Fisica Generale 1 per Chimica Formulario di Meccanica

Fisica Generale 1 per Chimica Formulario di Meccanica Vettori : operazioni elementari: Nota: un vettore verra' qui rappresentato in grassetto es: A = ( A x, A y, A z ) Prodotto scalare A. B = A B cos θ, θ angolo compreso tra A e B Prodotto vettoriale A. B = ( A x, A y, A z ). ( B x, B y, B z ) = A x B x + A y B y + A z B z A x B modulo : A B sin θ, θ angolo compreso tra A e B direzione : normale al piano individuato da A e B verso : regola del cavatappi, verso in cui deve essere ruotato A per essere sovrapposto a B ( secondo l' angolo minore) Formula del determinante per le componenti nel prodotto vettoriale: A x B = ( A x, A y, A z ). ( B x, B y, B z ) = u x u y u z A x A y A z B x B y B z = u x ( A y B z - A z B y ) + u y ( A z B x - A x B z ) + u z ( A x B y - A y B x ) u x, u y, u z versori degli assi ad es. u x =( 1, 0, 0 ), etc Talvolta vengono usati i simboli i, j, k. Alcune proprieta' dei prodotti scalari e vettoriali : A x ( B + C ) = A x B + A x C A x B = - B x A A. ( B x C ) = B. ( C x A ) = C. ( A x B ) A x ( B x C ) = ( A. C ) B - ( A. B ) C Proprieta' dei versori : u x. u x = u y. u y = u z. u z = 1 u x. u y = u x. u z = u y. u z = 0 u x x u x = u y x u y = u z x u z = 0 u x x u y = u z u y x u z = u x u z x u x = u y Relazioni trigonometriche : sin 2 x + cos 2 x = 1 ; sec 2 x - tg 2 x = 1 ; cosec 2 x - cotg 2 x = 1 sin ( x ± y ) = sin x cos y ± cos x sin y cos ( x ± y ) = cos x cos y -+ sin x sin y tg ( x ± y ) = (tg x ± tg y )/ ( 1 -+ tg x tg y ) sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos 2 x - sin 2 x = 2 cos 2 x - 1 = 1-2 sin 2 x sin x + sin y = 2 sin ( x+y)/2 cos ( x-y)/2 cos x + cos y = 2 cos ( x+y)/2 cos ( x-y)/2

Relazioni valide per qualsiasi triangolo : legge dei seni a / sin α = b / sin β = c / sin γ, dove α, β, γ sono gli angoli opposti rispettivamente ai lati a, b e c. legge del coseno a 2 = b 2 + c 2-2 b c cos α Relazioni nei triangoli rettangoli : a = b sin α = b cos β = c tg α 1 radiante 57 27' ; 1 giro = 360 = 2π radianti Derivate ed integrali indefiniti f ( x ) d f( x ) / dx f ( x ) dx x n n x n-1 x n+1 /(n+1) + C ( n -1) 1/x -1 / x 2 ln x + C ln x 1/ x x ln x - x + C e x e x e x + C sin x cos x -cos x + C cos x -sin x sin x + C tg x 1/cos 2 x -ln sec x + C sinh x cosh x cosh x + C sinh x = 1/2 ( e x - e -x ) cosh x sinh x sinh x + C cosh x = 1/2 ( e x + e -x ) arctg x 1 / ( 1+x 2 ) arcsin x 1 / ( 1-x 2 ) Integrazione per parti : u dv = u v - v du Sviluppi in serie : e x = 1 + x + 1/2! x 2 + 1/3! x 3 +.. - < x < + ln ( 1+x) = x - x 2 /2 + x 3 /3 +... -1 < x < +1 sin x = x - 1/3! x 3 + 1/5! x 5 +... - < x < + cos x = 1-1/2! x 2 + 1/4! x 4 +... - < x < + tg x = x + 1/3 x 3 + 2/15 x 5 +... -π/2 < x < π/2 1/(1+x) = 1- x + x 2 - x 3 +... -1 < x < +1 (1+x) = 1+ x/2 - x 2 /8 + 3/48 x 3 +... -1 < x < +1 1/ (1+x) = 1- x/2 +3/8 x 2-15/48 x 3 +... -1 < x < +1 ( 1+x) n = 1 + nx + n(n-1)/2! x 2 +... n > 0 x 2 1 n < 0 x 2 < 1 Sviluppo di Taylor f(x) = f(x o ) + f '(x o )(x-x o ) + 1/2! f ''(x o ) (x-x o ) 2 + +1/3! f '''(x o ) (x-x o ) 3 +..... + 1/n! f (n) (x o ) (x-x o ) n con n! = n ( n-1) (n-2).... 3 2 1 e f (n) (x o ) = { d n f(x)/dx n } x=xo

