PROBABILITA La teoria della probabilità si applica ad esperimenti aleatori o casuali: ossia, esperimenti il cui risultato non è prevedibile a priori. Ad esempio, lancio di un dado, lancio di una moneta, estrazioni del lotto, verifica se un apparecchio è difettoso oppure no, numero di telefonate che arrivano ad un centralino in un dato giorno, ecc.. Il primo passo per la definizione della probabilità è identificare l insieme di tutti i possibili risultati dell esperimento casuale. DEFINIZIONE: Ogni singolo risultato di un esperimento casuale si chiama evento elementare DEFINIZIONE: L insieme di tutti i possibili risultati (eventi elementari) di un esperimento casuale è detto spazio campionario. Lo spazio campionario di un esperimento casuale sarà indicato con Ω. 1
Esempi Esempio 1 Lancio di una moneta tre volte Ω {T T T, T T C, T CT, CT T, CCT, CT C, T CC, CCC} dove T indica testa e C croce. Vi sono 8 eventi elementati. Esempio 2 Lancio di due dadi Ω {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2),..., (6, 6)} Vi sono sono 36 eventi elementari. Esempio 3 Lancio di una moneta ripetutamente sino all uscita della prima testa Ω {T, CT, CCT, CCCT, CCCCT,...} Una infinità numerabile di eventi elementari Esempio 4 Si osserva la durata di una lampadina prodotta da un industria Ω (0, ) Una infinità non numerabile di eventi elementari 2
Se Ω è costituito da un numero finito (Esempi 1 e 2) o da una infinità numerabile (Esempio 3) di eventi elementari, lo spazio campionario è detto discreto; se Ω è costituito da una infinità non numerabile di eventi elementari (Esempio 4), lo spazio campionario è detto continuo. DEFINIZIONE: Si chiama evento un qualunque insieme di eventi elementari, ossia un qualunque sottoinsieme di Ω. Esempio: Lancio di un dado Ω{1,2,3,4,5,6} A esce un numero pari {2,4,6} Poiché ogni evento è un sottoinsieme di Ω, possiamo rappresentare le relazioni tra eventi tramite le operazioni dell insiemistica. ˆ Unione ( ) A B almeno uno dei due eventi si verificainsieme di punti di Ω che appartengono ad A o a B Esempio: Lancio di un dado A esce un numero pari {2,4,6} B esce un numero primo {1,2,3,5} A B{1,2,3,4,5,6}Ω ˆ Intersezione ( ) A B entrambe gli eventi si verificano simultaneamenteinsieme di punti di Ω che appartengono sia ad A che a B Esempio: Lancio di un dado 3
A esce un numero pari {2,4,6} B esce un numero primo {1,2,3,5} A B{2}unico elemento in comune tra A e B ˆ Negazione ( Ā ) Ā evento complementare di A A non si verifica insieme di punti di Ω che non appartengono ad A Esempio: Lancio di un dado A esce un numero pari {2,4,6} Ā esce un numero dispari {1,3,5} ˆ Sottrazione ( - ) B - A si verifica B, ma non si verifica A insieme di punti di Ω che appartengono a B ma non appartengono a A B Ā Esempio: Lancio di un dado A esce un numero pari {2,4,6} B esce un numero primo {1,2,3,5} B-A{1,3,5} 4
DEFINIZIONE: Due eventi A e B si dicono disgiunti o incompatibili se A B, ossia i due eventi non hanno punti in comune, il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro. Esempio: Lancio di un dado A esce un numero dispari {1,3,5} B esce un numero maggiore di 5 {6} A B DEFINIZIONE: Gli eventi A 1, A 2,..., A n sono detti mutuamente esclusivi se tutte le coppie sono disgiunte, il verificarsi di uno degli eventi esclude il verificarsi di tutti gli altri. Gli eventi elementari sono mutuamente esclusivi. 5
