UNITÀ DIDATTICA 11 POLINOMI 11.1 Definizione di polinomio. Grado e ordine di polinomi. Operazioni con i polinomi Si chiama polinomio, un monomio o una somma algebrica di due o Definizione di polinomio più monomi. I monomi che lo compongono si dicono termini del polinomio e solitamente sono scritti in forma normale. Un polinomio ridotto in forma normale si dice: - nullo, quando tutti i suoi termini sono monomi nulli; - binomio, se contiene soltanto due termini, non nulli; - trinomio, se contiene soltanto tre termini; - quadrinomio e così via. ab xy 3a 2 + 2x 2 y è un quadrinomio. Polinomi uguali: due polinomi sono uguali se e solo se i monomi del primo polinomio coincidono con i monomi del secondo, a meno dell ordine. Grado di un polinomio: si chiama grado di un polinomio, non nullo e ridotto a forma normale, rispetto a una sua lettera, il massimo dei gradi dei suoi termini. 2 grado rispetto alla a 4 3 a 2 bx 2 3 2 abx 7 + 4ab 3 è di 3 grado rispetto alla b 7 grado rispetto alla x Grado e ordine di polinomio Si chiama grado complessivo, o semplicemente grado, di un polinomio non nullo e ridotto a forma normale, il massimo dei gradi dei suoi termini. il polinomio 5ab 3 a 2 b a è di quarto grado. 49
Si chiama termine noto di un polinomio il monomio che è di grado zero, vale a dire, che presenta solo la parte numerica e nessuna parte letterale. Si dice omogeneo un polinomio quando tutti i suoi termini sono dello stesso grado. 7a 3 + 6a 2 b + 2 3 ab2 b 3 è un monomio omogeneo di terzo grado. Polinomi ordinati Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti di una lettera in esso contenuta, se i suoi termini sono ordinati in modo che gli esponenti di quella lettera decrescono da quello massimo a quello minimo. Se vi sono più termini contenenti la lettera alla stessa potenza bisogna raccogliere a fattor comune quella potenza. Esercizio: Ordinare rispetto alla lettera x il polinomio: 3x 3 7a 2 x 8ax 3 5a 2 x 2 + a 5 + ax 2 Si può scrivere innanzi tutto 3x 3 8ax 3 5a 2 x 2 + ax 2 7a 2 x + a 5 e raccogliere a fattor comune le potenze della x: ( 3 8a)x 3 + ( 5a 2 + a)x 2 7a 2 x + a 5 Evidentemente un polinomio si può anche ordinare rispetto alle potenze crescenti di una sua lettera.un polinomio, di un dato grado, si dice COMPLETO quando, oltre al termine di grado massimo, contiene i termini di tutti i gradi inferiori fino a quello di grado zero, rispetto a quella lettera. In caso contrario si dice INCOMPLETO. Il monomio dell esempio precedente era completo. Somma e differenza di polinomi La somma di due o più polinomi è un polinomio che ha per termini tutti i termini (addendi) dei polinomi addendi. La differenza di polinomi si ottiene addizionando al primo polinomio (minuendo) Operazioni con i polinomi 50
l opposto del secondo, cioè il polinomio con tutti i termini cambiati di segno. In sostanza bisogna togliere le parentesi facendo attenzione ai segni dei vari termini, se davanti c è il segno (-) cambiano tutti. ( 3x 3 2x 2 y 5y 3 )+( 5xy 2 2x 3 + 7x 2 y) ( 2x 3 + 9y 3 12xy 2 x 2 y) togliendo le parentesi: 3x 3 2x 2 y 5y 3 + 5xy 2 2x 3 + 7x 2 y 2x 3 9y 3 +12xy 2 + x 2 y e addizionando i termini simili: x 3 + 6x 2 y 14y 3 +17xy 3 Prodotto di polinomi Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio i cui termini si ottengono moltiplicando ciascun termine del polinomio dato per il monomio. ( ) = 15a 3 b 2 5ab 2 10a 2 b 3 5ab 3a 2 b b 2ab 2 Il prodotto di un polinomio per un polinomio è un polinomio che ha per termini tutti i prodotti che si ottengono moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo polinomio. Il grado del polinomio prodotto quindi è eguale alla somma dei gradi dei gradi dei polinomi fattori. Inoltre si sa che se si moltiplicano n termini per m termini si ottengono m n termini. 1 2 x + xy ( 4x y)= 2x 2-1 2 xy + 4x2 y -xy 2 51
