Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Lezione n.7 Meodo della raformaa di Laplace (ml). Inroduzione. Richiami ulla raformaa di Laplace. Proprieà della raformaa. Regola di derivazione.3 abella di raformae noevoli 3. Meodo della raformaa di Laplace 3. Impedenze operaoriali 3. Funzione di raferimeno 3.3 Circuii con condizioni iniziali non nulle 4. Aniraformaa e oluzione nel dominio del empo 4. Relazione ra ml e meodo dei Faori 4. Eercizi In quea lezione raeremo il meodo della raformaa di Laplace (ml) per circuii lineari e empo invariani (LI). Inrodurremo la funzione di raferimeno e le impedenze operaoriali. Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace. Inroduzione In un iema dinamico lineare e empo invariani (LI) il legame ingreo-ucia è coiuio da un iema di equazioni differenziali lineari a coefficieni coani. ale iema per poer eere riolo i riformula in ermini di una ola equazione differenziale che, inieme alle condizioni iniziali, viene chiamao problema di Cauchy. Abbiamo deo che la oluzione del noro problema di Cauchy conie nella ovrappoizione di due ermini: l evoluzione libera e l evoluzione forzaa. Quea compoizione in due ermini non è l unica, abbiamo vio, infai, che la oluzione può anche eere via come la ovrappoizione del ermine derivane dalla oluzione dell omogenea aociaa all equazione differenziale e un ermine che abbiamo chiamao oluzione paricolare. Nel cao in cui i generaori ono coani o inuoidali abbiamo vio che riula facile calcolare la oluzione paricolare che chiameremo oluzione di regime. Nel cao di generaori inuoidali abbiamo uao, ad eempio, il meodo dei faori che ci ha conenio agevolmene di calcolare la oluzione di regime inuoidale. uavia non empre i generaori ono coani o inuoidali. In queo cao eie la poibilià di rovare la oluzione paricolare operando direamene nella equazione differenziale nel cao in cui la funzione dei generaori lo permee. E il cao ad eempio di funzioni di ipo eponenziale o polinomiale. Ma in generale i generaori poono eere decrii da funzioni più complicae. In queo cao arà neceario calcolare la oluzione come ovrappoizione di evoluzione libera e forzaa e biognerà calcolare que ulima ricorrendo, in paricolare, a due meodi. Quei ono il meodo della raformaa di Laplace o il meodo dell inegrale di convoluzione. In quea lezione ci occuperemo del primo e per brevià lo richiameremo brevemene con ml.. Richiami ulla raformaa di Laplace La raformaa di Laplace è un operaore che aocia alla funzione x() una funzione X() della variabile complea. Eiono due ipi diveri di operaori che vengono celi a econda dei cai: la raformaa di Laplace bilaera e la raformaa di Laplace monolaera. La raformaa di Laplace bilaera di una funzione x() è definia nel modo eguene x( ) e d X ( ). () La raformaa di Laplace monolaera di una funzione x() è definia invece nel modo X( ) x( ) e d. () Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace La () viene inrodoa per lo udio di iemi in cui i è inereai a deerminare funzioni per > con condizioni iniziali evenualmene non nulle. Si fa noare che come eremo inferiore di inegrazione i è celo lo - per enere in cono di evenuali impuli preeni nello nella funzione x(). Oerviamo che e conideriamo funzioni definie nulle per < e con condizioni iniziali nulle le definizioni () e () ono equivaleni. Noi ueremo empre, per la oluzione dei nori problemi, la definizione (). Inolre oolineiamo che ueremo la raformaa di Laplace quando il noro iema è a condizioni iniziali nulle oppure per calcolare olo la ripoa forzaa calcolando l evoluzione libera direamene nel dominio del empo. La raformazione di Laplace non è definia per ue le funzioni. Affinché una funzione ia raformabile econdo Laplace (o L-raformabile) deve eiere l inegrale () per almeno