Possiamo assegnare ad ogni evento un valore compreso tra 0 e 1 che ne misura la tendenza a verificarsi. Chiamiamo questo valore probabilità dell evento. Vi sono diversi approcci al calcolo della probabilità. Ne vediamo tre. ˆ Approccio Classico Se tutti gli eventi elementari sono ugualmente probabili (equiprobabili), definiamo la probabilità di un evento A come il rapporto del numero di casi favorevoli al verificarsi di A e il numero dei casi possibili: P (A) num casi favorevoli a A num casi possibili num di eventi elementari che compongono A num totale di eventi elementari Esempio: Lancio di una moneta 3 volte Ω {T T T, T T C, T CT, CT T, CCT, CT C, T CC, CCC} Numero di casi possibili8 A escono almeno due teste {T T T, T T C, T CT, CT T } Numero di casi favorevoli4 P (A) 4 8 0, 5 Esempio: Lancio di un dado Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6
Numero casi possibili 6 A esce un numero primo {1,2,3,5} Numero casi favorevoli4 P (A) 4 6 ˆ Approccio Frequentista Si ripete l esperimento sotto le medesime condizioni un numero molto elevato di volte n e si definisce la probabilità di un evento A come la frequenza relativa del numero di volte, tra le n, in cui si è verificato A: # di volte che si è verificato A P (A) n Esempio: Lanciamo una moneta 1000 volte, se esce testa 510 volte su 1000 P ({T }) 510 0, 51 1000 Entrambi gli approcci elencati hanno delle limitazioni: 1. Nell approccio classico per definire la probabilità si fa riferimento ad eventi elementari equiprobabili. Ma se non sappiamo cosa sia la probabilità come facciamo a stabilire se gli eventi elementari hanno uguale probabilità? (definizione circolare) 2. L approccio classico può essere applicato solo se Ω è finito 3. L approccio frequentista richiede che l esperimento sia ripetibile, ma vi sono ambiti in cui l esperimento non può essere ripetuto 7
4. L approccio frequentista richiede che l esperimento sia ripetuto un numero elevato di volte, ma quanto elevato deve essere? Tutte queste limitazioni vengono superate attraverso l approccio assiomatico ˆ Approccio Assiomatico La probabilità è definita come una funzione che ad ogni evento A associa un valore in IR, tale da soddisfare le seguenti condizioni (Assiomi della probabilità) 1. P (A) 0 2. P (Ω) 1 3. Se A B, P (A B) P (A) + P (B) 8
PROPRIETA DELLA PROBABILITA Dagli assiomi della probabilità si possono derivare le seguenti proprietà. P1) Per ogni evento A, P (Ā) 1 P (A): A Ā Ω e A Ā, ossia A e Ā sono disgiunti. Allora, P (A Ā) P (A) + P (Ā) P (Ω) 1. Da cui P (Ā) 1 P (A). P2) P ( ) 0: Da P1), P ( ) 1 P (Ω) 1 1 0 P3) Per ogni evento A, 0 P (A) 1: P (A) 0 per il primo assioma. Ma anche P (Ā) 0 per il primo assioma, quindi P (Ā) 1 P (A) 0 e P (A) 1. P4) Se A A 1 A 2... A n e A 1, A 2,..., A n sono mutuamente esclusivi, allora P (A) P (A 1 A 2... A n ) P (A 1 ) + P (A 2 ) +... + P (A n ): è un immediata conseguenza del terzo assioma. 9
P5) Qualunque siano gli eventi A e B, P (A B) P (A) P (A B): A (A B) (A B), con (A B) e (A B) disgiunti. Allora, P (A) P (A B) + P (A B) e P (A B) P (A) (A B). P6) Qualunque siano A e B, P (A B) P (A) + P (B) P (A B): A B (A B) (B A) (A B), dove gli ultimi tre eventi sono mutuamente esclusivi. Allora, P (A B) P (A B) + P (B A) + P (A B) P (A) P (A B)+P (B) P (A B)+P (A B) P (A) + P (B) P (A B). 10
PROBABILIZZAZIONE DI EVENTI Un evento A può essere espresso attraverso l unione di eventi elementari di Ω. Esempio: Lancio di un dado A esce un numero pari A {2} {4} {6} Gli eventi elementari di Ω sono tutti mutuamente esclusivi. Pertanto, se sono note le probabilità dei singoli eventi elementari di Ω, in virtù della proprietà P4), possiamo ottenere la probabilità di A sommando le probabilità dei singoli eventi elementari che lo compongono. Esempio: Lancio di un dado A esce un numero pari P (A) P ({2} {4} {6}) P ({2})+P ({4})+P ({6}) Come determinare la probabilità di ogni singolo evento elementare? Supponiamo che Ω sia finito: Ω {ω 1, ω 2,..., ω n }. P (Ω) 1 P (ω 1 ) + P (ω 2 ) +... + P (ω n ) Se tutti gli eventi elementare sono equiprobabili, P (ω i ) c, i 1,..., n, 11