11.2 Prodotti notevoli. Divisione di un polinomio per un monomio. Divisione di Polinomi in una variabile Prodotti notevoli Prodotti notevoli I prodotti notevoli sono dei prodotti di polinomi che si presentano molto spesso e per la determinazione dei quali è possibile semplificare i calcoli con alcune regole fisse, da imparare a memoria. QUADRATO DI BINOMIO: il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo termine, più il doppio prodotto, con il relativo segno, del primo termine per il secondo, più il quadrato del secondo termine: (a + b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2 ; (a b) 2 = a 2 2ab+ b 2 Esempi: - ( 7a 3 b 2 + 3ab 5 ) 2 = 49a 6 b 4 + 42a 4 b 7 + 9a 2 b 10-2 3 a 2 b 3 4 ab2 = 4 9 a4 b 2 a 3 b 3 + 9 16 a 2 b 4 QUADRATO DI POLINOMIO: il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini più il doppio prodotto, con il relativo segno, di ogni termine per ciascuno di quelli che lo seguono: (a + b c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab 2ac 2bc ( 3a 2 2ab+ b 3 ) 2 = (3a 2 ) 2 (2ab) 2 + (b 3 ) 2 + 2(3a 2 )( 2ab)+ 2(3a 2 )(b 3 )+ 2( 2ab)(b 3 ) = = 9a 4 + 4a 2 b 2 + b 6 12a 3 b + 6a 2 b 3 4ab 4 CUBO DI BINOMIO: il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo termine, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo termine: (a + b) 3 = a 3 + b 3 + 3a 2 b +3ab 2 (a b) 3 = a 3 b 3 3a 2 b + 3ab 2 52
(3a 2 2ab) 3 = 27a 6 8a 3 b 3 54a 5 b + 36a 4 b 2. I prodotti notevoli, se applicati correttamente, sono utilissimi per la semplificazione dei calcoli. PRODOTTO DELLA SOMMA PER LA DIFFERENZA DI DUE TERMINI: il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine: (a + b)(a b) = a 2 b 2 (2a 2 + 3b 2 )(2a 2 3b 2 ) = (2a 2 ) 2 (3b 2 ) 2 = 4a 4 9b 4 Altri prodotti notevoli Altri prodotti notevoli di uso frequente sono: (a + b)(a 2 ab + b 2 ) = a 3 + b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 b 3 Si noti che i prodotti notevoli si possono utilizzare sia nel senso qui proposto che nel senso inverso, risultando di estrema utilità per semplificare alcune espressioni. a 3 b 3 a 2 + ab + ab 2 = (a b)(a2 + ab + ab 2 ) a 2 + ab + ab 2 = (a b) Divisione di un polinomio per un monomio Un polinomio si dice divisibile per un monomio quando esiste un altro polinomio che moltiplicato per il monomio dà per prodotto il polinomio dato. Inoltre, un polinomio è divisibile per un monomio quando tutti i termini del polinomio sono divisibili per quel monomio. In definitiva possiamo affermare che, quando un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è uguale al polinomio i cui termini si ottengono dividendo ciascun termine del polinomio dato per il monomio. Divisione di un polinomio per un monomio. 53
Esempi: (30a 3 15a 2 b + 45ab 3 5a) 5a innanzitutto è una divisione possibile, in quanto tutti i termini del polinomio sono divisibili per 5 : (30a 3 15a 2 b + 45ab 3 5a) 5a = 6a 2 3ab + 9b 3 1 il polinomio trovato se moltiplicato per 5a restituisce il polinomio dato: 2 3 x 2 y 3 1 4 x3 y + 7x 2 y 2 2ax 3 y 2 5 x2y = 5 3 y2 + 5 8 x 32 2 y + 5ax Divisione di due polinomi in una variabile Consideriamo due polinomi contenenti una sola lettera (in una variabile) e ordiniamoli secondo le potenze decrescenti di tale lettera. Chiamiamo A(x) il primo polinomio di grado m in x e B(x) il secondo polinomio di grado n in x e ipotizziamo anche che m>n. A questo punto possiamo dire che se esiste un polinomio Q(x) tale che Q(x)B(x)=A(x) allora il polinomio A(x) è divisibile per B(x) senza resto e il polinomio Q(x) è il quoziente esatto e sarà di grado (m-n). Potrebbe anche accadere che il polinomio A(x) non