Cinematica: considerazioni generali La cinematica studia la descrizione del moto dei corpi (cioè la posizione di un oggetto nello spazio e nel tempo) senza considerare le cause che hanno prodotto il moto. Prima di tutto bisogna specificare rispetto a che cosa avviene il moto, quindi fissare un sistema di riferimento. Consideriamo per iniziare un moto in una sola dimensione come ad esempio un automobile che si muove lungo una strada rettilinea: per dare la posizione dell auto occorre aver fissato un origine e un unità di misura delle lunghezze (riferimento spaziale). Inoltre l auto è un oggetto esteso e quindi in linea di principio occorre specificare la posizione del cofano, quella delle ruote, ecc. Ma se vogliamo descrivere il moto dell auto nel suo insieme possiamo fare una semplificazione e assumere che l auto sia un punto materiale a cui si assegna ad ogni istante di tempo la posizione. Vediamo anche che per studiare il moto dei corpi non basta un riferimento spaziale, occorre anche un riferimento temporale, occorre cioè fissare un origine per il tempo e un unità di misura. In generale, considereremo solo oggetti schematizzabili come punti materiali. quando un corpo A assume posizioni diverse rispetto ad un osservatore O (cioè rispetto al sistema di riferimento di O) si dice che A si muove rispetto ad O: si può parlare di moto solo rispetto ad un sistema di riferimento precisato. Esempio: una persona su un veicolo in moto è ferma rispetto al veicolo ma è in moto rispetto alla terra.
Nel caso generale in cui l oggetto si muove nello spazio, la posizione occupata dall oggetto è data da una quaterna di numeri : le coordinate x, y, z e t che danno la posizione dell oggetto all istante t in un dato sistema di riferimento. Al variare del tempo la posizione dell oggetto cambia e le tre coordinate x, y e z sono delle funzioni di t x = x(t) y = y(t) z = z(t) queste tre equazioni descrivono completamente il moto e danno ad ogni istante la posizione dell oggetto. L insieme dei punti occupati dall oggetto in moto si chiama traiettoria ed è una linea nello spazio. La traiettoria può essere una retta, in questo caso il moto si dice rettilineo. Le equazioni x(t), y(t), z(t) rappresentano analiticamente la traiettoria e descrivono anche il modo con cui l oggetto percorre la traiettoria in funzione del tempo, cioè danno la legge oraria. Le altre grandezze fisiche, oltre alla posizione, che descrivono il moto di un punto materiale sono la velocità e l accelerazione. Queste tre grandezze sono rappresentate da vettori, quindi sono, in generale, grandezze vettoriali. Moto rettilineo La retta lungo la quale avviene il moto può essere orizzontale, verticale o obliqua, nel seguito supporremo che il moto avvenga lungo l asse delle x. Il verso positivo dell asse è nella direzione dei numeri crescenti. La direzione opposta è il verso negativo. Posizione e spostamento: localizzare un oggetto significa trovare la sua posizione relativa a un punto di riferimento,
che spesso è l origine dell asse. Il cambiamento di posizione da un punto x 1 ad un altro punto x 2 è detto spostamento: x = x 2 x 1 N.B. In generale la posizione, lo spostamento sono vettori, sono cioè individuati da un modulo, una direzione ed un verso. Nel caso in cui il moto avvenga su di una retta, la direzione è fissa e la posizione può essere trattata come scalare e il verso dello spostamento è dato dal segno positivo o negativo. Supponiamo che un auto si muova lungo una strada rettilinea e che la sua posizione x sia tabulata in funzione del tempo t x in metri 0 50 60 90 50 t in secondi 0 10 30 40 60 Quand è che l auto è andata più veloce? dobbiamo calcolare la velocità media. la velocità media v è il rapporto tra lo spostamento x che si verifica in un dato intervallo di tempo t e l intervallo stesso v = x t = x 2 x 1 t 2 t 1 dove x 1 è la posizione del punto all istante t = t 1 e x 2 è la posizione del punto all istante t = t 2. x x in metri 50-0 60-50 90-60 50-90 t in secondi 10-0 30-10 40-30 60-40 v in metri/secondo 5 0.5 3-2
