Grandezze Fisiche dirette Una grandezza fisica ha significato se e solo se è possibile misurarla. Pertanto occorre definire: un campione un metodo di misura per confrontare la grandezza con il campione. Inoltre il campione deve essere: Riproducibile ed invariabile Nel 960 fu istituito il Sistema Internazionale SI
Sistema Internazionale SI 7 grandezze fondamentali Lunghezza [L] metri (m) Massa [M] kilogrammi (kg) Tempo [T], secondi (s) Corrente elettrica ampere (A) Temperatura kelvin (K) Intensità luminosa candele (cd) Quantità di materia moli (mol) Più due supplementari Angolo radianti (rad) Angolo solido steradianti (sr)
SI multipli e sottomultipli deca 0 da hetto 00 h kilo 0 3 k Mega 0 6 M Giga 0 9 G Tera 0 T Peta 0 5 P Esa 0 8 E deci 0 - d centi 0 - c milli 0-3 m micro 0-6 μ nano 0-9 n pico 0 - p femto 0-5 f atto 0-8 a 3
Unità di misura della lunghezza Il metro ha cambiato diverse volta definizione nel corso della sua esistenza Rivoluzione francese (nascita) m /40 000 000 parte del meridiano terrestre passante per Parigi 889 m distanza tra due tacche di una sbarra di platino-iridio 960 m 650 763.73 lunghezze d onda della luce rossa arancione emessa da una lampada di 86 Kr 983 m distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a /(99 79 458) secondi 4
Unità di misura della masse e del tempo Tempo: il secondo s /86400 del giorno solare medio Prima del 960 il campione tempo era definito in termini del giorno solare medio in riferimento all anno 900. 967 utilizzando un orologio atomico il secondo è ridefinito come il tempo richiesto ad un atomo di cesio-33 per compiere: 9 9 63 770 oscillazioni Massa: il chilogrammo Il campione del kg è conservato all International Bureau di Pesi e Misure di Servres: costituito da un cilindro di platino iridio e mantenuto ad una temperatura di 0 C. 5
Grandezze Fisiche indirette Le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche sono derivate da quelle fondamentali attraverso relazioni che legano ciascuna grandezza a quelle fondamentali. Per esempio la relazione che lega la velocità allo spazio percorso ed al tempo impiegato è data da v d L unità di misura della velocità sarà (SI): m/s La scelta tra grandezza fondamentale o derivata è ARBITRARIA equazione dimensionale [v][d][] - [L][T] - È sempre utile effettuare l analisi dimensionale dell espressione ottenuta!!! 6
Altre grandezze derivate aree Triangolo: / base x altezza Parallelogramma: base x altezza Cerchio: p x raggio al quadrato Le dimensioni [S] [L ] L unità di misura il m. Il campione: un quadrato di lato m. Volumi Parallelepipedo:Area di base x altezza Sfera: 4/3 p x raggio al cubo Le dimensioni [V] [L 3 ] L unità di misura il m 3. Il campione: un cubo di spigolo m. 7
Richiami di trigonometria θ l r senθ r r θ x l cosθ x r tanθ x senθ cosθ 8
Relazioni trigonometriche sen θ + cos θ sen( α ± β) senα cosβ ± cosαsenβ cos( α ± β) cosαcosβ m senαsenβ Meno utilizzate: cos( α) cos α sen α sen( α) senαcosα cosα cos α sen α senα sen α cos α Formule di bisezione senα +sen βsen α +β senα sen βsen α β cos α β cos α+β Formule di prostaferesi 9
Sistema di Riferimento Def. di Punto Materiale: punto geometrico dotato di massa Per lo studio del moto di un punto materiale è necessario poter localizzare il punto nello spazio e nel tempo, ossia misurare le posizioni assunte in istanti successivi di tempo. Occorre definire: una unità di misura per le lunghezze o distanze, un istante, anch esso convenzionale, rispetto al quale misurare i tempi e l unità di misura. 0
Sistema di Riferimento su una retta Per individuare la posizione di un punto P su una retta occorre fissare: Un punto di riferimento: l origine O Un verso di percorrenza: retta orientata Unità di misura delle lunghezze La posizione x di P sarà data dalla distanza P dall origine O con il segno + se il verso di percorrenza del segmento OP è concorde al verso fissato; con il segno se il verso è opposto. Corrispondenza biunivoca e continua fra i punti della retta e l insieme dei numeri reali relativi x - P O x PO P O P
Moto rettilineo del punto materiale Descriviamo il moto di corpo lanciato verso l alto con velocità iniziale v 0 m/s da una altezza di m. : fissiamo il sistema l asse ) di riferimento: ossia l origine, il verso e l unità di misura. Utilizziamo un orologio ed una scala graduata per misurare la posizione occupata dal corpo ad intervalli di tempo successivi Y T s Posizione m,39,95 3,08 3 6,56 5 0,38 5 9,78 7 9,8 7,60 9 7,79 9 5,03 3 5,9 7,07 33 3,64 3 8,7 35 0,98 m 5 7 9,98 0,84 37 39 7,9 4,47 O 9,3 4 0,63
