1 Richiami di logica matematica

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 1 1 Richiami di logica matematica Definire cos è un enunciato, una proposizione (elemento primitivo della logica delle proposizioni). La definizione è data in termini di una proprietà dell enunciato: l essere vero o falso (logica bivalente). Dunque si assume che ogni proposizione abbia un solo valore di verità scelto tra i due: vero oppure falso. Sistemi logici più completi possono averne altri (indeterminato, per esempio). Variabili: Lettere dell alfabeto (maiuscole o minuscole), se serve con sottoscritte (con apici o pedici): A, x, B 1, j,... Assegnamento di valore alle variabili. Connettivi logici: : (Operazioni binarie, unarie tra proposizioni). Si formano nuove proposizioni a partire da proposizioni date. negazione: p. congiunzione (AND): p q. disgiunzione (OR, p vel q): p q. disgiunzione esclusiva (p XOR q, aut p aut q) : p q. implicazione (materiale) (se p allora q, p implica q): p = q. doppia implicazione (se e solo se): p q. Valori di verità: Vero (1) e Falso (0). Dato che gli enunciati p, q,... assumo valori di verità 0/1, è possibile definire i connettivi logici scrivendo le corrispondenti tabelle di verità. D.L. Ferrario 7 marzo 2005 1

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 2 p p 1 0 0 1 p q p = q 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 p q p q 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 p q p q 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 p q p q 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 p q p XOR q 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 Simboli primitivi ed espressioni logiche: A partire da proposizioni date p, q, r,... si costruiscono espressioni composte (dette anche forme o espressioni, nel calcolo delle proposizioni), utilizzando le parentesi per esplicitare la precedenza tra le operazioni. Alcune espressioni sono sempre vere (cioè assumono valore di verità 1 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili), e si chiamano tautologie. Altre, invece, sono sempre false (cioè assumono valore di verità 0 per ogni possibile scelta dei valori delle variabili): si chiamano contraddizioni. Quando due espressioni hanno le medesime tavole di verità si dicono equivalenti. A e B sono equivalenti se e solo se A B è una tautologia. Le seguenti sono tautologie: (i) A A (terzo escluso); (ii) (A A) (non contraddizione); (iii) ( A) A (doppia negazione); D.L. Ferrario 7 marzo 2005 2

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 3 (iv) A A A, A A A; (v) A B B A, A B B A (commutatività); (vi) associatività: (A B) C A (B C); (A B) C A (B C); (vii) Leggi distributive: A (B C) (A B) (A C); A (B C) (A B) (A C); (viii) Leggi di de Morgan: (A B) A B; (A B) B A; Le seguenti tautologie sono uno schema del ragionamento logico formale. Sono esempi di sillogismi, riscritti nei termini della logica matematica delle proposizioni. (i) (A B) = A; (ii) (A = B) ( B = A) (contronominale, contrapposizione, per assurdo); (iii) (A = B) A = B (modus ponens); (iv) (A = B) B = A (modus tollens); (v) (A = B) (B = C) = (A = C) (modus barbara, sillogismo ipotetico); D.L. Ferrario 7 marzo 2005 3

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 4 (vi) ((A B) A) = B (sillogismo disgiuntivo). Predicati Quando una espressione p(x) contiene delle variabili (x) che non sono state assegnate (variabili libere) si dice predicato, proprietà, funzione proposizionale o anche enunciato aperto. Quantificatori: I quantificatori trasformano enunciati aperti in proposizioni (vere o false). Se ci sono più variabili libere, si possono usare più quantificatori. Le variabili con un valore assegnate oppure quantificate da un quantificatore si dicono vincolate. Quantificatore universale: (per ogni, per tutti). Uso: x, p(x). Significato: Per ogni x (nell universo U), la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: x U, p(x). Quantificatore esistenziale: (esiste, esiste almeno un x). Uso: x : p(x). Significato: Esiste almeno un x (nell universo U) per cui la proprietà p(x) è vera (cioè x gode della proprietà p). Anche: x U : p(x). ( x, p(x)) x : p(x) (principio di negazione). ( x : p(x)) x, p(x) (principio di negazione). x, y, p(x, y) y,, xp(x, y) (principio di scambio). x : y : p(x, y) y : : xp(x, y) (principio di scambio). x : y, p(x, y) = y, x : p(x, y) (principio di scambio). D.L. Ferrario 7 marzo 2005 4