un valore di. Quando queo avviene poiamo dire che l inegrale () è definio u regioni del piano compleo della (emipiani di convergenza) del ipo: { } < β Re. (3) La variabile i chiama pulazione complea. La β i chiama acia di convergenza. L operaore di raformaa i indica con il imbolo L, quindi i ha che ( ) L{ x( ) } X. (4) Per riporare una funzione definia nel dominio delle nel dominio del empo è definio l operaore invero a L. La raformazione invera i definice aniraformaa e i indica con il imbolo L -. Quindi { X( ) } x( ) L. (5). Proprieà della raformaa di Laplace Alcune proprieà della raformaa di Laplace ono: Proprieà di unicià : La raformaa di Laplace abilice una corripondenza biunivoca ra le funzioni del empo x() e le funzioni di variabile complea X(). Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 3
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Proprieà di linearià : L operaore L è lineare { a x ( ) a x ( ) } a X ( ) a ( ) L X. (6) Proprieà di ralazione: L { x( )} e X( ) e { } L e x ) X( ) Proprieà del cambiameno di cala: Si ha: L { x a) } X (. (7) (. (8) a a. Regola di derivazione Avendo a che fare con equazioni differenziali non poiamo non occuparci della raformaa della derivaa di una funzione. Nell ipoei in cui la funzione x() ia raformabile econdo Laplace poiamo enunciare che la ua derivaa nel eno delle diribuzioni arà coì derivabile: dx( ) L X( ) x( ). (9) d e che: d x( ) ( ) L X( ) x( ). () d d dx Si oervi che i uilizza - poiché i vuole enere in cono di evenuali impuli preeni nell iane iniziale. Come i vede dalla (9) e dalla () raformando la derivaa prima e econda della funzione alano fuori le condizione iniziali della funzione ea. Ma, come vedremo nel eguio, noi uilizzeremo la raformaa di Laplace per deerminare la oluzione di un problema con condizioni iniziali nulle o per deerminare l evoluzione forzaa della oluzione (che non dipende dalle condizioni iniziali), e quindi avremo Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 4
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace empre a che fare con problemi con condizioni iniziali nulle. Noi uilizzeremo la (9) e la (9) emplificae dei ermini dipendeni da condizioni iniziali: dx( ) d x( ) L X( ) ; L X( ) d d () Oerviamo una coa molo imporane: dalla proprieà di derivazione deduciamo che il ml algebrizza le equazioni differenziali al pari del meodo dei faori. In realà faremo vedere ra poco che il meodo dei faori è un oomeodo del ml. In concluione la raformaa aocia alle derivae la moliplicazione per la variabile ; queo ignifica che, come vedremo ra breve, poremo raare i circuii dinamici alla regua dei circuii azionari o in regime inuoidale..3 abella di raformae noevoli In generale quando i vuole calcolare una raformaa di Laplace non i applica empre la definizione () o () ma la i coruice uilizzando le proprieà e alcune raformae noevoli di funzioni noe. Nel eguio diamo una abella in cui ono riporae alcune raformae elemenari che poono eere uili nell ambio della rioluzione di circuii. Funzione del empo x () raformaa di Laplace X( ) δ () u () e a u() a δ ( ) e co( ω ) u( ) ω o in( ω ) u( ) ω ω Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 5
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace 3. Meodo della raformaa di Laplace (ml) Vediamo ora operaivamene come uare la raformaa di Laplace per riolvere il noro problema formulao nel dominio del empo come problema di Cauchy o, prima ancora, come iema globale. Schemaizziamo il noro problema come in Fig.. Per emplicià abbiamo uppoo di avere un olo generaore. Nel cao di più generaori baa, infai, coniderare la ovrappoizione degli effei. generaore g() Circuio LI x()x l ()x f () (qualiai enione o correne del circuio) condizioni iniziali Fig. Siema ingreo ucia per un