10 Il problema dell adattamento d impedenza Introduzione

0 Il problema dell adattamento d impedenza Introduzione Tra le differenti problematiche relative alla propagazione di energia nelle guide d onda, un argomento di notevole rilevanza pratica è l adattamento di impedenza, cioè l insieme delle differenti tecniche usate per evitare distorsioni sul segnale trasmesso e per porre il generatore in condizioni tali da erogare la sua potenza disponibile. In generale, la condizione di massimo trasferimento di potenza richiede solamente che l impedenza interna del generatore sia adattata al carico trasformato dalla guida. Tuttavia è importante che anche il carico sia adattato alla guida perché in caso contrario si potrebbero instaurare dei fenomeni deleteri per il corretto funzionamento e affidabilità del sistema. A tale proposito, è indispensabile considerare che una piccola variazione della frequenza di funzionamento cambierebbe la lunghezza elettrica della guida la quale potrebbe modificare di molto l impedenza vista dal generatore. Un carico molto disadattato alla guida è anche causa di un rapporto d onda stazionaria (ROS) molto elevato. La tensione massima sulla guida, a parità di potenza attiva sulla guida stessa, è tra l altro proporzionale al ROS. Questa considerazione è molto importante perché per ogni guida d onda esiste un valore massimo di differenza di potenziale tra i conduttori superato il quale scocca l arco elettrico, e la guida è danneggiata irreparabilmente. Pertanto, è evidente l importanza di lavorare, particolarmente per applicazioni ad elevata potenza, con un ROS più vicino a e quindi con carichi adattati. Infine, non bisogna dimenticare che le perdite su una guida d onda aumentano in presenza di una onda stazionaria. Le tecniche utilizzate per adattare una determinata impedenza di carico sono le stesse sia per l adattamento al generatore che alla guida d onda o linea di trasmissione. Per brevità la discussione sarà focalizzata sull adattamento del carico alla linea di trasmissione. Di conseguenza, il problema dell adattamento consiste essenzialmente nel progetto di un opportuno blocco, chiamato rete di adattamento, avente il compito di eliminare l onda riflessa. Più precisamente, riferendosi alla figura 0., la rete di adattamento deve essere tale da presentare alla sezione AA una impedenza d ingresso pari all impedenza caratteristica, Z c, della linea. La rete di adattamento può essere progettata sia utilizzando componenti a parametri concentrati, come induttanze e capacità, che usando spezzoni di linee di trasmissione connessi a carichi tali da renderle equivalenti a elementi reattivi. L uso di resistori, specialmente ad alta frequenza, è sconsigliato a causa della potenza che di dissipa su di essi. Infatti, mentre a bassa frequenza la potenza perduta può essere facilmente recuperata con amplificatori opportunamente collegati, tale scelta non è generalmente 20

