RIFLESSIONI MATURATE DAI TRE GRUPPI DI ALLIEVI FREQUENTANTI IL CORSO DI RECUPERO: PREREQUISITI IN MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2015/2016 REDAZIONE MATEMATICA PARTE PRIMA INSIEMI E LA LORO STORIA Definizione di numero: E molto difficile rispondere a questa domanda, perché per qualcuno è una misura, per altri una quantità, un simbolo o per qualche matematico una definizione scientifica o in modo ironico: Una domanda che non ha senso. Il concetto di numero risale agli albori della civiltà. Proviamo a dare una semplice risposta alla domanda : Allora, che cosa è un numero? Oggi si può dire: che un numero è un elemento di un insieme numerico. Questa risposta può sembrare frustante e lapalissiana (ovvia), ma è tale solo in apparenza. Con lo studio degli insiemi numerici, tutto risulta più semplice. Quindi gli insiemi numerici N, Z, Q, I, R, sono le colonne su cui eleviamo i numeri. Rappresentare la quantità con un simbolo ha permesso al pensiero umano di raggiungere mete notevoli. Definizione insieme numerico: in matematica un insieme è una collezione di oggetti, che è a sua volta un oggetto. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi. Il concetto di insieme è considerato primitivo. Primitivo perché viene introdotto con nozione non derivabile da concetti più elementari. Il concetto di un insieme diventa molto forte nella seconda metà del XX secolo, dove concetti primitivi e quelli intuitivi si legano con nuove leggi. Negli anni di fine secolo il concetto di insieme si presenta sui libri scolastici come appendice finale di un libro matematico.
Con i futuri successi anche verso nuovi campi della matematica, il concetto di insiemi diventa prioritario e collegato alla logica e studiato come argomento principe dei nuovi testi di matematica. CONCETTO PRIMITIVO DI INSIEME ( elencazione) N: Naturali = Z: Interi Relativi = Q: Razionali (Frazionali) = R: Reali = ESERCIZI SUGLI INSIEMI ( PROVA AD ELENCARE GLI INSIEMI PROPOSTI ) A = B = A = B = A = B = DATI I RISULTATI DI e, PROVA A RICAVARE GLI INSIEMI DI PARTENZA. = =
PARTE SECONDA OPERAZIONE CON GLI INSIEMI Prima diamo una definizione di calcolo e quanti tipi di calcolo esistono. Il CALCOLO è una facoltà o processo mentale cognitivo su base volontaria che trasforma uno o più dati in ingresso ad uno o più risultati, si tratta dunque di una forma di elaborazione dati. Ci sono diversi metodi di calcolo: manuale, numerico, simbolico, analogico, meccanico e digitale; CALCOLO MANUALE: è appreso durante la carriera scolastica (con carta e penna). CALCOLO NUMERICO: per agevolare il lavoro si usano tavole numeriche. CALCOLO SIMBOLICO: permette di calcolare un semplice quadrato di un binomio fino ad arrivare alla risoluzione di equazioni differenziate. CALCOLO ANALOGICO: permette di svolgere calcoli più complessi sfruttando proprietà geometriche o analogie con fenomeni fisici. Partendo dal compasso geometrico di Galileo, passando alla calcolatrice di Guntar e da sviluppi successivi con macchine analogiche di Kelvin si è arrivati ai computer analogici elettronici, capaci di risolvere problemi molto difficili. CALCOLO MECCANICO: viene seguito con l ausilio di strumenti meccanici. CALCOLO DIGITALE: con gli esperimenti di Konrad Zuse vennero introdotte le prime macchine digitali. Dagli insiemi numerici trattati dal primo gruppo di lavoro possiamo definire le seguenti operazioni. Quante operazioni esistono in matematica? In matematica esistono quattro operazioni e sono: Addizione ( 15 + 5 = 20 ) Sottrazione ( 15 5 = 10 ) Moltiplicazione ( 15 x 5 = 60 ) Divisione ( 15 : 5 = 3 )