In questo esempio la velocità media maggiore viene raggiunta nel primo intervallo di tempo (che va da 0 a 10 secondi); nell ultimo intervallo la velocità media è negativa, cioè l auto torna indietro (si muove nel verso negativo). Si noti che in questo intervallo anche lo spostamento è negativo. In generale v è un vettore ma nel caso di un moto unidimensionale puó essere trattata come uno scalare. Si noti che v ha sempre lo stesso segno dello spostamento in quanto t è sempre positivo. Grafichiamo ora la posizione del punto data dalla tabella dell esempio precedente in funzione del tempo x 80 60 40 20 O A C B D 20 40 60 t I segmenti in cui è composta la curva x(t) hanno una pendenza diversa: il segmento OA ha una pendenza maggiore e corrisponde al tratto in cui la velocità media è maggiore; il tratto CD ha una pendenza negativa e in quel tratto la velocità media è negativa. x 80 60 40 20 x(t) Supponiamo ora di conoscere la posizione del punto attraverso la legge oraria del moto, cioè l equazione x(t) che dà la posizione in funzione del tempo. O 20 40 60 80 t
Nel grafico x(t), v nell intervallo t = t 2 t 1 è la pendenza della retta che unisce i due punti x 1 x(t 1 ) e x 2 x(t 2 ) sulla curva x(t). x x 2 x 1 t 1 t 2 t v è positiva (negativa) quando questa linea è inclinata e sale verso destra (sinistra). N.B. Nell uso comune di tutti i giorni, la parola velocità media ha un significato diverso, in quanto è data da: (lunghezza totale del percorso)/ t, indipendentemente dalla direzione percorsa e quando l oggetto torna indietro sul suo percorso i due risultati sono molto diversi. Velocità istantanea Si ottiene dalla velocità media considerando intervalli di tempo t sempre più piccoli. Più precisamente: x v = lim t 0 t = dx è la rapidità con cui il punto cambia la propria posizione in funzione del tempo, cioè v è la derivata di x rispetto a t. rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva x(t) nel punto di ascissa t
la velocità istantanea è in generale un vettore, e quindi è definita da un modulo (intensità), una direzione (che è fissata nel caso del moto rettilineo) e un verso (positivo e negativo nel caso rettilineo). Dimensioni: le dimensioni di una grandezza fisica si esprimono in funzione delle grandezze fondamentali e si possono ricavare a partire dalla sua definizione. [v] = [ dx] = [L][T 1 ] (le parentesi quadre indicano che si stanno calcolando le dimensioni della quantità in parentesi) Unità di misura: siccome l unità di misura delle lunghezze è il metro e quella del tempo è il secondo, l unità di misura della velocità è metro/secondo = ms 1 A volte la velocità si trova espressa in chilometri all ora. Per passare dalle due unità si procede in questo modo: 1 Km = 10 3 m 1 m = 10 3 Km 1 h = 3600 s 1 s = 1 3600 h 1 m s = 10 3 km = 3.6 km/h h 1 3600 Un esempio di legge oraria di un moto unidimensionale è x(t) = 2t + 1 in espressioni di questo tipo 2 non è un numero puro ma ha le dimensioni di una velocità; analogamente 1 ha le dimensioni di una lunghezza x(t) = 2(m/s)t(s) + 1 m dà il risultato in metri.
La velocità istantanea può non dipendere dal tempo: si ha cioè la stessa variazione della posizione per ogni secondo trascorso. In questo caso si dice che il moto avviene con velocità costante, moto uniforme. Nel caso in cui la velocità istantanea dipenda del tempo, si dice che il punto è sottoposto ad un accelerazione. Accelerazione Supponiamo che un auto si muova lungo una strada rettilinea con velocità data dalla tabella v in metri/secondo 10 40 50 30-40 t in secondi 0 10 30 40 60 v 60 40 20 O 20 40 60 t che è descritta da questo grafico della velocità in funzione del tempo. Per sapere quanto rapidamente cambia la velocità nell intervallo t = t 2 t 1, definiamo accelerazione media: ā = v 2 v 1 = v t 2 t 1 t dove v 1 v(t 1 ) e v 2 v(t 2 ) sono le velocità del punto all istante t 1 e t 2, rispettivamente. v in metri/secondo 40-10 50-40 30-50 -40-30 t in secondi 10-0 30-10 40-30 60-40 ā in metri/(secondo) 2 3 0.5-2 -3.5
Come per la velocità, a segmenti con pendenza maggiore corrisponde un accelerazione media maggiore, mentre a pendenze negative corrisponde un accelerazione negativa. Prendendo sempre più piccolo l intervallo di tempo tra i due istanti in cui si misura la velocità, si definisce l accelerazione istantanea v a = lim t 0 t = dv l accelerazione in un dato istante dà la rapidità di variazione della velocità in quell istante graficamente l accelerazione in qualunque punto è la pendenza della retta tangente alla curva v(t) in quel punto. Combinando con l equazione per la velocità si ha: a = dv = d ( ) dx = d2 x 2 quindi l accelerazione di un punto in un certo istante è la derivata seconda della sua posizione x(t) rispetto al tempo.