2 R g A e(t) + Z c Rete di adattamento Z L A Figura 0.: Schema semplificato del problema dell adattamento conveniente alle frequenze delle microonde, sia per il costo elevato degli amplificatori, sia per la loro eventuale disponibilità alle frequenze più elevate. Il progetto dei vari elementi che costituiscono la rete di adattamento può essere effettuato sia da un punto di vista puramente teorico sia utilizzando la carta di Smith. Quest ultimo approccio è molto interessante per due motivi fondamentali. Il primo è che l uso di tale strumento grafico rende molto chiaro come l introduzione degli elementi reattivi agisce sull impedenza di carico. Il secondo è che essa è largamente usata nell industria per visualizzare le prestazioni di un generico circuito a radiofrequenza in termini di variazione di impedenza d ingresso, di rapporto d onda stazionaria e dei parametri di scattering in funzione della frequenza. Inoltre, nel progetto di amplificatori a microonde la carta di Smith è uno strumento indispensabile per visualizzare come guadagno, figura di rumore, stabilità e adattamento in ingresso e uscita sono correlati tra loro e come queste caratteristiche di funzionamento dipendono dall impedenza di carico e del generatore. Infine, si fa osservare che essa può essere utilizzata sia nel caso di linee senza perdite che con perdite ed in presenza sia di carichi passivi che attivi. Per semplicità si farà riferimento a linee senza perdite collegate a carichi passivi. Alle frequenze delle microonde le linee di trasmissione possono essere usate anche come elementi circuitali. Infatti, a tali frequenze, i comuni elementi circuitali reattivi (induttori e condensatori), oltre ad essere di difficile costruzione, non sono compatibili con le linee di trasmissione coassiali e guide d onda. Le linee di trasmissione, invece, risolvono tali inconvenienti e ad alta frequenza sono abbastanza piccole da poter garantire un loro uso come elementi circuitali. A tale scopo, per realizzare elementi reattivi, sono usati spezzoni di linee di trasmissione, detti stub, chiusi in corto circuito o circuito aperto. Detta l s la lunghezza dello stub, l impedenza d ingresso è: Z cc = jz cs tan(βl s ) stub in corto circuito (0.) Z ca = jz cs cot(βl s ) stub in circuito aperto (0.2) dove Z cs è l impedenza caratteristica della linea che costituisce lo stub e β è la costante di propagazione lungo la linea. Sulla carta di Smith i punti che individuano i due tipi di stub si trovano alle estremità del segmento a reattanza normalizzata nulla. Allontanandosi dal carico i punti ruotano sulla circonferenza unitaria in senso orario e in modo tale che l impedenza d ingresso abbia parte reale nulla e parte immaginaria alternativamente di tipo induttivo o capacitivo. Pertanto il valore di reattanza desiderato può essere ottenuto selezionando opportunamente la lunghezza dello stub. L adattamento mediante

0.. Adattamento con singolo stub 22 A B A l Z L A B A d Figura 0.2: Schema di adattamento a singolo stub stub consiste nella connessione in serie o in parallelo alla linea di trasmissione di uno o più stub in corto circuito o in circuito aperto; la scelta del tipo di configurazione è dettato da esigenze di carattere tecnologico. In particolare, il collegamento in parallelo è quello più diffuso. Per l adattamento delle linee bifilari, il cavo coassiale e la guida d onda è preferibile la terminazione in corto circuito in quanto essa consente una facile variazione della lunghezza, una migliore rigidità meccanica ed elimina le inevitabili perdite d irradiazione presenti alle estremità di una terminazione a circuito aperto. Nei circuiti a microstriscia invece è preferita la terminazione in circuito aperto perché non richiede nessuna connessione al piano di massa. 0. Adattamento con singolo stub Una prima possibilità per realizzare l adattamento d impedenza è quello di inserire, in corrispondenza di una certa sezione della linea, uno stub in parallelo opportunamente dimensionato (vedi figura 0.2). L adattamento è raggiunto quando il punto, sulla carta di Smith, corrispondente all impedenza normalizzata vista alla sezione A A coincide con il centro della carta di Smith. La procedura per realizzare l adattamento è la seguente (vedi figura 0.3): si traccia sulla carta di Smith il punto corrispondente all impedenza di carico Z L (punto P ); si traccia il punto diametralmente opposto a P che corrisponde all ammettenza y L = /Z L (punto P 2 ); si ruota verso il generatore il punto P 2 sulla circonferenza di raggio OP 2 fino ad intersecare la circonferenza a G = (punto P 3 ); si prolunga OP 2 e OP 3 fino ad intersecare la ghiera nei punti P 4 e P 5 rispettivamente. L arco OP 4 P 5 fornisce la lunghezza della linea in termini di lunghezza d onda l/λ. In P 3 si ha un valore di ammettenza y BB = + jb 3 ;

0.. Adattamento con singolo stub 23 l/λ P 5 P 3 P 4 y L P 2 O P 6 z L P P 3 d/λ -b 3 Figura 0.3: Carta di Smith relativa all adattamento a singolo stub il valore b 3 della suscettanza è annullato con un movimento lungo il cerchio G = fino al centro della carta di Smith, punto O. Tale operazione è effettuata dallo stub connesso in parallelo; dal punto corrispondente al corto circuito (P 6 in termini di ammettenze) si ruota verso il generatore fino a raggiungere il valore di suscettanza jb 3 ; valutando l entità della rotazione è possibile calcolare la lunghezza dello stub in termini di frazioni di lunghezza d onda, d/λ. Si osservi che l intersezione della circonferenza di raggio OP 2 con il cerchio G = da luogo a due punti P 3 e P 3. La scelta di un punto rispetto all altro condiziona solo il tipo di ammettenza dello stub che in un caso è capacitivo e nell altro induttivo. Comunque è sempre preferibile effettuare il collegamento con il più piccolo valore della lunghezza dello