circuio lineare forzao da un generaore. Innanziuo ricordiamo il fao che la raformaa di Laplace abilice una corripondenza biunivoca ra le funzioni del empo x() e le funzioni di variabile complea X(). Quea proprieà è fondamenale perchè conene di raformare un problema definio nel dominio del empo in un problema definio nel dominio della variabile, di riolverlo nel dominio raformao rovando la raformaa della oluzione e di aniraformare quea nel dominio di oenendo la oluzione cercaa (vedi lo chema in Fig. ). Problema formulao nel dominio del empo L Problema formulao nel dominio di Laplace Soluzione nel dominio di empo L - Soluzione nel dominio di Laplace Fig. Schema di uilizzo del meodo della raformaa di Laplace. Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 6
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Per riolvere un circuio ramie Laplace biogna coniderare la oluzione del problema come omma dell evoluzione libera e dell evoluzione forzaa. Il ml i applica unicamene alla ricerca della oluzione forzaa. Se il circuio da riolvere è inizialmene a ripoo, oia e le condizioni iniziali ono nulle, la oluzione coinciderà con l evoluzione forzaa. Nel cao in cui le condizioni iniziali non doveero eere nulle arà neceario aggiungere all evoluzione forzaa il ermine di evoluzione libera. L evoluzione libera arà calcolaa ramie gli uuali iemi di rioluzione di un equazione differenziale omogenea imponendo le condizioni iniziali non nulle. In concluione poiamo affermare che il ml è poibile uilizzarlo nelle eguene ipoei: - il circuio è LI - le condizioni iniziali ono nulle circuio a ao zero (calcoliamo x()) - le condizioni iniziali non ono nulle e allora calcoliamo la ripoa forzaa (calcoliamo x f ()) Nel paragrafo 3.4 faremo vedere come raare il cao in cui vogliamo enere in cono delle condizioni iniziali non nulle uilizzando la raformaa di Laplace. Per uilizzare il ml biogna affronare 3 problemaiche: la raformazione nel dominio di Laplace del problema di Cauchy - la oluzione nel dominio di Laplace 3 - la aniraformazione nel dominio del empo Inroduciamo una alla vola quee problemaiche: la raformazione nel dominio di Laplace del problema di Cauchy Avendo definio l operaore di raformazione e le ue proprieà, iamo in grado di raformare: - il iema globale - l equazione differenziale del problema di Cauchy Nel primo cao oeniamo, nel dominio di Laplace, un iema algebrico nella variabile indipendene che dovremo riolvere. Nel econdo cao dobbiamo raformare il problema () della Lezione n.9 che ricriviamo: ( ) α x& ( ) ω x( ) Y ( ) & x x( x& ) X DX per > () Dove abbiamo poo xx e G Y per emplicià. Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 7
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Del problema () conideriamo olo la ripoa forzaa. ( ) α x& ( ) ω x ( ) Y( ) & x f x( ) x& f f per > (3) Nel cao in cui le condizioni iniziali nella () ono nulle x f x. Supponiamo per emplicià di noazione che queo ia il cao e quindi conideriamo: ( ) α x& ( ) ω x( ) Y ( ) & x x( ) x& per > (4) raformando l equazione differenziale roviamo: a b ( ) G( ), (5) α ω X dove ( a b) G( ) L{ Y ( ) } e ( ) L{ g( ) } G. E banale eendere il riulao della (5) ad un circuio del I ordine. In queo cao i ha dalla (3) della Lezione n.8: a X ( ) G( ), (6) dove ag ( ) L{ Y( ) }. Il coefficiene a nella (6) dipende dal coefficiene che moliplica la funzione del generaore al econdo membro dell equazione differenziale (3). La (5) e la (6) coiuicono l epreione finale a cui i perviene, nel dominio di Laplace, raformando il iema globale o direamene l equazione differenziale. la oluzione nel dominio di Laplace La oluzione del noro problema nel dominio di Laplace è rappreenaa dalla (5) o dalla (6) a econdo dell ordine del iema. Ricordando il modo di operare con il meodo dei faori o con i circuii reiivi, ci viene in mene che poiamo deerminare la oluzione nel dominio di Laplace Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 8
