Corso di Laurea: Numero di Matricola: Esame del 14 giugno 2012 Tempo consentito: 120 minuti Professor Paolo Vitale Anno Accademico 2011-12 UDA, Facoltà d Economia Domanda 1 [6 punti]. 1. Considerando valido il CAPM si procede a calcolare il beta, β, di Cadbury. Per definizione β = cov( r M, r C ) σ 2 M = cor( r M, r C ) σ H σ M = 0.5 0.33 0.20 = 0.825, dove r M, r C indicano i rendimenti del portafoglio di mercato e del titolo Cadbury. Dalla condizione di equilibrio del CAPM, impiegando i valori del β del titolo Cadbury, del rendimento atteso del portafoglio di mercato, E[ r M ] = 0.15, e del tasso di rendimento del titolo privo di rischio, r f = 5%, si ha che E[ r C ] = r f + β (E[ r M ] r f ) = 0.05 + 0.825 0.10 = 0.1325. 2. Secondo il CAPM per il titolo Cadbury vale la seguente decomposizione della varianza del rendimento σ 2 C = β 2 σ 2 M + σ 2 ɛ, dove ɛ è la componente idiosincratica del rendimento del titolo Cadbury e σ 2 ɛ è la varianza corrispondente. Dal CAPM si ha infatti che r C = r f + β ( r M r f ) + ɛ. Cosicché (0.33) 2 = (0.825) 2 (0.20) 2 + σ 2 ɛ σ ɛ = 0.28579. In altre parole, circa l 87% (0.28579/0.33 0.866) della volatilità del titolo Cadbury è attribuibile alla componente non-sistematica del rischio e può quindi essere eliminata attraverso la diversificazione. Domanda 2 [6 punti]. 1. Data la definizione di durata questa affermazione è certamente falsa. Infatti la durata di un obbligazione è pari alla media ponderata delle scadenze dei singoli cash flow promessi. Nel calcolo della media i pesi sono proporzionali ai valori presenti dei cash flow. Più alti i tassi di interesse, minore il valore presente dei cash flow più lontani nel tempo e quindi minore la durata dell obbligazione. 2. Anche questa è un affermazione falsa. A parità di scadenza, la durata è tanto maggiore quanto minore sono i valori presenti dei cash flow iniziali, cioè tanto minore la cedola promessa dall obbligazione. Inoltre, a parità di cedola, maggiore la scadenza, maggiore la durata dell obbligazione. Infatti nella media ponderata delle scadenze viene considerato un maggior numero di periodi. 3. Anche l ultima affermazione non è corretta, in quanto la durata modificata non tiene conto della curvatura nella relazione di dipendenza dei prezzi delle obbligazioni dal tasso di interesse (yield rate). Per tenere conto di questa curvatura occorre considerare una misura di convessità. (Si consideri infatti che in base ad un espansione di Taylor possiamo verificare che: B B y y + 1 B 2 2 y 2 y2,
dove B indica il valore dell obbligazione e y il tasso di interesse (yield rate). Se con MD indichiamo la durata modificata e con C la convessità, si ha che: Così concludiamo che Domanda 3 [9 punti]. MD = 1 B B y, C = 1 B B 2 y 2. B B y y + 1 B 2 2 y 2 y2 = B MD y + 1 2 B C.) 1. La derivazione della term structure è molto semplice in questo caso, poiché abbiamo a disposizione i prezzi di obbligazioni senza cedole. Così, (1 + r 0,1 ) = (1 + r 0,2 ) 2 = (1 + r 0,3 ) 3 = (1 + r 0,4 ) 4 = (1 + r 0,5 ) 5 = 98.0392 92.4556 83.9619 73.5023 62.0921 r 0,1 = 0.02 = 2.00%, r 0,2 = 0.04 = 4.00%, r 0,3 = 0.06 = 6.00%, r 0,4 = 0.08 = 8.00%, r 0,5 = 0.10 = 10.00%. 