Prova scritta di Controlli Automatici e sistemi elettrici lineari Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA 202 203 9 Settembre 203 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere V e quali sono le affermazioni false F.. Si consideri una funzione del tempo f (t). Sia F (s) = L [f (t)] la sua trasformata di Laplace. Allora, in base alle proprietà delle trasformate di Laplace, è possibile scrivere: ( ) V F L df(t) = sf (s) f(0), se la condizione iniziale è non zero: f(0) 0 ) V F L V F L ( df(t) = sf (s), se la condizione iniziale è zero: f(0) = 0 ( ) d 2 f(t) = s 2 F (s) sf(0) f (0), con condizioni iniziali non nulle: f(0) 0, f (0) 0 2 Commento: Tutte e tre le risposte sono corrette, come discende dalle proprietà della trasformata di Laplace della derivata di funzione. 2. Si scriva nello spazio sottostante la funzione di trasferimento del sistema descritto dalla equazione differenziale: a 2 d 2 y(t) 2 + a dy(t) + a 0 y(t) = b u(t) con ingresso u(t) ed uscita y(t), considerando le seguenti condizioni inziali: u(0) =, y(0) = 0, dy(t) = y (0) = 0, d2 y(t) t=0 2 = y (0) =, t=0 Y (s) = b s a 2 s 2 + a s + a 0 U(s) + a 2 b a 2 s 2 + a s + a 0 Commento: si ottiene: Utilizzando le proprietà delle trasformate di Laplace delle equazioni differenziali, a 2 (s 2 Y (s) y (0)) + a sy (s) + a 0 Y (s) = b (su(s) u(0))
sa cui raccogliendo i termini omologhi: (a 2 s 2 + a s + a 0 )Y (s) a 2 y (0) = b su(s) b u(0) da cui otteniamo la funzione di trasferimento: Y (s) = b s a 2 s 2 U(s) + a 2y (0) b u(0) + a s + a 0 a 2 s 2 + a s + a 0 2
3. Si consideri il sistema descritto dalla seguente funzione di trasferimento: G(s) = s 4 s(s + ) 2 V F Il sistema ha un polo multiplo a parte reale negativa e un polo nullo, per cui è asintoticamente stabile. V F Il sistema ha un polo multiplo a parte reale negativa e un polo nullo, per cui è semplicemente stabile. V F La parte reale dello zero non influenza la stabilità del sistema Commento: Il sistema ha tre poli, un polo di molteplicità due p = e un polo in p 3 = 0 (origine degli assi del piano di Gauss) e uno zero in z = +4. Siccome lo zero non ha influenza sulla stabilità del sistema, il sistema ha un polo multiplo a parte reale negativa che è associabile ad un modo asintoticamente stabile: m (t) = te t e un polo semplice associabile ad un modo semplicemente stabile: m 3 (t) = per cui il sistema è semplicemente stabile. Quindi la prima risposte è errata, mentre la seconda e la terza sono corrrette. 4. Si consideri un sistema lineare e tempo invariante caratterizzato da un ingresso u(t) e un uscita y(t) e descritto dalla seguente equazione differenziale d 2 y(t) 2 + 2 dy(t) = u(t) si calcoli la funzione di trasferimento, e, in base alla analisi dei poli, si indichi se: V F Il sistema è instabile V F Il sistema è semplicemente stabile V F Il sistema è asintoticamente stabile. Commento: Applicando la trasformata di Laplace alla equazione sopra riportata, si ottiene: da cui si ricava la funzione di trasferimento: (s(s + 2))Y (s) = U(s) G(s) = s(s + 2) la cui equazione caratteristica ha una radice semplice in zero (un polo in zero) e una radice con parte reale negativa, pari a 2. La presenza del polo a parte reale nulla produce una caratteristica di semplice stabilità della risposta, per cui solo la seconda risposta è corretta. 3
5. Si consideri il sistema descritto dalla seguente funzione di trasferimento: G(s) = s + a cui applichiama un ingresso a gradino u(s), allora l uscita del sistema calcolata come y(s) = G(s)u(s): V F Tende asintoticamente (per t ) a zero. V F Tende asintoticamente (per t ) all infinito. V F Tende asintoticamente (per t ) a rimanere limitata. Commento: L uscita calcolata come risposta del sistema al gradino è y(s) = s + s che, avendo un polo singolo in p = e un polo singolo nell origine, corrisponde ad una dinamica semplicemente stabile, per cui la sola terza risposta è corretta. 