0.. Adattamento con singolo stub 24 sub, per ottenere una migliore sensitività in frequenza. L adattamento con singolo stub può essere usato per adattare un qualsiasi carico. L inconveniente è che la lunghezza l è fissata dal carico da adattare. Di conseguenza potrebbero insorgere dei problemi qualora sia necessario adattare carichi differenti: in tal caso è necessario rendere variabile la lunghezza l e questo è spesso difficoltoso da realizzare specialmente per le linee coassiali. Qualora si voglia realizzare l adattamento con singolo stub in circuito aperto, è sufficiente seguire la stessa procedura illustrata in precedenza con la differenza che il punto di partenza per il calcolo della lunghezza dello stub deve essere quello diametralmente opposto a P 6. Procedendo invece in modo analitico (per lo stub in corto circuito) si ha che l ammettenza a sinistra dello stub (sezione A A ) è data dalla somma tra l ammettenza del carico trasformato dalla linea di trasmissione di lunghezza l e l ammettenza dello stub: L adattamento si ottiene quando l ammettenza y a = y a = y l + y stub = Γ l + Γ l + y stub (0.3) Γ l + Γ l j cot βd = e cioè 2j tan βd = + Γ l (0.4) Essendo il coefficiente di riflessione Γ l esprimibile tramite la relazione Γ l = Γ L e 2jβl = Γ L e j(θ L 2βl) (0.5) dove Γ L exp{jθ L } è la forma polare del coefficiente di riflessione al carico, si può scrivere: 2j tan βd = + ej(2βl θ L) = + cos (2βl θ L) + j sin (2βl θ L ) Γ L Γ L [ = + cos (2βl θ ] L) + j sin (2βl θ L) Γ L Γ L = Uguagliando parte reale e parte immaginaria si ottengono le relazioni equivalenti: cos (2βl θ L ) = Γ L tan βd = sin (2βl θ L) 2 Γ L = sin (2βl θ L) 2 cos (2βl θ L ) (0.6a) = 2 tan (2βl θ L) (0.6b) dove la (0.6a) è stata ottenuta per mezzo della (0.5). La risoluzione della (0.6a) fornisce due soluzioni per l; la risoluzione della (0.6b) di conseguenza fornisce i due

0.. Adattamento con singolo stub 25 valori di d corrispondenti: βl = 2 θ L ± 2 arccos ( Γ L ) [ βd = arctan ] 2 tan (2βl θ L) (0.7) (0.8) dove i valori di l e d devono essere positivi. Nel caso di uno stub in parallelo in circuito aperto, la (0.6a) rimane la stessa, e nella (??) deve essere effettuata la sostituzione tan βd con cot βd. Nel caso della connessione in serie di uno stub in corto circuito è necessario sommare le impedenze ed ottenere di conseguenza la relazione: z a = z l + z stub = + Γ l Γ l j tan βd = (0.9) e risolvere in modo analogo a quanto fatto in precedenza. Riassumendo, le soluzioni per tutti i tipi di adattamento con un solo stub sono: parallelo/c.c parallelo/c.a serie/c.c serie/c.a βl = 2 θ L ± 2 arccos ( Γ L ) [ βd = arctan ] 2 tan (2βl θ L) βl = 2 θ L ± 2 arccos ( Γ L ) [ βd = acot ] 2 tan (2βl θ L) βl = 2 θ L ± 2 arccos ( Γ L ) [ ] βd = acot 2 tan (2βl θ L) βl = 2 θ L ± 2 arccos ( Γ L ) [ ] βd = arctan 2 tan (2βl θ L) (0.0a) (0.0b) (0.0c) (0.0d) Le relazioni appena ricavate possono essere usate per ricavare l andamento in frequenza del coefficiente di riflessione Γ a a sinistra dello stub. In particolare, per il caso di stub in parallelo in corto circuito l ammettenza alla sezione A A può essere scritta come: y a = Γ Le 2jβl j cot βd (0.) + Γ L e 2jβl e il coefficiente di riflessione alla stessa sezione può essere espresso in funzione di y a per mezzo della relazione: Γ a = y a + y a (0.2)

