Facoltà di Economia e Commercio Cattedra di Matematica Finanziaria La struttura per scadenza dei tassi d interesse e la teoria dell immunizzazione finanziaria: Considerazioni Relatore: Prof. Paolo De Angelis Candidato: Daniele Aresu 1
Introduzione Lo studio delle teorie economiche collegate alla struttura e all andamento del tasso d interesse rappresenta uno dei momenti più importanti per la corretta interpretazione dell andamento dei fenomeni collegati non soltanto ai mercati finanziari ma anche a quei mercati che risentono delle variazioni dei tassi di interesse. Con l avvento della crisi in corso le tematiche che si riferiscono all andamento dei tassi sono sempre più frequenti e coinvolgono non soltanto economisti, imprenditori, e politici ma vengono presentate anche ad un pubblico molto più vasto attraverso i media. L analisi teorica del tasso di interesse comprende una vasta area di argomenti che vanno dalla determinazione di un tasso di interesse a pronti ad uno a termine, dalla determinazione del fattore di capitalizzazione in un regime finanziario piuttosto che un altro, e più genericamente dalla matematica finanziaria ai problemi socioeconomici. Vista l estrema complessità della materia si è cercato di approfondire le tematiche principali ricorrendo all utilizzo di definizioni ed esempi al fine di presentare in modo efficace e puntuale gli argomenti trattati. Particolare attenzione è stata posta alla struttura per scadenza dei tassi di interesse. Nel primo capitolo si è cercato di introdurre alcuni elementi necessari per rendere più snelli gli argomenti svolti nei capitoli successivi, tra quali la forza di interesse che è il primo collegamento alla struttura per scadenza dei tassi di interesse. Nel secondo capitolo viene esaminata la nozione di tasso di interesse, per poi parlare di prezzi di mercato analizzando quei contenuti teorici utili nella determinazione dei tassi di interesse a termine e a pronti. Nel terzo ed ultimo capitolo vengono introdotti alcuni indicatori di durata finanziaria, e viene trattato il problema della gestione di attività e passività finanziaria per poter spiegare meglio l argomento dell immunizzazione. 4
Capitolo 1 1. Leggi e regimi finanziari Per comprendere meglio l argomento di questo lavoro è necessario ricordare alcune nozioni fondamentali di matematica finanziaria. Possiamo definire il regime finanziario come un insieme di regole di cui deve essere dotato un mercato finanziario per esprimere le relazioni di equivalenza tra importi monetari eseguiti su scadenze diverse. Quindi questo viene usato dagli operatori di mercato per fare le operazioni all interno del mercato stesso. Le stesse regole possono essere analizzate dal punto di vista analitico-matematico. Il regime finanziario è composto da un insieme di funzioni tra loro collegate. Partendo da una funzione appartenente a questo sarà più facile ed immediata l individuazione della forma analitica di tante altre funzioni che appartengono ad un insieme di funzioni collegate. In questo studio introdurremo il regime di interesse composto essendo quello più affine all argomento trattato. Inoltre per agevolare la comprensione degli argomenti che verranno trattati in seguito sembra utile introdurre la forza d interesse e poi continuare con una breve introduzione alla valutazione degli investimenti, con particolare riguardo al metodo del Risultato Economico Attualizzato (R.E.A.) e Tasso interno di rendimento (T.I.R.). 1.1 Regime dell interesse composto (RIC) Il regime finanziario che realizza lo scopo di rendere gli interessi fruttiferi automaticamente, al momento stesso in cui si producono, è quello detto dell interesse composto. Quindi in questo regime l interesse viene capitalizzato mano a mano che nasce secondo la funzione r(t), che rappresenta il fattore di capitalizzazione nel tempo t equivalente al capitale C = 1. E quindi r(t) moltiplicato per un capitale iniziale C dà 5