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace operando direamene ul circuio. Come vedremo meglio nel proimo paragrafo poiamo, infai, inrodurre qualcoa di analogo alle impedenze o alle reienze nel dominio di Laplace. Si definicono le impedenze operaoriali. Uilizzando quindi pariori e impedenze operaoriali equivaleni poiamo giungere in modo direo alla (5) o alla (6). Comunque ia l epreione della oluzione nel dominio di Laplace avrà empre un epreione del ipo (5) o (6). E chiaro che per poeri preparare ad una aniraformazione della (5) o (6), che mi reiuice la grandezza cercaa nel dominio del empo, dobbiamo conocere la funzione G(). Perano, per uare il meodo ml chemaizzao in Fig. è fondamenale poer avere a dipoizione la funzione G(). La funzione g() deve eere raformabile econdo Laplace e devo riucire a deerminare la ua raformaa. Le epreioni (5) e (6) ono del ipo: X( ) H( )G( ), (7) dove abbiamo inrodoo la funzione H() che chiamiamo funzione di raferimeno del circuio ripeo alla grandezza cela x. Il circuio può eere vio come iema ingreo-ucia e la funzione di raferimeno conene di oenere l ucia moliplicando la funzione ea per la raformaa dell ingreo. G() H() X() Fig. 3 Il circuio vio come iema ingreo-ucia. Come vedremo ra breve la funzione di raferimeno rappreena la raformaa di Laplace della ripoa impuliva del circuio per la variabile cela x. Diciamo ubio che il ml è uile anche nel cao in cui i voglia unicamene deerminare la funzione di raferimeno del circuio. 3 la aniraformaa nel dominio del empo Una vola deerminaa la funzione G(), dobbiamo aniraformare funzioni come la (5) o la (6). Come abbiamo deo ciò è poibile e: - conociamo la raformaa G() - riuciamo ad aniraformare il prodoo H()G(). Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 9
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Quando queo non riula acceibile allora conviene ricorrere al eorema della convoluzione che brevemene enunciamo. Dae due funzioni raformabili econdo Laplace i ha: { f ( ) f ( ) } ( )F ( ) L ; (8) F dove abbiamo inrodoo il prodoo di convoluzione: f ( ) ( ) f f ) f ( ) d f( ) f ( ) ( d. (9) Nella Lezione n.9 parleremo più a lungo della convoluzione appena inrodoa, qui ci inerea oolineare che nel noro cao, quando l aniraformaa della (7) non è acceibile poiamo deerminare la x() direamene nel dominio del empo con la eguene epreione: x ( ) L { H( ) G( ) } g( ) h( ) d. () dove h( ) L { H( ) } rappreena la ripoa all impulo relaiva ad una grandezza cela come ucia. Si comprende allora l imporanza della deerminazione della funzione di raferimeno H() del circuio ripeo ad una funzione x cercaa. Infai daa la ruura maemaica della funzione H() arà empliciimo, uilizzando la compoizione in frai emplici, arrivare alla deerminazione della ripoa all impulo h(). 3. Impedenze operaoriali Al fine di definire qualcoa di analogo a reienze (circuii reiivi) o impedenze (circuii di faori), poiamo raformae le relazioni caraeriiche dei ingoli bipoli nel dominio di Laplace. Grazie alla regola di derivazione () ed (), le relazioni caraeriiche per il condenaore e per l induore da differenziali diveneranno, nel dominio raformao, algebriche. Nella abella eguene la inei delle relazioni caraeriiche nel dominio di Laplace: Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Reiore Condenaore Induore Generaori ideali V( ) RI( ) V( ) C I( ) V( ) LI( ) V ( ) E( ) I ( ) J ( ) E chiaro che nel dominio raformao il legame ra enione e correne nei bipoli paivi è empre di ipo algebrico. Poiamo, allora, analogamene a quano fao nel dominio dei faori, inrodurre una