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 5 2 Richiami di teoria degli insiemi Concetti primitivi (non definiti): Insieme di oggetti/elementi (anche: collezione, famiglia). Relazione di appartenenza: x X, x X. In altri termini, in questa teoria intuitiva (naive) degli insiemi 1 si definisce un insieme come collezione di oggetti definiti e distinguibili (cioè si deve essere in grado di stabilire se x = y oppure x y). Si assumono anche i seguenti principi: (i) Principio di estensione: Due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. (ii) Principio di astrazione: Una proprietà p(x) definisce un insieme A con la convenzione che gli elementi di A sono esattamente gli oggetti x per cui P (x) è vera: (iii) Assioma della... Estensioni di questa notazione: A = {x : p(x)}. {x A : p(x)} Esempio: {x R : x 4} {f(x) : p(x)} Esempio: {x 2 : x Z} {1, 2, 3}, {1, 2} 1 G. Cantor (1845 1918). Il termine intuitiva è usato anche poiché l intuizione dovrebbe il criterio per stabilire cosa è un insieme e cosa no; conseguenze di questo approccio sono famosi paradossi (contraddizioni), come il paradosso di Russell (1901): sia X l insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, cioè che non hanno se stessi come elementi (x x); se X appartiene a se stesso, X X, allora per definizione X X, cioè X non appartiene a se stesso. Viceversa... D.L. Ferrario 7 marzo 2005 5

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 6 Insieme vuoto:. 2 Relazioni tra insiemi: (Inclusione) A B (anche A B): se x A implica x B. A è un sottoinsieme di B. A B: se B A. A = B se e solo se (A B) e (B A). Operazioni con gli insiemi: Unione A B = {x : x A x B}. Intersezione A B = {x : x A x B} (due insiemi sono disgiunti quando A B = ). Prodotto cartesiano (insieme delle coppie ordinate) A B = {(a, b) : a A, b B} = {(a, b) : a A b B}. Complemento di A in B A (differenza tra insiemi): A (= A c = B A) = {x B : x A}. Insieme delle parti: P(X) = 2 X = l insieme dei sottoinsiemi di X (cioè l insieme delle funzioni f : X {0, 1}). Operazioni per collezioni/famiglie di insiemi: come il simbolo di sommatoria può essere usato per definire la somma di una serie di numeri, così i simboli di unione e intersezione possono essere usati per famiglie di insiemi. Siano J e U due insiemi non vuoti e f : J 2 U 2 Il concetto complementare di insieme vuoto è quello di insieme universo. S intende che questo viene scelto e sottinteso in dipendenza dal contesto. Per esempio: numeri naturali, numeri reali,... D.L. Ferrario 7 marzo 2005 6

Geometria e Topologia I 7 marzo 2005 7 una funzione. Per ogni i J, il sottoinsieme f(i) 2 U può anche essere denotato con X i, per esempio (cf. successioni x i vs. funzioni x = f(i)). i J X i := {x U : ( i I : x X i )}, o equivalentemente 3 i J X i := {x U : x X i per qualche i I}. i J X i := {x U : ( i J, x X i )}, o equivalentemente i J X i := {x U : x X i per tutti gli i J}. In ultimo, si ricordi che una funzione f : X Y si dice iniettiva se..., suriettiva se..., bijettiva (biunivoca) se... (2.1) Definizione. Sia f : X Y una funzione. Se B Y è un sottoinsieme di Y, la controimmagine di B è f 1 (B) = {x X : f(x) B}. 3 Si noti l uso del simbolo := usato per le definizioni o gli assegnamenti. D.L. Ferrario 7 marzo 2005 7

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 8 3 Spazi metrici e continuità: topologia degli spazi metrici Ricordiamo alcuni fatti elementari sugli spazi metrici. (3.1) Definizione. Uno spazio metrico è un insieme X munito di una funzione d: X X R tale che per ogni x 1, x 2,x 3 X: (i) x 1, x 2, d(x 1, x 2 ) 0 e d(x 1, x 2 ) = 0 se e solo se x 1 = x 2. (ii) Simmetria: d(x 1, x 2 ) = d(x 2, x 1 ). (iii) Disuguaglianza triangolare: d(x 1, x 3 ) d(x 1, x 2 ) + d(x 2, x 3 ). La funzione d viene chiamata metrica su X. Gli elementi di X vengono anche chiamati punti. (3.2) Esempio. Metrica su R: d: R R R, d(x, y) = x y, ha le proprietà che per ogni x, y R (i) x y 0 e x y = 0 x = y. (ii) x y = y x. (iii) x z x y + y z. Importante concetto associato al concetto di metrica/distanza: (3.3) Definizione. Palla aperta (intorno circolare) di raggio r e centro in x 0 X (X spazio metrico): (Anche più esplicitamente B r (x 0, X)) B r (x 0 ) = {x X : d(x, x 0 ) < r}. D.L. Ferrario 9 marzo 2005 8