0.. Adattamento con singolo stub 26 Indicando con f 0 e la frequenza e la lunghezza d onda a cui è effettuato l adattamento e con f la generica frequenza, è possibile eplicitare la dipendenza della (0.2)in funzione della frequenza una volta osservato che valgono le relazioni βl = 2π f f 0 βd = 2π f d f 0 Esempio. Si consideri il problema dell adattamento del carico Z L = 0 j 5 Ω ad una linea di trasmissione con impedenza caratteristica Z c = 50 Ω utilizzando il singolo stub in tutti i tipi di configurazione. L impedenza di carico normalizzata è z L = 0.2 j 0. da cui l ammettenza normalizzata è y L = 4 + j2. Di conseguenza è facile ricavare Γ L = ( + j4)/29 e dalla (0.0a) si ottengono le due soluzioni per lo stu in parallelo chiuso in corto circuito l l = 0.4499 l 2 = 0.083 = 0.0806 soluzione = 0.494 soluzione 2 mentre dalla (0.0b) si ottengono le due soluzioni per lo stub in parallelo chiuso in circuito aperto l 3 = 0.4499 l 4 = 0.083 d 3 = 0.3306 soluzione 3 d 4 = 0.694 soluzione 4 Sostituendo quanto ottenuto nella (0.) e (0.2) si ottengono gli andamenti, illustrati in figura 0.4 del coefficiente di riflessione Γ a in funzione della frequenza normalizzata f/f 0. Per l adattamento dello stesso carico mediante singolo stub collegato in serie si ottengono dalla (0.0c) per la chiusura in corto circuito le due soluzioni: l = 0.333 l 2 = 0.999 = 0.694 soluzione = 0.3306 soluzione 2 mentre dalla (0.0) si ottengono per la chiusura in circuito aperto le due soluzioni l 3 = 0.333 l 4 = 0.999 d 3 = 0.494 soluzione 3 d 4 = 0.0806 soluzione 4

0.. Adattamento con singolo stub 27 0.8 0.6 Γa 0.4 0.2 Soluzione Soluzione 2 Soluzione 3 Soluzione 4 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 f/f 0 Figura 0.4: Andamento del modulo del coefficiente di riflessione Γ a in funzione della frequenza normalizzata f/f 0 per l adattamento con stub in parallelo chiuso sia in corto circuito sia in circuito aperto 0.8 0.6 Γa 0.4 0.2 Soluzione Soluzione 2 Soluzione 3 Soluzione 4 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 f/f 0 Figura 0.5: Andamento del modulo del coefficiente di riflessione Γ a in funzione della frequenza normalizzata f/f 0 per l adattamento con stub in serie chiuso sia in corto circuito sia in circuito aperto