grandezza che rappreena il rapporo enionecorrene di un bipolo. Quea funzione la chiamiamo impedenza operaoriale e la indichiamo con il imbolo ( ) ( ) V Z ( ). () I Poiamo ovviamene definire anche una ammeenza operaoriale Y ( ) Z ( ). () Le impedenze operaoriali per i bipoli che conociamo ono: Z()R Z()/C Z()L L aver inrodoo le impedenze ed ammeenze operaoriali ci conene di operare, come per il meodo dei faori, ul circuio raformao econdo Laplace alla eo modo di un circuio in regime azionario. Parleremo, dunque, di circuii di impedenze operaoriali. In queo modo arà empliciimo calcolare una grandezza volua del circuio uilizzando impedenze operaoriali equivaleni e pariori. Facciamo un eempio: conideriamo il circuio di Fig.4 già raformao nel dominio di Laplace, vogliamo calcolare la enione ( ) ai capi del condenaore. V c Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace L R E() V c () /C R Fig. 4 Circuio nel dominio di Laplace. Nel circuio di Fig.4 poo operare ulle impedenze operaoriali erie e parallelo oenendo il circuio emplificao di Fig. 5. Z () E() V c () Z () Fig. 5 Circuio di Fig. 4 con impedenze equivaleni. Nel circuio di Fig.5 abbiamo: Z ( ) R L () e R / C R Z ( ). (3) R RC C A queo puno applicando il pariore di enione i oiene Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace R Z ( ) RC V c ( ) E( ) E( ) Z( ) Z ( ) R ( R L) ( R C) E( ) R L RC CL R R LC E( ) (4) R R RC L LC R Come i vede la (4) ha la forma della (7). In paricolare abbiamo che H( ) LC. (5) R R RC L LC R 3. Funzione di raferimeno La funzione H() della (5) la chiamiamo funzione di raferimeno (Fd). Vediamo che ipo di funzione maemaica ci apeiamo che ia la Fd. La Fd è una funzione razionale fraa. E un rapporo di polinomi. Al denominaore avremo un polinomio in con i coefficieni uguali a quelli che roveremmo nella pare omogenea dell equazione differenziale; al numeraore avremo un polinomio, di grado empre inferiore a quello del denominaore, che dipenderà dal ermine forzane dell equazione differenziale. Il fao che il numeraore abbia grado empre inferiore a quello del denominaore lo poiamo verificare, ad eempio, in un circuio del II ordine nel quale il ermine forzane dipende al maimo (confrona la (4) e la (6) della Lezione n. 9) dalla derivaa prima del forzameno. La Fd dipende unicamene dai parameri del circuio e dalla cela della paricolare grandezza del circuio conideraa ucia del iema. Infai a econda della grandezza cela, cambia il numeraore, menre il denominaore rimane invariao perché dipende dall equazione differenziale omogenea uguale per ue le grandezze cele del circuio. Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 3
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Fino ad ora abbiamo fao l ipoei che vi ia un olo generaore nel circuio. Nel cao ve ne foero più di uno poiamo applicare il principio di ovrappoizione degli effei. Per ognuno varrà quano deo opra. Perano, nell ipoei di n generaori oerremmo l epreione eguene per la raformaa della ripoa forzaa: X( ) H ( )G ( ) H ( )G ( )...H ( )G ( ). (6) n n Facciamo aenzione al fao che la i-ima Fd, in paricolare il uo numeraore, non arà uguale a quello degli alri. Diamo ora una imporane inerpreazione alla Fd. Conideriamo come egnale d ingreo g ( ) l impulo δ ( ). Dalla abella vediamo che la raformaa di δ ( ) è. Quindi nel cao in cui il egnale d ingreo è l impulo di Dirac dalla (7) l ucia X() divena coincidene con la H(). Perano la funzione H() poiamo inerprearla come la ripoa del iema ad un ingreo impulivo. Nel dominio del empo la ripoa all impulo la i indica con la funzione h ( ). La ripoa all impulo rappreena la oluzione, cioè la x()h(), quando il generaore g() δ() è appuno impulivo. Per calcolare H() i può procedere in due modi: Si agice direamene ul