ELEMENTI DI BASE: Poteze Rdicli Logritmi
POTENZE L potez co bse ed espoete, o potez - esim di, si idic co ed è il prodotto di fttori tutti uguli d. =... ( volte) 0 = 1
PROPRIETÀ DELLE POTENZE m = +m : m = -m ( se = 0) ( ) m = m b = ( b) : b = ( :b) (se b = 0 )
RADICALI Defiizioe. Si dto u umero rele positivo, e si u itero positivo. Si chim rdice ritmetic -esim più semplicemete rdice -esim del umero, il umero rele positivo b tle che b =. Il umero b è idicto co il simbolo: Idice di rdice b = rdicdo
RADICALI (cotiuzioe) Csi prticolri: 0 = 0 1 =
PROPRIETÀ INVARIANTIVA DEI RADICALI 1. m = p m p Esempio. 10 2 3 3 4 10 2 4 12 10 8 = = 2. m = : p m : p Esempio. 12 1 6 6 6: 3 12: 3 1 1 2 4 6 1 4 36 = 6 = =
SEMPLIFICAZIONE DEI RADICALI Determire M.C.D. tr l idice del rdicle e quello del rdicdo Divido si l idice del rdicle si il rdicle per tle vlore trovto el puto precedete
Esempio 1 12 3 6 Il M.C.D. (12, 6) = 6 12 3 6 12: 6 = 3 6: 6 = 3
Esempio 2 3 (1/ 2) 6 Il M. C.D. ( 3, 6) = 3 3 1 (1 / 2) 2 (1/ 2) 6 = = (1/2) 2 = ¼
Esempio 3 12 12 ) 3 4 2 8 (3 5 7 ) 6 3 24 2 8 3 5 7 = (3 5 7 =
Esercizio 4 144 12 2 4 6 6 3 1 2 = 12 3 2 12 = (2 2 3 ) 2 = 2 2 =
RADICALI (cotiuzioe) I cso di bse egtiv per poter semplificre devo usre l defiizioe di modulo. Esempio. 24 (-2) 4-2 4 24 6-2 = = = 6 2
RIDUZIONE DI UNO O PIÙ RADICALI ALLO STESSO INDICE DI RADICE 07.07.2011 Sdl Si semplifico tutti i rdicli dti trsformdoli ell loro form irriducibile Si trov il m.c.m. tr tutti gli idici del rdicle Si divide il m.c.m. trovto per ciscu idice del rdicle e si moltiplic poi il quoziete otteuto per l idice del rdicdo
Esempio 5 18 5 21 12 3 6 5 7 5 7 5 2 6 5 7 12 3 5 7 6 5 7 5 2 Il m.c.m ( 6, 12 ) = 12 12 5 14 12 3 5 7 12 5 7 10 4
CONFRONTO TRA RADICALI Per cofrotre due rdicli devo portrli d vere lo stesso idice di rdice Esempio. 4 5 ed 3 10 12 3 5 12 4 12 = 10 = 10.000 12 125 4 3 125 < 10.000 5 < 10
PRODOTTO DI DUE O PIÙ RADICALI Teorem. Il prodotto di due o Teorem. più rdicli vete lo stesso idice è ugule d u rdicle vete lo stesso idice dei rdicli dti e per rdicdo il prodotto dei rdicdi. Ossi, se = 0,b = 0 ed è umero itero positivo si h : b = b
Esempio 6 5 6 7 6 6 35 =
Esempio 7 16 2 3 3 3 1 = = = 2 2= 2 3 2 2 2 3 3 3 3 2 (prim di moltiplicre devo vere lo stesso idice di rdice)
Esempio 8 4 3 2 12 5 3 12 2 4 5 3. 5 = = 12 4 12 2 = 2000
QUOZIENTE DI RADICALI Teorem. Il quoziete di due rdicli vete lo stesso idice è ugule d u rdicle vete lo stesso idice dei rdicli dti e per rdicdo il quoziete dei rdicdi. Ossi, se > 0,b > 0 ed è umero itero positivo si h : b = b
Esempio 9 24 8 = 24 8 = 3 (per poter fre l divisioe come l moltipliczioe devoo vere lo stesso idice di rdice)
Esempio 10 3 6 2 4 = = 2 6 3 27 6 4 27
TRASPORTO DI UN FATTORE SOTTO RADICE Regol : Qudo u rdicle è moltiplicto per u umero o egtivo, tle fttore si può trsportre sotto il sego di rdice, come fttore del rdicdo, purché lo si elevi d u potez ugule ll idice del rdicle. Ossi se = 0, b= 0 ed è u itero positivo si può scrivere : b b =
Esempi 11 4 4 2 5 = 2 4 5 = 1 2 3 4 60 = 3 1 3 3 3 3 2 = 3-5 2 = - 5 2 2 = - 50 8
TRASPORTO DI UN FATTORE FUORI DAL SEGNO DI RADICE Regol: Si dto u rdicle di idice, il cui rdicdo è u umero scomposto i fttori tutti o egtivi. Allor uo qulsisi di questi fttori, dicimo m, il cui espoete m è mggiore o ugule ll idice del rdicle, può essere portto fuori (ossi come fttore estero) del sego di rdice. Per fre ciò si divide l espoete del fttore dto per l idice del rdicle (ossi m : ), il quoziete di tle divisioe costituirà l espoete che il fttore dto vrà ll estero del sego di rdice, metre il resto dell divisioe, costituirà l espoete che il fttore dto vrà ll itero del sego di rdice.
