Esercitazione di Matematica sulla retta Esercizio 1. (i) Scrivere l'equazione della retta r passante per i punti A(4, 3) e B( 6, 5). (ii) Determinare l'equazione della retta s parallela ad r e passante per il punto P (, 1); (iii) Determinare l'equazione della retta t perpendicolare ad r e passante per il punto Q(4, 7); (iv) Calcolare la distanza tra la retta r, determinata al punto (i) precedente, e il punto P 1 (0, 10); (v) Disegnare le rette r, s, t dei punti precedenti. Esercizio. (i) Scrivere l'equazione del fascio proprio r m di rette centrato nel punto P 0 ( 10, 10). (ii) Scrivere l'equazione delle due rette del fascio parallele agli assi coordinati. (iii) Scrivere l'equazione della retta del fascio passante per il punto P (4, 5). (iv) Scrivere l'equazione della retta del fascio parallela alla retta s di equazione 4x + 6y + 5 = 0; (v) Scrivere l'equazione della retta del fascio perpendicolare alla retta t di equazione x + 0y + 11 = 0. Esercizio 3. (i) Scrivere l'equazione del fascio improprio r k di rette parallele alla retta r di equazione 3x + y + = 0 (ii) Scrivere l'equazione della retta del fascio passante per il punto P (10, 9). (iii) Scrivere l'equazione delle rette del fascio che distano d = 10 dal punto Q(5, 10). Esercizio 4. rette Calcolare perimetro ed area del triangolo individuato dalle r : y = x + 1 s : x + y = 0 t : y = 1
Risoluzione degli esercizi 1. (i) L'equazione della retta passante per due punti A(x 1, y 1 ) e B(x, y ) è ottenibile mediante la formula y y 1 y y 1 = x x 1 x x 1 (1) in cui, nel caso in esame, vanno sostituite le coordinate dei due punti dati A(4, 3) e B( 6, 5). Dunque, sostituendo nella (1), x 1 = 4; x = 6; y 1 = 3; y = 5, si ha: y 3 5 3 = x 4 6 4 = y 3 = x 4 10 = y 3 = x 4 10 da cui, eliminando i denominatori moltiplicando ambo i membri per 10=mcm(,10), 5(y 3) = (x 4) = 5y 15 = x + 4 = x + 5y 19 = 0 che rappresenta l'equazione della retta in forma implicita da cui, ricavando la y, si ottiene la forma esplicita di r: y = 1 5 x 19 5 (ii) Indicati con m r ed m s i coecienti angolari delle rette r (già determinata al precedente punto (i)) ed s, aché risulti s r (il simbolo è quello di parallelismo) dev'essere m s essendo m r = 1 5, anche m s = 1 5. Dunque, l'equazione di s ha la forma y = m s x + q s ovvero = m r da cui, y = 1 5 x + q s () avendo già determinato m s = 1 5. Per determinare q s, imponiamo il passaggio per P (, 1) ottenendo: 1 = 1 5 + q s = 1 = 5 + q s = q s = 1 + 5 = q s = 7 5 che, sostituito nella (), conduce all'equazione di s: y = 1 5 x + 7 5 (iii) Indicati con m r ed m t i coecienti angolari delle rette r (già determinata al precedente punto (i)) e t, aché risulti s r (il simbolo è quello di perpendicolarità) dev'essere m t = 1 m r da cui, essendo m r = 1 5, m t = 5. Dunque, l'equazione di t ha la forma y = m t x + q t ovvero y = 5x + q t (3)
avendo già determinato m t = 5. Per determinare q t, imponiamo il passaggio per Q(4, 7) avendosi: 7 = 5 4 + q t = 7 = 0 + q t = q t = 7 0 = q s = 13 che, sostituito nella (3), conduce all'equazione della retta cercata: t : y = 5x 13 (iv) Ricordiamo che, la distanza tra un retta ρ : ax + by + c = 0 e un punto P 0 (x 0, y 0 ), è data dalla formula: dist(ρ, P 0 ) = ax 0 + by 0 + c a + b (4) Nel nostro caso, essendo r : x + 5y + 19 = 0 in forma implicita, si ha: dist(r, P 1 ) = 0 + 5 ( 10) 19 1 + 5 = 0 50 19 1 + 5 = 49 6 = 49 6 o, razionalizzando, dist(r, P 1 ) = 49 6 6 con a = 1; b = 5; c = 19; x 0 = 0; y 0 = 10. avendo applicato la (4) (v) Per disegnare una retta, occorre prima porla nella forma esplicita y = mx+q e, successivamente, determinare due punti A, B dando due valori arbitrari alla x e ricavando le corrispondendi y. Dando ad x, i valori 0 (che conviene dare in quanto in sua corrispondenza si ottiene l'ordinata all'origine) e x 1, si ha: x = 0 = y = q x = x 1 = y = mx 1 + q determinando i punti A(0, q) e B(x 1, mx 1 + q). Ricordando che, per due punti passa una sola retta, la retta cercata è quella contenente il segmento AB che suggerisce anche una rappresentazione graca. Così facendo, si hanno le rappresentazioni grache (riportate in fondo a questo scritto) delle rette r, s, t rappresentate, rispettivamente, in gura 1, gura, gura 3.. (i) Ricordando che, l'equazione del fascio di rette centrato in P 0 (x 0, y 0 ) ovvero delle rette incidenti in P 0, è dato da nel nostro caso, si ha: essendo x 0 = 10 ed y 0 = 10. r m : y y 0 = m(x x 0 ) (5) r m : y 10 = m(x + 10) (6) 3
