordo) è dato dab =µ 0 ni. La condizione da imporre sulla corrente è dunque i> mv 0 µ 0 nr. 5