2. La struttura temporale è inclinata positivamente, infatti per l > j si ha che r 0,l > r 0,j. 3. Possiamo ricavare i tassi a termine per diverse scadenze. Volendo individuare i tassi a termine per la scadenza di un anno validi per gli anni 2013, 2014, 2015 e 2016 si considera l applicazione della seguente definizione dei tassi a termine (1 + r 0,j ) j (1 + f j,n ) n (1 + r 0,j+n ) j+n, dove f j,n indica il tasso di interesse a termine fissato oggi, data 0, per un contratto valido tra il periodo j e il periodo j + n, mentre r 0,j è l attuale tasso di interesse a pronti con scadenza j, cioè relativo ad un contratto valido tra il periodo 0, la data attuale, e il periodo j. Così, fissando la corrispondenza j = 0 2012, j = 1 2013,..., j = 4 2016 si ha che (1 + r 0,1 ) (1 + f 1,2 ) (1 + r 0,2 ) 2 (1 + 0.02) (1 + f 1,2 ) (1 + 0.04) 2 f 1,2 = 0.0604 = 6.04%, (1 + r 0,2 ) 2 (1 + f 2,3 ) (1 + r 0,3 ) 3 (1 + 0.04) 2 (1 + f 2,3 ) (1 + 0.06) 3 f 2,3 = 0.1012 = 10.12%, (1 + r 0,3 ) 3 (1 + f 3,4 ) (1 + r 0,4 ) 4 (1 + 0.06) 3 (1 + f 3,4 ) (1 + 0.08) 4 f 3,4 = 0.1423 = 14.23%, (1 + r 0,4 ) 4 (1 + f 4,5 ) (1 + r 0,5 ) 5 (1 + 0.08) 4 (1 + f 4,5 ) (1 + 0.10) 5 f 4,5 = 0.1838 = 18.38%,
da cui risulta che tutti i tassi a termine per una scadenza annuale sono maggiori dei corrispondenti tassi a pronti, cioè per j = 1,... 4 si ha che f j,j+1 > r 0,1. 4. Se vale la teoria delle aspettative i tassi di interesse a termine corrispondono ai valori attesi per i futuri tassi di interesse a pronti. In termini analitici si ha che f j,n = E 0 [ r j,j+n ], dove r j,j+n è il tasso di interesse a pronti con scadenza n che sarà fissato nel periodo j. Come si è visto, dalla struttura temporale dei tassi di interesse, {r 0,1,..., r 0,N }, è possibile estrarre i tassi di interesse a termine, attraverso la seguente definizione (1 + r 0,j+n ) j+n (1 + r 0,j ) j (1 + f j,n ) n. Si assuma quindi che la struttura temporale dei tassi di interesse sia inclinata positivamente, come nel caso in questione, cioè si assuma che i tassi di interesse a pronti aumentino con la scadenza, r 0,n > r 0,n per n > n. Come nel caso da noi appena analizzato ogni volta che la struttura temporale dei tassi di interesse è inclinata positivamente si può verificare che i tassi di interesse a termine, f j,n, assumono valori superiori ai corrispondenti tassi di interesse a pronti attuali, r 0,n. In altre parole, per ogni scadenza n, si ha che r 0,n < f j,n, j. Ciò significa che gli operatori di mercato si aspettano che in futuro i tassi di interesse siano destinati ad aumentare. Infatti, poiché f j,n = E 0 [ r j,j+n ], per ogni scadenza n si ha che il tasso di interesse corrente è minore del suo valore atteso per ogni periodo futuro j, cioè r 0,n < E 0 [ r j,j+n ], j. In particolare nell esempio numerico in questione, dati i valori ottenuti per f 1,2, f 2,3, f 3,4 e f 4,5, pari rispettivamente al 6.04%, 10.12%, 14.23% e 18.38%, resta verificato che E 0 [ r 1,2 ] = 6.04% > r 0,1 = 2%, che E 0 [ r 2,3 ] = 10.12% > r 0,1, che E 0 [ r 3,4 ] = 14.23% > r 0,1 e che E 0 [ r 4,5 ] = 18.38% > r 0,1. Domanda 4 [9 punti]. 1. Per verificare l esistenza di una opportunità di arbitraggio ci sono diversi metodi. Il più semplice è quello di calcolare il prezzo di equilibrio del contratto futures. Nel caso in cui il tasso di interesse sia a capitalizzazione composta, con frequenza di capitalizzazione di m volte per anno, r m, la formula per il prezzo futures è la seguente, ( F t = S t 1 + r ) (T t) m m, m dove T t è misurato in anni. Per verificare quest espressione si procede nel modo usuale, confrontando due strategie. La prima consiste nell acquistare un oncia di oro nel mercato a pronti, la seconda nell assumere una posizione lunga nel contratto futures investendo il valore presente del prezzo di consegna, F t /(1 + r m /m) (T t) m, al tasso di interesse a capitalizzazione composta, con frequenza di capitalizzazione di m volte per anno, r m. I due portafogli presentano lo stesso pay-off a scadenza (cioè in T ) e quindi devono richiedere lo stesso investimento iniziale (in t). La condizione di non-arbitraggio determina il prezzo d equilibrio del contratto futures. Nel caso specifico si avrà che, F t = $600 (1 + 0.04/12) 12 4 = $600 (1.00 3) 3 = $606.02 In breve, il contratto futures è sopravvalutato.