il montante M al tempo t. Sembra opportuno introdurre anche la funzione v(t), che verrà utilizzata in seguito, che rappresenta il valore attuale in t = 0 equivalente al montante M = 1 in t; essa è detta funzione fattore di sconto o di attualizzazione. Il regime di interesse composto (RIC) è quello più utilizzato in questo testo, ma spesso viene per prima introdotto il regime dell interesse semplice (RIS), argomento che non verrà trattato in questo lavoro, però sembra utile fare un breve confronto dal punto di vista grafico tra i due. Possiamo notare che RIS è rappresentato da una retta; RIC, invece, è rappresentato da una funzione esponenziale. Analizzando i due regimi dal punto di vista del fattore di capitalizzazione dal grafico si può evidenziare l andamento diverso tra i due. Entrambi partono da uno stesso punto. Prima di t = 1, al fine dell investimento è più conveniente il RIS perché il valore del montante è superiore rispetto al montante in RIC nello stesso tempo, come si vede dal grafico, mentre per t > 1, invece, diventa più conveniente investire seguendo un regime di tipo RIC. La forma esponenziale del RIC viene attribuita grazie a operazioni di tipo roll-over. Immaginiamo che ci troviamo in t=2, dove quindi avremo r(2), che rappresenta il montante del secondo periodo ed è uguale a quello del primo più il montante del capitale iniziale per gli interessi, cioè anno per anno gli interessi maturano sul capitale iniziale e quelli maturati fino al periodo precedente. Quando gli interessi 6
maturano sugli interessi, questa operazione viene denominata come investitura di roll-over degli interessi. Quindi la procedura di roll-over è una strategia di investimento che prevede l'investimento, il disinvestimento ed il reinvestimento, nell'ambito di una stessa operazione finanziaria di tipo zero coupon bond (ZCB) su un prefissato intervallo di tempo t: (1+i)t = (1+i) (1+i)... (1+i), t volte. Questa struttura che è alla base del regime finanziario dell'interesse composto. È una relazione di equivalenza che esprime l'assenza di arbitraggio tra investimento di uno ZCB (di periodo t) e di una strategia roll-over con investimento unimodale; l'uguale sta a significare che su questo ideale mercato finanziario eseguire una strategia di roll-over o investire a lungo termine produce lo stesso risultato. Non ci sono opportunità di arbitraggio tra queste 2 strategie, reso possibile dalle condizioni del mercato finanziario che ha una struttura piatta, senza variazioni inattese di i, perciò: investimento in un periodo t = strategia di roll-over = struttura piatta senza variazioni inattese di i. Avendo scritto l'uguale intendo dire che se volessi investire a lungo termine o scegliere una strategia di roll-over alla fine avrei gli stessi risultati. Quindi per esempio, il mercato monetario è strutturato con BTP. L'orizzonte strategico è 1 anno, se decido di investire in BOT effettuando una strategia di rollover (ogni 6 mesi), oppure decido di effettuare un investimento annuale, in un mercato finanziario ideale, qualunque sia la scelta fatta, si ha lo stesso risultato a fine periodo. Cioè è indifferente se fare o non fare roll-over perché nel passare del tempo non cambiano i tassi di interesse, questo grazie al nostro ipotetico mercato finanziario ideale. Ovviamente è importante vedere come variano i tassi d'interesse, perché se l'aspettativa è di tassi d'interesse crescenti è normale che si sceglie il roll-over. 7
Sia i il tasso effettivo di interesse nell'unità di tempo; supponiamo di investire un capitale unitario C = 1 al tempo t = 0 e che le epoche di capitalizzazione siano equidistanti. Calcoliamo quanto si realizza al tempo t = 1, t = 2,..., t = n, effettuando l'operazione di capitalizzazione alla fine di ogni periodo. Per il fattore di montante, si ottiene la seguente successione geometrica: r(0) = 1 r(1) = r(0) (1 + i) = 1 + i r(2) = r(1) (1 + i) = (1 + i) 2 r(n) = r(n 1) (1 + i) = (1 + i) n. Se si generalizza la relazione appena trovata ad ogni tempo t 0 e non solo per scadenze intere, si dice che si opera mediante convenzione esponenziale e si ottiene: r(t) = (1 + i) t, t 0. Dunque il regime finanziario di capitalizzazione a interesse composto è caratterizzato da una funzione fattore di montante esponenziale. Riassumiamo alcune delle relazioni più importanti del RIC; r(t), M(t) e I (t): r(t) = (1 + i) t ; M(t) = C(1 + i) t ; i(t) = I(t)/C; I (t) = M(t) C = C[(1 + i) t 1]; 8