sia divisibile per B(x). In tal caso è possibile trovare due polinomi Q(x) e R(x) tali che risulta A(x) = Q(x)B(x) + R(x). I due polinomi Q(x) ed R(x) si chiamano rispettivamente quoziente incompleto e resto e sono unici. P.S. ricordiamo che nella divisione, un certo numero a è divisibile per b senza resto se dà un numero q tale che qb=a e il numero q si chiama quoziente. Se invece non è divisibile esistono due soli numeri q ed r tali che a=qb + r dove q prende il nome di quoziente incompleto e r è il resto della divisione. (Es. 9 diviso 2 = 4+1, dove 4 il quoziente e 1 è il resto). A questo punto è opportuno considerare il metodo per determinare il quoziente Q(x) e l eventuale resto di una divisione tra due polinomi A(x) e B(x). Spieghiamo il procedimento con un esempio esplicando via via i passi da compiere. Divisione di Polinomi in una variabile 54
Esercizio: Calcolare il quoziente e il resto della seguente divisione: (4x 16x 2 + 8x 3 1) (4x 2) Per prima cosa si ordinano i due polinomi secondo le potenze decrescenti della lettera x; se il polinomio dovesse essere incompleto conviene scrivere degli zeri dove manca l esponente di un certo grado; nel nostro caso il polinomio è completo e il problema non si pone, perciò: (8x 3 16x 2 + 4x 1) (4x 2) Si divide il primo termine del polinomio dividendo A(x) per il primo termine del polinomio divisore ottenendo così il primo termine del quoziente, nel nostro caso si divide 8x 2 per 4x e si ottiene il primo quoziente parziale: 8x 3-16x 2 +4x -1 4x -2 2x 2 Si moltiplica il termine appena ottenuto per il polinomio divisore B(x) e si sottrae il risultato dal polinomio di partenza, ottenendo il primo resto parziale. Nel nostro esempio moltiplichiamo 2x 2 per (4x-2) e scriviamo il risultato (8x 3-4x) con i segni cambiati, dato che è una sottrazione, sotto il polinomio di partenza. 8x 3-16x 2 +4x -1 4x -2-8x 3 +4x 2 2x 2-12 x 2 +4x -1 Si divide il termine di grado più alto del primo resto parziale per il primo termine del divisore, ottenendo il secondo termine del quoziente. 55
Nel nostro caso dividiamo -12x 2 per 4x e otteniamo 3x, che scriviamo dopo 2x 2 : 8x 3-16x 2 +4x -1 4x -2-8x 3 +4x 2 2x 2-3x -12 x 2 +4x -1 Si moltiplica di nuovo il risultato ottenuto per il polinomio divisore e si sottrae il risultato al resto parziale ottenuto in precedenza. Nel nostro caso moltiplichiamo 3x per (4x-2) e poniamo il risultato, con i segni cambiati, sotto 12x 2 +4x-1. Facciamo la sottrazione e consideriamo il nuovo resto parziale ottenuto. 8x 3-16x 2 +4x -1 4x -2-8x 3 +4x 2 2x 2-3x -12 x 2 +4x -1 12 x 2-6x -2x -1 Siccome il grado del resto parziale è pari al grado del polinomio divisore continuo la stessa operazione precedente, dividendo il primo termine del resto per il primo termine del polinomio divisore, poi moltiplicando il risultato ottenuto per l intero polinomio divisore e sottraendolo di nuovo dal resto. Nel nostro caso abbiamo che il resto ottenuto è -2x-1 che è di primo grado, come il polinomio divisore 4x-2. Ecco perché ripetiamo il procedimento. 8x 3-16x 2 +4x -1 4x -2-8x 3 +4x 2 2x 2-3x -12 x 2 +4x -1-1 2 12 x 2-6x -2x -1 2x -1-2 56
Quindi risulta che il polinomio 8x 3-16x 2 +4x-1 diviso per il polinomio 4x-2 fornisce il polinomio 2x 2-3x- 1 2 con il resto di (-2). Ciò significa che (4x-2)( 2x 2-3x- 1 2 ) 2 = 8x3-16x 2 +4x-1 Consideriamo un altro esempio svolto senza spiegare tutti i passaggi e nel quale, essendo il polinomio dividendo incompleto, è stato necessario inserire degli zeri. (2x 5 11x 3 + 2x + 2) (x 3 2x 2 +1) 2x 5 +0-11x 3 +0 +2x +2 x 3 -x 2 +1-2x 5 +4x 4-2 x 2 2x 2 +4x -3 +4x 4-11x 3-2 x 2 +2x +2-4x 4 +8x 3-4x -3x 3-2 x 2-2x +2 3x 3-6 x 2 +3-8 x 2-2x +5 Il risultato della divisione è il