0.2. Adattamento con doppio stub 28 Z c d Z c Z c Z L Z c Z L Z c Figura 0.6: Adattamento con stub bilanciati a microstriscia In figura 0.5 sono illustrati gli andamenti del coefficiente di riflessione Γ a in funzione della frequenza normalizzata f/f 0. Le curve illustrate nelle figure 0.4 0.5 sono molto utili dal punto di vista pratico perché evidenziano il comportamento in frequenza del singolo stub. Infatti, per la trasmissione dell informazione possono essere utilizzati o seganli di tipo digitale o segnali sinusoidali opportunamente modulati il cui contenuto in frequenza occupa una banda più o meno larga. Pertanto, è evidente la necessità di progettare la rete di adattamento in modo tale che, fissata una banda di frequenze, il coefficiente di riflessione, Γ a sia al di sotto di un valore stabilito in fase di progetto. Purtroppo, con l adatamento a singolo stub in corrispondenza di Γ a = 0 si ha un punto di cuspide. Questo significa che piccole variazioni intorno alla frequenza centrale f 0 inducono variazioni non trascurabili nel coefficiente di riflessione che però possono essere contenute scegliendo opportunamente il tipo si stub: infatti, dalle figure 0.4 0.5 si vede che fissato il coefficiente di riflessione la banda di frequenze intorno a f 0 dipende dal tipo di configurazione che si vuole usare. E utile fare osservare che qualora si volessero realizzare adattatori a singolo stub tramite microstriscia e ridurre la transizione tra il segmento serie e quello parallelo è preferibile usare stub bilanciati, (vedi figura 0.6). In particolare, considerando la connessione è in parallelo, si ha che l ammettenza totale dello stub è il doppio di quella di ogni singolo ramo Y bal = 2Y stub. Quindi un singolo stub non bilanciato di lunghezza d può essere convertito in uno stub bilanciato equivalente di lunghezza tale che le due configurazioni forniscano la stessa ammettenza. 0.2 Adattamento con doppio stub Per rendere possibile l adattamento di carichi aventi diversa impedenza superando l inconveniente introdotto dall adatatmento a singolo stub è possibile utilizzare due stub. In particolare, nell adattamento con doppio stub la rete di adattamento è formata da due stub a distanza fissa collegati come in figura 0.7. La procedura per realizzare l adattamento è la seguente (vedi figura 0.8: si traccia sulla carta di Smith il punto corrispondente all impedenza di carico normalizzata z L (punto P );

0.2. Adattamento con doppio stub 29 B B l A Z L B B A Figura 0.7: Schema di adattamento a doppio stub si traccia sulla carta di Smith il punto corrispondente all ammettenza di carico y L (punto P 2 ); si ruota P 2, in senso orario, sulla circonferenza a conduttanza costante fino al punto P 3, intersezione tra tale circonferenza e la circonferenza a G = (circonferenza rosssa) ruotata in senso antiorario di un angolo ϕ = 2βl (circonferenza verde); indicando con jb 3 la suscettanza corrispondente a P 3 si ha jb 3 = jb L + jb s da cui b s = b 3 b L ; dal punto corrispondente al corto circuito (P 4 in termini di ammettenza) si effettua una rotazione verso il generatore fino a raggiungere il valore di suscettanza b s, calcolando la lunghezza del primo stub in termini di frazioni di lunghezza d onda, /λ; il punto P 5 è ottenuto per rotazione, in senso orario, sulla circonferenza OP 3 di un angolo ϕ; il secondo stub muove P 5 al centro della carta di Smith, punto O; detta jb 5 la suscettanza in corrispondenza di P 5 si ha jb 5 + jb s2 = 0 da cui b s2 = b 5 ; procedendo come nel terzo punto, partendo da P 4 si effettua una rotazione fino al valore di suscettanza b s2, per ricavare la lunghezza del secondo stub, /λ. Nell adattamento a doppio stub, fissata la lunghezza l tra gli stub, solo la lunghezza dei due stub è variata per adattare l impedenza di carico. Di conseguenza, qualora si considerino differenti carichi, è possibile adattare ognuno di loro agendo solamente sulle lunghezze dei due stub. Sfortunatamente, con questo tipo di adattamento non è possibile adattare qualunque carico in quanto tutti i valori di ammettenza normalizzata di carico y L che si trovano all interno del cerchio G = G 0, tangente al cerchio G = ruotato di