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 9 (3.4) Nota. Una funzione f : A R R è continua nel punto x A se per ogni ɛ > 0 esiste un δ > 0 tale che x y < δ = f(x) f(y) < ɛ. Cioè, equivalentemente, f è continua in x R se per ogni ɛ > 0 esiste δ > 0 tale che y B δ (x) = f(y) B ɛ (f(x)), cioè f (B δ (x)) B ɛ (f(x)). In generale, f : A R è continua in A R se è continua per ogni x A, cioè se per ogni ɛ > 0 e per ogni x A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che f (B δ (x)) B ɛ (f(x)). Dal momento che f(a) B A f 1 B (esercizio?? a pagina??), la funzione f è continua in A se e solo se per ogni ɛ > 0 e per ogni x A esiste δ (dipendente da ɛ e x) tale che B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))). (3.5) Definizione. 4 Un sottoinsieme U di uno spazio metrico X si dice intorno di un punto x U se contiene un intorno circolare di x, cioè se esiste δ > 0 tale che B δ (x) U Se U è un intorno di x, si dice che x è interno ad U. (3.6) Nota. Se U è un intorno di x e U V, allora V è un intorno di V. Con questo linguaggio, la definizione di continuità in x diventa: la controimmagine f 1 (B ɛ (f(x))) di ogni intorno circolare di f(x) è un intorno di x. Notiamo che una palla è intorno di ogni suo punto (esercizio?? a pagina??). (3.7) Se f : A R R è continua in A, allora la controimmagine di ogni palla B r (y) in R (intervallo!) è intorno di ogni suo punto. 4 U può non essere aperto... D.L. Ferrario 9 marzo 2005 9

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 10 Dimostrazione. Se x f 1 B ɛ (y), cioè f(x) B ɛ (y), allora esiste r abbastanza piccolo per cui B r (f(x)) B ɛ (y). Dal momento che f è continua in x, f 1 (B r (f(x))) è intorno di x. Ma B r (f(x)) B ɛ (y) = f 1 (B r (f(x))) f 1 (B ɛ (y)) e quindi f 1 (B ɛ (y)) è un intorno di x. q.e.d. (3.8) Definizione. Un sottoinsieme A X di uno spazio metrico si dice aperto se è intorno di ogni suo punto (equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno circolare tutto contenuto in A, o, equivalentemente, ogni punto di A ha un intorno tutto contenuto in A). (3.9) Una palla aperta B r (x) è un aperto. Dimostrazione. (Esercizio?? di pagina??) q.e.d. (3.10) Una funzione f : A R R è continua in A se e soltanto se la controimmagine di ogni palla B r (y) in A è un aperto. Dimostrazione. Per la proposizione precedente se una funzione è continua allora la controimmagine di ogni palla è un aperto. Viceversa, assumiamo che la controimmagine di ogni palla B r (y) è un aperto. Allora, per ogni x A e per ogni ɛ > 0 f 1 (B ɛ (f(x))) è un aperto, ed in particolare è un intorno di x; per definizione di intorno, quindi per ogni x e ɛ esiste δ > 0 tale che B δ (x) f 1 (B ɛ (f(x))), cioè f è continua. q.e.d. D.L. Ferrario 9 marzo 2005 10

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 11 3.1 Proprietà dei sottoinsiemi aperti Se A X è aperto, allora per ogni x A esiste r = r(x) > 0 tale che B r(x) A, e quindi A è unione di (anche infinite) palle aperte A = x A B r(x) (x). Viceversa, si può mostrare che l unione di una famiglia di palle aperte è un aperto. Quindi vale: (3.11) Un sottoinsieme A X è aperto se e solo se è unione di intorni circolari (palle). (3.12) Corollario. L unione di una famiglia qualsiasi di aperti è un aperto. (3.13) Nota. Osserviamo che le dimostrazioni appena viste per funzioni reali non utilizzano null altro che proprietà degli intorni circolari in R. Dato che queste proprietà valgono in generale per spazi metrici, le medesime proposizioni valgono per spazi metrici. Si possono riassumere tutti i fatti visti nel seguente teorema. (3.14) Teorema. Una funzione f : X Y (spazi metrici) è continua se e solo se la controimmagine di ogni aperto di Y è un aperto di X. Dimostrazione. Sia V un aperto di Y. Allora è unione di intorni circolari B j := B rj (y j ) V = j J B j e dunque la sua controimmagine f 1 V = f 1 B j = f 1 B j j J j J D.L. Ferrario 9 marzo 2005 11

