Equazioni differenziali

Equazioni differenziali Antonino Polimeno Università degli Studi di Padova

Equazioni differenziali - 1 Un equazione differenziale è un equazione la cui soluzione è costituita da una funzione incognita in una o più variabili indipendenti, in cui compaiono anche le derivate (o i differenziali) della funzione incognita ( ) F x 1, x 2,..., x n, y,..., (a 1+...+a n) y x a 1 1... x,... = 0 n an Sistema di equazioni differenziali ( F 1 x 1, x 2,..., x n, y 1,..., y m,..., (a 11 +...+a 1n ) y 1 (a m1 +...+amn) ) y m x a 11 1... x a,..., 1n n x a m1 1... xn amn,... ( F m x 1, x 2,..., x n, y 1,..., y m,..., (a 11 +...+a 1n ) y 1 (a m1 +...+amn) ) y m x a 11 1... x a,..., 1n n x a m1 1... xn amn,... = 0... = 0

Equazioni differenziali - 2 Esempi: sistema di equzioni: equazioni che descrivano la cinetica di un meccanismo di reazione equazione differenziale ordinaria: equazione di Schrödinger che descrive un autostato ψ n (x) di un oscillatore armonico monodimensionale equazione differenziale alle derivate parziali: equazione di Schrödinger dipendente dal tempo che descrive un stato generico ψ(x, t) di un oscillatore armonico monodimensionale N.B. Un equazione differenziale ammette infinite soluzioni y 1,..., y m. L univocità della soluzione è ottenuta solo specificando le condizioni al contorno e/o le condizioni iniziali.

Equazioni differenziali ordinarie - 1 Forma esplicita ( d a y dx a = f x, y, d ) y x d, y..., d a 1 y dx a 1 Una soluzione univoca si ottiene date a condizioni iniziali: y(x 0 ) = y 0 dy dx = y 0 x=x0... d a y dx a = y (a) 0 x=x 0 oppure condizioni al contorno, che stabiliscono il comportamento della funzione incognita in più di un punto

Equazioni differenziali ordinarie - 2 Esempi: La concentrazione di una specie chimica [A] in un reattore chiuso, che sia descritta da un cinetica di ordine r d[a] dt = k[a] r [A] t=0 = [A] 0 Gibbs-Duhem: x è la frazione molare del soluto, e µ H2 O(x) è una funzione nota che descrive il potenziale chimico dell acqua in soluzione in funzione della frazione molare del soluto, abbiamo che dµ soluto dx = 1 x x dµ H2 O dx µ soluto (1) = µ soluto Equazione di Schrödinger per gli autostati di una particella che si muova in una scatola 1D di lunghezza L 2 d 2 Ψ(x) 2m dx 2 = EΨ(x) Ψ(0) = Ψ(L) = 0

Equazioni differenziali ordinarie - 3 Integrazione semplice dy dx = f (x):: y(x) = y(x 0 ) + Variabili separabili M(x)dx + N(y)dy = 0: Equazione lineare x x 0 M(u)du + y x x 0 f (u)du y 0 N(v)dv = 0 y = z e x x0 a(u)du x zae x0 a(u)du z e x x0 a(u)du + b = x vx0 a(u)du 0 z = y0 b(v)e dv x 0 y = e [ x ] x0 a(u)du x vx0 a(u)du y 0 b(v)e dv x 0

Equazioni differenziali ordinarie - 4 Ordine maggiore di 1: il caso più semplice, d n y n = f (x) si risolve dx integrando ripetutamente f (x): y = n 1 k=0 (x x 0 ) k k! x y (k) u1 un 1 0 +... f (u n 1 )Π n 1 k=1 du k x 0 x 0 x 0 L integrale multiplo però si può scrivere come y = n 1 k=0 (x x 0 ) k k! y (k) 1 x 0 + (x u) n 1 f (u)du (n 1)! x 0 in generale i metodi di soluzione analitici semplici sono rari e comunque riconducibili alla soluzione di sistemi di equazioni differenziali.

Equazioni lineari - 1 y (n) + a 1 y (n 1) +... + a n 1 y + a n y = f 1. f, a 1,..., a n sono funzioni in x, se f = 0 l equazione si dice omogenea 2. Se a 1,..., a n sono costanti abbiamo un equazione lineare a coefficienti costanti 3. condizioni iniziali y(x 0 ) = y 0, dy dx = y 0 y (1) 0,..., d n y x=x0 dx n x=x 0 = y (n) 0 4. equivalente alla soluzione di un sistema di n equazioni differenziali del primo ordine: z 1 = y, z 2 = y, z 3 = y e così via fino a z n = y (n 1) z 1 = z 2 z 2 = z 3... z n 1 = z n z n = a 1 z n 1 a 2 z n 2... a nz 1 + f

Equazioni lineari - 2 Definendo i vettori z = (z 1,..., z n ) T, f = (0,..., f ) T e la matrice A = 0 1 0... 0 0 0 0 1... 0 0.................. a n a n 1 a n 2... a 1 0 otteniamo dz dx = Az + f z(x 0) = z 0 il vettore z 0 è formato dai valori iniziali delle derivate di y(x) in x 0. La soluzione di una equazione differenziale ordinaria lineare di ordine n si può sempre ricondurre alla soluzione di un sistema lineare di n equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine (il contrario è anche, generalmente, vero).