circuio coniderando le impedenze operaoriali e, uilizzando le impedenze operaoriali equivaleni ed i pariori, i riece a calcolare X() in funzione di G(); e quindi i riece ad iolare, ramie la (7) la Fd. Si crive l equazione differenziale aociaa alla cela faa della grandezza d ucia e la i raforma nel dominio di Laplace. Focalizziamoci u circuii del II ordine. Il primo meodo è quello che abbiamo uilizzao per il calcolo della (5). Vediamo il econdo meodo: lo abbiamo applicao alla (4) per oenere la (5). Per analizzare come procedere per il calcolo del numeraore della H() facciamo un eempio: coniderao il circuio RLC erie la cui equazione differenziale è daa nel iema (39) della Lezione n. 9, che, nell incognia la enione del condenaore, ricriviamo R vc( ) e( ) v& C ( ) v& C( ) (7) L LC LC E, nell incongnia la correne nell induore, ricriviamo: Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 4
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace & R i de i L ( ) ( ) L ( ) i& L ( ). (8) L LC L d raformando, ora, la (7) e la (8) abbiamo ripeivamene LC VC ( ) H( )E( ) E( ), (9) R L LC I L L ( ) H( )E( ) E( ). (3) R L LC Dalle (9) e (3) verifichiamo che le funzioni di raferimeno rovae hanno lo eo denominaore e che queo corriponde al polinomio caraeriico aociao al iema. Oerviamo che i poli della Fd ono corripondeni alle frequenze naurali del iema. Quindi per un circuio del II ordine poiamo crivere nel eguene modo la funzione di raferimeno: a b H( ), (3) ( λ )( λ ) dove λ e λ ono le frequenze naurali del circuio. E chiaro che coì come oeniamo la (7) raformando l equazione differenziale del problema di Cauchy, coì poiamo rovare l equazione differenziale una vola noa la funzione di raferimeno. In concluione è imporane calcolare la funzione di raferimeno H() perché da ea è poibile: - Ricavare la h() (ripoa all impulo) aniraformando la H(). - Rialire all equazione differenziale nel dominio del empo. - Deerminare la ripoa forzaa calcolando prima X() e poi aniraformando. 3.3 Circuii con condizioni iniziali non nulle La dl i può applicare anche al calcolo della oluzione di ua la grandezza cercaa e non olo della ripoa forzaa. Per fare queo conideriamo un circuio del II ordine e quindi raformiamo il problema () nel dominio di Laplace. Dopo emplici paaggi, applicando le regole di derivazione (9) e (), oeniamo: Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 5
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace ( ) G( ) X a b ( α ) X α ω α DX ω. (3) Abbiamo oenuo un epreione nella quale compare un ermine aggiuno che rappreena la ripoa in evoluzione libera. Queo ermine, infai, l avremmo aggiuno, nel dominio del empo, alla ripoa forzaa per oenere la oluzione del problema. L evoluzione libera della oluzione rappreena il ermine che, a parire da condizioni iniziali non nulle del circuio, evolve fino a caricare l energia conenua negli elemeni dinamici grazie a condizioni iniziali non nulle. Si deermina imponendo che la oluzione omogenea al problema oddifi le condizioni iniziali. Ci domandiamo che relazione eie ra l evoluzione libera che abbiamo imparao a calcolare come appena decrio e il econdo ermine al econdo membro della (3)? Cerchiamo di ripondere brevemene: nel paragrafo 3 della Lezione n. 7 abbiamo vio come è poibile imulare con opporuni generaori impulivi le condizioni iniziali delle variabili di ao. Se un elemeno dinamico ha una condizione iniziale non nulla poiamo chemaizzarla con un alo di diconinuià ra una condizione nulla e la condizione a cui in realà i rova. Cioè: - ( ) ( ) x x ( ) X. (33) x X Il alo di diconinuià (33) che ci è ervio a modellare la condizione iniziale poiamo immaginarlo prodoo da un generaore impulivo come abbiamo fao nel paragrafo 3 della Lezione n.7. Allora poiamo inuire