l accelerazione è in generale un vettore: nel caso del moto rettilineo è determinata solo dal modulo (intensità) e dal verso (segno algebrico) Dimensioni ricordando che le dimensioni della velocità sono [v] = [L][T 1 ] [a] = [ dv] [LT 1 ] = [T ] = [L][T 2 ] Unità di misura: metro/(secondo) 2 Problema inverso: trovare la legge oraria del moto dalla conoscenza della velocità v = dx dx = v integrando tra un certo istante iniziale t 0 e un istante finale t e tra le corrispondenti posizioni del punto x(t 0 ) e x(t) si trova quindi x(t) x(t 0 ) dx = t t 0 v x(t) x(t 0 ) = x(t) = x(t 0 ) + Esempio: v = 3t + 5, con t 0 = 0 e x(t 0 ) = 6 (n.b. 3,5,6 non sono numeri puri!) x(t) = 6 + t 0 t t 0 v t (3t + 5) = 6 + 3 2 t2 + 5t n.b. per trovare l espressione esplicita occorre sapere i dati iniziali, cioè l istante iniziale t 0 e la posizione all istante iniziale x(t 0 )). t 0 v
Caso particolare di moto in una dimensione: moto rettilineo uniforme si tratta di un moto che si svolge su una traiettoria rettilinea con velocità costante. t x(t) = x(t 0 ) + v = x(t 0 ) + v(t t 0 ) t 0 Le equazioni che descrivono il moto rettilineo uniforme sono a = 0 v = costante x(t) = x(t 0 ) + v(t t 0 ) v x t 0 = 0 x(0) 0 t la legge oraria del moto è quindi data da una retta. Problema inverso: trovare la velocità a partire dall accelerazione a = dv dv = a quindi integrando tra un certo istante iniziale t 0 e un istante finale t e tra i corrispondenti valori della velocità del punto v(t 0 ) e v(t) si trova quindi v(t) v(t 0 ) dv = t 0 t 0 a v(t) v(t 0 ) = v(t) = v(t 0 ) + t t 0 a t t t 0 a
Moto uniformemente accelerato Consideriamo il caso semplice in cui l accelerazione non dipenda dal tempo (a = costante). Quando l accelerazione è costante, l accelerazione istantanea coincide con l accelerazione media a = ā = v v 0 v = v 0 + at ( ) t 0 dove v 0 è la velocità all istante t = 0 e v è la velocità ad un istante successivo t. La velocità v(t) è quindi una funzione lineare di t. Analogamente dalla definizione di velocità media v = x x 0 x = x 0 + vt t 0 dove x 0 è la posizione del punto all istante t = 0 e x quella all istante successivo t. D altra parte per una funzione lineare, la velocità media in un qualunque intervallo di tempo (ad esempio tra t = 0 e t) è la media fra la velocità nel punto iniziale (v 0 ) e la velocità nel punto finale (v) v = v 0 + v 2 Mettendo queste relazioni assieme si ha: v = v 0 + 1 2 at x = x 0 + v 0 t + 1 2 at2 ( ) Le (*) e (**) sono due equazioni del moto uniformemente accelerato. Combinando le due equazioni (*) e (**) si può eliminare l accelerazione o il tempo, ottenendo x x 0 = 1 2 (v + v 0)t v 2 v 2 0 = 2a(x x 0 )
Derivazione più formale Abbiamo già visto come trovare la velocità dall accelerazione: dalla relazione a = dv dv = a integrando tra l istante iniziale t 0 e l istante finale t e tra i corrispondenti valori della velocità del punto, v(t 0 ) e v(t) v(t) t dv = a v(t) = v(t 0 ) + v(t 0 ) t 0 moto rettilineo unifromemente accelerato v(t) = v(t 0 ) + a(t t 0 ) t t 0 a a = costante a v t 0 = 0 v(0) 0 t la velocità varia linearmente nel tempo. Calcoliamo ora lo spostamento. Se x(t 0 ) è la posizione del punto all istante iniziale t 0 x(t) x(t 0 ) quindi dx = t t 0 v x(t) x(t 0 ) = 0 t t 0 t [ v(t0 ) + a(t t 0 ) ] = [ v(t 0 )t + 1 2 at2 at 0 t ] t t 0 = v(t 0 )[t t 0 ] + 1 2 a(t t 0) 2 x(t) = x(t 0 ) + v(t 0 )[t t 0 ] + 1 2 a(t t 0) 2 Ponendo x 0 = x(t 0 ), v 0 = v(t 0 ) e t 0 = 0 si ritrovano le equazioni (*) e (**).
