Analisi Vettoriale A.A. 2006-2007 - Soluzioni del foglio 5 5. Esercizio Assegnato il problema di Cauchy y = y 2, y(0) = k determinare per ogni k la soluzione y(x), determinare il suo insieme di esistenza, esaminare per quali k la y(x) é limitata. Si tratta di un equazione autonoma y k dy y 2 = x Se k = 0 la soluzione é la funzione identicamente nulla. Per gli altri k si ha y + k = x, y = k kx L insieme di definizione di ciascuna soluzione dei problemi di Cauchy assegnati (l intervallo contenente l origine in cui la soluzione è definita) è: se k = 0 tutto l asse reale, se k < 0 è l intervallo illimitato (/k, + ) se k > 0 è l intervallo illimitato (, /k) La soluzione é limitata solo per k = 0. 5.2 Esercizio Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy y = y + x 2 y 2, y(0) = 2
y = y + x 2 y 2 è un equazione differenziale di Bernoulli: possiede la soluzione y 0 pertanto ogni altra soluzione y(x), per il teorema di unicitá, non si annulla mai. Dividendo per y 2 si ottiene y 2 y = y x 2 che, posto y = z rappresenta l equazione lineare di primo ordine in z Integrale generale: z = z x 2 () soluzioni dell omogenea associata z = z z 0 (x) = c e x soluzione equazione completa: cerchiamone una come z(x) = Ax 2 + Bx + C, sostituendo si deve avere A =, B = 2, C = 2 quindi z(x) = x 2 + 2 x 2 L integrale generale dell equazione () è pertanto z(x) = c e x x 2 + 2x 2 La condizione iniziale y(0) = 2 implica, per la (), z(0) = 2 e, quindi, z(0) = c 2 = 2 c = 4 z(x) = 4 e x x 2 + 2x 2 La soluzione del problema di Cauchy assegnato é pertanto 5.3 Esercizio y(x) = 4 e x x 2 + 2x 2. Determinare le soluzioni dei problemi di Cauchy y = y ln(y), y() = oppure y() = 2. 2x 2
Primo problema: y = y ln(y), y() = y(x) 2x Ricordate sempre, davanti al problema di Cauchy per un equazione a variabili separabili y = f(y).g(x), y(x 0 ) = y 0 di controllare se f(y 0 ) = 0?: nel caso lo sia, la soluzione é, banalmente, y(x) y 0. Secondo problema: da cui y 2 dt t ln(t) = x 2τ dτ ln(ln(y)) ln(ln(2)) = 2 ln(x) ln(y) = x ln(2), y(x) = e ln(2) x = 2 x Naturalmente soluzione definita per x > 0. Nell integrazione non sono stati messi i moduli perché giá sapevamo di lavorare con x e y 2 situazione in cui anche ln(y) > 0. 5.4 Esercizio Risolvere il problema di Cauchy lineare y = 2y x + x2 sin 2 (x), y() = 0. Si tratta di un equazione lineare del primo ordine: Soluzioni omogenea associata: y = 2y x, y(x) = A x2 Soluzione della completa (variazione delle costanti) y(x) = A(x) x 2 : A (x)x 2 = x 2 sin 2 (x) A (x) = sin 2 (x), A(x) = x 2 Soluzioni dell equazione: y(x) = ( A + x ) sin(2 x) x 2 2 4 Condizione iniziale ( A + 2 sin(2) ) 2 = 0 4 A = 2 + 4 sin(2) sin(2 x) 4 3
5.5 Esercizio Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = x y, y() =. x + y Si tratta di un equazione omogenea indicando con questa parola il fatto che la funzione f(x, y) = x y x + y é omogenea di grado 0. L equazione equivale, per x 0 a y = y/x + y/x, Posto z = y x, y = x. z + z si ha x z = z z, z() = + z equazione a variabili separabili. z + z 2z z 2 dz = ln( 2 2z z 2 Ritornando ad y si ha x dx x ) = ln(x2 ) + 2z + z 2 = 2 x 2 y 2 + 2xy x 2 = 2 y(x) = x ± 2x 2 + 2 La scelta obbligata dovendo essere y() = é 5.6 Esercizio y(x) = x + 2 + x 2 Determinare la soluzione del problema di Cauchy y = y 2 x 2, y() = 2. xy 4
La solita sostituzione z = y/x conduce all equazione a variabili separabili x z = 2z2 z z z() = 2 5.7 Esercizio z z x 2 2z 2 z dz = x dx ( ) 4 ln (2z ) ln(z 2 ) = ln(x 2 ) 3 4 3 (2z ) = x2 z 2 z = 3x 2 ( 4 ± 6 2x 2 ) y = 3x (4 + 6 2x 2 ) Risolvere i due seguenti problemi di Cauchy, riferiti alla stessa equazione differenziale, { y = 2(t + )y 2/3 y() =, { y = 2(t + )y 2/3 y(0) = 0 Si tratta di un equazione differenziale a variabili separabili: Primo problema Ne segue dy y = 2/3 2(t + )dt 3y /3 = t 2 + 2t + c y(t) = ( ) 3 3 (t2 + 2t + c) La condizione y() = implica = ( 3 ( + 2 + c)) 3 da cui c = 0 e quindi la soluzione del primo problema é ( ) 3 y(t) = 3 (t2 + 2t) 5