6. Data la risposta di un sistema dinamico ad un ingresso a gradino, si definisce con il termine di tempo di assestamento: V F La differenza tra il massimo valore raggiunto dall uscita e il valore finale, solitamente espresso in valore percentuale. V F Il tempo al quale l uscita entra in modo stabile (senza cioè più uscirne) in una fascia centrata attorno al valor finale di ampizza ±5%. V F Il tempo in cui si ha il valore massimo dell uscita del sistema. Commento: Il tempo di assestamento t s, è il tempo entro il quale l uscita entra in modo stabile (cioè senza più uscirne) in una fascia centrata attorno al valore finale e di ampiezza 0% del valore di regime, o, in modo equivalente, un intervallo pari a [95%,05%] del valore finale, senza più uscirne, e quindi la prima risposta è corretta. La altre risposte sono errate, in quanto la prima risposta è la definizione del massimo sorpasso percentuale, e la terza è la definizione del tempo del massimo sorpasso percentuale. 4
7. Si consideri un sistema descritto dalla funzione di trasferimento G(s) = s(s + ) Per tale sistema si costruisca la retroazione unitaria come in figura per cui possiamo andare ad analizzare l errore a regime quando è applicato un ingresso R(s) a rampa con pendenza A = 0: R(s) = 0 s 2 R(s) E(s) + - G(s) Y(s) per tale analisi valgono i seguenti risultati: V F La costante di velocità del sistema G(s) è pari a. V F L errore di velocità del sistema chiuso in retroazione è pari a e v = 0. V F L errore di posizione dello stesso sistema, con però ingresso a gradino unitario anzichè a rampa, è nullo. Commento: Il sistema è di tipo, cioè ha un polo nell origine. Essendo definito il guadagno di velocità come: K v = lim sg(s) = lim s 0 s 0 s + = si ottine che la prima risposta è corretta. Dalla analisi dell errore di velocità si ricava poi che per cui anche la seconda risposta è corretta. e v = A K v = 0 Impostanto calcoli analoghi nel caso in cui si abbia un ingresso a gradino unitario, si ottine un errore di posizione nullo, per cui la terza risposta `corretta. 8. Si consideri un sistema lineare e tempo invariante caratterizzato da un ingresso u(t) e un uscita y(t) e descritto dalla funzione di trasferimento: G(s) = si verifichi la veridicità delle seguenti affermazioni: (s 2 + ) 5
V F Per calcolare la funzione di risposta armonica occorre conoscere le condizioni iniziali del sistema. V F Imponendo un segnale sinusoidale di ingresso u(t) = sin(t) si ottine un segnale di uscita pari a y(t) = 2 sin(t π 4 ). V F Imponendo un segnale sinusoidale di ingresso u(t) = sin(t) si ottine a regime un segnale di uscita periodico di ampiezza infinita. Commento: Applicando il teorema della risposta armonica, si ottiene che per un ingresso sinusoidale u(t) = A sin(ωt), l uscita vale: y(t) = G(jω) A sin(ωt + arg(g(jω)) essendo G(jω) la funzione di risposta armonica che si ricava dalla funzione di trasferimento applicando il teorema: F (ω) = G(jω) = G(s) s=jω e quindi non è necessario conoscere le condizioni iniziali del sistema, per cui la prima risposta è errata. La funzione di risposta armonica ha un picco di risonanza M r pari a M R = 2ζ ζ 2 in corrispondenza della pulsazione di risonanza: ω R = ω n 2ζ 2 siccome per il sistema in esame è ζ = 0, si ha che M R = e ω R = ω n = rad/sec., pari alla pulsazione del segnale di ingresso, per cui la seconda risposta è errata e la terza é corretta. 6
9. Si consideri un sistema lineare e tempo invariante caratterizzato da un ingresso u(t) e un uscita y(t) e descritto dalla funzione di trasferimento: G(s) = si verifichi la veridicità delle seguenti affermazioni: 00 (s + 00) V F Imponendo un segnale sinusoidale di ingresso u(t) = 00 sin(t) si ottiene un segnale di uscita pari a y(t) = 2 sin(t π 4 ). V F Imponendo un segnale sinusoidale di ingresso u(t) = sin(t) si ottiene un segnale di uscita pari a y(t) = 2 sin(t). V F Imponendo un segnale sinusoidale di ingresso u(t) = sin(t) si ottiene a regime un segnale di uscita periodico di ampiezza infinita. Commento: Applicando il teorema della risposta armonica, si ottiene che per un ingresso sinusoidale u(t) = A sin(ωt), l uscita vale: y(t) = G(jω) A sin(ωt + arg(g(jω)) essendo G(jω) la funzione di risposta armonica che si ricava dalla funzione di trasferimento applicando il teorema: F (ω) = G(jω) = G(s) s=jω e quindi non è necessario conoscere le condizioni iniziali del sistema, per cui la prima risposta è errata. Il modulo e la fase della funzione di risposta armonica, calcolata in ω = 00 rad/sec., pari alla pulsazione del segnale di ingresso, vale: per cui sola la prima risposta è corretta. 