STATISTICA (2) ESERCITAZIONE 3 12.02.2014 Dott.ssa Antonella Costanzo Esercizio 1. Distribuzioni doppie di probabilità: applicazioni E stata svolta un indagine per studiare la relazione tra abitudine a praticare uno sport e spesa per tabacchi tra giovani studenti. La seguente tabella a doppia entrata riporta la distribuzione congiunta relativa ai caratteri Y=spese mensili per tabacchi (valori centrali delle classi in centinaia di euro) e X= abitudine a praticare uno sport (Si=1, No=0): X=Sport Y=Spesa 2 2.75 3.25 4 0 0.12 0.15 0.15 0.19 0.61 1 0.16 0.09 0.08 0.06 0.39 0.28 0.24 0.23 0.25 1 Calcolare: a) Calcolare i valori attesi condizionati della Y, per X = 0 e X = 1, e confrontarli con il valore atteso marginale (verificare la proprietà di associatività); b) calcolare le varianze condizionate della Y e verificare la proprietà di scomposizione della varianza; c) Valutare se le variabili casuali X e Y sono indipendenti. Soluzione a) Valore atteso della distribuzione marginale di Y = = =. =20.28+ 2.750.24+ 3.250.23+ 40.25=. 1
Distribuzione condizionata di Y per X=0,1 X=Sport Y=Spesa 2 2.75 3.25 4 0 0.197 0.246 0.246 0.311 1 1 0.410 0.231 0.205 0.154 1 Valore atteso condizionato di Y per X=0,1 =0= = =0 =0=0.197 2+0.246 2.75+0.246 3.25+0.311 4=3.114 =1= = =1 =1=0.410 2+0.231 2.75+0.205 3.25+0.154 4=2.7375 Verifica della proprietà del valore atteso reiterato (Equivalente della proprietà di associatività della media aritmetica) ==0 =0+=1 =1 =0.61 3.114+0.39 2.7375=. b) Le varianze condizionate risultano le seguenti: =0= =0 = =0 =0=2 3.114 0.197+2.75 3.114 0.246+3.25 3.114 0.246 +4 3.114 0.311=0.53 2
=1= =1 = =1 =1=2 2.7375 0.410+2.75 2.7375 0.231+ +3.25 2.7375 0.205+4 2.7375 0.154=0.52 Nota: in analogia al caso non condizionato, la varianza condizionata può essere espressa come la seguente differenza: == = = Verifica della proprietà di scomposizione della varianza: = + dove: = =. = = ==0.53 0.61+0.52 0.39=0.5261 = = = =3.114 2.9675 0.61+2.7375 2.9675 0.39 =0.033 Verificare che: 0.5261+0.033=.= c) In caso di indipendenza tra X e Y dovrebbe verificarsi che: = =0 e = =1 sono uguali alla distribuzione marginale P(Y). Nel nostro caso non vale la relazione, per cui X e Y non sono indipendenti. Nota: Alternativamente è possibile verificare l indipendenza tra X e Y sfruttando l interpretazione probabilistica dell indice. 3
Esercizio 2. TLC: Approssimazione della v.c. binomiale relativa alla normale Una fabbrica di scatole di cartone evade il 96% degli ordini entro un mese. Estraendo 300 campioni casuali di 300 consegne, in quale proporzione di campioni la percentuale di ordini evasi entro questo termine: a) E compresa fra il 96% e il 99% b) È superiore al 99% Soluzione a) La proporzione di ordini evasi segue una distribuzione binomiale (relativa) = ~, con Y=numero di ordini evasi e parametri n=300 e =0.96 Occorre determinare: 0.96 0.99 essendo n sufficientemente grande, per il TLC, è possibile sfruttare un approssimazione normale, per cui:, 1 b) 0.96 0.99= 0.96 0.96 0.961 096 0.99 0.96 = 0.961 096 300 300 =0 2.65= 2.65 0=0.9960 0.5=0.4960 0.99 0.96 =1 2.65=1 0.9960=0.0040 0.961 096 300 4
Esercizio 3 (Scozzafava). Applicazioni del T.L.C. Una ferrovia metropolitana è servita da treni costituiti da 5 carrozze non comunicanti. Alla partenza 150 passeggeri scelgono a caso una delle carrozze. Determinare il numero (minimo) di posti a sedere che devono essere disponibili su ciascuna carrozza affinché la probabilità che restino viaggiatori in piedi sia minore di 0.01. Soluzione Si indichi con C una qualunque delle 5 carrozze e sia l evento il passeggero -esimo sale sulla carrozza C =1,2,,5. La scelta a caso corrisponde a supporre indipendenti ed equiprobabili, con probabilità = questi 150 eventi. Il numero di successi, cioè il numero di passeggeri che sale su C è dato da: = + + + Indichiamo con x il numero di posti a sedere. Quindi restano viaggiatori in piedi se per il numero x di posti a sedere, si ha <. Si richiede quindi che: ><0.01 Equivalentemente: 0.99 Le variabili sono indipendenti e identicamente distribuite come Bernoulli con i momenti: == e =1 = per cui: = ~, infatti la somma di n v.c. i.i.d. bernoulliane con lo stesso parametro p è una v.c. binomiale di parametri n e p. 5
Tuttavia, essendo n sufficientemente grande, per il T.L.C. è ulteriormente possibile approssimare ad una Normale: =, =1... 30,24... Risolvere 0.99 equivale a determinare, dalle tavole della Normale standardizzata, il percentile della distribuzione che lascia a destra una probabilità di 0.01. Sfruttando la proprietà di simmetria della v.c. Normale dalle tavole risulta che il valore z che si lascia a destra una probabilità 0.01 è, approssimando:. =2.335 Infine si ricava il valore di x: =+. =30+2.335 24 42 Su ogni carrozza devono essere disponibili almeno 42 posti a sedere. 6