Secondo problema É ancora piú facile: esiste, ovvia la soluzione y(x) 0 Sará l unica? Cerchiamo soluzioni nulle nell origine Si tratta di una ricerca non disperata: infatti, a priori non possiamo escluderne l esistenza, la funzione 2(t + )y 2/3 non é infatti di classe C in alcun rettangolo intorno all origine: il motivo é quella potenza y 2/3 con esponente minore di. Lavoriamo un pò con le soluzioni dell equazione nulle per t = 0 ma diverse da zero per t > 0 (naturalmente eventuali...) 3 y 2/3 y = 2 ( 3 (t + ) y /3) 2 = (t + ) 3 Integriamo su un intervallo [α, t] y /3 (t) y /3 (α) = 3 [t2 α 2 + 2(t α)] da cui, passando al limite per α 0 si ha ovvero y /3 (t) = 3 [t2 + 2t] y(t) = 3 3 (t2 + 2t) 3 Questa funzione, un onestissimo polinomio, é non identicamente nulla vale 0 per t = 0 verifica l equazione differenziale, infatti y (t) = 3 ( 3 [t2 + 2t] ) 2 32(t + ) 2(t + )y 2/3 (t) = 2(t + ) ( 3 [t2 + 2t] ) 2 che i secondi membri siano uguali lo riconosce chiunque! Trovate il grafico di tale funzione in Figura. OSSERVAZIONE. La funzione sorprendente trovata non è poi tanto sorprendente... guardate bene: è la stessa che avevamo trovato nella soluzione del primo problema di Cauchy! 6
Figure : Il grafico della (sorprendente) funzione non nulla. 5.8 Esercizio Indicate con y (x) e y 2 (x) le soluzioni dei problemi di Cauchy y y(0) = 2 = y y + y 2 determinare, senza risolvere i problemi, i limiti y y(0) = 3 2 = y y + y 2 lim y i(x) x lim y i(x) i =, 2 x + L equazione differenziale assegnata è di tipo autonomo e possiede come soluzioni d equilibrio y(x) 0, y(x) di conseguenza ogni altra soluzione non prende mai nè il valore 0 nè il valore, è strettamente monotona crescente se 0 < y(0) <, decrescente negli altri casi. 7
Figure 2: Le soluzioni y (x), y 2 (x) del secondo esercizio. Pertanto, vedi Figura 2, lim y (x) = 0 x lim y 2(x) = + x lim y (x) = x + lim y 2(x) = x + 5.9 Esercizio Determinare l integrale generale dell equazione differenziale y + 2x + + x 2 y = ( + x 2 ) 2 Equazione omogenea associata: ovvvero y = 2x + x 2 + x 2 y(x) = ce log(+x 2 ) arctan(x) y arctan(x) e y(x) = c + x 2 Equazione completa: cerchiamo la soluzione nella forma (metodo della variazione delle costanti) arctan(x) e y(x) = c(x) + x 2 8
Sostituendo si perviene a Ne segue c arctan(x) e (x) + x 2 = ( + x 2 ) 2 c (x) = + x 2 earctan(x) c(x) = e arctan(x) + k L integrale generale dell equazione completa è pertanto 5.0 Esercizio y(x) = + x 2 + k e arctan(x) + x 2 Assegnata l equazione differenziale y = y sin(y) disegnare, in modo qualitativo, i grafici delle soluzioni. Si tratta di un equazione autonoma: f(y) = y sin(y) dipende solo da y. Quindi le funzioni costanti sono soluzioni d equilibrio. Ogni problema di Cauchy y sin(y) = 0 y = k π k = 0, ±, ±2,... y(x) k π y = y sin(y), y(x 0 ) = y 0, k π < y 0 < (k + ) π produce come soluzione una funzione y = y(x) monotona che prende valori ancora k π < y(x) < (k + ) π x. Tale funzione é crescente o decrescente a seconda del segno di y sin(y) nell intervallo (k π, (k + ) π). I limiti di tale soluzione y(x) sono lim y(x) = k π x y(x) = (k + ) π lim x + se si trattava di una funzione crescente, il viceversa nell altro caso. Attenzione: la funzione y sin(y) é pari, il segno che prende nell intervallo (kπ, (k + )π) lo prende anche nell intervallo, simmetrico ( kπ, (k + )π) Attenzione: la funzione y sin(y) non é periodica, fatene il grafico. Quindi anche le soluzioni dell equazione che incontriamo nelle varie striscie (kπ, (k + )π) non sono uguali tra loro! 9
Figure 3: Soluzioni dell equazione autonoma y = y sin(y), y(0) = y 0, 0 < y 0 < π Figure 4: I grafici delle soluzioni della y = y sin(y) nei vari intervalli non sono uguali... 0