Variabile casuale Una Variabile Casuale X è una regola (funzione reale) che associa ad E (evento elementare di S) uno ed un solo numero reale. Notazione: X: variabile casuale : realizzazione di una variabile casuale E E 2 E 3 E 6 E 5 E 4 N.B.: la precedente corrispondenza è UNIVOCA. R S 2 3 E possibile associare una misura di probabilità allo spazio numerico della v.c. utilizzando la misura di probabilità definita sui sottoinsiemi dello spazio campionario S. "Si verifica l'evento E con probabilità P(E) "La v.c. X assume il valore con probabilità P()"
2 Una v.c. X è una variabile che assume valori nello spazio dei numeri reali secondo una funzione di probabilità P(X). E 0 X(E) P[X(E)] R Rappresentazione grafica dello schema di costruzione di una v.c. discreta S E 6 E 5 E 2 E 4 E 3 E S 2 3 0 R p 2 p 3 p
Una Variabile Casuale è nota se è nota la sua distribuzione di probabilità ESEMPI. Consideriamo una famiglia con 3 figli E E 2 E 3 E 4 E 5 E 6 E 7 E 8 Ω = {MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF} P = /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 /8 Variabile casuale X= numero dei figli maschi { E8} { E5 E6 E7} { E2 E3 E4} { E } 0 2 3 /8 3/8 3/8 /8 X p i P(i) i 0 0,25 0,375 2 0,375 3 0,25 3
VARIABILI CASUALI DISCRETE Assumono valori discreti (solitamente sono ottenute come risultato di un conteggio). Per ogni realizzazione i risulta: p i pi 0 i =,,k pi = p = p( i i ) = probabilità che X assuma il valore i 2 3 i Momenti della variabile casuale: E( X) = p i i = Var X i E X pi 2 4
Esempio: lancio simultaneo di 2 monete. Eventi elementari di Ω: E =TT E 2 =TC E 3 =CT E 4 =CC Variabile casuale X=numero di croci E i TT TC CT CC i 0 2 p i /4 /4 /4 /4 Ad ogni i associamo una probabilità pari alla somma delle probabilità degli eventi corrispondenti. i Le i sono le realizzazione della v.c., mentre le p i identificano la distribuzione di probabilità della v.c. in questione pi 0 /4 2/4 2 /4 5
VARIABILI CASUALI CONTINUE Ammettono infiniti valori, quindi non è possibile attribuire le singole probabilità ad ogni realizzazione i. Si associa ad ogni intervallo una funzione f() detta funzione di densità di probabilità. f() N.B.: f() NON è la probabilità che X assuma il valore! f() è la probabilità che X sia compresa in un intervallo infinitesimale d intorno ad. Densità di frequenza Densità di probabilità f = p( d X + d)
FUNZIONE DI DENSITÀ DI PROBABILITÀ La funzione di densità f() è nulla per quei valori compresi in intervalli esterni al campo di definizione Condizioni necessarie affinché una funzione di densità f() sia ben definita (ossia individui una v.c.) sono: f 0 + = f d Momenti della variabile casuale: + = µ = E X Var X f d 2 E( ) = σ = µ 2 7
FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Il passaggio dallo spazio degli eventi allo spazio dei numeri reali R permette di ragionare in termini della relazione di ordine in R. Considerando le realizzazioni della v.c. si può pensare alla probabilità che X assuma valori al massimo uguali ad un 0 : F = P X = 0 0 i 0 0 p i f d v.c. discrete v.c. continue Proprietà di F(): ) è non decrescente: i < j F ( i ) F ( j ) 2) 0 F() lim F = 0 3) e lim F = + 8
VARIABILI CASUALI DISCRETE Funzione di (distribuzione di) probabilità p i = ( = ) P P X i i Funzione di ripartizione F = P X = p 0 0 i i 0 0 i Proprietà di F(): ) è non decrescente: 2) 0 F() lim F = 0 3) e + lim F = F() F( ) F( 0 ) 0 9
ESEMPIO X: Punteggio ottenuto nel lancio di un dado X 2 3 4 5 6 P() /6 /6 /6 /6 /6 /6 Funzione (o distribuzione) di probabilità p i /6 Funzione di ripartizione 2 3 4 5 6 i F() 5/6 4/6 3/6 2/6 /6 F = P X = p 0 0 i i 0 ( i ) F 4 = P X 4 = p = i 4 2 3 4 5 6 4 = + + + = = 6 6 6 6 6 0,67
VARIABILI CASUALI CONTINUE F = f()d F F F ( 0) Proprietà di F(): ) è non decrescente: 2) 0 F() lim F = 0 3) e lim F = + 0 = 0 d F( 0 ) f ( ) d F() = d f() F = P X = 0 0 0 f d 0
PROBABILITÀ IN UN INTERVALLO CONTINUO 0 P X = P X P X = F F = 0 0 0 0 f()d P X > = P X = F = 0 0 0 0 0 f()d 2
Alcuni schemi teorici per il calcolo della probabilità di fenomeni reali Per attribuire delle probabilità ad una variabile statistica (fenomeno reale) è necessario ricondurla ad uno schema teorico, ossia inquadrare i possibili valori che essa può assumere come possibili risultati di un esperimento casuale, per poi tradurla in una variabile casuale. Alcuni schemi teorici: Schema teorico di riferimento: Esperimento tipo: Modello di v. c.: prova con risultato dicotomico n prove con risultato dicotomico Equiprobabilità Simmetria intorno alla media Lancio moneta (successo-insuccesso) lancio della moneta n volte (numero di successi in n prove) Lancio del dado Misura (fenomeni continui) Bernoulli Binomiale, Poisson Uniforme Normale Se si riesce a risalire ad una variabile casuale nota, ossia di cui si conosce la distribuzione di probabilità, il calcolo delle probabilità per i diversi valori della variabile statistica è immediato. 3
Famiglie di variabili casuali Normale Bernoulli Binomiale Ipergeometrica Geometrica Binomiale Negativa Poisson Uniforme Esponenziale Gamma Chi-quadrato T di Student F di Fisher Cauchy Lognormale Logistica Laplace Beta Pareto Weibull 4