(ii) Con riferimento alla (5), in generale, le rette parallaele agli assi coordinati sono r 0 asse x ed r asse y date da r 0 : y = y 0 r : x = x 0 Nel caso in esame, essendo x 0 = 10 ed y 0 = 10, le rette cercate sono r 0 : y = 10 r : x = 10 (iii) Imponendo il passaggio per P (4, 5) nella (6), si ha: 5 10 = m(4 + 10) = 5 = 14m = 14m = 5 = m = 5 14. Sostituendo m = 5 14 r 5 14 nella (6), si ha la retta cercata: : y 10 = 5 (x + 10) 14 esprimibile anche come 5x + 14y 90 = 0 o, in forma esplicita, come y = 5 14 x + 90 14. (iv) La retta cercata è quella del fascio avente lo stesso coeciente angolare di s che esprime la condizione di parallelismo. Risulta m s = 6 4 = 3 (coeciente angolare della retta s) che, sostituito in luogo di m nella (6), conduce all'equazione della retta cercata: r 3 : y 10 = 3 (x + 10) eprimibile anche come 3x+y +10 = 0 o, in forma esplicita, come y = 3 x 5. (v) Indicato con m t il coeciente angolare della retta t, la retta del fascio ad essa perpendicolare è quella del fascio avente m = 1 m t come impone la condizione di perpendicolarità tra rette. Essendo m t = 0 = 1 10, risulta m = 1 m t = 1 1 10 = 1 ( 10) = 10 che, sostituito nella (6), conduce all'equazione della retta cercata: r 10 : y 10 = 10(x + 10) che può essere scritta anche come 10x y + 110 = 0 o, in forma esplicita, y = 10x + 110. 4
3. (i) Ricordiamo che, data una retta, l'equazione del fascio improprio delle rette parellele ad essa (inclusa la stessa) si ottiene ponendo un parametro reale, ad esempio k, in luogo del termine noto dovendo avere, tutte le rette, il medesimo coeciente angolare. Nel caso in esame, si ha, pertanto, r k : 3x + y + k = 0 (7) che rappresenta l'equazione del fascio cercata. (ii) Imponendo il passaggio del fascio per P (10, 9), si ha: 3 10 + 9 + k = 0 = 30 + 9 + k = 0 = k + 39 = 0 = k = 39 che, sostituito nella (7), conduce all'equazione della retta cercata: r 39 : 3x + y 39 = 0 (iii) Per la (4), la distanza tra la generica retta del fascio ed il punto Q(5, 10) è data da dist(r k, Q) = 3 5 10 + k 3 + 1 = 15 10 + k 9 + 1 = k + 5 10 che, dovendo uguagliare d, conduce all'equazione k + 5 10 = 10 da cui, liberando dai denominatori, k + 5 = ( 10) = k + 5 = 10 = k + 5 = 0 che è equivalente a e, in denitiva, k + 5 = ±0 = k = 5 ± 0 k = 5 0 = 5 k = 5 + 0 = 15 sicché le rette cercate sono r 5 : 3x + y 5 = 0 ed r 15 : 3x + y + 15 = 0. 4. La situazione è rappresentata gracamente nella gura 4 posta in coda al presente scritto. I vertici A, B, C del triangolo sono i punti d'intersezione delle rette prese a due a due tenendo presente che, analiticamente, l'intersezione di due rette si determina risolvendo il sistema le cui equazioni sono quelle delle rette. Pertanto, si ha: A = r s : { y = x + 1 x + y = 0 = (procedendo per sostituzione) 5
{ y = x + 1 x + ( x + 1) = 0 = { { y = x + 1 = 0 + 1 = 0 + 1 = 1 x = 0 = x = 0 { y = x + 1 B = r t : y = { x = 3 da cui, sostituendo y nella prima, y = ; { x + y = 0 C = s t : y = da cui, sostituendo y nella prima e ricavando x, { x x + = 0 = = { x = 6 y =. { x = 0 y = 1 ; Dunque, i vertici del triangolo sono A(0, 1), B(3, ) e C(6, ). Indicando con P il perimetro, si ha: P = AB + AC + BC (8) Risulta AB = (x B x A ) + (y B y A ) = (3 0) + ( 1) = 9 + 9 = 18 = 3 ; AC = (x C x A ) + (y C y A ) = (6 0) + ( 1) = 36 + 9 = 45 = 3 5; BC = x C x B = 6 3 = + 3 = 3 avendo tenuto conto del fatto che BC è un segmento orizzontale. Sostituendo in (8), si ha che P = 3 + 3 5 + 3 = 3( + 5 + 1). Indicando con A l'area del triangolo, si ha che A = bh (9) essendo b la misura della base ed h quella dell'altezza relativa ad essa. Come base scegliamo uno dei lati del triangolo e, come misura dell'altezza, la distanza tra il lato e il vertice opposto ad esso ovvero la distanza tra la retta contenente il lato ed il vertice che ad esso si oppone. Scegliendo b = BC = 3, si ha: h = dist(s, A) = 1 + 0 + 1 = + 3 = 3 1 1 = 3 com'è deducibile anche senza applicare la formula della distanza puntoretta essendo t una retta orizzontale (h = 1 = 3 = 3). Sostituendo b ed h nella (9), si ha che A = 3 3 = 9. 6
Figura 1: retta r : y = 1 5 x 19 5 Figura : retta s : y = 1 5 x + 7 5 7
Figura 3: retta t : y = 5x 13 Figura 4: triangolo ABC individuato dalle rette dell'es. 4 8