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 12 è unione di aperti, e quindi è un aperto. Viceversa, se la controimmagine di ogni aperto in Y è un aperto di X, allora in particolare la controimmagine di ogni intorno circolare di Y è un aperto di X, e quindi f è continua. q.e.d. La continuità di una funzione quindi dipende solo dal comportamento di f sulle famiglie di aperti degli spazi in considerazione, e non dal valore della metrica. (3.15) Sia X uno spazio metrico. Allora l insieme vuoto e X sono aperti. (3.16) Siano A e B due aperti di X spazio metrico. Allora l intersezione A B è un aperto. Dimostrazione. Sia x A B. Dato che A e B sono aperti, esistono r A e r B > 0 tali che B ra (x) A e B rb (x) B. Sia r il minimo tra r A e r B : B r B ra, B r B rb, e quindi B r A B r B( B r A B). Quindi A B è intorno di x e la tesi segue dall arbitrarietà di x. q.e.d. Riassumiamo le proprietà degli aperti: consideriamo il sottoinsieme dell insieme delle parti A 2 X che consiste di tutti i sottoinsiemi aperti di X. (3.17) L insieme A di tutti gli aperti (secondo la definizione (3.8 ) di pagina 10) di uno spazio metrico X verifica le seguenti proprietà: (i) A, X A, (ii) B A = B B B A, (iii) B A, B è finito, allora B B B A. D.L. Ferrario 9 marzo 2005 12

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 13 (3.18) Possiamo riassumere le proprietà degli intorni circolari di uno spazio metrico X: (i) Ogni elemento x X ha almeno un intorno (aperto) B x. (ii) L intersezione di due intorni circolari B 1 B 2 è un aperto, e quindi per ogni x B 1 B 2 esiste un terzo intorno circolare B di x per cui x B B 1 B 2. (3.19) Definizione. La topologia di uno spazio metrico X è la famiglia A di tutti gli spazi aperti definita poco sopra. Si dice anche che è A è la topologia di X generata dagli intorni circolari (definiti a partire dalla metrica). (X, d) (X, d, A) Dal momento che funzioni continue... consideriamo equivalenti metriche che inducono la stessa topologia. (3.20) Definizione. Si dice che due metriche sullo stesso insieme X sono equivalenti se inducono la stessa topologia su X. (3.21) Due metriche d e d su X sono equivalenti se e solo se la seguente proprietà è vera: per ogni x X e per ogni palla Br(x) d (nella metrica d) esiste r > 0 tale che Br d (x) Br(x) d (dove Br d (x) è la palla nella metrica d ) e, viceversa, per ogni r e x esiste r tale che Br(x) d Br d (x). Dimostrazione. Supponiamo che le due metriche d e d siano equivalenti e siano x e r > 0 dati. Per (3.9) la palla B d r(x) è aperta nella topologia indotta da d e quindi anche nella topologia indotta da d : pertanto esiste r tale che B d r (x) B d r(x). Analogamente se si scambia il ruolo D.L. Ferrario 9 marzo 2005 13

Geometria e Topologia I 9 marzo 2005 14 di d e d. Viceversa, supponiamo A aperto secondo la topologia indotta da d. Per ogni x A esiste, per definizione, r = r(x) > 0 tale che ed un corrispondente r > 0 tale che B d r(x) A, B d r (x) B d r(x). Cioè, per ogni x esiste r = r (x) > 0 tale che B d r (x) A, e quindi A è aperto nella topologia indotta da d. Analogamente, ogni aperto nella topologia indotta da d è anche aperto nella topologia indotta da d e quindi le due topologie coincidono. q.e.d. (3.22) Esempio. Esempi di metriche su R 2 : (i) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 (x 2 y 2 ) 2 = x y (metrica euclidea). { 0 se x = y (ii) d(x, y) = (metrica discreta). 1 altrimenti (iii) d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2. (iv) d(x, y) = max i=1,2 x i y i. (v) d(x, y) = min i=1,2 x i y i. (vi) d(x, y) = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2. D.L. Ferrario 9 marzo 2005 14