Accelerazione del moto di caduta libera Se lanciando un oggetto verso l alto o verso il basso, si potesse eliminare l effetto dell aria, si troverebbe che la sua accelerazione verso il basso ha un valore ben definito, il cui modulo viene indicato con g ed è chiamata accelerazione di gravità. L accelerazione g è la stessa per qualsiasi oggetto. In prossimità della superficie terrestre g vale 9.8 m/s 2. Le formule precedenti possono essere applicate, con la sostituzione di x y, poichè il moto avviene lungo l asse verticale y, e ricordando che se la direzione positiva di y è verso l alto, poichè g è diretta verso il basso, occorre sostituire a g in (*) e (**). Moto in due e tre dimensioni Supponiamo di voler descrivere il moto di una palla che viene lanciata da un altezza h come in figura. Il moto non è rettilineo ma avviene in un piano. Per descriverlo occorre fissare un riferimento xy e dare a ogni istante la posizione della palla nel piano: y y(t) 0 r(t) x(t) x occorre dare le coordinate x(t) e y(t), cioè le componenti del vettore r(t) che unisce l origine del riferimento con la palla. r(t) = x(t)î + y(t)ĵ. Il punto materiale che si muove nel piano è descritto dal vettore posizione r(t) che varia in funzione del tempo.
Analogamente, quando il moto avviene nello spazio, questo è descritto dal vettore r(t) = x(t)î + y(t)ĵ + z(t)ˆk che va dall origine del sistema di coordinate al punto in cui si trova l oggetto. Quando il corpo si muove il vettore posizione cambia in modo da puntare sempre dall origine verso le diverse posizioni occupate dal punto. La curva che il punto descrive si dice traiettoria. Vogliamo studiare con quale velocità si muove il punto. Nel caso rettilineo bastava un numero, ora invece occorre dare anche la direzione e il verso. Siano r 1 = r(t 1 ) e r 2 = r(t 2 ) i vettori che individuano le posizioni del punto all istante t 1 e t 2, rispettivamente y r(t 1 ) r(t 2 ) r 0 Il vettore spostamento r che dà lo spostamento del punto nell intervallo di tempo t = t 2 t 1 è dato da r = r 2 r 1 = (x 2 x 1 )î + (y 2 y 1 )ĵ + (z 2 z 1 )ˆk dove (x 1, y 1, z 1 ) sono le coordinate di r 1 quelle di r 2. La velocità media è x e (x 2, y 2, z 2 ) sono v = r t = x t î + y t ĵ + z t ˆk x = x 2 x 1,... la direzione della velocità media è la stessa dei r. Per intervalli di tempo sempre più piccoli ( t 0), la velocità media tende alla velocità istantanea
r v = lim t 0 t = d r che quindi è la derivata del vettore posizione rispetto al tempo.la velocità istantanea ha la direzione della tangente alla traiettoria del punto. Scomponendo il vettore r nelle sue componenti lungo gli assi v = d (xî + yĵ + zˆk) = dx î + dy ĵ + dz ˆk v x î + v y ĵ + v zˆk quindi le componenti e il modulo del vettore velocità sono v x = dx, v y = dy, v z = dz, v = vx 2 + vy 2 + vz 2 Se il punto varia la velocità passando da v 1 all istante t 1 a v 2 all istante t 2, l accelerazione media durante questo t è a = v 2 v 1 = v t t e si definisce accelerazione istantanea v a = lim t 0 t = d v la derivata della velocità rispetto al tempo. Si noti che in generale sia v che a non sono tangenti alla traiettoria: può esserci anche una componente ortogonale alla traiettoria (accelerazione centripeta). Essendo v = v x î + v y ĵ + v zˆk, le componenti di a sono a x = dv x, a y = dv y, a z = dv z Se la velocità cambia in direzione o in intensità (o in entrambe) si ha un accelerazione diversa da zero.