2. E quindi possibile costruire una strategia di arbitraggio. In particolare si tratta di vendere il contratto futures e acquistare oro a pronti. Specificatamente, tra i vari portafogli di arbitraggio, si supponga di assumere una corta lunga nel contratto futures, di acquistare un oncia di oro sino a scadenza. Infine, si prende a prestito al tasso di interesse a capitalizzazione composta $600 per 6 mesi. 3. Nella seguente Tabella abbiamo il valore iniziale dell investimento e i pay-offs finali. Posizione Investimento Pay-off Prendi a prestito $600 -$600 -$606.02 Aquista 1 oncia $600 S T Vendi un futures $0 - S T + $610 Totale $0 $3.98 Così il guadagno finale certo è $3.98, mentre l investimento iniziale è nullo. Domanda 5 [3 punti]. Un tasso di interesse annuale del 5% corrisponde ad un tasso di interesse mensile pari a 0.41 6%. Quindi, considerando che il mutuo concesso corrisponde ad una rendita mensile costante di 333.33 con un rendimento mensile dello 0.41 6%, impiegando la formula per rendite mensili, il valore presente dei pagamenti al concessionario A è [ ] 1 1 3, 000 + 333.33 1 0.0041 6 (1 + 0.0041 6) 36 = 3, 000 + 333.33 33.3657 = 14, 121.9. Questo valore è superiore al pagamento cash di 13,500 richiesto dal concessionario B, la cui offerta quindi deve essere preferita. Domanda 6 [6 punti]. 1. Poiché la società non ha possibilità di espandersi il suo tasso di crescita è nullo, g = 0. Dalla formula di Gordon, si ha che r, il costo opportunità del capitale, è pari al rapporto D 1 /P 0, dove i dividendi attesi per l anno a venire corrispondono agli utili attesi. Cosicché r = 5 = 0.05. 2. In questo scenario, la società decide di adottare una nuova politica di impiego degli utili, per cui il rapporto di redistribuzione viene fissato pari a 0.5. Ciò significa che il prossimo anno la società prevede di staccare un dividendo per azione pari a $5 0.5 = $2.5. Poichè la società ora espande la base produttiva il tasso di crescita degli utili non è più nullo. Per stimare il nuovo valore di g consideriamo che g = 0.5 0.05 = 0.025, cioè è pari al prodotto del tasso di re-impiego per il tasso di rendimento del nuovo capitale investito. Applicando la formula di Gordon si ha che il nuovo prezzo di equilibrio del titolo azionario è P 0 = $2.5 0.05 0.025 = $! 3. In questo caso il tasso di crescita degli utili cambia poiché il nuovo capitale investito ha un rendimento superiore, g = 0.25 0.12 = 0.03,
e quindi il nuovo prezzo di equilibrio di Sporting Good diventa P 0 = $2.5 0.05 0.03 = $125. La differenza tra il prezzo del titolo nei due scenari è attribuibile alla mancanza di opportunità di crescita sotto le ipotesi del punto 2.. In questo scenario, infatti, il rendimento del nuovo capitale investito è pari al costo opportunità della società.