Equazioni lineari - 3 L equivalenza equazione differenziale ordinaria di ordine n / sistema di n equazioni differenziali ordinarie è sempre vera (non solo per ilc aso lineare) y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) (1) definire z 1 = y, z 2 = y, z 3 = y e così via fino a z n = y (n 1), ottenendo z 1 = z 2 z 2 = z 3... (2) z n 1 = z n z n = F (x, z 1, z 2,..., z n 1 )

Equazioni lineari - 4 Equazione omogenea: f = 0 e n soluzioni linearmente indipendenti y i, con i = 1,..., n n y = c i y i dove le costanti c i si possono determinare sulla base delle condizioni iniziali, risolvendo un sistema lineare. La condizione di indipendenza lineare di n funzioni si può trovare calcolando il wronskiano (x) = i=1 y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n............ y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) (x 0)e x a x 0 1(u)du le n soluzioni sono linearmente indipendenti se e solo se il wronskiano non è identicamente nullo.

Equazioni lineari - 5 Equazione non omogenea: f 0, ȳ è una soluzione particolare, y i, con i = 1,..., n sono n soluzioni linearmente indipendenti y = ȳ + n c i y i se conosciamo le y i è possibile trovare una soluzione particolare dell equazione non omogenea i=1 1. risolvere il sistema in n funzioni incognite ȳ i ȳ 1y 1 +... ȳ ny n = 0 ȳ 1y 1 +... ȳ n y n = 0... ȳ 1y (n 1) 1 +... ȳ ny n (n 1) = f 2. calcolare per integrazione, note le derivate ȳ i, le funzioni ȳ i 3. costruire la soluzione particolare ȳ come ȳ = n i=1 ȳiy i

Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti - 1 ẋ(t) = Ax(t) + f(t) x(t 0 ) = x 0 dove A è una matrice a coefficienti costanti n n Caso omogeneo f = 0 Caso non-omogeneo f 0 x(t) = e A(t t0) x 0 e At = 1 + At + 1 2 A2 t +... = x(t) = e At [ t k=0 t 0 e Aτ f(τ)dτ + e At0 x 0 1 k! Ak t k Posto AV = VΛ, dove Λ è la matrice diagonale degli autovalori di A e V la matrice degli autovettori, f (A) = Vf (Λ)V 1 ] x(t) = Ve Λt V 1 x 0 omogeneo x(t) = Ve Λt [ t t 0 e Λτ V 1 f(τ)dτ + e Λt0 V 1 x 0 ] non omogeneo

Equazioni alle derivate parziali - 1 Equazione differenziale lineare alle derivate parziali di secondo ordine: n a ij (x) 2 y n + b i (x) y + c(x)y = f (x) x i x j x i i,j=1 i=1 Operatore vettore gradiente: x 1 = x 2... x 2 La divergenza di un vettore v(x) di funzioni in x, è il prodotto scalare del vettore gradiente con v: n T v i v = x i i=1 (3) Forma compatta: n a ij (x) y n + b i (x) y + c(x)y = ( T A + b T + c)y = f x i,j=1 i x i x i=1 i

Equazioni alle derivate parziali - 2 Equazione di Schrödinger descrive la funzione d onda di un sistema rispetto alle coordinate x; i Ψ t = 2 2 n i=1 1 2 Ψ + V (x)ψ = ĤΨ m 2 i x i Equazione di diffusione descrive la concentrazione di un soluto in tre dimensioni, cioè con i, j = 1, 2, 3 C t = ij C D ij + S x i x j S è una funzione che descrive i flussi in entrata e in uscita del soluto

Equazioni alle derivate parziali - 3 Le equazioni differenziali lineari alle derivate parziali di secondo ordine sono classificabili in un un punto dato x 0 ellittiche se gli autovalori di A in x 0 sono tutti positivi o tutti negativi paraboliche se gli autovalori di A in x 0 sono tutti positivi o tutti negativi, meno uno che è nullo iperboliche se gli autovalori di A in x 0 sono tutti positivi, meno uno che è negativo, o se sono tutti negativi, meno uno che è positivo ultraiperboliche in tutti gli altri casi L equazione di diffusione e l equazione di Schrödinger sono entrambe paraboliche. N.B. Però L equazione di Schrödinger indipendente dal tempo 2 2 n i=1 1 2 Ψ m i 2 + V (x)ψ = ĤΨ = EΨ è una equazione ellittica. x i

Condizioni al contorno - 1 Dato un processo chimico o fisico descritto da un equazione differenziale alle derivate parziali nelle n variabili (reali) indipendenti x, si definirà una regione dello spazio D R n detta dominio di definizione dell equazione. Al dominio D possiamo associare una frontiera F Per la definizione di una soluzione univocamente definita è necessario stabilire delle condizioni aggiuntive in D, dette condizioni al contorno

Condizioni al contorno - 2 Condizioni di Cauchy per le equazioni iperboliche e paraboliche y y x F = ȳ 0 (x) n = n T y x S = ȳ 1 (x) x F Condizioni di Dirichlet per le equazioni ellittiche y x F = ȳ(x) Condizioni di Neumann per le equazioni ellittiche y n = ȳ(x) x F Condizioni miste per le equazioni ellittiche ( αy + β y = ȳ(x) n) x F dove α e β sono funzioni note.