0.2. Adattamento con doppio stub 220 un angolo ϕ in senso antiorario, non sono adattabili. Infatti, procedendo in maniera analitica si ha alla sezione AA una ammettenza normalizzata: mentre nella sezione BB l ammettenza normalizzata è: dove t = tan (βl). Sostituendo la (0.3) nella (0.4) si ottiene y A = g L + jb L + jb s (0.3) y B = y A + jt + jty A (0.4) y B = g L + j (b L + b s + t) + jt (g L + jb L + jb s ) = [g L + j (b L + b s + t)] {[ t (b L + b s )] jtg L } [ t (b L + b s )] 2 + t 2 gl 2 = g L [ t (b L + b s )] + tg L (b L + b s + t) + j { (b L + b s + t) [ t (b L + b s )] tgl 2 } [ t (b L + b s )] 2 + t 2 gl 2 (0.5) = + jb Ugualiando la parte reale di ambo i membri della (??) si otiene: da cui g L [ t (b L + b s )] + tg L (b L + b s + t) = [ t (b L + b s )] 2 + t 2 g 2 L g L ( + t 2 ) = [ t (b L + b s )] 2 + t 2 g 2 L e cioé ( + t gl 2 2 ) t 2 g L + [ t (b L + b s )] 2 t 2 = 0 (0.6) La risoluzione della (0.6) fornisce le due soluzioni: g L = ( + t 2 ) [ 2t 2 ± 4t2 ( tb L tb s ) 2 ( + t 2 ) 2 ] (0.7) Visto che g L deve essere reale e non negativo, il termine sotto radice nella (0.7) deve essere e di conseguenza: 0 g L + t2 t 2 = sin 2 βl (0.8) In definitiva, fissato l, l ammettenza di carico deve trovarsi al di fuori del cerchio g 0 = / sin 2 βd = / sin 2 [(2π/λ) d] come mostrato in figura 0.9 Per esempio, per i valori l = λ/4 e l = λ/8 si ottiene rispettivamente g 0 = e g 0 = 2.

0.2. Adattamento con doppio stub 22 b s 2βl P 3 P 5 O z L P P 4 y L P 2 /λ P 5 /λ b s2 Figura 0.8: Carta di Smith relativa all adattamento a doppio stub.

0.2. Adattamento con doppio stub 222 2βl g 2 sen βd 0 L Figura 0.9: Rappresentazione sulla carta di Smith del cerchio di non adattabilità usando l adattamento con doppio stub in parallelo. Dalla (0.8) si osserva che è possibile adattare qualunque impedenza di carico scegliendo l vicino a 0 o π/2. In pratica, però, tali scelte non sono proponibili perché il massimo valore ottenibile della suscettanza dello stub è limitato dal valore finito di attenuazione della linea usata. Infatti, se jβ è sostituito con α + jβ, si può dimostrare che con λ/2 non è possibile adattare qualunque ammettenza di carico. Inoltre la scelta l = λ/2 genera una rete di adattamento molto sensibile alla frequenza. In definitiva le separazioni tra gli stub più usati in pratica sono l = pi/4, l = pi/8 e l = 3pi/8. Si fa osservare ancora che l adattamento può anche essere ottenuto seguendo il cammino P 2 P 5 O mostrato in figura 0.8. Procedendo invece in maniera analitica (per gli stub in corto circuito) si ha che l ammettenza a sinistra del secondo stub (sezione B B ) è data dalla seguente relazione: y = y B + y s2 dove y B è fornito dalla (5.2). L adattamento si ottiene quando y = e cioè y B j cot (βl s2 ) = (0.9) Ponendo b L + b s = b x e usando la (0.5) si ha g L [ t (b L + b s )] + tg L (b x + t) + j [ (b x + t) ( tb x ) tgl 2 ] ( tb x ) 2 + jb + t 2 gl 2 s2 =

0.2. Adattamento con doppio stub 223 da cui si ottiene g L [ t (b L + b s )] + tg L (b x + t) ( tb x ) 2 = (0.20a) + t 2 gl 2 [ (bx + t) ( tb x ) tg 2 b s2 = L] ( tb x ) 2 (0.20b) + t 2 gl 2 Manipolando la (0.20a) e considerando la (0.6)si ottiene: da cui g L ( + t 2 ) = ( tb x ) 2 + t 2 g 2 L ( ) + t 2 g L t 2 = [cot (βl) b x ] 2 + gl 2 Osservando che ( + t 2 )/t 2 = sec 2 (βl) si ottiene [cot (βd) b x ] 2 + g 2 L = g L sec 2 (βd) da cui si ricava cot (βd) b x = ±g L g L sen 2 (βd) cioé e in definitiva = ±g L g0 g L b x = cot (βl) g L g0 g L b s = b L + cot (βl) g L g0 g L (0.2) dove la (0.2) ammette due possibili soluzioni per β. In particolare esse possono essere ricavate sia per lo stub in corto circuito sia per quello in circuito aperto utilizzando rispettivamente la (0.) e la (0.2). Manipolando la (0.20b) si ha invece: b s2 = [ + cot (βl) b x] [cot (βl) b x ] cot (βl) g 2 L [cot (βl) b x ] 2 + g 2 L (0.22)