Leggi della cinematica velocita' media velocita' istantanea accelerazione media v m = r/ t, r vettore posizione del punto materiale v = lim r/ t = dr / dt t->0 a m = v/ t accelerazione istantanea a = lim v/ t = dv / dt = d 2 r / dt 2 t->0 relazioni tra grandezze lineari ed angolari nel moto circolare ( R = cost ) s = R θ, s = coordinata curvilinea sulla circonferenza ω = dθ / dt, v = ω r α = dω / dt, a = α R modulo della velocita' angolare di rotazione attorno ad un asse fisso (all'istante t ) ω = dθ / dt Θ = posizione angolare di un punto materiale. La direzione di ω e' quella dell'asse di rotazione, mentre il suo verso e' quello in cui avanza una vite che ruota nello stesso senso del corpo. modulo della accelerazione angolare di rotazione attorno ad un asse fisso α = dω / dt ( stessa direzione di ω, stesso verso se e' un moto accelerato, contrario se ritardato ) componenti radiale e tangenziale della accelerazione nel moto circolare : a R = v 2 / R = ω 2 R a T = dv / dt moto ad accelerazione costante in una direzione, scelto t 0 = 0 v x = v xo + a x t x = x o + v xo t + 1/2 a x t 2 v 2 x = v 2 xo + 2 a x ( x - x o ) forze forza peso ( in un campo gravitazionale, ad es. quello terrestre) F = m g forza gravitazionale F = - G m 1 m 2 r / r 3 F = G m 1 m 2 / r 2 forza elastica F = - k r forza centripeta F c = - m ω 2 r forza di attrito statico f s µ s N forza di attrito dinamico f d = µ d N forza di attrito nei fluidi f f = -K η v con K = 6 π R per particelle sferiche momento di una forza τ = r x F dove r e' il vettore posizione del punto di applicazione della forza rispetto ad un punto scelto come polo. condizioni di equilibrio : a) F est i = 0 b) τ i = 0 i τ i sono calcolati rispetto al centro di massa del sistema. Se pero' e' verificata la a), allora il C.M. puo' essere sostituito da qualsiasi polo.

Dinamica del punto materiale : quantita' di moto p = m v per la risultante delle forze agenti sul punto F tot = dp / dt se F tot = 0 --> p = cost --> conservazione della quantita' di moto lavoro dw = F. ds F = forza agente sul punto ds = spostamento infinitesimo subito dal punto B W AB = A F. ds integrale di linea calcolato lungo la linea che va da A a B, inviluppo dei ds infinitesimi. Se il campo di forze e' conservativo, W AB non dipende dal cammino per andare da A a B. Potenza P = dw / dt = F. ds /dt = F. v energia cinetica del punto materiale K = 1/2 m v 2 teorema del lavoro ed energia cinetica ( o delle forze vive ) : W AB = 1/2 m ( v B 2 - v A 2 ) = K B - K A = K energia potenziale di un campo di forze conservativo : B F = - grad U U B - U A = - A F. ds U B - U A = - W AB teorema della conservazione dell'energia : se il campo di forze e' conservativo E = K + U = cost energia potenziale della forza peso elastica gravitazionale U = m g h + cost U = 1/2 K x 2 + cost U = - G m 1 m 2 / r + cost momento della quantita' di moto ( momento angolare ) : L = r x p ( dove r e' il vettore posizione del punto materiale rispetto ad un punto scelto come polo ) nel moto circolare, L e' diretto come ω, L = m r 2 ω Se τ e' il risultante dei momenti esterni applicati ad un punto materiale, calcolato rispetto allo stesso polo del momento angolare : τ = dl / dt conservazione del momento angolare : se τ = 0 L = cost rispetto ad un qualsiasi asse z, passante per il polo, se e' τ z = 0 --> dl z / dt = 0 --> L z = cost

sistemi di particelle e corpo rigido centro di massa r CM = m i r i / m i momento di inerzia I = m i r i 2 = corpo r 2 dm teorema dell'asse parallelo : I o = I CM + md 2, dove d e' la distanza di O dal C.M. esempi di momenti d'inerzia di una asta omogenea rispetto ad un asse normale baricentrico I = ml 2 / 12 di un cilindro rispetto al suo asse I = mr 2 / 2 di una sfera rispetto ad un suo diametro I = 2/5 mr 2 di un disco a) rispetto ad un diametro I = 1/4 mr 2 b) rispetto all'asse I = 1/2 mr 2 di un anello a) rispetto ad un diametro I = 1/12 mr 2 quantita' di moto : b) rispetto all'asse I = mr 2 p = m i v i = M tot v CM equazioni fondamentali della dinamica F est = dp/dt = M a CM τ est = dl/dt per un corpo rigido ruotante attorno all'asse z τ z = I α en. cinetica di un corpo rigido non vincolato K = 1/2 I CM ω 2 + 1/2 Mv CM 2 energia cinetica di un corpo rigido vincolato K = 1/2 I ω 2 oscillazioni oscillatore armonico F ( x ) = - K x U ( x ) = 1/2 K x 2 moto armonico - K x = m d 2 x / dt 2 ovvero: d 2 x / dt 2 + K/m x = 0 soluzione dell'equazione del moto armonico x = A cos ( ω t + f ) ω t + f = fase ( f = fase iniziale ) A = ampiezza ω 2 = K / m ( ω = 2πn, n = frequenza del moto) periodo del moto armonico T = 2π/ω = 2π m/k periodo del pendolo semplice T = 2π l/g periodo del pendolo fisico T = 2π I/mgd periodo del pendolo di torsione T = 2π I/K ( τ = - K Θ )