polinomio (2x 2 +4x-3) con resto di (-8 x 2-2x+5). Osservazioni: - abbiamo considerato finora polinomi con coefficienti numerici. Le cose con cambiano se si considerano polinomi che hanno dei coefficienti letterali. La divisione si esegue allo stesso modo, tenendo presente le regole della divisione tra monomi. - Abbiamo considerato la divisione tra polinomi in una sola variabile, in particolare la x. Se compaiono più variabili bisogna specificare rispetto a quale variabile si esegue la divisione e ordinare i polinomi di conseguenza. Ricapitolando abbiamo un certo polinomio nella variabile x, che possiamo indicare come A(x), e abbiamo un certo polinomio B(x) di grado inferiore. Dalla divisione di A(x) per B(x) otteniamo un polinomio Q(x) ed un eventuale resto R tali che A(x) = B(x) Q(x) + R. Osserviamo ora un risultato particolare, nel caso della divisione di un polinomio per un binomio di primo grado del tipo (x - c). 57
1.3 Teorema del Resto. Teorema di Ruffini. Divisibilità di binomi notevoli Divisibilità di un polinomio per un binomio di primo grado Recuperiamo i concetti precedenti ed applichiamoli al caso in cui B(x) sia un binomio di primo grado, che esprimiamo genericamente come (x-c). Da ciò che abbiamo visto risulta che A(x) = (x c) Q(x) + R che dovrà risultare valida per ogni valore della x. Ora supponiamo di dare alla x il valore c. In questo modo la notazione A(c) indica il valore del polinomio A(x) quando alla x viene sostituito il numero c. Da questo cambiamento risulta che A(c) = (c c) Q(c) + R espressione che, dato che (c-c)=0 si semplifica diventando A(c) = R. Questo è un importante teorema che prende il nome di: Teorema del resto. Il resto della divisione di un polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della x, per un binomio del tipo x-c, è dato dal valore che assume il polinomio quando al posto della lettera x si sostituisce il numero c, cioè l opposto del termine noto del divisore. A(x) = 9x 3 6x 2 +5x +3 diviso per il binomio (x + 2) Teorema del Resto. In questo caso il termine noto del divisore è (+2) e il suo opposto è (-2). Si ha quindi che A(-3) = 9(-2) 3 6(-2) 2 +5(-2) +3 = 41 che quindi rappresenta il resto della divisione. In conclusione, è possibile determinare il resto di una divisione di un polinomio per un binomio del tipo (x c) considerando il valore che il polinomio assume quando x = c; cioè quando x è pari all opposto del numero c. Il resto, grazie a questo teorema può essere trovato senza svolgere la divisione. Teorema di Ruffini Dal teorema del resto visto in precedenza discende un importante teorema. Supponiamo, per esempio che il polinomio A(x) sia esattamente divisibile per B(x) e, quindi, il suo resto R = 0. Ma dato che R = A(c) so anche che A(c) = 0. Teorema di Ruffini 58
Ciò significa che, se un polinomio è divisibile per (x c) allora il polinomio si annulla per x = c. Questo enunciato può anche essere utilmente rovesciato: se un polinomio si annulla per il numero x = c allora quel polinomio sarà divisibile (senza resto) per il binomio (x c). Questo teorema prende il nome di teorema di Ruffini ed è così sintetizzabile: un polinomio A(x) è divisibile esattamente per il binomio x-c se e soltanto se risulta che A(c) = 0. Inoltre diamo anche questa definizione: ogni valore della variabile x per il quale un polinomio A(x) si annulla si chiama zero, (o radice), del polinomio. In definitiva, se un polinomio è divisibile senza resto per (x-c) allora il numero c è uno zero del polinomio e viceversa. Regola di Ruffini Esiste una regola che permette di calcolare il quoziente di una divisione per il polinomio del tipo (x-c), senza eseguire il procedimento di divisione visto in precedenza, tale regola prende il nome di regola di Ruffini. Consideriamola utilizzando un esempio: (5x 3 3x 2 14x 20) (x 3) Se la eseguissimo nel solito modo avremmo: 5x 3-3x 2-14x -20 x -3-5x 3 +15x 2 5x 2 +12x +22 12x 2-14x -20-12x 2 +36x 22x -20-22x +66 +46 Tale divisione si può eseguire facilmente utilizzando il seguente schema: 5-3 -14-20 3 5 59