Diagramma e legge orario Diagramma orario: Riportiamo i tempi sull asse delle ascisse ed i valori di sull asse delle ordinate I punti rappresentano le misure Il grafico orario può essere rappresentato mediante una espressione matematica cm 500 000 500 000 500 0 0 0 0 30 40 50 TEMPO s a + bt + ct + t 9,8t t in in cm s La curva è solo un interpolazione!! 3
Spostamento e percorso effettuato Consideriamo l istante t iniziale e t finale spostamento totale Δ finale iniziale percorso effettuato è invece la lunghezza del tratto effettivamente percorso. 500 Δ > 0 il moto avviene nella direzione positiva dell asse Δ < 0 il moto avviene nella direzione negativa dell asse Δ finale iniziale cm 000 500 000 500 0 0 0 0 30 40 50 TEMPO s t iniziale t finale 4
Velocità media Definiamo velocità media: nell intervallo v m spostamentoδ t t m/s Non dipende dal particolare percorso seguito 500 può essere sia negativa che positiva a seconda del segno dello spostamento è la pendenza della retta che congiunge P inziale a P finale finale iniziale cm 000 500 000 500 la descrizione del moto è insoddisfacente vedi la posizione occupata in t intermedio!! 0 0 0 0 30 40 50 TEMPO s t finale t iniziale t intermedio 5
Velocità istantanea 500 Vorremmo definire la velocità di un punto materiale ad un certo istante t in P: Riduciamo gli intervalli di tempo scelti per calcolare la velocità media. Quanto più si riduce l ampiezza degli intervalli di tempo tanto migliore è la descrizione del moto! Al limite per 0 la pendenza della retta congiungente P finale -P iniziale approssima la tangente la curva in P Si def. Velocità istantanea in P v cm ( t ) 000 500 000 500 0 P 0 0 0 30 40 50 t TEMPO s ( t + ) ( t ) lim 0 6
Velocità istantanea v ( t ) ( t + ) ( t ) lim 0 Rapporto incrementale Corrisponde al valore della derivata rispetto a t della funzione (t) all istante t v ( ) ( t + ) ( t ) t lim 0 d dt t Ripetendo l operazione per tutti gli istanti di tempo nell intervallo considerato v () t d( t) dt derivata rispetto al tempo della funzione (t) 7
Velocità istantanea Nel moto che stiamo trattando 50 00 la pendenza del grafico orario, e quindi la velocità, non è costante; costruiamo il grafico della velocità decresce linearmente con il tempo v cm/s 50 00 50 0-50 -00-50 -00-50 0 0 0 30 40 50 TEMPO s t 0 v v 0 v > 0 il punto si muove nella direzione positiva; v 0 massima v < 0 si muove nella direzione negativa 8
Accelerazione media ed istantanea Se la velocità del corpo varia ci si può chiedere con che rapidità varia: accelerazione media nell intervallo di tempo t finale t iniziale: a m Δv v finale t finale v t iniziale iniziale [L][T] - m/s l accelerazione istantanea: a ( t ) lim Δv lim 0 0 v ( t + ) v ( t ) ricordando la definizione di derivata a t dv ( t) ) dt ( t t 9
Accelerazione istantanea Ripetendo l operazione di limite per tutti gli istanti di tempo si determina la funzione accelerazione. costante negativa a dv ( t) ( t) dt a cm/s 0 0 0 0 30 40 50 - -4-6 -8-0 - TEMPO s In generale a > 0 la velocità cresce nella direzione positiva delle positive a 0 quando la velocità è massima a < 0 quando la velocità nella direzione delle positive decresce 0
Riassumendo Conoscendo la legge oraria: x(t) la posizione in funzione del tempo Possiamo calcolarci la velocità: v x (t) la velocità in funzione del tempo v x (t) dx(t) dt E quindi l accelerazione: a x (t) l accelerazione in funzione del tempo Combinando le due espressioni: a x (t) dv x (t) dt a x (t) dv x(t) dt d dt dx(t) dt d x(t) dt L accelerazione è la derivata seconda della funzione x(t) rispetto al tempo
Moto unidimensionale con a costante a m a Δv v finale t finale v t iniziale iniziale Prendiamo: t i 0 e t f t v i v 0 e v f v v v v v 0 + a t t a 0 Se v funzione lineare di t v v v + 0 m v m t finale finale t iniziale iniziale v m t 0 0 0 0 + ( v + v) v t at
Grandezze scalari e vettoriali Massa Tempo Temperatura Pressione Posizione lungo un asse (linea) Volume Lavoro Energia Posizione nel piano Posizione nello spazio Velocità Accelerazione Forza Quantità di moto Impulso Momento della quantità di moto 3