0. Sia G tot (s) = Y (s) R(s) G(jω) = 2, arg G(jω) = π 4 la funzione di trasferimento del sistema descritto in figura R(s) Y(s) + K G(s) - Il luogo delle radici: V F Descrive il valore dei poli di G (s) al variare del parametro K tra 0 e infinito. 7
V F Descrive il valore degli zeri di G tot (s) al variare del parametro k V F Ha un numero di asintoti pari alla differenza fra il numero di poli e il numero di zeri di G (s) Commento: Sia data la funzione di trasferimento G(s) di un sistema, il luogo delle radici corrisponde ai punti corrispondenti alle soluzioni della equazione: + KG(s) = 0 essendo il polinomio + KG(s) il denominatore della funzione di trasferimento G tot, non la funzione del sistema in catena aperta G(s), e quindi la prima e la seconda risposte sono errate, la terza risposta è corretta.. Si consideri il segnale mostrato nella seguente figura: tale segnale potrebbe essere ottenuta misurando la: V F risposta impulsiva del sistema descritto dalla funzione di trasferimento: G(s) = 0 s 2 + 2s + 0 V F risposta al gradino unitario del sistema descritto dalla funzione di trasferimento: G(s) = 0 s 2 + 2s + 0 V F risposta al gradino unitario del sistema descritto dalla funzione di trasferimento: F (s) = 0 s 2 + s + 0 8
Commento: La funzione di trasferimento Y (s) U(s) = G(s) ha due poli complessi coniugati p,2 = [ 0i, + 0i], e può essere scritta esplicitando il segnale di uscita Y (s) = G(s)U(s). La risposta impulsiva corrisponde alla antitrasformata del segnale di uscita y(t) quando l ingresso è unitario: Y (s) = G(s) siccome la G(s) ha due poli complessi coniugati con parte reale negativa, l uscita y(t) tende a zero oscillando, per cui la prima risposta è errata. Figura : Risposta della G(s) ad un ingresso impulsivo. La risposta al gradino unitario corrisponde alla antitrasformata del segnale di uscita y(t) quando l ingresso è s : Y (s) = G(s) s siccome la G(s) s ha due poli complessi coniugati con parte reale negativa e un polo nullo, l uscita y(t) tende ad uno oscillando, per cui la seconda risposta è errata. 9
La funzione di trasferimento Y (s) U(s) = F (s) ha due poli reali distini p =, p 2 = 0, e può essere scritta esplicitando il segnale di uscita Y (s) = F (s)u(s). La risposta impulsiva corrisponde alla antitrasformata del segnale di uscita y(t) quando l ingresso è s : Y (s) = F (s) s siccome la F (s) ha due poli reali con parte reale negativa, l uscita y(t) tende a uno in maniera monotona, per cui la terza risposta è corretta. Figura 2: Risposta della F (s) ad un ingresso a gradino. 2. Il controllore PID: V F V F É dato dalla somma di tre azioni di controllo sull errore di regolazione: u(t) = K p e(t) + T i t 0 e(τ)dτ + T d de(t) É dato dal prodotto di tre azioni di controllo sull errore di regolazione: u(t) = K p e(t) T i t 0 e(τ)dτ T d de(t) 0
V F É dato dalla radice quadrata della somma di tre azioni di controllo sull errore di regolazione: u(t) = K p e(t) T i t 0 e(τ)dτ T d de(t) Commento: Il modello matematico del controllore PID è cosí descritto: u(t) = K p (e(t) + T i t Quindi la sola prima risposta è corretta. 