Ogni operazione ha diverse proprietà; Addizione/Sottrazione: proprietà commutativa ( a + b = b + a ) proprietà associativa [ ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ] PROPRIETA DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALL ADDIZIONE: il prodotto di due numeri per una somma è uguale alla somma dei prodotti fra il numero e la somma degli addendi. La proprietà è distributiva a sinistra e a destra a seconda della posizione del fattore rispetto alla somma. Es. 5 x ( 2 + 3 ) = 5 x 2 + 5 x 3 distributiva della sinistra Es. ( 4 + 5 ) x 2 = 4 x 2 + 5 x 2 distributiva della destra PROPRIETA DISTRIBUTIVA DELLA DIVISIONE RISPETTO ALL ADDIZIONE E ALLA SOTTRAZIONE: Con quando le sottrazioni e le divisioni sono possibili: es. ( 6 + 8 ) : 2 = 6 : 2 + 8 : 2 = 3 + 4 = 7 es. ( 15 9 ) : 3 = 15 : 3 9 : 3 = 5 3 = 2 PROPRIETA DISTRIBUTIVA DELLA MOLTIPLICAZIONE RISPETTO ALLA SOTTRAZIONE: con b es. 3 x ( 7 1 ) = 3 x 7 3 x 1 = 21 3 = 18 es. ( 12 3 ) x 2 = 12 x 2 3 x 2 = 24 6 = 18 PROPRIETA INVARIANTIVA DELLA SOTTRAZIONE: la differenza fra due numeri non cambia se a ognuno si aggiunge o si toglie lo stesso numero. Es. 32 4 = ( 32 + 6 ) -( 4 + 6 ) = 38 10 = 28 PROPRIETA INVARIANTIVA DELLA DIVISIONE: il quoziente fra due numeri non cambia se ognuno viene moltiplicato o diviso per uno stesso numero diverso da 0. 120 : 40 = ( 120 x 5 ) : ( 40 x 5 ) = 600 : 200 = 3
ESERCIZI MISTI SULLE PROPRIETA 15 + 2 = 17 cambia il numero 15 con il numero 29, cosa ottieni? 2 + 15 = 17 cambia il numero 2 con il numero 9, cosa ottieni? 3 + ( 3 + 5 ) = 3 + 8 = 11 cambia il numero 3 con il numero 5, cosa ottieni? ( 3 + 3 ) + 5 = 6 + 5 = 11 cambia il numero 5 con il numero 17, cosa ottieni? 10 x ( 3 + 5 ) = 10 x 3 + 10 x 5 = 30 + 50 = 80 cambia il numero 10 con il numero 7 e il numero 5 con il numero 0, cosa ottieni? 10 x ( 3 + 5 ) = 10 x 8 = 80 cambia il numero 80 con il numero 70 e il numero 5 con il 4, quanto vale il numero 3 e il numero 8? ( 4 + 5 ) x 2 = 4 x 2 + 5 x 2 = 8 + 10 = 18 se il numero 2 raddoppia, il risultato è il doppio di 18? TERZA PARTE LE POTENZE Esistono delle relazioni fra numeri, espressi con delle proprietà, altre volte con definizioni di appartenenza: POTENZA: in matematica, la potenza è una operazione che associa una coppia di numeri (a,n) -detti rispettivamente BASE ed ESPONENTE.
a n = a x a x a x a a Le potenze sono relazionate fra loro usando delle proprietà: Il prodotto di due,o più potenze aventi la stessa base,è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma dei due esponenti dei due numeri presi in considerazione. a n x a m = a n + m Il quoziente di potenze aventi la stessa base,è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti. a n : a m = a n - m RICORDA: si sottrae sempre il primo esponente al secondo esponente. La potenza di una potenza è una potenza in cui la base rimane la stessa e l esponente è dato dal prodotto degli esponenti: [ ( a ) n ] m = ( a ) n * m ( a n ) m = a n * m Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso esponente e per base il prodotto delle basi: a n b n = Il quoziente di potenza con lo stesso esponente è una potenza che ha per esponente lo stesso di prima e per base il quoziente delle basi: a n : b n = ( a : b) n ATTENTO A: a 0 = 1 a 1 = a a -x = a 0-x = a 0 /a x = 1/a x
A volte può capitare di trovarci di fronte a grandezze espresse da numeri N molto grandi o molto piccoli. Questi numeri N possono essere scritti, anche, sotto forma del prodotto di due fattori di cui uno è una potenza del numero 10. Cioè possiamo scrivere il generico numero N come prodotto tra K e la potenza ennesima del 10 ovvero: NOTA: N = K 10 n K = 1,..,9 scrittura scientifica del numero N ESEMPI: N = 3.000.000 = dove K = 3 e n = 6 con K, n > 0 N=-7/1.000 = -0,007 = dove K = 7 e n = -3 con K > 0 e n < 0 N = 450 = dove K = 4 parte intera del numero decimale e n = 2 con K > 0 e n > 0 Le potenze di 10 sono usate anche in fisica e chimica. Carica di un elettrone N = Q -1,6 C Costante della forza di Coulomb nel vuoto Costante di Boltzmann Numero di Avogadro Ringrazio la collaborazione degli alunni cronisti e relatori matematici: Aprile Francesca Baiocco Giulia Bassani Federico Colonnelli Matteo Coppola Alba Marina Marcu Carmen Ricci Matteo Torresetti Flavia Felli Beatrice Teresa - De Santis Francesco Gisondi Federica Sotto la sorveglianza del direttore prof: Fioretti Mauro. Vogliate scusare eventuali imprecisioni dovute al poco tempo a disposizione per il corso. Guidonia 21 dicembre 2015