0.2. Adattamento con doppio stub 224 e sostituendo la (0.2) nella (0.22) si ottiene: [ ( )] [ ] g0 g0 + cot (βl) cot (βl) g L cot (βl) cot (βl) ± g L g L g L b s2 = g L sec 2 (βl) ± ( + cot 2 βl ) ( ) g0 g L gl 2 g0 cot βl g L g L gl 2 cot βl = g L sec 2 (βl) g0 cot βl = ± g 0 g L sec 2 (βl) g0 b s2 = cot βl ± (0.23) g L Dalla (0.23) si osserva che anche β ammette due possibili soluzioni sia per lo stub in corto circuito sia per quello in circuito aperto. Dalla (0.2) si osserva che la lunghezza del primo stub è un numero reale solo quando g 0 /g L <, in accordo con la (0.8). Anche con questo tipo di adattamento, allo scopo di valutare il comportamento in frequenza della rete di adattamento, è possibile ricavare l andamento in frequenza del coefficiente di riflessione Γ a sinistra del secondo stub. In particolare, per il caso di stub in parallelo in corto circuito si ha: con Γ = y + y cot (βl) g 2 L (0.24) y = Γ ae 2jβl + Γ a e 2jβl j cot(β), (0.25) βl = 2π f l f 0 (0.26) β = 2π f f 0 (0.27) β = 2π f f 0 (0.28) Esempio. Si vuole adattare il carico Z L = 20 j40 Ω ad una linea di trasmissione con impedenza caratteristica Z c = 50 Ω, utilizzando l adattamento a doppio stub con separazione tra gli stub l = π/4. Se i due stub sono chiusi in corto circuito dalle (0.2) e (0.23) si ottiene: = 0.762 = 0.0936 = 0.375 soluzione = 0.25 soluzione 2 e in figura 0.0 sono illustrati i relativi andamenti.

0.2. Adattamento con doppio stub 225 0.8 0.6 Γ 0.4 0.2 Soluzione Soluzione 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 f/f 0 Figura 0.0: Andamento del modulo del coefficiente di riflessione Γ Considerando invece due stub in circuito aperto si ottiene: = 0.4262 = 0.3436 = 0.25 soluzione = 0.375 soluzione 2 e in figura?? sono illustrati i relativi andamenti. Considerando il caso in cui lo stub sul carico è in circuito aperto e l altro è in corto circuito si ottiene: = 0.762 = 0.0936 = 0.25 soluzione = 0.375 soluzione 2 mentre nel caso in cui lo stub sul carico è in corto circuito e l altro è in circuito aperto si ottiene: = 0.4262 = 0.3436 = 0.375 soluzione = 0.25 soluzione 2 In figura 0.2 e figura 0.3 sono illustrati i relativi andamenti. Come visto a proposito dell adattamento a singolo stub, anche per il doppio stub, una volta fissato il coefficiente di riflessione, la banda di frequenze intorno a f 0 dipende dal

0.2. Adattamento con doppio stub 226 0.8 0.6 Γ 0.4 0.2 Soluzione Soluzione 2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 f/f 0 Figura 0.: Andamento del modulo del coefficiente di riflessione Γ 0.8 0.6 Γ 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 f/f 0 Figura 0.2: Andamento del modulo del coefficiente di riflessione absγ in funzione di f/f 0 a monte di una rete di adattamento costituita da un due stub in parallelo di cui quello sul carico è in circuito aperto e l altro è in corto circuito, per le due differenti soluzioni.

0.2. Adattamento con doppio stub 227 0.8 0.6 Γ 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 2 f/f 0 Figura 0.3: Andamento del modulo del coefficiente di riflessione Γ in funzione di f/f 0 a monte di una rete di adattamento costituita da un due stub in parallelo di cui quello sul carico è in corto circuito e l altro è in circuito aperto, per le due differenti soluzioni. tipo di configurazione che si vuole usare. Pertanto, gli andamenti illustrati nelle figure 0.0 0.3 sono significativi nel momento in cui si vogliono valutare gli effetti della variazione di frequenza sulle prestazioni della rete di adattamento.