Esempio 12 3 20 3 7 7 2 I fttori trsportbili soo i umeri 3 e 7. Si h 20 :3 = 6 co resto 2 ed 7 : 3 = 2 co resto 1. Si ottiee quidi : 3 20 3 7 7 2 = 3 6 7 2 3 2 3 7 2
POTENZA CON 07.07.2011 Sdl ESPONENTE INTERO NON NEGATIVO Regol : L potez m-esim di u rdicle, co umero itero o egtivo, è ugule u rdicle che h per idice del rdicle lo stesso idice del rdicle dto e per rdicdo l potez -esim del rdicdo. Ossi se = 0, itero positivo ed m itero o egtivo si h : ( ) m = m
Esempio 13 1. 2 3 ( 5) = 3 2 5 = 3 25 2. ( 3 2 ) 2 3 = (3 5 4 2 ) = 3 2 3 2 3 4 3 8 12
RADICE DI UNA RADICE Regol : L rdice m-esim dell rdice -esim di u umero rele = 0, è ugule ll rdice di idice m= del umero. m = m
Esempio 14 1. 3 2 6 2,3 = 2,3 2. 3 2 = 24 0,25 0 25 4,
SOMMA ALGEBRICA TRA RADICALI SIMILI Defiizioe. Due rdicli si dicoo simili, qudo ho lo stesso idice del rdicle, lo stesso rdicdo e differiscoo evetulmete solo per u fttore che li moltiplic, che viee detto coefficiete del rdicle.
Esempio 15-50 + 7 50 + 23 50 = 29 50
RADICALI DOPPI + 2 b 2 2 + b b = + 2 b 2 b 2 = - 2 + b 2
POTENZE CON ESPONENTE FRAZIONARIO DI UN NUMERO REALE = m m = m 1 m = : = = m p q m p q + m p q m p q m p q m p q 1. 2. 3. 4. 5. 07.07.2011 Sdl
POTENZE CON ESPONENTE FRAZIONARIO DI UN NUMERO REALE (cotiuzioe) 6. m ( b c) = m b m c m 7. b m = b m m (co > 0, b >0, m,,p,q iteri > 1)
LOGARITMI Cosiderdo l equzioe x = b (co e b umeri reli tli che > 0 ed > 1 e b > 0) L soluzioe di quest equzioe è: bse log b rgometo
LOGARITMI (cotiuzioe) Logritmi decimli: ho bse 10 log 10 Logritmi turli o eperii: ho bse e log e b
PROPRIETÀ DEI LOGARITMI log c log 1 = 0 log = 1 = c log ( b c) = log b + log c log b c = c log b log = log b 1 b
Esempio 16 log 2 (1/5) = log 2 1 - log 2 5 = - log 2 5 log (37/7) = log 37 - log7 log (81 74) = log81 + log 74 log 2 4 7 = 7 log 2 4 = 2 3 1 log 3 27= log 3 27 = 1 3
Esempio 17 log (1/9) + log 36 + log 24 = log (9-1 ) (36)(24) = =log 9-1 (9 4) (8 3) = log(2 5 3) =5log 6 -log 2 + log 2 3 + log 2 5 - log 2 7 = =(-1 + 3 +5-7 ) log 2 = 0 ( > 0)
PASSAGGIO DA UNA 07.07.2011 Sdl DETERMINATA BASE AD UN ALTRA log b M = log M log b Esempio: log 5 3 = log 3 2 log 5 2