allora, P (ω 1 ) + P (ω 2 ) +... + P (ω n ) c + c +... + c nc 1 e quindi c 1 n ossia P (ω i ) 1 n, i 1,..., n Siamo così riusciti a trovare la probabilità degli eventi elementari. In questo caso (Ω finito ed eventi elementari equiprobabili), se A è l unione di r eventi elementari: P (A) 1 n + 1 n +... + 1 }{{ n} r n r volte num. eventi elem. che compongonoa n ossia ritroviamo la definizione classica di probabilità. num. casi favorevoli num. casi possibili 12
Esempio: Lancio di un dado non truccato Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} In questo caso gli eventi elementari sono equiprobabili: P ({i}) 1 6. Inoltre, Ω è finito. Possiamo quindi calcolare la probabilità di un evento generico usando la definizione classica. Vediamo alcuni casi. A esce un numero pari P (A) P ({2}) + P ({4}) + P ({6}) 3 6 1 2 B esce un numero maggiore di 4 P (B) P ({5}) + P ({6}) 2 6 1 3 C esce un numero dispari P (C) P ({1}) + P ({3}) + P ({5}) 3 6 1 2. Alternativamente, P (C) P (Ā) 1 P (A) 1 1 2 1 2 D esce un numero pari o maggiore di 4 P (D) P ({2})+P ({4})+P ({6})+P ({5}) 4 6 2 3 Alternativamente, D A B, P (D) P (A) + P (B) P (A B). A B {6} e quindi P (D) 1 2 + 1 3 P ({6}) 1 2 + 1 3 1 6 2 3. 13
Esempio: Lancio di due dadi non truccati Ω {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2),..., (6, 6)} Numero totale di eventi elementari 36. Le coppie sono tutte equiprobabili. Possiamo allora applicare la definizione classica di probabilità. A la somma delle due facce è minore o uguale a 3 P (A) 3 36 B esce almeno un numero pari Il modo più semplice di calcolare P (B) è: B C, dove C tutte e due le facce sono dispari. P (C) 3 3 36 9 36. Allora, P (B) P ( C) 1 P (C) 1 9 36 27 36. D la somma delle due facce è minore o uguale a 3 oppure appare almeno un numero pari D A B P (D) P (A) + P (B) P (A B). A B {(1, 2), (2, 1)} e quindi P (D) 3 36 + 27 36 2 36. 14
Esempio: Lancio di un dado truccato Supponiamo che il dado sia truccato in modo tale che l uscita di una faccia sia proporzionale al valore della faccia stessa. Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} Ω è finito, ma gli eventi elementari in esso contenuti non sono più equiprobabili, quindi non possiamo avvalerci della definizione classica. In base alle ipotesi fatte, P ({i}) α i i 1,..., 6 Calcoliamo allora la costante di proporzionalità α, usando gli assiomi della probabilità. P ({i}) 0 α 0 P (Ω) 1 P ({1})+P ({2})+P ({3})+P ({4})+P ({5})+P ({6}) α+2α+3α+4α+5α+6α α(1+2+3+4+5+6) 21α e quindi α 1 21 A esce un numero pari P (A) P ({2})+P ({4})+P ({6}) 2 21 + 4 21 + 6 21 12 21 > 1 2 15
Ho un mazzo di 10 chiavi. Quale è la probabilità di aprire la porta al primo tentativo? Numero casi possibili 10 Numero casi favorevoli 1 P ( la porta si apre al primo tentativo ) 1 10 E al secondo tentativo? 16