0 e(τ)dτ + T d de(t) 3. L anello di controllo della corrente di un motore DC è caratterizzato da un ben determinato margine di fase (per esempio M F = 45 o ). V F Cambiare i parametri del regolatore PI al fine aumentare il margine di fase determina un aumento della sovraelongazione nella risposta del sistema. V F Conoscendo le FdT di tutti i blocchi del sistema da controllare è possibile determinare in modo analitico i parametri del regolatore PI al fine di ottenere il margine di fase desiderato. V F Il margine di fase può essere determinato dall analisi del diagramma di Bode della funzione di risposta armonica del guadagno di anello del sistema in retroazione. Commento: Il margine di fase può essere determinato sia per via grafica, sia per via analitica. Il margine di fase mi fornisce una delle informazione a riguardo del margine a disposizione dal sistema in retroazione prima di arrivare all instabilità. 4. Si ipotizzi di avere un anello di controllo della velocità di un motore DC con banda passante pari a 00 rad/s (non si trascuri la presenza dell attrito viscoso). V F Non è presente errore a regime se viene usato un regolatore puramente proporzionale. V F Se il set-point dell anello di velocità è una sinusoide con pulsazione pari a 500 rad/s la velocità del motore risulta fortemente attenuata e sfasata rispetto al set-point. V F Utilizzando un regolatore proporzionale integrale qualunque disturbo di coppia resistente (a qualunque frequenza) non determina effetti sulla velocità del motore. Commento: ) Sebbene con alcuni motori l errore a regime può risultare piccolo, quest ultimo è sempre presente con l uso di un regolatore puramente proporzionale. 2) Qualunque anello in retroazione non è in grado di controllare in modo opportuno la grandezza controllata se la pulsazione del segnale di set-point è superiore alla banda del sistema. Questo si capisce ragionando sui diagrammi di Bode del sistema in retroazione. 3) Un disturbo di coppia resistente a frequenza diversa da zero determina un effetto sulla velocità d uscita. Questo si capisce analizzando la FdT ωr T r (s). 5. La rete anticipatrice utilizzata all interno di un controllo di velocità di un motore DC: V F serve per ottenere errore a regime nullo. V F può permettere di aumentare il margine di fase.
V F può permettere di ridurre la sovraelongazione della risposta del sistema. Commento: La rete anticipatrice permette di aumentare il margine di fase del sistema in retroazione e perciò è in grado (se opportunamente dimensionata) di ridurre la sovraelongazione nella risposta al gradino della grandezza controllata. 2
Si svolgano i seguenti esercizi indicando chiaramente i passaggi seguiti per raggiungere la soluzione Esercizio Si consideri il sistema riportato in figura R(s) Y(s) + K G(s) - dove G(s) = s2 2s + 2 s 2 + 2s + 2 Si tracci il luogo delle radici del sistema chiuso in retroazione al variare di K da 0 a. IMPORTANTE: si elenchino e descrivino le regole applicate per il tracciamento del luogo delle radici. Commento: Applichiamo le regole di tracciamento:. Il luogo delle radici inizia sui poli e termina sugli zeri o all infinito. Identifichiamo quindi i poli e gli zeri del sistema. Il sistema ha due poli in p, p 2 = [ + i, i] e due zeri in z, z 2 = [ + i, i]. Il luogo delle radici quindi non avra alcun asintoto, ma il luogo partirà dai due poli per arrivare ai due zeri. 2. I punti dell asse reale che lasciano alla propria destra un numero dispari di zeri o poli fanno parte del luogo delle radici. Non vi sono poli o zeri sull asse reale, per cui nessun punto dell asse reale fa parte del luogo delle radici. Il luogo delle radici é quindi rappresentato nelle figura seguente 3
.5 Root Locus Imaginary Axis (seconds ) 0.5 0 0.5.5.5 0.5 0 0.5.5 Real Axis (seconds ) Esercizio 2 Realizzare un anello di controllo della velocità di un motore DC a magneti permanenti utilizzando un regolatore proporzionale-integrale (PI), R(s) = K P + K I /s. Il set-point di velocità è un segnale in tensione proporzionale alla velocità desiderata. Lo schema in retroazione riporta anche la funzione di trasferimento (FdT) dell amplificatore di potenza A(s), della FdT del motore G ω (s) = ω(s)/v a(s) e della FdT del sensore di velocità ( H r (s)) che trasforma l informazione della velocità meccanica in un segnale elettrico. Per semplicità viene fornita direttamente la FdT del motore ω(s)/v a(s), scritta in funzione delle costanti di tempo dei poli e degli zeri del sistema: G ω (s) = K ( + sτ p )( + sτ p2 ) () 4