che il econdo ermine al econdo membro della (3) rappreena la ripoa (raformaa econdo Laplace) del circuio nella grandezza x, all ingreo coiuio da due generaori impulivi opporunamene collocai nel circuio come abbiamo fao nella Lezione n.7. Quindi modellare le condizioni iniziali con generaori impulivi vuol dire riolvere un problema con condizioni inziali nulle a cui i ono aggiuni dei nuovi forzameni (i generaori impulivi). Coì facendo, la raformaa di Laplace della ripoa compleiva preena una ovrappoizione degli effei: la ripoa al generaore g() e la ripoa ai generaori impulivi che engono cono delle condizioni inziali. 4. Aniraformaa e oluzione nel dominio del empo Riepiloghiamo brevemene quano deo circa il modo operaivo di procedere del ml.. Si coruice il circuio d impedenze operaoriali corripondene al circuio coniderao. Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 6
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace. Si riolve il circuio d impedenze operaoriali applicando la ovrappoizione degli effei e le alre ecniche ipiche dei circuii reiivi lineari (equivalenze erie e parallelo, regole dei pariori, ) oenendo la relazione (7) e quindi la funzione di raferimeno H(). 3. Si raforma l ingreo ramie la raformaa di Laplace (la G()). 4. Infine, per deerminare le grandezze nel dominio del empo, i compone la funzione H()G() in frai emplici e i aniraforma ogni ingolo ermine (uilizzando le abelle). I puni e poono eere oiuii dal meodo che ua l equazione differenziale. Se conociamo ale equazione, raformandola oeniamo la relazione (7). La validià del ml opra ineizzao i baa ulla poibilià di raformae agevolmene la funzione d ingreo e di comporre in frai emplici il prodoo H()G(). Se queo riula complicao i può uilizzare il meodo dell inegrale di convoluzione come vedremo nella Lezione n. 9. 4. Relazione ra ml e meodo dei Faori In queo paragrafo faremo vedere come il faore di una grandezza da deerminare in un circuio in regime inuoidale i può oenere, per, dall aniraformaa della grandezza ea deerminaa nel dominio di Laplace. Conideriamo un circuio in regime inuoidale. Conideriamo il uo forzameno che ovviamene arà inuoidale: M ( ω α ) g( ) G en. (34) g Dalle (6) e (7) della Lezione n.3 ul regime inuoidale poiamo dire che: M ( ω α ) Im{ G ( ω α ) jg en( ω α )} g( ) G en co g M g M g. (35) Poi dalla (8) e dalla () empre della Lezione n.3 poiamo anche crivere: ( ) { } j ω ω α Im Ĝe g ( ) G en, (36) M g dove Ĝ rappreena il faore della funzione g(). Poiamo anche crivere: Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 7
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace jω jω g( ) G ( ω α ) Ĝe ( M en g Ĝe )*. (37) j j Calcoliamo la raformaa di Laplace della (37): Ĝ Ĝ * G( ) j - jω jω. (38) Ora noi iamo inereai alla ripoa forzaa della grandezza del circuio che chiamiamo x(). Quea la poiamo rovare nel dominio di Laplace aumendo noa la funzione di raferimeno relaiva ad x. Si ha: Ĝ Ĝ * X. (39) ( ) H( ) G( ) H( ) j - jω jω Ora vogliamo aniraformare la (39). Per farlo dobbiamo dare una forma alla Fd. Supponiamo per emplicià che quea abbia n poli emplici diciamoli p i. Perano poiamo crivere: X ( ) j N( ) Ĝ Ĝ * ( ) ( ) p... p n - jω jω, (4) dove abbiamo genericamene inrodoo per il numeraore della Fd il polinomio N(). Poiamo anche crivere: X ( ) j N( ) ( p )...( p ) Ĝ - jω j N( ) Ĝ * ( p )...( p ) jω n n. (4) Aniraformiamo uno alla vola i ermini al econdo membro della (4). Cominciamo con il primo. Indichiamo con k i i reidui corripondeni ai poli p i della Fd. Inolre valuiamo il reiduo del polo jω. Oerviamo che queo polo arà empre divero dai poli p i eendo quei con pare reale negaiva non nulla. Andiamo al calcolo del reiduo del polo jω: lim j ω Ĝ j - jω j ( - jω) H( ) H( jω)ĝ. (4) Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 8