Esempio: moto dei proiettili Consideriamo il moto di una particella che si muove in due dimensioni in caduta libera, con una velocità iniziale v 0 e accelerazione di gravità g costante diretta verso il basso. Durante il moto i vettori posizione r = xî + yĵ e velocità v = v x î + v y ĵ cambiano ma l accelerazione è costante e sempre diretta verso il basso. Supponiamo che all istante t = 0 il proiettile si trovi nella posizione r 0 = x 0 î + y 0 ĵ e venga sparato con velocità v 0 = v 0x î + v 0y ĵ. Nel moto del proiettile il moto orizzontale e il moto verticale sono indipendenti l uno dall altro Moto orizzontale: L accelerazione orizzontale è nulla, quindi v x è costante durante tutto il moto v x = v 0x x = x 0 + v 0x t Moto verticale: si tratta di un moto uniformemente decelerato v y = v 0y gt y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 Se inizialmente v 0 è diretta verso l alto (v 0y > 0), la componente v y della velocità lungo y diminuisce gradualmente fino ad annullarsi, quando il proiettile raggiunge la posizione più elevata della traiettoria, dopo di che la velocità del proiettile è diretta verso il basso (v y < 0).
Eliminando il tempo tra le due equazioni si ottiene l equazione del percorso del proiettile (traiettoria). Caso particolare: la posizione iniziale è l origine degli assi (x 0 = 0, y 0 = 0) si trova g y = x tan θ 0 2(v 0 cos θ 0 ) 2 x2 ( ) dove v 0 è il modulo di v 0 e θ 0 è l angolo tra v 0 e il verso positivo dell asse x. Si tratta dell equazione di una parabola e quindi: la traiettoria del proiettile è una parabola. Gittata: è la distanza orizzontale che il proiettile ha percorso quando ripassa dalla quota di lancio. Nel caso (x 0 = 0, y 0 = 0) g y = 0 = tan θ 0 = 2(v 0 cos θ 0 )2 x da cui x G = v2 0 g sin(2θ 0) La quota massima raggiunta dal proiettile si ottiene calcolando il massimo della curva (*): y max = v2 0 2g sin2 θ 0
Infatti l altezza massima raggiunta dal proiettile si può ricavare utilizzando l eq. della traiettoria (*): l ascissa x max si trova calcolando il valore di x a cui dy dx = 0: dy dx = 0 tan θ x 0 g v0 2 = 0 cos2 θ 0 x max = v 0 sin(2θ 0 ) = 1 2g 2 x G Il corrispondente valore di y è y max = x max tan θ 0 g 2v 2 0 cos2 θ 0 x 2 max = v2 0 2g sin2 θ 0 Il proiettile raggiunge la quota massima all istante t max = v 0 sin θ 0 g La durata del tiro (o tempo di volo) si ottiene calcolando il tempo t a cui il proiettile tocca terra; imponendo y(t) = 0 nella legge oraria del moto si trova t = 2v 0 sin θ 0 g = 2t max La velocità è in ogni punto tangente alla traiettoria. Se θ è l angolo che la velocità forma con l asse x tan θ = v y = v 0 sin θ 0 gt gt = tan θ 0 v x v 0 cos θ 0 v 0 cos θ 0 All istante t = t max quando il proiettile raggiunge l altezza massima v y = 0 quindi tan θ = 0, e la velocità è orizzontale. All istante t = t, quando il proiettile raggiunge terra, v y = v 0y tan θ = tan θ 0 θ = θ 0 Inoltre il modulo della velocità del proiettile quando tocca terra è uguale al modulo della velocità iniziale.