con K =.078, τ p = 53ms, τ p2 = 3.8ms (N.B.: il punto indica la virgola). La FdT dell amplificatore di potenza vale A(s) = 50, mentre la FdT del sensore di velocità vale H r (s) = /00. ) Dimensionare il regolatore PI per ottenere una banda passante per l anello di velocità pari a Bw = 40rad/s (utilizzare la compensazione polo-zero). 2) Calcolare il Margine di fase dell anello di velocità così realizzato. Commento: La FdT del guadagno di anello del sistema in retroazione è: G 0 (s) = R(s)A(s)G ω (s)h r (s) (2) La FdT del regolatore R(s) la indico in questo modo: R(s) = K i(+sτ P I ) s, con τ P I = K P /K I. La FdT A(s)G ω (s)h r (s) ha due poli a parte reale negativa: p=-8.86 e p2=-263.5 Lo zero del regolare PI viene scelto per annullare il polo più lento della FdT del sistema da controllare. Questo implica che la costante di tempo dello zero del regolare PI (τ P I ) è uguale a τ p = p. Dopo questa cancellazione polo-zero la FdT del guadagno di anello risulta: G 0 (s) = K I K 2s( + sτ p2 ) Occorre imporre una banda passante pari a B ω = 40rad/s. Soluzione con metodo analitico. La funzione di risposta armonica del guadagno di anello è G 0 (jω): (3) G 0 (jω) = Occorre soddisfare la seguente richiesta: K I K 2jω( + jωτ p2 ) (4) G 0 (j40) = (5) Svolgendo i calcoli si determina K I =75.28. Siccome τ P I = Kp K I si determina K p =3.98. Il margine di fase del controllo in retroazione vale: M F = 80 o + arg(g 0 (j40)). Svolgendo i calcoli si determina M F = 8.3 o. Esercizio 3 Si tracci il Diagramma di Bode delle Ampiezze e delle Fasi della funzione di trasferimento: G(s) = 00 s(s + 00)(s 2 + s + ) tracciando sul foglio la sola approssimazioni per semirette (spezzate). Si richiede di tracciare i grafici dei tre termini a denominatore in modo separato e poi, successivamente, riportare il risultato finale in un unico grafico. Si indichi poi nella seguente tabella: 5
la pulsazione di taglio sul diagramma delle ampiezze corrispondente al termine del primo ordine ω n = 00 le due pulsazioni sul diagramma delle fasi per il termine del primo ordine ω a, ω b = { 20.79, 48} la pulsazione di taglio sul diagramma delle ampiezze corrispondente al termine del secondo ordine ω n = le due pulsazioni sul diagramma delle fasi corrispondente al termine del secondo ordine ω a, ω b = { 0.45, 2.2} Commento: Il tracciamento dei diagrammi di Bode di ottiene tramite:. Riscrivere la Funzione di trasferimento nella forma con costanti di tempo: G(s) = 00 s(s + 00)(s 2 + s + ) == K s( + τs)( + 2ζ s ω n + s2 ) ωn 2 dove si calcolano gli zeri e i poli del sistema, ottenendo quindi: p, p 2 = 2 ± j 2 3 = 0.5 ± j0.866 ω n = ζ = 0.5 K = τ = 0.0 da cui: F (ω) = s( + 0.0 s)( + s + s 2 = s=jω jω( + 0.0 jω)(( ω 2 ) + jω) 2. Consideriamo quindi i quattro termini elementari in cui si può pensare scomponibile la funzione di risposta armonica F (ω): (a) K =, che espresso in Decibel vale 20Log 0 = 0 db. (b) jω, che corrisponde ad un polo nell origine. (c), il cui diagramma di bode nelle ampiezze ha il punto di rottura in corrispondenza ( ω 2 )+jω di ω n = = 0 0 (in scala logaritmica), mentre il diagrmma delle fasi ha i due punti ω a = (4.8 0.5 ) = 0.45 e ω b = (4.8 0.5 ) = 2.2. (d) +jωτ, per cui si può tracciare il seguente diagramma di Bode, in cui il punto di rottura del polo in p = 00 è pari a ω n = 00. L effetto del polo in p = 00 porta un diagramma delle fasi con ω a = 00/4.8 20 e ω b 00 4.8 = 48. 6
Dopo il punto di rottura, il diagramma continua con una variazione del diagramma delle ampiezze complessivo di 20 db/decade. Il Diagramma complessivo si ottine compinando i quattro termini sopra analizzati, per cui si ottiene: 0 Diagramma di Bode Modulo M [db] -50-00 -50-200 -250 0-0 0 0 0 2 0 3 Fase φ [gradi] 0-45 -90-35 -80-225 -270-35 -360 0-0 0 0 0 2 0 3 Pulsazione ω [rad/s] 7