Si forma un quadro come quello soprastante e si pongono i coefficienti della x del polinomio dividendo dentro alle righe verticali, il termine noto (senza la x) dopo le righe verticali. Poi a sinistra del primo tratto verticale e sopra quello orizzontale si pone il termine noto, cambiato di segno, del polinomio divisore (-c). Nel nostro caso è (-3) e diventerà 3. Poi si trascrive il primo coefficiente del polinomio dividendo sotto la riga orizzontale ed esso sarà anche il primo coefficiente del quoziente. +5-3 -14-20 +3 +15 +36 +66 +5 +12 +22 +46 Fatto ciò si procede nel seguente modo: si moltiplica 5 per 3 e si scrive il risultato (15) sopra la riga orizzontale sotto il coefficiente successivo e si esegue la somma algebrica dei due termini ottenendo il secondo coefficiente del quoziente. Si ripete poi il procedimento per il terzo coefficiente ed eventuali coefficiente successivi, fino al termine noto. In questo caso avrò 3 x 12 che mi dà 36 e dalla differenza (22) avrò 3 x 22 che mi dà l ultimo termine da scrivere sotto a quello noto (66). Sapendo che il polinomio quoziente è di un grado inferiore al dividendo si avrà come risultato: 5x 2 +12x+22; con il resto di 46, cioè lo stesso di prima, ma ottenuto più rapidamente Divisibilità di binomi notevoli Come applicazione del teorema di Ruffini incontriamo i seguenti teoremi che enunciamo senza dimostrarli. TEOREMA 1 : La differenza di due potenze di uguale esponente positivo è sempre divisibile per la differenza delle basi. Abbiamo, quindi, un polinomio del tipo A(x) = x n a n. Tale polinomio sarà sempre divisibile per il binomio (x a), cioè la differenza delle basi. Questo teorema è facilmente dimostrabile se consideriamo il teorema di Ruffini e calcoliamo il resto della divisione sostituendo alla x il valore a. Si ottiene infatti A(a) = a n a n = 0, che dimostra Divisibilità di binomi notevoli 60
il teorema.un binomio notevole che si può incontrare è, per esempio, x 3 a 3, che sarà divisibile esattamente per il binomio (x a) e, se eseguiamo la divisione otteniamo: x 3 a 3 = (x a)(x 2 + ax + a 2 ) TEOREMA 2 : la differenza di due potenze di uguale esponente positivo è divisibile per la somma delle basi, solo quando l esponente è pari. Quindi, quando siamo di fronte a un polinomio del tipo A(x) = x n a n essa è divisibile per (x + a) solo quando il numero n è pari. Per dimostrarlo basta applicare il teorema di Ruffini e provare che A(-a) = 0. TEOREMA 3 : la somma di due potenze di uguale esponente positivo è divisibile per la somma delle basi, solo quando l esponente è dispari. Da questo teorema si può considerare come caso particolare quello che in precedenza abbiamo indicato come prodotto notevole, e cioè il polinomio (x 3 + a 3 ) diviso per la somma delle sue basi. x 3 + a 3 = (x+ a)(x 2 ax + a 2 ) TEOREMA 4 : la somma di due potenze di egual esponente positivo non è mai divisibile per la differenza delle basi. Riassumiamo in una tabella i risultati ottenuti applicando il teorema di Ruffini. Il polinomio A(x) è divisibile per se x n a n (x - a) sempre x n a n (x + a) n è pari x n + a n (x + a) n è dispari Il polinomio A(x) non è mai divisibile per x n + a n (x - a) 61
Esercizi 1. Semplificare la seguente espressione: ( a 2 2b 2 ) 3 ( 3a 2 + b 2 ) 3 5a 2 b 2 ( 2a 2 b 2 ) ( a 3 2b 3 ) 2 2. Determinare il resto della divisione: ax 4 3a 2 x 3 + 5a 3 x 2 1 2 a 4 x 11a 5 ( x 2a) 62