CENNI AL CALCOLO COMBINATORIO La definizione classica di probabilità, nelle situazioni in cui può essere applicata, richiede il conteggio del numero di casi possibili e del numero di casi favorevoli. Al fine di questo conteggio è utile il calcolo combinatorio che si discute solo brevemente. Si supponga di avere un urna contenente n oggetti diversi. 1. Facciamo r estrazioni con reinserimento dall urna. Quanti insiemi di r oggetti possiamo formare con le r estrazioni? n r 2. Facciamo r estrazioni senza reinserimento dall urna. Quanti insiemi di r oggetti possiamo formare con le r estrazioni, se non prestiamo attenzione all ordine con cui escono gli oggetti? ( n r ) n! r! (n r)! n (n 1) (n 2)... 2 1 r (r 1)... 2 1 (n r)(n r 1)... 2 1 (Coefficiente binomiale) Dà anche in quanti modi riusciamo a disporre r oggetti su n posizioni diverse. N.B.: Per convenzione 0!1 17
Esempio Quale è la probabilità di vincere al totocalcio se giochiamo un unica colonna? Numero di casi possibili 3 13 (per ognuna delle 13 partite abbiamo 3 possibilità: 1, 2 e x) Numero di casi favorevoli1 P ( vincere ) 1 3 13 1 1594323 Esempio Abbiamo un mazzo di 40 carte. Ne estraiamo 3 senza reinserimento. Quale è la probabilità che le 3 carte estratte siano dello stesso tipo? Numero di casi possibili tutte le terne che possiamo ottenere dal mazzo di 40 carte senza reinserimento e senza considerare l ordine di uscita ( ) 40 3 Numero di casi favorevoli Quante terne posso estrarre dalle 10 carte quadri? ( ) 10 3 Questo ragionamento può essere applicato ad ognuna delle 4 famiglie. Allora, i casi favorevoli sono 4 ( ) 10 3 P ( 3 carte dello stesso tipo ) 4 ( ) 10 3 ) 4 10! 3! 7! 4 10! 37! 40! 7! ( 40 3 40! 3! 37! 4 10! 7! 40 39 38 4 10 9! 40 39 38 7! 9! 39 38 7! 9 8 39 37 18
PROBABILITA CONDIZIONATA Dati due eventi A e B (P (B) > 0) indichiamo con P (A B) la probabilità condizionata che si verifichi l evento A dato che sappiamo essersi già verificato l evento B. DEFINIZIONE: La probabilità condizionata di A dato B è definita come il rapporto tra la probabilità congiunta di A e B e la probabilità di B. P (A B) P (A B) P (B) Si noti l analogia con la definizione di frequenza relativa condizionata. La frequenza relativa condizionata della modalità x i di X data la modalità y j di Y è il rapporto tra la frequenza relativa congiunta di x i e y j e la frequenza relativa marginale di y j. Basta allora far corrispondere a x i l evento A, a y j l evento B, alla frequenza relativa la probabilità, e ritroviamo la stessa definizione. Se possiamo applicare la definizione classica di probabilità (Ω finito ed eventi elementari equiprobabili): P (A B) num casi favorevoli a A B/num casi possibi num casi favorevoli a B/num casi possibili num casi favorevoli a A B num casi favorevoli a B L evento B diventa lo spazio campionario in sostituzione a Ω, pertanto il numero di casi possibili per A B è il numero di casi favorevoli a B. 19
In alcuni casi risulta semplice calcolare P (A B) direttamente; in altri casi, risulta più semplice calcolare P (A B) e P (B) e derivare da questi P (A B) attraverso la definizione di probabilità condizionata. Esempio Mazzo di 40 carte. Ne estraiamo 2 senza reinserimento. Sappiamo che la prima carta estratta è un asso; quale è la probabilità che la seconda carta estratta sia un asso? Poniamo B prima carta estratta è un asso A seconda carta estratta è un asso Possiamo calcolare direttamente la probabilità condizionata P (A B) 3 39 Altrimenti, possiamo procedere come segue. P (B) 4 40 ( 4 P (A B) 2) ) 4 3 40 39 ( 40 2 P (A B) (4 3)/(40 39) P (A B) 3 P (B) 4/40 39 Si noti che è più semplice seguire il primo procedimento. Esempio Lanciamo due dadi. Vogliamo calcolare la probabilità che il primo dado produca la faccia 3 sapendo che la somma delle due facce è pari a 7. 20