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Ora dobbiamo aniraformare la (4) uilizzando le abelle e la proprieà di ralazione e moliplicazione per una coane. Cominciamo con il primo ermine. Il conribuo del primo ermine alla grandezza x() arà: n i k i e p i jω H( jω) Ĝe per. (43) j Ora paando la (43) al limie per, ricordando che i poli della Fd ono ui negaivi: ω H j j ( jω) Ĝe per. (44) Applicando lo eo ragionameno al econdo ermine i ha che : x ω per. j j (45) jω - j ( ) H( jω) Ĝe H( jω) Ĝ * e La (45) poiamo ricriverla: x jω ( Ĝe )* per. (46) j j jω ( ) H( jω) Ĝe H( jω) Quindi, in analogia alla (36) e (37), poiamo concludere che per oeniamo una oluzione di regime daa dall epreione (47) e quindi dalla eguene: { } j ω jω Ĝe ( ) Im H( ) x per. (47) La (47) è l epreione che avremmo rovao con il meodo dei faori. La funzione H(jω), che dipenderà dalla frequenza del generaore, rappreena la concluione di calcoli fai lavorando direamene ul circuio con impedenze equivaleni e pariori. Quindi nel meodo dei faori noi roviamo una funzione che chiamiamo funzione di ree che denoiamo con H(jω) (confrona Lezione 3). E chiaro che: Xˆ H( jω)ĝ. (48) La funzione di ree i può oenere dalla funzione di raferimeno calcolaa per jω. Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ 9
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace 4. Eercizi Vediamo come riolvere il circuio RC illurao in Fig. 6 per > e con condizioni inziali v C ( ) V R e() C v c () Fig. 6 Circuio RC. L'equazione differenziale del circuio di Fig.6 (vedi la () della Lezione n. 8): dvc d vc ( ) V vc e( ) >, (49) v c è l'ucia del noro circuio. Poiamo crivere la oluzione come omma di ripoa in evoluzione libera e forzaa: con RC. Nella (49) il egnale di ingreo è e ( ), menre ( ) v ( ) v ( ) v ( ). (5) C Cl Cf Come deo in precedenza poiamo applicare la raformaa di Laplace ad enrambi i membri dell'equazione (49) upponendo condizioni iniziali nulle, oenendo, coì: E( ) V ( ) Cf, (5) dove E ( ) e V ( ) ono ripeivamene la raformaa di e ( ) e di ( ) Cf v Cf. La funzione di raferimeno, adeo, può eere facilmene ricavaa dalla (5) ramie alcuni emplici paaggi algebrici. Si ha infai: V Cf ( ) H( )E( ) E( ) (5) Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Oerviamo che il denominaore della H() è un polinomio nella variabile avene gli ei coefficieni del polinomio caraeriico. Il numeraore della funzione di raferimeno è un polinomio di grado minore del denominaore. Ricriviamo la (5) nel modo eguene: V Cf ( ) C E( ) (53) R C La (53) è la formula di un pariore di enione. Queo conferma il fao che poevamo operare direamene ul circuio per calcolare la funzione di raferimeno uando un pariore di enione. Coniderando come ingreo e( ) e u( ). Riolviamo il problema calcolando i due ermini della (5). Cominciamo con l evoluzione libera oluzione del problema: v& v cl c () V ( ) v ( ) cl (54) che ha come oluzione l inegrale generale v cl ( ) ke. (55) Imponendo le condizioni iniziali la (55) divena v cl ( ) V e. (56) Ora calcoliamo l evoluzione forzaa con il ml. Nel noro eempio la raformaa dell evoluzione forzaa è aa già calcolaa nella (5) nel dominio di Laplace. Ricordando che L[ e u( )], poiamo oiuire E() nella (5): V Cf ( ) ( ) ( ). (57) A queo puno dobbiamo uilizzare la compoizione in frai emplici. Si ha: Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/
Lezione 7 Meodo della raformaa di Laplace Coro di Inroduzione ai Circuii Prof.a Lorenza Cori A.A. 9/ ( ) ( ) B A Cf ) ( V, (58) Dove poiamo deerminare: ( ) ( )( ) ( ) lim / A, (59) ( ) ( )( ) ( ) lim B a, (6) Dalla (58), con la (59) e (6) aniraformando oeniamo la oluzione forzaa: ( ) ( ) ( ) Cf e e v ; (6) ed infine, la oluzione complea arà: ( ) ( ) ( ) C e e V e v. (6)