Grandezze scalari e vettoriali Per caratterizzare completamente una grandezza fisica, a volte è sufficiente dare soltanto un numero (scalare), mentre altre volte questo non è sufficiente. Massa, lunghezza, temperatura: grandezze scalari. Spostamento, velocità: grandezze vettoriali. 1. Quanto veloce? Modulo (lunghezza del segmento). 2. In quale direzione? Direzione (retta su cui giace). 3. Con quale verso? Verso (orientamento) Una grandezza vettoriale è quindi caratterizzata SEMPRE da un valore numerico (modulo), da una direzione e da un verso. K Verso Notazione: K, K, K direzione modulo Modulo K Vettori - Capitolo 3 HRW 1
Grandezze vettoriali e loro rappresentazione Così come le informazioni fornite da una grandezza scalare possono venire rappresentate mediante un punto su una retta, le informazioni fornite da una grandezza vettoriale possono venire rappresentate mediante un punto nello spazio. z y x Cerchiamo quindi di capire come si rappresenta una grandezza vettoriale (in 2-D e in 3-D) Strumento matematico utilizzato: i vettori Cosa sono? Insiemi di segmenti orientati..., di cui si rappresenta quello con un estremo nell origine Vettori - Capitolo 3 HRW 2
Rappresentazione in un sistema di coordinate Va data specificando l origine. In due dimensioni: Y X θ Si possono dare le due componenti cartesiane K = (k x,k y ) o polari K = ( K, θ) k x = K Cos (θ) K = (k x 2 +k y 2 ) 1/2 k y = K Sen (θ) θ = artg (k y /k x ) 3D: coordinate cartesiane e polari sferiche Vettori - Capitolo 3 HRW 3
Caso tridimensionale Coordinate cartesiane z y x Coordinate polari sferiche x = y = z = r sin r sin r cos ( θ ) cos( ϕ ) ( θ ) sin( ϕ ) ( θ ) Coordinate polari cilindriche x = r cos y = r sin z = z ( θ ) ( θ ) Vettori - Capitolo 3 HRW 4
Deve essere possibile definire delle operazioni di somma (algebrica) e prodotto per i vettori. Esiste una branca della matematica che se ne occupa (algebra vettoriale). Per la fisica che trattiamo in questo corso serve solo un sottoinsieme di tutte le operazioni che si possono definire. Ho un tipo di somma algebrica: vettore + vettore Risultato: vettore Posso avere invece quattro diversi tipi di prodotto: 1) Prodotto di un vettore per un numero: scalare vettore Risultato: vettore 2) Prodotto Scalare: vettore vettore Risultato: scalare 3) Prodotto Vettoriale: vettore vettore Risultato: vettore 4) Prodotto Tensoriale: vettore vettore Risultato: tensore Vettori - Capitolo 3 HRW 5
Somma algebrica di vettori Metodo Grafico + = = Metodo Algebrico La somma di due vettori è quel terzo vettore che ha per componente x (y, z) la somma delle componenti x (y, z) dei due vettori addendi. A(3,2) + B(2,-3) = C C = A+B = (3+2, 2-3) = (5,-1). Nota: La somma di due vettori A(a 1,a 2 ) e B(b 1,b 2 ) ha modulo pari a: A+B = C = ( A 2 + B 2-2 A B cos(θ a -θ b )) 1/2 Vettori - Capitolo 3 HRW 6
Prodotto di un vettore per un numero ha come risultato un vettore. Si ottiene moltiplicando le componenti cartesiane del vettore per il numero. Se si hanno le coordinate polari: si moltiplica il modulo per il numero (NON l angolo). V(a,b) oppure V( v,q) 4 V = V (4a, 4b) = V (4 v,q) Le operazioni di somma vettoriale e di prodotto di un vettore per un numero ci permettono di introdurre una nuova rappresentazione dei vettori Vettori - Capitolo 3 HRW 7
Rappresentazione mediante i versori Definisco 2 vettori (nello spazio a 2 dimensioni) con: Modulo = 1 Direzione = rispettivamente l asse x e l asse y Verso = quello delle coordinate positive Questi vettori si dicono versori e si indicano con j 1 i Un generico vettore si scrive k = 3 i + 2 j k y = 3 k = ( 3, 2 ) k x = 2 Ovviamente esistono versori anche nella rappresentazione polare k 56.3 13 Vettori - Capitolo 3 HRW 8
Prodotto Scalare ha come risultato uno scalare. E il prodotto tra i moduli dei due vettori e il coseno dell angolo compreso, OVVERO il prodotto della proiezione del primo vettore sulla direzione del secondo per il modulo del secondo. A(a 1,a 2 ), B(b 1,b 2 ) A( a,θ a ), B( b,θ b ) C = A Β = (a 1 b 1 + a 2 b 2 ) C = A B = a b cos (θ a -θ b ) Ovviamente: Il Prodotto scalare tra due vettori ortogonali è nullo! Il Prodotto scalare tra due vettori paralleli è il prodotto dei loro moduli A B = B A dato che cos (θ a - θ b ) = cos (θ b - θ a ) Vettori - Capitolo 3 HRW 9
Prodotto Vettoriale ha come risultato un vettore A(a 1,a 2 ), B(b 1,b 2 ) oppure A( a,θ a ), B( b,θ b ) C = A x B = A Λ B Modulo α C = a b sen (θ a - θ b ) Direzione α Ortogonale al piano individuato da A e B Verso α Regola della mano destra C C B B A A Con le dita della mano destra (indice e medio) far girare il vettore A verso il vettore B, ed il pollice indicherà la direzione del vettore C. Ovviamente: Il prodotto vettoriale tra due vettori paralleli è nullo A x B = - B x A (non commutativo!) Vettori - Capitolo 3 HRW 10
Prodotto Vettoriale in 3 dimensioni Z A(x a,y a,z a ) B(x b,y b,z b ) C B A X Y C = x y z c c c = = = A ( yazb za yb ) ( zaxb zbxa ) ( x y y x ) a B b a b i j k x a y a z a x b y b z b Esempio i j k A(1,1,1) B(2,2,0) C = A Λ B Cx = - 2 1 1 1 Cy = +2 Cz = 0 2 2 0 Vettori - Capitolo 3 HRW 11
Obiettivi generali degli esercizi svolti in aula: Saper passare da un vettore (modulo e direzione) alle componenti e dalle componenti al vettore. Saper compiere le operazioni fondamentali con i vettori (somma, prodotto per un numero, prodotto scalare e prodotto vettore). Vettori - Capitolo 3 HRW 12