Poniamo A il primo dado produce la faccia 3 B La somma delle due facce è 7 Non è semplice calcolare P (A B) direttamente, ma possiamo procedere usando la definizione: P (A B) P (A B) P (B) num casi favorevoli a (I 3 I + II 7) P (A B) 36 num casi favorevoli a (I 3 II 4) 1 36 36 num casi favorevoli a (I + II 7) P (B) 6 36 36 (casi favorevoli a (I+II7){(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}) Da cui P (A B) 1/36 6/36 1 6 Esercizio (per casa) Un urna contiene 7 palline: 3 rosse e 4 bianche. Si fanno due estrazioni con reinserimento. 1. Si calcoli la probabilità che la seconda estratta sia bianca dato che la prima è bianca. 2. Si calcoli la probabilità che siano entrambe bianche. Si ripetano i calcoli per due estrazioni senza reinserimento. 21
Dalla definizione si deriva Ma vale anche e quindi Infine, P (A B) P (A B) P (B) P (A B) P (A B)P (B) P (B A) P (A B) P (A) P (A B) P (B A)P (A) P (A B) P (A B)P (B) P (B A)P (A) Esempio Un urna contiene 5 palline numerate da 1 a 5. Estraiamo 2 palline senza reinserimento. Vogliamo calcolare la probabilità che entrambe le palline estratte siano pari. Poniamo C entrambe le palline sono pari A la prima pallina è pari B la seconda pallina è pari P (C) P (A B) P (B A)P (A) 1 4 2 5 1 10 Si sarebbe anche potuto seguire la strada P (C) P (A B) P (A B)P (B) ma P (A B) e P (B) sono difficili da calcolare. 22
Siano A e B due eventi, di cui A è un evento di interesse e B un evento che possiamo vedere come una possibile causa di A. Vale B B Ω e quindi Ma e quindi A (B B) A A (B B) (A B) (A B) A (A B) (A B) Gli eventi (A B) e (A B) sono disgiunti e per il terzo assioma della probabilità P (A) P ((A B) (A B)) P (A B) + P (A B) Possiamo pensare ad una tabella a doppia entrata in cui una variabile ha le modalitè A e Ā e l altra variabile ha le modalità B e B A Ā Tot B P (A B) P (Ā B) P (B) B P (A B) P (Ā B) P ( B) Tot P (A) P (Ā) 1 e Poiché P (A B) P (A B)P (B) P (A B) P (A B)P ( B) 23
otteniamo P (A) P (A B)P (B) + P (A B)P ( B) Supponiamo di voler calcolare P (B A) (la probabilità della causa dato l evento di interesse). Allora, P (B A) P (A B) P (A) (FORMULA DI BAYES) P (A B)P (B) P (A B)P (B) + P (A B)P ( B) Esempio Abbiamo un urna contenente 5 palline numerate da 1 a 5. Si estraggono due palline senza reinserimento. 1. Si vuole calcolare la probabilità che la seconda pallina sia pari. Poniamo A la prima pallina è pari B la seconda pallina è pari P (B) P (B A)P (A)+P (B Ā)P (Ā) 1 4 2 5 +2 4 3 5 4 10 2. Si vuole ora calcolare la probabilità che la prima pallina sia pari dato che la seconda è pari. P (A B) P (B A)P (A) P (B) 1 4 2 5 1 4 2 5 + 2 4 3 5 1/10 4/10 1 4 24
Esempio Un amico ci ha detto che con una probabilità del 80% oggi ci sarebbe venuto a trovare a mezzogiorno. Sappiamo che il nostro amico viaggia in pullman e che il 40% dei pullman arrivano in ritardo. 1. Calcolare la probabilità che a mezzogiorno il nostro amico non sia ancora arrivato. Poniamo M a mezzogiorno il nostro amico non è ancora arrivato V il nostro amico ha deciso di venirci a trovare P (M) P (M V )P (V ) + P (M V )P ( V ) 0, 4 0, 8 + 1 0, 2 0, 52 2. A mezzogiorno il nostro amico non è ancora arrivato. Calcolare la probabilità che venga a trovarci. P (V M) P (M V )P (V ) P (M) 0, 4 0, 8 0, 52 0, 6154 25
Esempio E noto che in una data popolazione la percentuale di fumatori è pari al 35%. Si sa che il 20% dei fumatori e il 6% dei non fumatori sono affetti da una malattia respiratoria cronica. Si vuole determinare la probabilità che un individuo affetto dalla malattia sia fumatore. Poniamo F fumatore M malato P (M F )P (F ) P (F M) P (M F )P (F ) + P (M F )P ( F ) 0, 2 0, 35 0, 64 0, 2 0, 35 + 0, 06 0, 65 Esercizio (per casa) Un urna contiene 7 palline: 3 rosse e 4 bianche. Si fanno due estrazioni con reinserimento. 1. Si calcoli la probabilità che la seconda estratta sia bianca dato che la prima è bianca. 2. Si calcoli la probabilità che siano entrambe bianche. 3. Si calcoli la probabilità che la seconda sia bianca. 4. Si calcoli la probabilità che la prima sia bianca, dato che la seconda è bianca 26