gravitazione tra due masse puntiformi m 1 ed m 2, poste ad una distanza r 12, agisce una forza attrattiva : F 12 = - G m 1 m 2 r 12 / r 3 12, r 12 / r 12 = versore di r 12, G = costante gravitazionale F 12 = - F 21 ( per il terzo principio ) alla superficie terrestre g = G M / R 2, R = raggio terrestre, M = massa terrestre energia potenziale del campo gravitazionale r U ( r ) = L,r = F. dr = - G M m / r scegliendo U = 0 ad r --> moto di pianeti e satelliti condizione di stabilita' dell'orbita : G M m / (R + r ) 2 = m ω 2 r per r» R G M = ω 2 r 3 T 2 = 4 π 2 r 3 / GM ( 3^ legge di Keplero ) statica e dinamica dei fluidi variazione della pressione in un fluido a riposo : dp / dy = - ρ g ( dove y e' la quota ) se la densita' r e' costante p 2 - p 1 = - ρg ( y 2 - y 1 ) se la densita' r e' proporzionale a p p = p o e -gy ρo/po equazione di Bernoulli p + 1/2 ρ v 2 + ρ g y = costante L'equazione di Bernoulli si applica a moti stazionari di fluidi incompressibili e non viscosi. Viene applicata su una stessa linea di flusso. Su linee di flusso diverse, la costante e' diversa.

principali costanti e proprieta' fisiche di interesse per la meccanica velocita' della luce nel vuoto massa a riposo dell'elettrone massa a riposo del protone massa a riposo del neutrone c = 2.9979 10 8 m/s 3.0 10 8 m/s m e = 9.1091 10-31 Kg m p = 1.6725 10-27 Kg m n = 1.6748 10-27 Kg raggio di Bohr a o = 5.2917 10-11 m = 0.52917 Å costante gravitazionale G = 6.67 10-11 N m 2 Kg -2 accelerazione di gravita' al livello del mare ed all'equatore g = 9.7805 ms -2 9.8 ms -2 distanza media Terra-Sole 1.49 10 8 Km distanza media Terra-Luna 3.8 10 5 Km raggio medio della Terra 6.37 10 3 Km raggio del Sole 6.96 10 5 Km massa della Terra 5.98 10 24 Kg massa del Sole 1.99 10 30 Kg velocita' media orbitale Terra 29770 m/s velocita' angolare media Terra 7.29 10-5 rad/s ( rotazione ) densita' aria ( a 0 C ed 1 atm) 1.29 Kg/m 3 densita' acqua ( a 20 C ) 1.00 10 3 Kg/m 3 densita' mercurio ( a 0 C ) 13.5 10 3 Kg/m 3 densita' media terrestre 5.52 10 3 Kg/m 3 fattori di conversione lunghezza 1 Å = 10-10 m 1 m (micron) = 10-6 m 1 anno-luce = 9.46 10 12 Km tempo 1 anno = 365.2 giorni = 8766 ore = 5.26 10 5 min = 3.156 10 7 s velocita' 1 m/s = 3.6 Km/h forza 1 dyne = 10-5 N 1 N = 10 5 dyne = 0.102 Kg p pressione 1 atm = 1.013 10 6 dyne/cm 2 = 76.0 cm Hg = 1.013 10 5 N/m 2 1 dyne/cm 2 = 9.869 10-7 atm = 0.1 N/m 2 = 10-6 bars 1 cm Hg = 1.316 10-2 atm = 1333 N/m 2 1 N/m 2 (Pa : pascal)= 9.869 10-6 atm = 10 dyne/cm 2 = 7.501 10-4 cm Hg 1 Torr = 1 mm Hg = 10-1 cm Hg energia, lavoro, calore 1 erg = 10-7 J = 2.389 10-8 cal = 2.778 10-14 KWh = 6.242 10 11 ev 1 Joule ( J ) = 10 7 erg = 0.2389 cal = 6.242 10 18 ev 1 caloria ( cal ) = 4.186 10 7 erg = 4.186 J = 2.613 10 19 ev 1 e V = 1.602 10-12 erg = 1.602 10-19 J 1 unita' massa atomica(amu) = 1.492 10-3 erg = 1.492 10-10 J = 9.31 10 8 ev