Esempio: moto circolare uniforme Consideriamo un punto costretto a muoversi lungo una circonferenza di raggio R con velocità che supponiamo in modulo costante. Prendiamo due punti P e Q equidistanti Le componenti dell accelerazione media dall asse y: v P e v Q hanno lo stesso modulo v ma direzioni diverse: v P x = v cos θ v P y = v sin θ v Qx = v cos θ v Qy = v sin θ ā x = v Qx v P x = 0 ā y = v Qy v P y 2v sin θ = t t t ma il modulo della velocità è dato dallo spazio percorso nell intervallo t P Q v = t = R 2θ t sostituendo nell accelerazione si ha ā y = 2v sin θ R 2θ v = v2 R sin θ il segno meno indica che l accelerazione è diretta verso il centro (accelerazione centripeta). Prendendo intervalli di tempo sempre piú piccoli l angolo θ tende a zero ed in questo limite sin θ/θ 1 e quindi θ accelerazione istantanea a = v2 R ĵ
Per un moto accelerato lungo una traiettoria qualunque, la velocità è sempre tangente alla traiettoria v = vˆt dove ˆt è il versore tangente alla traiettoria. Quindi l accelerazione istantanea a = d ( ) vˆt = dv + v ˆt dˆt è data dalla somma di due contributi, il primo che è tangente alla traiettoria e il secondo che è ortogonale ad essa. La componente tangenziale dell accelerazione ha origine dalla variazione del modulo della velocità, quella normale dal cambiamento della direzione della velocità e in generale ha modulo pari a v 2 /R, dove R è il raggio di curvatura della traiettoria (che in generale varia da punto a punto). Nel caso di una traiettoria rettilinea la componente normale dell accelerazione è nulla (R ). Se il moto è circolare uniforme, l accelerazione ha solo la componente normale (poichè il modulo di v non cambia) e R è il raggio della circonferenza. Consideriamo di nuovo il moto circolare di punto P. Possiamo descrivere il moto del punto mediante la sua posizione angolare rispetto all asse x θ = s r dove s è la lunghezza dell arco della circonferenza descritta dal punto e r il raggio della circonferenza lungo la quale avviene il moto. L angolo così definito è misurato in radianti. Il radiante è un rapporto tra due lunghezza e quindi è un numero.
Durante il moto rotatorio la posizione angolare θ è funzione del tempo. Siano θ 1 e θ 2 due posizioni angolari del punto ai due istanti t 1 e t 2. Durante questo intervallo di tempo il punto subisce uno spostamento angolare θ = θ 2 θ 1. Questo spostamento è positivo (negativo) se il punto ruota in senso antiorario (orario). Si definisce velocità angolare media ω del punto nell intervallo t = t 2 t 1 la quantità ω = θ 2 θ 1 t e velocità angolare istantanea = θ t θ ω = lim t 0 t = dθ La velocità angolare è positiva quando il punto ruota in senso antiorario. La dimensione di ω è [ω] = [T 1 ] e l unità di misura più usata è il radiante/sec (si può trovare anche giro al minuto (giri/min): 1rad/sec = 30/π giri/min). Se la velocità angolare non è costante si ha un accelerazione angolare. Siano ω 1 e ω 2 le velocità angolari del punto agli istanti t 1 e t 2, l accelerazione angolare media è ᾱ = ω 2 ω 1 t 2 t 1 = ω t L accelerazione angolare istantanea è il limite di questa per t 0 ω α = lim t 0 t = dω La dimensione di α sono [T 2 ] e l unità di misura è il rad/sec 2.