INDIPENDENZA DI EVENTI DEFINIZIONE: Due eventi A e B si dicono indipendenti se e solo se P (A B) P (A)P (B) Se A e B sono indipendenti, allora P (A B) P (A B) P (B) P (A)P (B) P (B) P (A) che possiamo interpretare nel modo seguente: se A e B sono indipendenti la probabilità che si verifichi A non è modificata dall informazione che B si è verificato. Ma se A e B sono indipendenti, vale anche P (B A) P (A B) P (A) P (A)P (B) P (A) P (B) ossia la probabilità che si verifichi B non è modificata dall informazione che A si è verificato. Se due eventi A e B si riferiscono a due esperimenti o prove indipendenti (ossia ogni esperimento è a sé stante e non influenza l altro), i due eventi saranno essi stessi indipendenti e possiamo calcolare la loro probabilità congiunta P (A B) come prodotto delle due probabilità marginali P (A)P (B). Esempio Lanciamo una moneta bilanciata 2 volte. I due lanci possono essere visti come due prove indipendenti. Pertanto, 27
ecc. P ({T T }) P ({T })P ({T }) 1 2 1 2 P ({T C}) P ({T })P ({C}) 1 2 1 2 Esempio Lanciamo due dadi. I lanci dei due dadi possono essere considerati prove indipendenti. Pertanto, ad esempio P ( entrambe le facce sono pari ) P ( prima faccia pari seconda faccia pari ) P ( prima faccia pari )P ( seconda faccia pari ) 3 6 3 6 Esempio Abbiamo un urna di 5 palline numerate da 1 a 5. Facciamo 2 estrazioni dall urna. Poniamo A prima pallina estratta è pari B seconda pallina estratta è pari 1. Estrazioni con reinserimento In questo caso le due estrazioni possono considerarsi prove indipendenti, in quanto la composizione dell urna rimane inalterata a ciascuna estrazione. Pertanto, P ( entrambe le palline estratte sono pari ) P (A B) e P (A)P (B) 2 5 2 5 P (B A) P (B) 2 5 28
2. Estrazioni senza reinserimento In questo caso la prima estrazione modifica la composizione dell urna e le due estrazioni non possono considerarsi indipendenti. Pertanto, P (B A) 1 4 P (B) 4 10 e P (A B) 1 10 P (A)P (B) 2 5 4 10 Tuttavia se l urna contenesse 1 milione di palline, le estrazioni, anche se fatte senza reinserimento, si possono considerare come se fossero con reinserimento, poiché di fatto la composizione dell urna rimane inalterata. In questo caso, le singole estrazioni possono considerarsi come prove indipendenti. 29
ATTENZIONE: INCOMPATIBILITA INDIPENDENZA Se A e B sono incompatibili (A B ) sappiamo che il verificarsi dell uno esclude il verificarsi dell altro evento, quindi c è uno scambio di informazioni tra i due eventi che non si possono considerare indipendenti. L indipendenza tra due eventi può essere estesa ad un numero maggiore di eventi. Tre eventi A, B e C sono indipendenti se e solo se e P (A B) P (A)P (B) P (A C) P (A)P (C) P (B C) P (B)P (C) P (A B C) P (A)P (B)P (C) Il concetto può essere esteso a n eventi generici: A 1, A 2,..., A n. Perché siano indipendenti si deve avere che, per qualunque sottoinsieme degli n eventi di qualunque dimensione maggiore o quale a 2, la probabilità congiunta sia pari al prodotto delle probabilità marginali. Esempio Lancio di una moneta bilanciata 3 volte. I tre lanci possono considerarsi come prove indipendenti e quindi, ad esempio, ( ) 3 1 P ({T CT }) P ({T })P ({C})P ({T }) 2 30