Moto rotatorio con velocità angolare costante θ(t) = θ 0 + ωt Moto rotatorio con accelerazione angolare costante ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 αt2 che si possono combinare eliminando o t o α: ω 2 ω 2 0 = 2α(θ θ 0 ) θ θ 0 = 1 2 (ω 0 + ω)t Mettiamo in relazione velocità e accelerazioni angolari con velocità e accelerazione lineare. Nel moto circolare uniforme la traiettoria è una circonferenza che viene percorsa con velocità in modulo costante e velocità angolare costante ω: y y(t) r(t) θ(t) x(t) x r(t) = x(t)î + y(t)ĵ { x(t) = r cos θ(t) y(t) = r sin θ(t) con θ(t) = ωt (supponiamo che a t = 0 il punto sia sull asse x). Il vettore velocità si ottiene derivando rispetto al tempo il vettore posizione r(t) { vx (t) = rω sin ωt v y (t) = rω cos ωt
derivando ancora si ottengono le componenti dell accelerazione { ax (t) = rω 2 cos ωt a y (t) = rω 2 sin ωt Dalle equazioni ottenute è facile verificare che: l equazione della traiettoria è una circonferenza x(t) 2 + y(t) 2 = r 2 (cos 2 θ(t) + sin 2 θ(t)) = r 2 il modulo della velocità v = vx 2 + vy 2 = r 2 ω 2 (sin 2 ωt + cos 2 ωt) = ωr costante in quanto ω è costante (si noti che a parità di velocità angolare, punti che si muovono su circonferenze di raggio maggiore hanno velocità lineare maggiore). Il modulo dell accelerazione a = a 2 x + a 2 y = r 2 ω 4 (cos 2 ωt + sin 2 ωt) = ω 2 r = v2 r r v = 0, cioè, essendo sempre tangente alla traiettoria, la velocità è sempre perpendicolare al vettore posizione. a v = 0 cioè l accelerazione è perpendicolare alla velocità, quindi è diretta come r, ma in verso opposto. Il periodo T del moto circolare uniforme è il tempo impiegato dal punto materiale per fare un giro completo: θ(t) = ωt 2π = θ(t ) = ωt T = 2π ω Si definisce frequenza del moto circolare uniforme la grandezza ν = 1 T le cui dimensioni sono [ν] = [T 1 ] e si misura in (secondi) 1.
Consideriamo ora il caso generale di un moto circolare non uniforme con velocità angolare ω(t) ω(t) = dθ θ(t) = θ(t) 0 dθ = t 0 ω(t) le componenti del vettore posizione sono sempre { x(t) = r cos θ(t) y(t) = r sin θ(t) derivando rispetto al tempo si trova { vx (t) = rω sin θ(t) v y (t) = rω cos θ(t) da cui si trova che il modulo della velocità è ancora v = ωr (ma non è costante perchè ω dipende dal tempo). Inoltre v è sempre tangente alla traiettoria e quindi r v = 0. Derivando ancora si ottengono le componenti dell accelerazione { ax (t) = rα sin θ(t) rω 2 cos θ(t) a y (t) = rα cos θ(t) rω 2 sin θ(t) α = dω L accelerazione non è più ortogonale alla velocità v a = v x a x + v y a y = r 2 v a ωα a t = = rα v è detta accelerazione tangenziale che è diversa da zero quando α 0, cioè quando il modulo della velocità non è costante. La componente radiale dell accelerazione (quindi ortogonale alla traiettoria) r a = xa x + ya y = r 2 ω 2 r a a r = = ω 2 r r è causata dalla variazione della direzione di v, ed è detta accelerazione centripeta.
a r = v2 r = (ωr)2 = ω 2 r r l accelerazione lineare di un punto si può scomporre in due componenti a t = αr α r = ω 2 r
Notazione vettoriale Introduciamo il vettore velocità angolare: ω di modulo ω = dθ direzione ortogonale al piano della circonferenza verso dato dalla regola della mano destra v = ω r Allo stesso modo si introduce il vettore accelerazione angolare α. Siccome ω è diretto sempre lungo l asse di rotazione, anche la sua derivata temporale ha questa direzione, cioè α è parallela a ω. Tramite α e ω possiamo trovare tutte e due le componenti dell accelerazione a = d v = d d ω ( ω r) = a t = α r a r = ω v r + ω d r accelerazione tangenziale accelerazione centripeta = α r + ω v Si noti che r è costante in modulo ma non in direzione e quindi contribuisce alla derivata. Nel moto circolare uniforme ω è costante quindi α = 0 e l accelerazione è solo centripeta.